1、第二章 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué) 2-1 動(dòng)量與牛頓運(yùn)動(dòng)定律 一牛頓第一定律、慣性系 牛頓第一定律：“任何物體都要保持其靜止或勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，直到其他物體的作用迫使它改變這種狀態(tài)為止”。 第一定律首先表明，物體都有保持運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不變的特性，這種特性稱為物體的慣性。第一定律還表明，要使物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生變化，一定要有其他物體對(duì)它的作用，這種作用稱為力。 第一定律還定義了一種特殊的參考系慣性系。只有在慣性系中，不受外力作用的物體才會(huì)保持靜止或勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不變，而慣性定律在其中不成立的參考系稱為非慣性系 常見的慣性系：研究地面附近物體運(yùn)動(dòng)時(shí)可選地球?yàn)閼T性系；研究太陽系中行星的運(yùn)動(dòng)時(shí)選太陽為慣性系；研究天體運(yùn)動(dòng)

2、時(shí)，可選多個(gè)恒星或星系參考系為慣性系。不存在絕對(duì)的慣性系。但由于相互作用與距離的平方成反比，只要選為參考系的星系與其它星系間的距離越遙遠(yuǎn)，它就是越嚴(yán)格的慣性系。相對(duì)于某一個(gè)慣性系作勻速直線運(yùn)動(dòng)的任何物體也都是慣性系，反之相對(duì)一慣性系作加速運(yùn)動(dòng)的物體則不是慣性系。二、動(dòng)量、牛頓第二定律 1、動(dòng)量定義：質(zhì)量為m，速度為 的質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量2、牛頓第二定律 物體受到外力作用時(shí)，物體的動(dòng)量將發(fā)生變化，物體所受合外力F等于物體的動(dòng)量隨時(shí)間的變化率。 質(zhì)量m不變，有關(guān)于牛頓第二定律，應(yīng)當(dāng)明確以下幾點(diǎn)： （1）第二定律和第一定律一樣只適用于慣性參照系。（2）第二定律給出了力與加速度之間的瞬時(shí)關(guān)系。即F與a同時(shí)產(chǎn)生，

3、同時(shí)變化，同時(shí)消失。（3）第二定律概括了力的獨(dú)立性原理或力的疊加原理：幾個(gè)力同時(shí)作用在一個(gè)物體上所產(chǎn)生的加速度等于每個(gè)力單獨(dú)作用時(shí)所產(chǎn)生的加速度的矢量和。（4）由于力、加速度都是矢量，第二定律的表示式是矢量式。在解題時(shí)常常用其分量式，如在平面直角坐標(biāo)系X、Y軸上的分量式為 ：在處理曲線運(yùn)動(dòng)問題時(shí)，還常用到沿切線方向和法線方向上的分量式，即：三、牛頓第三定律物體間的作用是相互的。兩個(gè)物體之間的作用力和反作用力，沿同一直線，大小相等，方向相反，分別作用在兩個(gè)物體上。第三定律主要表明以下幾點(diǎn)：（1）物體間的作用力具有相互作用的本質(zhì)：即力總是成對(duì)出現(xiàn)，作用力和反作用力同時(shí)存在，同時(shí)消失，在同一條直線上

4、，大小相等而方向相反。（2）作用力和反作用力分別作用在相互作用的兩個(gè)不同物體上，各產(chǎn)生其效果，不能相互抵消。（3）作用力和反作用力是同一性質(zhì)的力。四、 四種相互作用和力學(xué)中常見的力 1、自然界中的四種相互作用自然界中存在著四種最基本的相互作用，如下表中所示： 相互作用 相互作用的物體 力的強(qiáng)度 力 程強(qiáng)相互作用 重子、介子 1 1015m電磁相互作用帶電粒子 10 2 無限遠(yuǎn) 弱相互作用 大多數(shù)粒子 1013 1018m 引力相互作用 一切物體 1038 無限遠(yuǎn)2、力學(xué)中常見的力萬有引力: 它存在于任何兩個(gè)物體之間。兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)間的引力方向沿二者連線，大小與兩質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量的乘積成正比，與二者距離的平方

