1、你認為 Bohr 的量子理論有哪些成功之處？有哪些不成功的地方？試舉一例說明。（ 簡述波爾的原子理論，為什么說玻爾的原子理論是半經典半量子的？）答： Bohr 理論中核心的思想有兩條：一是原子具有能量不連續(xù)的定態(tài)的概念；二是兩個定態(tài)之間的量子躍遷的概念及頻率條件。首先，Bohr 的量子理論雖然能成功的說明氫原子光譜的規(guī)律性，但對于復雜原子光譜，甚至對于氦原子光譜，Bohr 理論就遇到了極大的困難（這里有些困難是人們尚未認識到電子的自旋問題），對于光譜學中的譜線的相對強度這個問題，在Bohr 理論中雖然借助于對應原理得到了一些有價值的結果，但不能提供系統解決它的辦法；其次， Bohr理論只能處理

2、簡單的周期運動，而不能處理非束縛態(tài)問題，例如：散射；再其次，從理論體系上來看， Bohr 理論提出的原子能量不連續(xù)概念和角動量量子化條件等，與經典力學不相容的，多少帶有人為的性質，并未從根本上解決不連續(xù)性的本質。什么是光電效應？光電效應有什么規(guī)律？愛因斯坦是如何解釋光電效應的？答： 當一定頻率的光照射到金屬上時，有大量電子從金屬表面逸出的現象稱為光電效應； 光電效應的規(guī)律： a.對于一定的金屬材料做成的電極，有一個確定的臨界頻率0， 當照射光頻率0時，無論光的強度有多大，不會觀測到光電子從電極上逸出；b.每個光電子的能量只與照射光的頻率有關，而與光強無關；c.當入射光頻率0 時，不管光多微弱，

3、只要光一照，幾乎立刻910 9 s觀測到光電子。愛因斯坦認為： （1）電磁波能量被集中在光子身上，而不是象波那樣散布在空間中，所以電子可以集中地、一次性地吸收光子能量，所以對應弛豫時間應很短，是瞬間完成的。 （2） 所有同頻率光子具有相同能量，光強則對應于光子的數目，光強越大，光子數目越多，所以遏止電壓與光強無關，飽和電流與光強成正比。（3） 光子能量與其頻率成正比，頻率越高，對應光子能量越大，所以光電效應也容易發(fā)生，光子能量小于逸出功時，則無法激發(fā)光電子。3簡述量子力學中的態(tài)疊加原理，它反映了什么？答：對于一般情況，如果1 和 2 是體系的可能狀態(tài)，那么它們的線性疊加：c1 1 c2 2（

4、c1，c2 是復數）也是這個體系的一個可能狀態(tài)。這就是量子力學中的態(tài)疊加原理。態(tài)疊加原理的含義表示當粒子處于態(tài)1 和 2 的線性疊加態(tài)時，粒子是既處于態(tài)1 ，又處于態(tài)2 。它反映了微觀粒子的波粒二象性矛盾的統一。量子力學中這種態(tài)的疊加導致在疊加態(tài)下觀測結果的不確定性。什么是定態(tài)？定態(tài)有什么性質？答：體系處于某個波函數r， t r exp iEt 所描寫的狀態(tài)時，能量具有確定值。這種狀態(tài)稱為定態(tài)。定態(tài)的性質：（ 1） 粒子在空間中的概率密度及概率流密度不隨時間變化；（ 2）任何力學量（不顯含時間）的平均值不隨時間變化；（ 3）任何力學量（不顯含時間）取各種可能測量值的概率分布也不隨時間變化。簡述

5、力學量與力學量算符的關系？答： 算符是指作用在一個波函數上得出另一個函數的運算符號。量子力學中采用算符來表示微觀粒子的力學量。如果量子力學中的力學量F 在經典力學中有相應的力學量，則表示這個力學量的算符 F? 由經典表示式F（ r,p ） 中將 p 換為算符p?而得出的，即：F?F（? r?,p?）=F（? r,-i ） 。量子力學中的一個基本假定：如果算符F?表示力學量F，那么當體系處于F? 的本征態(tài)時，力學量F 有確定值，這個值就是F? 在 中的本征值。經典波和量子力學中的幾率波有什么本質區(qū)別？答： 1 ）經典波描述某物理量在空間分布的周期性變化，而幾率波描述微觀粒子某力學量的幾率分布；（

