1、6.3 幾種常用的迭代法1 記 ，A非奇異，且對角元 ，可以把 A 分解為 其中雅可比迭代法方程組Ax=b等價(jià)于由此構(gòu)造迭代公式：其中迭代距陣 和向量 為 稱之為Jacobi 迭代法（簡稱 J 法），稱 為雅可比迭代矩陣。雅可比法的分量形式為由前面的定理知雅可比迭代關(guān)于任意初始向量收斂的充要條件為 ，充分條件為 利用這些判別 J 法的收斂性，有時(shí)不太方便，對于大型方程組，要求出迭代矩陣譜半徑 是不容易的。下面給出一些容易驗(yàn)證收斂性的充分條件，先討論對角占優(yōu)矩陣的性質(zhì)。 定義 1 若 滿足則稱 A 為嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣。若滿足且其中至少有一個(gè)嚴(yán)格不等式成立，則稱 A 為弱對角占優(yōu)矩陣。定義2 設(shè)

2、，若A不能經(jīng)過行置換與相應(yīng)的列置換 化為其中 和 均為方陣，則稱 A 為不可約的，否則稱 A 為可約的。 定理 若A為嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣，或不可約的弱對角占優(yōu)矩陣，則解 方程組 的 J 法關(guān)于任意初始向量收斂。 設(shè) ，這里只給出A為嚴(yán)格對角占優(yōu)陣時(shí)的證明。 對 J法，迭代矩陣 ，易得。由A的嚴(yán)格對角占優(yōu)性，得到 ，所以 J 法收斂。證與雅可比法相應(yīng)的高斯-賽德爾迭代法 在J 法中，計(jì)算 時(shí)，分量 已經(jīng)算出，所以可考慮在J法中的求和分成兩部分，從而得到與雅可比迭代法相應(yīng)的高斯-賽德爾迭代法為這就是Gauss-Seidel 迭代法，簡稱 GS 法。 將上式寫成距陣形式整理為簡單迭代的形式其中迭代矩陣

3、 和向量 為 Jacobi 迭代法和 Gauss-Seidel 迭代法的分量形式供計(jì)算編程用，它們的矩陣形式供研究迭代序列是否收斂等理論分析用。例用法和法分別求解方程組 。解 用 J 法計(jì)有用 GS 法計(jì)算有 取 ，J 法迭代4次的計(jì)算結(jié)果是GS 法迭代4次的計(jì)算結(jié)果是精確解為（1，1，1），從計(jì)算結(jié)果看，本例用 GS 法顯然比用 J 法收斂快，但并不是任何時(shí)候GS法都比J法快，甚至有J法收斂而GS法不收斂的例子。顯然，高斯-賽德爾法關(guān)于任意初始向量收斂的充要條件是另外與雅可比法相仿有如下結(jié)論： 定理 若A為嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣，或不可約的弱對角占優(yōu)矩陣，則解 方程組Ax=b 的G S 法關(guān)于任意

4、初始向量收斂。 例.判別下列方程組用J法和G-S法求解是否收斂解:(1) 求Jacobi法的迭代矩陣因此不能用范數(shù)判斷所以即Jaobi迭代法收斂(2) 求Gauss-Seidel法的迭代矩陣所以Gauss-Seidel迭代法發(fā)散無論是解線性方程組的Jacobi迭代法和GS迭代法都涉及到收斂速度問題如何加快迭代法的速度呢？如何改善迭代法的適用范圍呢？逐次超松弛（SOR）迭代法考慮解線性方程組的Gauss-Seidel迭代法-(1)令因此-(2)上式稱為逐次超松弛法(SOR迭代法),逐次超松弛法(SOR迭代法)的矩陣形式為兩邊乘上D，整理為簡單迭代法的形式為令SOR法化為G-S迭代法G-S法為SO

5、R法的特例, SOR法為G-S法的加速例1.用G-S法和SOR法求下列方程組的解,要求精度1e-6,取初值（0，0，0）解:(1)G-S迭代法gauss_seidel.mx,k=gauss_seidel(a,b,1,1,1,1e-6) 1 1 1 0.7500000 0.3750000 1.5000000 0.5625000 0.5312500 1.5416667 0.6510417 0.5963542 1.6145833 0.7018229 0.6582031 1.6727431. 0.9999933 0.9999923 1.9999926 0.9999943 0.9999935 1.999

6、9937 0.9999952 0.9999944 1.9999946 k = 71x=0.9999950.9999941.999995滿足精度的解迭代次數(shù)為71次(1)SOR迭代法 1 1 1 0.6375000 0.0121875 1.3199063 0.2004270 0.3717572 1.3122805 0.6550335 0.5340119 1.6922848 0.7058468 0.7733401 1.7771932. 0.9999990 0.9999976 1.9999991 0.9999984 0.9999993 1.9999989 0.9999998 0.9999994 1.9999998 0.9999996 0.9999998 1.9999997 k = 24x=1.0000001.0000002.000000滿足精度的