5、成反比：其中G 0 = 6.671011 Nm2kg ，為引力常數(shù)。原子核中兩個(gè)相鄰的質(zhì)子之間的萬有引力1034N 相隔1m 的兩個(gè)人之間的引力約107N。 在宇宙天體之間，由于天體質(zhì)量巨大，引力起著主要作用。m1m2r重力：地面附近的物體由于地球的吸引而受到的力叫重力。在重力作用下，任何物體產(chǎn)生的加速度都是重力加速度。忽略地球自轉(zhuǎn)的影響重力近似等于地球的引力彈性力：物體在發(fā)生形變時(shí)，由于力圖恢復(fù)原狀，對(duì)與它接觸的物體產(chǎn)生的作用力叫彈性力。其表現(xiàn)形式有：正壓力、支持力、拉力、張力、彈簧的恢復(fù)力等。在彈性限度內(nèi)f = k x 胡克定律k 叫勁度系數(shù)靜摩擦力: 大小介于0 和最大靜力摩擦力 fS

6、之間，視外力的大小而定。最大靜摩擦力： f S =S N滑動(dòng)摩擦力: f k =k N對(duì)給定的一對(duì)接觸面，S k ，它們一般都小于1。摩擦力：兩個(gè)相互接觸的物體在沿接觸面相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí),或者有相對(duì)運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)時(shí),在接觸面之間產(chǎn)生的一對(duì)阻礙相對(duì)運(yùn)動(dòng)的力,叫做摩擦力。它們大小相等，方向相反，分別作用在兩個(gè)物體上。流體阻力：物體在流體中運(yùn)動(dòng)時(shí)受到流體的阻力。在相對(duì)速率v 較小時(shí)，阻力主要由粘滯性產(chǎn)生，流體內(nèi)只形成穩(wěn)定的層流。此時(shí) f = - k v k 決定于物體的大小和形狀以及流體的性質(zhì)。 在相對(duì)速率較大時(shí)，流體內(nèi)開始形成湍流，阻力將與物體運(yùn)動(dòng)速率的平方成正比： f = - c v2若物體與流體的相對(duì)速度

7、接近空氣中的聲速時(shí)，阻力將按 f v3 迅速增大。常見的正壓力、支持力、拉力、張力、彈簧的恢復(fù)力、摩擦力、流體阻力等，從最基本的層次來看，都屬于電磁相互作用。五、牛頓定律的應(yīng)用應(yīng)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律解題時(shí)，通常要用分量式：如在直角坐標(biāo)系中：在自然坐標(biāo)系中：1、恒力作用的情況這類情況中常有多個(gè)有關(guān)聯(lián)的物體一起運(yùn)動(dòng)。解題步驟如下：分析各物體受力狀況，選擇隔離體，畫受力圖。分析各隔離體相對(duì)一慣性系運(yùn)動(dòng)的加速度，并建立坐標(biāo)系。寫出各隔離體運(yùn)動(dòng)方程分量式以及力和加速度之間的關(guān)系式。解方程組，并對(duì)計(jì)算結(jié)果作簡(jiǎn)短討論。例1、如圖，質(zhì)量 m1= 1kg 的板放在地上，與地面間摩擦系數(shù)10.5 ，板上有一質(zhì)量 m2=

8、 2kg 的物體，它與板間的摩擦系數(shù)2=0.25 。現(xiàn)用f =19.6 N 的力水平拉動(dòng)木板，問板和物體的加速度各是多少？m1m2F解：本題似乎很簡(jiǎn)單，設(shè)m1 和m2 的加速度分別為a1 和a2 ，受力分析、列方程如下：m2gN2f2a2a1m1gN2N1f2f1F代入求出這顯然是錯(cuò)誤的！原因在于誤認(rèn)為m1與m2之間有相對(duì)運(yùn)動(dòng)，而實(shí)際上此時(shí)二者相對(duì)靜止，式 f 2=2N2 是錯(cuò)誤的。去除此式并讓 a1 = a2 可求出：mM例2、如圖，質(zhì)量為M 的斜面放在水平面上，斜面上另一質(zhì)量為m 的滑塊沿斜面滑下，若所有的表面都是光滑的，求二者的加速度和相互作用力。解：選地面為慣性系，對(duì)二者受力分析和運(yùn)動(dòng)