6、2）經典波的波幅增大一倍，相應波動能量為原來的四倍，變成另一狀態(tài)，而微觀粒子在空間出現的幾率只決定于波函數在空間各點的相對強度，幾率波的波幅增大一倍不影響粒子在空間出現的幾率，即將波函數乘上一個常數，所描述的粒子狀態(tài)并不改變；能量的本征態(tài)的疊加一定還是能量本征態(tài)。答：不一定，如果1 ，2 對應的能量本征值相等，則c1 1c2 2 還是能量的本征態(tài)，否則，如果 1 ，2 對應的能量本征值不相等，則c1 1 c2 2 不是能量的本征態(tài)什么是表象？不同表象之間的變換是一種什么變換？在不同表象中不變的量有哪些？答： 量子力學中態(tài)和力學量的具體表示方式稱為表象。不同表象之間的變換是一種幺正變換。在不同表

7、象中不變的量有：算符的本征值，矩陣的跡即矩陣對角元素的和。簡述量子力學的五個基本假設。答： （ 1）微觀體系的狀態(tài)被一個波函數完全描述，從這個波函數可以得出體系的所有性質。波函數一般應滿足連續(xù)性、有限性和單值性三個條件；（ 2）力學量用厄密算符表示。如果在經典力學中有相應的力學量，則在量子力學中表示這個力學量的算符，由經典表示中的將動量p 換為算符 i 得出。表示力學量的算符具有組成完全系的本征函數。（3）將體系的狀態(tài)波函數用算符 F? 的本征函數展開（ F? m m m，F?） ：cm m c d ，則在態(tài)m中測量力學量F 得到結果為m 的幾率為cm 2 ，得到結果在d 范圍內的幾率是2c

8、d ； （ 4）體系的狀態(tài)波函數滿足薛定諤方程：iH? ， H? 是體系的哈密頓算符。t（ 5）在全同粒子組成的體系中，兩全同粒子相互調換不改變體系的狀態(tài)（全同性原理）。波函數歸一化的含義是什么？歸一化隨時間變化嗎？答：粒子既不產生也不湮滅。根據波函數的統計解釋，在任何時刻，粒子一定在空間出現，所以在整個空間中發(fā)現粒子是必然事件，概率論中認為必然事件的概率等于1。因而粒子在整個空間中出現的概率即2對整個空間的積分應該等于1. 即 x, y, z,t 2d1 式中積分表示對整個空間積分。這個條件我們稱為歸一化條件。滿足歸一化條件的波函數稱為歸一化波函數。波函數一旦歸一化，歸一化常數將不隨時間變化

9、。量子化是不是量子力學特有的效應？經典物理中是否有量子化現象？ 答： 所謂量子化，就是指某個力學量可取數值具有離散譜。一般來說，這不是量子力學的特有效應。經典物理中，例如聲音中的泛音，無線電中的諧波都是頻率具有離散譜。經典波在束縛態(tài)形成駐波時，頻率也是量子化的，但經典波的頻率量子化并不對應能量量子化。有時量子化用了專指能量量子化，在這種意義上它就是量子力學特有的效應。什么是算符的本征值和本征函數？它們有什么物理意義？答： 含有算符F?的方程 F? mFm m稱為 F? 的本質方程，Fm為F?的一個本質值。而 m則為 F?的屬于本征值Fm 的本征函數。如果算符多代表一個力學量，上述概念的物理意義

