1、7.2.2古典概型的應(yīng)用自主預(yù)習(xí)新知導(dǎo)學(xué)合作探究釋疑解惑易 錯(cuò) 辨 析隨 堂 練 習(xí)課標(biāo)定位素養(yǎng)闡釋1.通過實(shí)例學(xué)會應(yīng)用古典概型.2.會從不同角度建立不同的概率模型.3.通過建立概率模型來解決簡單的實(shí)際問題,體會數(shù)學(xué)建模的學(xué)科素養(yǎng). 自主預(yù)習(xí)新知導(dǎo)學(xué)一、古典概型的求解【問題思考】1.古典概型的基本特征是什么?提示:一是有限性,即樣本空間為有限樣本空間;二是等可能性,樣本空間的各個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相等.3.求解古典概型中樣本空間的樣本點(diǎn)總數(shù),常用的方法是什么?提示:列舉法.4.做一做:從甲、乙、丙三人中任選兩名代表參加某項(xiàng)活動,甲被選中的概率為()解析:從3人中任選2人,則所有的選法共有3種,

2、即:甲乙、甲丙、乙丙,其中甲被選中的選法有2種,故甲被選中的概率是故選C.答案:C 二、互斥事件的概率加法公式【問題思考】1.思考下列兩個(gè)問題:(1)什么是互斥事件?怎樣用Venn圖表示?(2)請從Venn圖上直觀判斷出P(AB)與P(A),P(B)的大小關(guān)系.提示:(1)一般地,不能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件A與B(AB=)稱為互斥事件.A,B互斥(2)P(A)P(AB),P(B)P(AB).2.在試驗(yàn)E“拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子,觀察骰子擲出的點(diǎn)數(shù)”中,設(shè)事件A表示“擲出的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”,事件B表示“擲出的點(diǎn)數(shù)為4”,事件A與B是否為互斥事件?試探究P(A),P(B)與P(A+B)有怎樣的關(guān)系.提示:

3、事件A和事件B是互斥事件.【思考辨析】 判斷下列說法是否正確,正確的在它后面的括號里畫“”,錯(cuò)誤的畫“”.(1)在古典概型中,概率加法公式為P(AB)=P(A)+P(B).( )(2)兩個(gè)互斥事件的概率加法公式可以推廣到n個(gè)兩兩互斥事件的概率加法公式.( )(3)當(dāng)一個(gè)事件的情況比較復(fù)雜時(shí),我們可以用求其對立事件的概率的方法間接地來求它的概率.( )(5)如果P(A)P(B),那么AB.( ) 合作探究釋疑解惑探究一探究二探究一 構(gòu)建不同的概率模型解決問題【例1】 從1,2,3,4,5,6中任取兩個(gè)數(shù)字組成一個(gè)兩位數(shù),求組成的兩位數(shù)大于50的概率.解法一:依題意知所有可能的結(jié)果為12,13,1

4、4,15,16,21,23,24, 25,26,31,32,34,35,36,41,42,43,45,46,51,52,53,54,56,61,62,63,64,65,共有30種等可能結(jié)果.設(shè)“組成的兩位數(shù)大于50”為事件A,則事件A包含的樣本點(diǎn)有51,52,53,54,56,61,62,63,64,65,共有10種可能的結(jié)果.由古典概型的概率計(jì)算公式,得解法二:由于50的個(gè)位數(shù)字是0,因此大于50的兩位數(shù)只要十位上的數(shù)字不小于5即可.十位上的數(shù)字的所有可能結(jié)果是1,2,3,4,5,6,共有6種等可能的結(jié)果.設(shè)十位上的數(shù)字不小于5為事件A,則事件A包含的樣本點(diǎn)有5,6,共有2種可能的結(jié)果.由古

5、典概型的概率計(jì)算公式,得可以用傳統(tǒng)解法,但是樣本點(diǎn)較多;還可以從另一角度巧妙建立古典概率模型,使樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)較少,理解、運(yùn)算都較簡便.【變式訓(xùn)練1】 求連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子2次,擲出的點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)的概率.解法一:設(shè)事件A表示“擲出的點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)”,用(i,j)表示拋擲的結(jié)果,其中i表示第一次擲出的點(diǎn)數(shù),j表示第二次擲出的點(diǎn)數(shù),顯然共有36種等可能結(jié)果.其中事件A包含的(i,j)只能為(奇,偶)或(偶,奇),所以事件A包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為33+33=18.故解法二:設(shè)事件A表示“擲出的點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)”,用(i,j)表示拋擲的結(jié)果,其中i表示第一次擲出的點(diǎn)數(shù),j表示第二次擲出的點(diǎn)數(shù).若把試驗(yàn)