9、分析如圖，注意 m 相對(duì)地面的加速度為mgN2MgN2N1建立坐標(biāo)系x 軸水平向左，y 軸豎直向上。列出有關(guān)運(yùn)動(dòng)方程求出：OyxAmgN例3 一曲桿OA繞y軸以勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，曲桿上套著一質(zhì)量為m的小環(huán)，若要小環(huán)在任何位置上均可相對(duì)曲桿靜止，問曲桿的幾何形狀？ 解：小環(huán)在曲桿上也繞y軸作圓周運(yùn)動(dòng)，受重力mg和支持力N，設(shè)小環(huán)所在位置坐標(biāo)為（x,y），切線傾角為，則有 相除得 或 OyxAmgN積分得 說明曲桿的形狀為一拋物線。 2、變力作用的情形當(dāng)一質(zhì)點(diǎn)受到變力作用時(shí)，其加速度也是隨時(shí)變化的，這時(shí)要列出質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程并用積分的方法求解。例4、質(zhì)量為m 的物體，從高空由靜止開始下落，設(shè)它受到的空

10、氣阻力 f = kv ，k 為常數(shù)，求物體下落的速度和路程隨時(shí)間的變化。 mgvfyyO解：取y 軸豎直向下為正，設(shè)物體由原點(diǎn)開始下落到 y 處時(shí)，速度為 v，受重力和阻力作用，其運(yùn)動(dòng)微分方程為：分離變量并作定積分，有其中為下落的收尾速度。求出：再次積分得例5、設(shè)子彈射出槍口后作水平直線飛行，受到空氣阻力 f = kv2 ，若子彈出槍口時(shí)速率為 v0 ，求：（1）子彈此后速率，（2）當(dāng) v= 0.5 v0 時(shí)，它飛行的距離。解：（1）子彈在飛行過程中，水平方向上僅受空氣阻力，因而運(yùn)動(dòng)微分方程為：積分得積分（2）運(yùn)動(dòng)方程改寫成22 單位制和量綱一、基本單位和導(dǎo)出單位 物理量除了有一定大小外，還有

11、單位。由于各物理量之間都由一定的物理規(guī)律相聯(lián)系，所以它們的單位之間也就有一定的聯(lián)系。 選定少數(shù)幾個(gè)物理量作為基本量，并人為地規(guī)定它們的單位，這樣的單位叫做基本單位。其他的物理量都可以根據(jù)一定的關(guān)系從基本量導(dǎo)出，這些物理量叫導(dǎo)出量。導(dǎo)出量的單位都是基本單位的組合，叫導(dǎo)出單位。二、國際單位制基本單位和由它們組成的導(dǎo)出單位構(gòu)成一套單位制。如果選取不同的基本單位，就產(chǎn)生了不同的單位制。1980年11屆國際計(jì)量大會(huì)通過的單位制叫國際單位制，簡(jiǎn)稱SI。國際單位制的七個(gè)基本量及基本單位：長(zhǎng)度 L米(m) 時(shí)間 T秒(s) 質(zhì)量 M千克(kg)電流安培(A) 物質(zhì)的量摩爾(mol) 熱力學(xué)溫度開爾文(K)發(fā)光

12、強(qiáng)度坎得拉 (cd)在力學(xué)中僅用到L、T、M 這三個(gè)基本量。國際千克原器千克是質(zhì)量單位，等于保存在巴黎國際計(jì)量局中的國際千克原器的質(zhì)量。（第1和第3屆國際計(jì)量大會(huì)，1889年，1901年） 1967年第13屆國際計(jì)量大會(huì)規(guī)定時(shí)間單位用銫-133原子的兩個(gè)超精細(xì)能級(jí)躍遷所對(duì)應(yīng)的輻射的頻率為：=9192631770 Hz 1秒=上述躍遷譜線周期的9192631770倍并依此規(guī)定制作出了銫原子鐘。其它所有物理量均為導(dǎo)出量，其單位為導(dǎo)出單位如：速度 V=S/ t， 單位：米/秒（m/s） 加速度a=V/t，單位：米/秒2（m/s2） 力 F=ma ， 單位：千克米/秒2 (kg m/s2）1983年第

13、17屆國際計(jì)量大會(huì)定義長(zhǎng)度單位用真空中的光速規(guī)定： c = 299792458 m/s因而米是光在真空中1299,792,458秒的時(shí)間間隔內(nèi)所經(jīng)路程的長(zhǎng)度。三、量綱導(dǎo)出物理量對(duì)基本物理量的依賴關(guān)系可以用基本物理量及其冪次的乘積來表示，稱為導(dǎo)出物理量的量綱。我們常用字母L、M和T分別表示長(zhǎng)度、質(zhì)量和時(shí)間三個(gè)基本量的量綱。其他的各物理量的量綱就可用這三個(gè)字母的某種組合來表示如：速度的量綱是 LT1，加速度的量綱是 LT2 力的量綱是 MLT2用量綱可以定出同一物理量不同單位之間的換算因子 如：1牛頓= 1千克米秒2 = 1000克100厘米秒2 = 105克厘米秒2 = 105達(dá)因 1焦耳 =