10、如下：當體系處于 F? 的本征態(tài)m 時，測量F 的數值時確定的，恒等于Fm 。當體系處于任意態(tài)時，單次測量 F 的值必等于它的本征值之一。算符運算與一般代數運算有什么異同之處？答：（1）相同點: 都滿足加法運算中的加法交換律和加法結合律。（2）不同點：a. 算符乘積一般不滿足代數乘法運算的交換律，即F?G? G?F? ； b. 算符乘積定義F?G?E? F? G? E? ，運算次序由后至前，不能隨意變換。什么是束縛態(tài)和定態(tài)？束縛態(tài)是否必為定態(tài)？定態(tài)是否必為束縛態(tài)？U答：定態(tài)是概率密度和概率流密度不隨時間變化的狀態(tài)。若勢場恒定0 ， 則體系可以處于t定態(tài)。當粒子被外力（勢場）束縛于特定的空間區(qū)域

11、內，及在無窮處波函數等于零的態(tài)叫做束縛態(tài)。束縛態(tài)是離散的。例如一維諧振子就屬于束縛定態(tài)，具有量子化能級。但束縛態(tài)不一定是定態(tài)。 例如限制在一維箱子中的粒子，最一般的可能態(tài)是以一系列分立的定態(tài)疊加而成的波包。這種疊加是沒有確定值的非定態(tài)。雖然一般情況下定態(tài)多屬束縛態(tài)，當定態(tài)也可能有非束縛態(tài)。（ 1 ）在量子力學中，能不能同時用粒子坐標和動量的確定值來描寫粒子的量子狀態(tài)？（2）將描寫的體系量子狀態(tài)波函數乘上一個常數后，所描寫的體系量子狀態(tài)是否改變？（3）歸一化波函數是否可以含有任意相因子ei （ 是實常數）？（4）已知F 為一個算符，當F 滿足如下1的兩式時，a. F F ,b. F F , 問何

12、為厄米算符，何為幺正算符？（5）證明厄米算符的本征值為實數。量子力學中表示力學量的算符是不是都是厄米算符？答：（1）不能；因為在量子力學中，粒子具有波粒二象性，粒子的坐標和動量不可能同時具有確定值。（2）不改變；根據Born 對波函數的統計解釋，描寫體系量子狀態(tài)的波函數是概率波，由于粒子必定要在空間中的某一點出現，所以粒子在空間各點出現的概率總和等于1，因而粒子在空間各點出現概率只決定于波函數在空間各點的相對強度。（3）可以；因為ei 21 ， 如果2 對整個空間積分等于1，則ei2 對整個空間積分也等于1. 即用任意相因子ei （ 是實常 TOC o 1-5 h z 數）去乘以波函數，既不影

13、響體系的量子狀態(tài)，也不影響波函數的歸一化。（4）滿足關系式a的為厄密算符，滿足關系式b 的為幺正算符；（5）證明：以表示 F 的本征值，表示所屬的本征函數，則 F?因為 F 是厄密算符，于是有dxdx， 由此可得，即 為實數。薛定諤方程應該滿足哪些條件？答： （ 1） 它必須是波函數應滿足的含有對時間微商的微分方程；（ 2） 方程是線性的，即如果1 和2 都是方程的姐，那么 1 和 2 的線性疊加c1 1 c2 2 也是方程的解，這是因為根據態(tài)疊加原理，如果1 和 2是體系的可能狀態(tài)，那么它們的線性疊加：c1 1c2 2（ c1， c2 是復數）也是這個體系的一個可能狀態(tài)；（ 3）這個方程的系

14、數不應該包含狀態(tài)的參量，如動量、能量等， 因為方程的系數如含有狀態(tài)的參量，則方程只能被粒子的部分狀態(tài)所滿足，而不能被各種的狀態(tài)所滿足。量子力學中的力學量用什么算符表示？為什么？力學量算符在自身表象中的矩陣是什么形式？答： 量子力學中表示力學量的算符都是厄密算符。因為所有力學量的數值都是實數，既然表示力學量的算符的本征值是這個力學量的可能值，因而表示力學量的算符，它的本征值必須是實數。力學量算符在自身表象中的矩陣是一個對角矩陣。簡述力學量算符的性質？答：（1）實數性：厄密算符的本征值和平均值皆為實數；（ 2）正交性：屬于不同本征值的本征態(tài)彼此正交。即m ndmn ； （ 3）完備性：力學量算符的