6、的所有可能結(jié)果取為(奇,奇),(奇,偶),(偶,奇), (偶,偶),則它們也組成等可能樣本點(diǎn)的樣本空間,共有4個(gè)樣本點(diǎn).事件A包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.故探究二 互斥事件的概率的求法【例2】 黃種人群中各種血型的人所占的比例見下表:已知同種血型的人可以輸血,O型血可以給任一種血型的人輸血,任何人的血都可以輸給AB型血的人,其他不同血型的人不能互相輸血,小明是B型血,若他因病需要輸血,問:(1)任找一個(gè)人,其血可以輸給小明的概率是多少?(2)任找一個(gè)人,其血不能輸給小明的概率是多少?分析:將比例化為概率,根據(jù)事件之間的關(guān)系,選擇概率公式計(jì)算.解:(1)對任一人,其血型為A,B,AB,O型血的事件分別

7、記為A,B,C,D,它們是互斥的.由已知,有P(A)=0.28,P(B)=0.29,P(C)=0.08,P(D)=0.35.因?yàn)锽,O型血的人可以輸血給B型血的人,所以“可以輸血給B型血”為事件BD,根據(jù)互斥事件的概率加法公式,得P(BD)=P(B)+P(D)=0.29+0.35=0.64.(2)(方法一)由于A,AB型血的人不能輸血給B型血的人,故“不能輸血給B型血”為事件AC,根據(jù)互斥事件的概率加法公式,得P(AC)=P(A)+P(C)=0.28+0.08=0.36.(方法二)事件“可以輸血給B型血”的對立事件為“不能輸血給B型血”,故“不能輸血給B型血”的概率為1-0.64=0.36.解

8、決此類題的關(guān)鍵是明晰概率加法公式應(yīng)用的前提是“各事件是互斥事件”,對于較難判斷關(guān)系的,必要時(shí)可利用Venn圖或列出試驗(yàn)的樣本空間及隨機(jī)事件進(jìn)行分析.【變式訓(xùn)練2】 由經(jīng)驗(yàn)得知,在某商場付款處排隊(duì)等候付款的人數(shù)及概率如下表:(1)至多有2人排隊(duì)的概率是多少?(2)至少有2人排隊(duì)的概率是多少?解:設(shè)商場付款處排隊(duì)等候付款的人數(shù)為0,1,2,3,4及5人以上的事件依次為A0,A1,A2,A3,A4,A5,可知這六個(gè)事件兩兩互斥.(1)設(shè)事件B表示“至多有2人排隊(duì)”,則B=A0A1A2,P(B)=P(A0A1A2)=P(A0)+P(A1)+P(A2)=0.1+0.16+0.3=0.56.(2)設(shè)事件C

9、表示“至少有2人排隊(duì)”,則C=A2A3A4A5,P(C)=P(A2A3A4A5)=P(A2)+P(A3)+P(A4)+P(A5)=0.3+0.3+0.1+0.04=0.74.易 錯(cuò) 辨 析因建模錯(cuò)誤而致誤【典例】 把一枚質(zhì)地均勻的硬幣連續(xù)拋擲2次,求出現(xiàn)兩次正面朝上的概率.錯(cuò)解 把一枚質(zhì)地均勻的硬幣連續(xù)拋擲2次,面朝上的可能結(jié)果有“2次正面”,“2次反面”,“1次正面,1次反面”,共3種,即有3個(gè)樣本點(diǎn).所以出現(xiàn)兩次正面朝上的概率為以上解答過程中都有哪些錯(cuò)誤?出錯(cuò)的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:因?yàn)椤?次正面,1次反面”包含“一正一反”和“一反一正”兩種情況,所以出現(xiàn)“2次正面”“

10、2次反面”“1次正面,1次反面”的可能性是不相同的,因此,把這3個(gè)事件看成樣本點(diǎn)建立的模型不是古典概型.正解:把一枚質(zhì)地均勻的硬幣連續(xù)拋擲2次,朝上的面出現(xiàn)“2次正面”,“2次反面”,“一正一反”和“一反一正”4種可能的結(jié)果,即有4個(gè)樣本點(diǎn)并且這4個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相等,這個(gè)模型是古典概型.所以出現(xiàn)兩次正面朝上的概率為分清事件是否為古典概型,找準(zhǔn)樣本空間的所有樣本點(diǎn).隨 堂 練 習(xí)1.從1,2,3,4,5這五個(gè)數(shù)中,任取兩個(gè)數(shù),則這兩個(gè)數(shù)之和為3或6的概率為()答案:A 2.從一箱產(chǎn)品中隨機(jī)地抽取一件,設(shè)事件A=抽到一等品,事件B=抽到二等品,事件C=抽到三等品,且已知P(A)=0.65, P(B)=0.2,P(C)=0.1,則事件“抽到的不是一等品”的概率為()A.0.7B.0.65C.0.35D.0.3解析:抽到的不是一等品的概率為P=1-P(A)=1-0.65=0.35.答案:C3.口袋內(nèi)裝有一些大小、質(zhì)地相同的紅球、白球和黑球,從中摸出1個(gè)球,摸出紅球的概率是0.52,摸出白球的概率是0.28,那么摸出黑球的概率是()A.0.2B.0.28C.0.52D.0.8解析:設(shè)事件M表示“摸出紅球”,事件N表示“摸出白球”,事