14、1牛頓1米= 1千克米2 秒2 = 1000克10000厘米2 秒2 = 107克厘米2 秒2 = 107爾格量綱法則： 量綱服從的規(guī)律叫量綱法則。量綱分析是一種常用的定性、半定量分析方法。量綱也可用來校核等式 只有量綱相同的量才能相加、相減、用等號(hào)相聯(lián)系。在復(fù)雜的方程中，每一項(xiàng)必然具有相同的量綱，因此校核各項(xiàng)的量綱，就可以明確等式是否正確。 上式中每一項(xiàng)都具有長(zhǎng)度的量綱 L，因而等式成立。從量綱的分析，可以明確方程中某一比例系數(shù)（實(shí)際上是一物理量）的量綱，從而定出這比例系數(shù)的單位。例：由萬有引力公式可知萬有引力恒量G0的量綱為M1L3T2；在國際單位制中，G0的單位為米3（千克秒2）。 24

15、 動(dòng)量定理、動(dòng)量守恒定律 1、力的沖量力作用在物體上總會(huì)有一段時(shí)間，為描述力對(duì)時(shí)間的累積作用，定義：力的元沖量：力的沖量：其中為物體在一段時(shí)間內(nèi)所受的平均力。一、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理 2、質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理可將牛頓第二定律寫成因而有：在一段時(shí)間內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)所受合外力的沖量，等于在此時(shí)間內(nèi)該質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的增量質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理。分量表示動(dòng)量定理在碰撞及沖擊問題中特別有用，此時(shí)的沖力變化很大，它隨時(shí)間而變化的關(guān)系難以確定，牛頓第二定律無法直接應(yīng)用，但根據(jù)動(dòng)量定理，沖力的沖量具有確定的量值，它等于沖擊（碰撞）前后動(dòng)量的變化。而且還可由沖量求出其平均沖力。注意：動(dòng)量定理也僅在慣性系中才成立，在非慣性系中還要加入慣性力的沖量。t

16、1t2tF例6 一個(gè)質(zhì)量m=0.14 kg 的壘球沿水平方向以v1 =50 m/s 的速率投來，經(jīng)棒打擊后，沿仰角=450的方向飛出，速率變?yōu)関2 =80 m/s 。求棒對(duì)球的沖量大小與方向。如果球與棒接觸的時(shí)間為 t =0.02 s，求棒對(duì)球的平均沖力的大小。它是壘球本身重量的幾倍？a解：如圖所示，設(shè)壘球飛來方向?yàn)閤 軸方向，棒對(duì)球的沖量的大小為x棒對(duì)球的平均沖力此力為壘球本身重量的倍數(shù) F/(mg)=845/(0.149.8)=616設(shè)I 與x 軸夾角為 ，給出二、質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理由多個(gè)質(zhì)點(diǎn)形成的質(zhì)點(diǎn)系中的作用力有外力和內(nèi)力，內(nèi)力總是成對(duì)出現(xiàn)的。對(duì)每個(gè)質(zhì)點(diǎn)寫出動(dòng)量定理：相加得或：在一段時(shí)間內(nèi)

17、，作用在質(zhì)點(diǎn)系上外力矢量和的沖量等于這段時(shí)間內(nèi)系統(tǒng)動(dòng)量的增量。質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理。注意：只有外力才會(huì)改變系統(tǒng)的動(dòng)量，內(nèi)力只會(huì)改變系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量而不會(huì)改變整個(gè)系統(tǒng)的動(dòng)量。三、質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量守恒定律由質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理若則當(dāng)作用在質(zhì)點(diǎn)系上的外力矢量和等零時(shí)，系統(tǒng)動(dòng)量守恒。動(dòng)量守恒定律是自然界普遍適用的一條基本規(guī)律。無論在宏觀運(yùn)動(dòng)的經(jīng)典力學(xué)、微觀粒子運(yùn)動(dòng)的量子力學(xué)及高速運(yùn)動(dòng)的相對(duì)論中都適用。在應(yīng)用動(dòng)量守恒定律時(shí)，要注意以下幾點(diǎn)：動(dòng)量守恒定律只適用于慣性系。 定律中的速度應(yīng)是對(duì)同一慣性系的速度，動(dòng)量和應(yīng)是同一時(shí)刻的動(dòng)量之和。 系統(tǒng)的動(dòng)量守恒，但系統(tǒng)內(nèi)每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量可能發(fā)生變化。 在碰撞、打擊、爆炸等相互作用時(shí)