15、本征態(tài)的全體構成一完備集，即x cn n x 。 n在什么情況下兩個算符相互對易？答： 如果兩個算符F? 和 G? 有一組共同本征函數m ， 而且 m 組成完全系，則算符 F? 和 G?對易。請寫出測不準關系?答： 設算符 F? 和 G? 的對易關系為：F?，G? i k? ， 則測不準關系式為：F? 2 G? 2k2，4如果 k 不為零，則F?和 G?量子力學中的守恒量是如何定義的？守恒量有什么性質？量子力學中的守恒量和經典力學 的守恒量定義有什么不同，并舉例說明？答： 量子力學中不顯含時間，且其算符與體系的哈密頓算符對易的力學量稱為守恒量；量子體系的守恒量，無論在什么態(tài)下，平均值和概率分布

16、都不隨時間改變；量子力學中的守恒量與經典力學中的守恒量概念不相同，實質上是不確定度關系的反映。a. 量子體系的守恒量并不一定取確定值，及體系的狀態(tài)并不一定就是某個守恒量的本征態(tài)。如對于自由粒子，動量是守恒量，但自由粒子的狀態(tài)并不一定是動量的本征態(tài)（平面波），在一般情況下是一個波包；b. 量子體系的各守恒量并不一定都可以同時取確定值。例如中心力場中的粒子，l 的三個分量都守恒，但由于l x、l y、l z 不對易，一般說來它們并不能同時取確定值（角動量l 0 的態(tài)除外）。定態(tài)微擾理論的適用范圍和適用條件是什么？答： 適用范圍：求分立能級及所屬波函數的修正；適用條件是：Hnm(0)(0)mn1，式

17、中m(0)n(0) 。什么是自發(fā)躍遷？什么是受激躍遷？答：在不受外界影響的情況下，體系由高能級躍遷到低能級，這種躍遷稱為自發(fā)躍遷；體系在外界（如輻射場）作用下，由低能級躍遷到高能級，這種躍遷稱為受激躍遷。什么是嚴格禁戒躍遷？角量子數和磁量子數的選擇定則是什么？答： 如果在任何級近似中躍遷幾率均為零，這這種躍遷稱為嚴格禁戒躍遷。角量子數和磁量子數的選擇定則是：l1；m 0，1 。誰提出了電子自旋的假設？表明電子有自旋的實驗事實有哪些？自旋有什么特征？答： 烏倫貝克和高斯密特提出了電子自旋的假設。他們主要根據的兩個實驗事實是：堿金屬光譜的雙線結構和反常的Zeeman效應。他們假設的主要內容為：a.

18、 每個電子具有自旋角動量S?，它1在空間任何方向上的投影只能是兩個數值：sz； b. 每個電子具有自旋磁矩M S， 它和它e的自旋角動量S 的關系式是：M S e S ，式中 e 是電子的電荷，是電子的質量。S表明電子有自旋的實驗事實：斯特恩- 蓋拉赫實驗。其現象 ： K 射出的處于S 態(tài)的氫原子束通過狹縫BB和不均勻磁場，最后射到照相片PP上，實驗結果是照片上出現兩條分立線。解釋 ： 氫原子具有磁矩，設沿Z方向：；如 在空間可取任何方向，應連續(xù)變化，照片上應是一連續(xù)帶，但實驗結果只有兩條, 說明是空間量子化的，只有兩個取向，對 S 態(tài) , 沒軌道角動量，所以原子所具有的磁矩是電子固有磁矩，即

19、自旋磁矩。自旋的特點：（ 1 ） 電子具有自旋角動量這一特點純粹是量子特性，它不可能用經典力學來解釋。它是電子的本身的內稟屬性，標志了電子還有一個新自由度。（ 2） 電子自旋與其它力學量的根本區(qū)別為， 一般力學量可表示為坐標和動量的函數，自旋角動量與電子坐標和動量無關，不能表示為， 它是電子內部狀態(tài)的表征，是一個新的自由度。（ 3 ） 電子自旋值是， 而不是的整數倍。 （ 4）， 而兩者在差一倍。自旋角動量也具有其它角動量的共性，即滿足同樣的對易關系：。它是個內稟的物理量，不能用坐標、動量、時間等變量表示；它完全是一種量子效應，沒有經典對應量。也就是說，當0 時，自旋效應消失。它是角動量，滿足

