1、第三章 柯西定理 柯西積分第一節(jié) 復變積分的概念及其簡單性質第二節(jié) 柯西積分定理及其推廣第三節(jié) 柯西積分公式及其推廣 復變函數積分理論是復變函數的核心內容，關于復變函數的許多結論都是通過積分來討論的，更重要的是我們要討論解析函數積分的性質，并給出解析函數積分的基本定理與基本公式，這些性質是解析函數理論的基礎，我們還將得到解析函數的導數仍然是解析函數這個重要的結論。1.1 定義 有向曲線 在討論復變函數積分時，將要用到有向曲線的概念，如果一條光滑或逐段光滑曲線規(guī)定了其起點和終點，則稱該曲線為有向曲線，曲線的方向是這樣規(guī)定的： (1) 如果曲線 是開口弧段，若規(guī)定它的端點 為起點， 為終點，則沿曲

2、線 從 到 的方向為曲線 的正方向（簡稱正向），把正向曲線記為 . 而由 到 的方向稱為負方向（簡稱負向）， 負向曲線記為 .一、復變函數積分的概念(2) 如果 是簡單閉曲線，通?？傄?guī)定逆時針方向為正方向，順時針方向為負方向(3) 如果 是復平面上某一個復連通域的邊界曲線，則 的正方向這樣規(guī)定：當人沿曲線 行走時，區(qū)域總保持在人的左側，因此外部邊界部分取逆時針方向，而內部邊界曲線取順時針為正方向1.2 定義 復變函數的積分 設函數 在給定的光滑或逐段光滑曲線 上有定義，且 是以 為起點， 為終點的一條有向曲線，如圖所示 把 曲線任意分成n個小弧段，設分點依次為 ,在某小弧段 上任意取一點 ，并

3、作和 其中 ，記 的最大長度為 則當n無限增大，且 時，如果無論對C 的分法及 的取法如何， 都有惟一的極限存在，那么稱這個極限值為函數沿曲線C的積分，記作 ，即 我們稱之為復變函數的積分，簡稱復變積分 由此可知，當 且小弧段長度的最大值 時，不論對C的分法如何，點 的取法如何，只要上式右端的兩個和式極限存在，那么左端的和式極限也存在，由于 連續(xù)，則 都是連續(xù)函數，根據曲線積分存在的充分條件，以及曲線積分的定義得到 即我們可以把復積分 的計算化為兩個二元實變函數的曲線積分為便于記憶公式，可把 理解為 ，則 上式說明了兩個問題： (1) 當 是連續(xù)函數，且C是光滑曲線時，積分 一定存在； (2)

4、 可以通過兩個二元實變函數的線積分來計算. 1.3 閉合環(huán)路積分 當C為封閉曲線時，那么沿C 的積分為 并稱為復變函數 的閉合環(huán)路積分（或圍線積分）。 若沿正方向積分， 若沿順時針方向積分呢？二、 復變積分的基本性質 (1)若 沿 可積，且 由 和 連接而成，則 (2) 常數因子 可以提到積分號外，即 (3) 函數和（差）的積分等于各函數積分的和（差），即 (4)若積分曲線的方向改變，則積分值改變符號，即 為 的負向曲線(5)積分的模不大于被積表達式模的積分，即這里 表示弧長的微分，即 證： 因為 ，其中 分別表示曲線 上弧段 對應的弦長和弧長，兩邊取極限就得到（6）積分估值定理 若沿曲線 ，

5、 連續(xù)，且 在 上滿足 ，則 其中 為曲線 的長度證： 由于 在 上恒有 ，所以又 ，則 成立。三、 復變積分的計算典型實例 上面提供了一種復積分的計算方法，即把復積分的計算轉化為兩個二元實函數的曲線積分當曲線積分的積分路徑C由參數方程給出時，復積分又可以轉化為單變量的定積分 例1 計算 ，其中C為從原點到點3+4i的直線段 解： 直線的方程可寫成 或 于是 又因 由高等數學理論，其復積分的實部、虛部滿足實積分與路徑無關的條件，所以 的值不論 是怎樣的曲線都等于 ，這說明有些函數的積分值與積分路徑無關復變積分的計算方法1. 歸為二元函數的第二型積分來計算，計算公式為2. 參數方程的表達形式C:

6、 z=z(t) (t:)3.2 柯西積分定理一、柯西積分定理 早在1825年柯西給出了如下定理，它是復變函數論中的一條基本定理，現(xiàn)稱為柯西積分定理（簡稱柯西定理） 定理 柯西積分定理 如果函數 在單連通區(qū)域 內及其邊界線L上解析（即為在單連通閉區(qū)域 解析），那么函數 沿邊界L或區(qū)域 內任意閉曲線 的積分為零，即 或 證：由于對函數 在閉區(qū)域解析概念的理解，故函數的導數即 在區(qū)域內部及其邊界是存在的，而且可以證明也是連續(xù)的再有 由于函數在閉區(qū)域解析，故滿足C-R條件代入即得 如果我們在該閉區(qū)域 內任選某一單連通閉區(qū)域 ，其邊界為 由上述推導中 將 , 則同理可證明 故結論成立. 這個定理是柯西(

7、Cauchy)于1825年發(fā)表的，古莎(Goursat)于1900年提出了修改，故又稱為柯西古莎定理. 說明：1 根據第二章，函數在單連通區(qū)域D內及閉曲線L上解析，即為在閉區(qū)域 解析，我們應該理解為函數在比邊界稍大一些的區(qū)域內部也是解析的； 2 邊界正方向規(guī)定：當沿邊界線環(huán)行時，其邊界線所包圍的解析區(qū)域始終在左邊，則前進的方向為邊界線的正方向據此規(guī)定，故有界單連通區(qū)域積分的邊界線沿逆時針方向為正方向而對于有界復連通區(qū)域，外邊界取逆時針為邊界線的正方向，內邊界取順時針方向為正方向（注意：對于無界區(qū)域則相反，內邊界取順時針方向為邊界線的正方向）； 3 進一步指出，經修改后的柯西古莎積分定理成立的條

8、件可以弱化為在區(qū)域 內解析，在邊界上連續(xù)以后使用中，當滿足此條件時柯西積分定理仍然成立二、不定積分 定理 由前述定理 知道，解析函數 在單連通域 內的積分只與起點 和終點 有關，假設 是區(qū)域 內連接 和 的兩條簡單曲線，則 和 分別稱為積分的上限和下限，當下限 固定，而上限 在 內變動時，積分 可以看作是上限的函數，記為 對 ，有以下的定理：定理 如果 在單連通域 內處處解析，則 在D內也解析，并且證： 令 則 因為 和 是與路徑無關的，因此 定理 任何兩個原函數相差一個常數 證： 若 均為 的原函數，則 利用原函數這個關系，我們可以得出： 定理 若函數 在單連通域內處處解析，且 為 的一個原函數，那么 其中 , 為 中任意兩點上式稱為復積分的牛頓萊布尼茲公式。三、柯西積分定理推廣到復圍線的情況 不失一般性，取n1進行證明。 （1） （2） 設 L和 為復連通區(qū)域內的兩條簡單閉曲線， 如圖 所示， 在L內部且彼此不相交，以 和L為邊界所圍成的閉區(qū)域 全含于D則對于區(qū)域D內的解析函數 有 總結：單連通和復連通區(qū)域的柯西定理可以表述為： 1 在閉單連通區(qū)域中的解析函數，沿邊界線或區(qū)域內任一閉合曲線的積分為零； 2 在閉復連通區(qū)域中的解析函數，