18、間極短的過程中，由于系統(tǒng)內(nèi)部相互作用力遠(yuǎn)大于合外力，往往可忽略外力，系統(tǒng)動(dòng)量守恒近似成立。 動(dòng)量守恒可在某一方向上成立:mM例7、質(zhì)量為m 的人從小車的一端走到另一端，小車質(zhì)量為M，車長(zhǎng)L，求人與車相對(duì)地面的位移。解：可認(rèn)為人與車這一系統(tǒng)在水平方向上不受外力水平方向動(dòng)量守恒。設(shè)人、車的速度分別為v1 和v2 ，則有MV2v1x2 x1同乘以dt，有積分得：又由圖知例8 一輛停在直軌道上質(zhì)量為M 的平板車上站著兩個(gè)人，當(dāng)他們從車上沿同方向跳下后，車獲得了一定的速度。設(shè)兩個(gè)人的質(zhì)量均為m ，跳下時(shí)相對(duì)于車的水平分速度均為u。試比較兩人同時(shí)跳下和兩人依次跳下兩種情況下，車所獲得的速度的大小。解: 人

19、和車系統(tǒng)的動(dòng)量的水平分量守恒。當(dāng)兩人同時(shí)跳下車時(shí)，設(shè)車后退的速率為 v1 有對(duì)兩人依次跳下的情況，第一人跳下時(shí)，以v2 表示車的速度，則動(dòng)量守恒給出：隨后第二人跳下時(shí)，以v2 表示車最后的速度大小，則動(dòng)量守恒給出:由此得v1和v2相比，可知 v1v226 功、動(dòng)能定理 一、恒力的功 m1，且v20=0，則有 若m1m2，且v20=0，則有完全非彈性碰撞：e =0，碰后兩物體不分開。正碰討論M2mv0LM1例13質(zhì)量為M1 的小車，靜止在光滑水平軌道上，車底用長(zhǎng)為L(zhǎng)的細(xì)繩吊有質(zhì)量為M2的砂袋。現(xiàn)有一質(zhì)量為m的子彈水平射入砂袋內(nèi)，并測(cè)出砂袋的最大擺角為，求子彈的入射速度。解：子彈射入砂袋過程，二者

20、動(dòng)量守恒：砂袋擺角最大時(shí)與小車有共同的水平速率v，且系統(tǒng)在水平方向上不受外力，動(dòng)量守恒：砂袋上擺過程中僅有重力做功，機(jī)械能守恒：求出Mmh例14一小皮球，放在另一大皮球上，二者一起自由下落，反彈后小皮球會(huì)跳得比原來高許多倍。試解釋之。解：大球下落后先與地面發(fā)生完全彈性碰撞，碰后以速率向上反彈。此時(shí)，小球也正以此速率下落，與大球發(fā)生完全彈性碰撞，有：求出反彈高度例15一皮球從距地面h 的高度處自由下落，與地面相撞，恢復(fù)系數(shù)為e 。皮球經(jīng)多次反彈后停下，求皮球所經(jīng)過的總路程。解：皮球第一次碰地后的反彈速率和反彈高度各為：第二次碰后則為第i 次碰后則為因而皮球在停下前走過的總路程為：得29質(zhì)心質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律一、質(zhì)心 質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心代表質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)量分布的平均位置。設(shè)質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量用mi表示，空間坐標(biāo)用(xi，yi，zi)表示，則在直角坐標(biāo)系中，質(zhì)心位置坐標(biāo)的表達(dá)式為： 質(zhì)心的位矢：(m為總質(zhì)量)對(duì)質(zhì)量連續(xù)分布的物體，其質(zhì)心坐標(biāo)為：幾點(diǎn)說明：（1）坐標(biāo)系的選擇不同，系統(tǒng)質(zhì)心的坐標(biāo)也不同。但對(duì)一個(gè)質(zhì)