20、角動量最一般的對應關系。而且電子自旋在空間任何方向上的投影只取 2 兩個值。什么是斯塔克效應？答：當原子置于外電場中，它發(fā)射的光譜線將發(fā)生分裂，這稱為Stark 效應。什么是光譜的精細結構？產生精細結構的原因是什么？考慮精細結構后能級的簡并度是多少？答： 由于電子自旋與軌道角動量耦合，是原來簡并的能級分裂成幾條差別很小的能級，稱為光譜1的精細結構；當n 和 l 給定后， j 可以取 j l ， （ l0除外） ，即具有相同的量子數n， l的能級有兩個，它們的差別很小，這就是產生精細結構的原因?？紤]精細結構后能級的簡并度為2j+1 ）什么是塞曼效應？什么是反常的塞曼效應？對簡單塞曼效應，沒有外磁

21、場時的一條譜線在外磁場中分裂為幾條？ 答：把原子（光源）置于強磁場中，原子發(fā)出的每條光譜線都分裂為三條，我們把這稱為正常的塞曼效應。而反常的塞曼效應是指在弱磁場中原子光譜線的復雜分裂（分裂成偶條數）。對簡單塞曼效應，沒有外磁場時的一條譜線在外磁場中分裂為三條。29什么是全同性原理和泡利不相容原理？答：全同性原理：由全同粒子所組成的體系中，兩全同粒子相互代換不引起物理狀態(tài)的改變。描寫全同粒子體系狀態(tài)的波函數只能是對稱的或反對稱的，它們的對稱性不隨時間改變。泡利不相容原理：不能有兩個或兩個以上的費米子處于同一狀態(tài)。寫出泡利矩陣的形式及其對易關系。請用泡利矩陣定義電子的自旋算符，并驗證它們滿足角動量

22、對易關系。答：泡利矩陣：關系為：? ? 2i ?；自旋算符?xS? 2 ? ；對易關系為0i；i0S? S? i S?0；對易1S?x，S?yS?x S?yS?yS?x即：S?x， S?y201 0 i 200i0 4ii0012i402i20iS?z請寫出兩個電子體系的波函數。答：按空間態(tài)和自旋態(tài)組合可有四種反對稱態(tài)：空間態(tài)對稱自旋態(tài)反對稱空間態(tài)反對稱自旋態(tài)對稱12nr1mr2nr2mr11221121221221112n r12m r2n r2m r111122211122211111222122112其中H?1 n r1En n r1 ；H?2 m r2Em m r2 。32. 請簡述微

23、擾論的基本思想。答：將復雜的體系的哈密頓量分成與 兩部分。是可求出精確解的，而可看成的微擾。只需將精確解加上由微擾引起的各級修正量，逐級迭代，逐級逼近，就可得到接近問題真實的近似解。確定時，先確定，再用確定。什么是玻色子和費米子？答：由電子，質子，中子這些自旋為體系的波函數是反對稱的，這類粒子服從的奇數倍的粒子組成的全同粒子費米 (Fermi) 狄拉克(Dirac) 統計，稱為費米子 ，1 )以及其它自旋為零，或整數倍的粒子所組成的全同粒子體系的波函數是對稱的，這類粒子服從玻色(Bose) 愛因斯坦統計，稱為玻色子 。什么是隧道效應？請舉例說明隧道效應的應用。答：粒子在其能量E 小于勢壘高度U

24、 0 時，仍然會有部分粒子穿過勢壘的現象叫隧道效應，又叫隧穿效應。隧道效應的應用：1.掃描隧道顯微鏡(STM)是電子隧道效應的重要應用之一。掃描隧道顯微鏡可以顯示表面原子臺階和原子排布的表面三維圖案。在表面物理、材料科學和生命科學等諸多領域中，掃描隧道顯微鏡都能提供十分有價值的信息。2.隧道二極管是一種利用隧道效應的半導體器件，也是隧道效應的重要應用之一。由于隧道效應而使其伏安特性曲線出現負陽區(qū)，因而隧道二級管具有高頻、低噪聲的特點。隧道二級管是低頻放大器、低頻噪聲振蕩器和超高速開關電路中的重要器件。厄米算符具有哪些性質？厄米算符的平均值、本征值、本征函數具有哪些性質？答：厄米算符具有下列性質

25、：a. 兩厄米算符之和仍為厄米算符；b. 當且僅當兩厄米算符A?和 B? 對易時， 它們之積才為厄米算符。因為 A?B?B?A?B?A?。 只有在 A?, B? 0 時，B?A?A?B?， 才有， A?B? A?B?， 即 A?B?仍為厄米算符；c.無論厄米算符A?、B?是否對易，*21i A?B? B?A?d.任何算符總可分解為算符 1 A?B? B?A? 及 1 A?B? B?A? 必為厄米算符，因為21iB?A?21i A?B?21iA?B?B?A?21iA?B? B?A?；11? ? i ? 。 令 ? ? 、 ? ? ， 則 ? 和 ? 均為厄米算符。厄米算符的平均值、本征值、本征函

26、數具有下列性質：厄米算符的平均值是實數；在任何狀態(tài)下平均值均為實數的算符必為厄米算符；厄米算符的本征值為實數。厄米算符在本征態(tài)中的平均值就是本征值。 厄米算符屬于不同本征值的本征函數正交；厄米算符的簡并的本征函數可以經過重新組合后使它正交歸一化；厄米算符的本征函數系具有完備性；厄米算符的本征函數系具有封閉型。簡單討論一下相對論情形和非相對論情形下的德布洛意關系式。2答：對于非相對論情形：k p , p2m0 k2m0相對論情形：E2p2c2 m2c4 ;p 1E2 m02c41m0c2k 2 m02c4cc所以當 kc時，即得到非相對論情形下的公式：Ep2c2m02c4m0c21p2c224h

27、 hh 2 m0 c2 m0c2p2m0E 才有意義 (即能量的絕對值在物理上是沒有意義的，它依賴于“零能量值”的選取)， h E E2 E1 可將常數項m0c2 抵消，此時相對論形式的關系退化為非相對論情形：k ， k 就是非相對論粒子的動能。德布洛意頻率本身不是一個可觀測量，因h此只有德布洛意波長具有物理意義。為什么物質的波動性在宏觀尺度不顯現？答：由于h p ，原因是普朗克常數太小(h 6.6 10 34J.s)，而宏觀尺度的運動動量太大 , 導致波長太小，難以引起可以觀察的物理效應。因為p 2mE , 要減小宏觀尺度運動的動量， 必須減小動能E， 但從物理上考慮E不可能減小到比熱運動能

28、量kBT 更小， 所以必須減小質量。質量的減小對應于尺度的減小。只有把物體尺度減小到微觀尺度，才可能出現較大的物質波波長。 從而引起可以觀察到的物理效應。38. 相對論粒子德布洛意波對應的相速度，群速度分別是多少？（相速度dxvpp dt, 代表相k位傳播的速度。波包是指波動在有限空間中分布。群速度dv 對應波包運動的速度）g dk答：由德布洛意關系：1 vc2 m0v則相速度：又因為：m0vh 1 vc2E mc2m0c2 m0c2h 1 vc2vp2 m0c2h 1 v ch 1 vc22 m0vd dv2 m0vh1 vc3222 m02h1 vc32d所以，群速度：vgdkddvdkdvv ，即在相對論情形下粒子運動速度也對應于波包的群速度。39.答：k22m2mdvgg dkk （對應的才是粒子運動的速度）。 m而相速度：vpk 2m40. 什么是希爾伯特空間？波函數與希爾伯特空間的關系？答： 希爾伯特空間是定義在復數域上的一個有限維或無限維的完備矢量空間。波函數對應于希爾伯特空間中的態(tài)矢。41. 試舉例有哪些實驗揭示了光的粒子性質？哪些實驗揭示了