1、第3節(jié)隨機(jī)事件與概率課程標(biāo)準(zhǔn)要求1.理解樣本點(diǎn)和有限樣本空間的含義.2.理解隨機(jī)事件與樣本點(diǎn)的關(guān)系.3.了解隨機(jī)事件的并、交與互斥的含義.4.掌握隨機(jī)事件概率的運(yùn)算法則.5.會(huì)用頻率估計(jì)概率.必備知識(shí)課前回顧 回歸教材 夯實(shí)四基關(guān)鍵能力課堂突破 類分考點(diǎn) 落實(shí)四翼必備知識(shí)課前回顧 回歸教材 夯實(shí)四基知識(shí)梳理1.有限樣本空間與隨機(jī)事件(1)隨機(jī)試驗(yàn)對(duì) 的實(shí)現(xiàn)和對(duì)它的觀察稱為隨機(jī)試驗(yàn),簡(jiǎn)稱 ,常用字母 表示.(2)有限樣本空間把隨機(jī)試驗(yàn)E的每個(gè)可能的 稱為樣本點(diǎn),全體樣本點(diǎn)的 稱為試驗(yàn)E的樣本空間.一般地,用 表示樣本空間,用 表示樣本點(diǎn),如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)有n個(gè)可能結(jié)果1,2,n,則稱樣本空間=1

2、,2,n為 .隨機(jī)現(xiàn)象試驗(yàn) E基本結(jié)果集合有限樣本空間(3)隨機(jī)事件、必然事件、不可能事件一般地,隨機(jī)試驗(yàn)中每個(gè)隨機(jī)事件都可以用這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間的 來表示,把樣本空間的 稱為隨機(jī)事件,簡(jiǎn)稱事件,并把只包含一個(gè)樣本點(diǎn)的事件稱為 ,隨機(jī)事件一般用大寫字母A,B,C,表示.作為自身的子集,包含了所有的樣本點(diǎn),在每次試驗(yàn)中總有 發(fā)生,所以總會(huì)發(fā)生,稱為必然事件.子集子集基本事件一個(gè)樣本點(diǎn)不會(huì)發(fā)生2.事件的關(guān)系與運(yùn)算定義符號(hào)表示包含關(guān)系一般地,若事件A發(fā)生,則事件B 發(fā)生,則稱事件B包含事件A(或事件A包含于事件B) (或 )相等關(guān)系特別地,如果事件B包含事件A,事件A也包含事件B,即B A且A B,

3、則稱事件A與事件B相等A B并事件(和事件)事件A與事件B 有一個(gè)發(fā)生,這樣的一個(gè)事件中的樣本點(diǎn)或者在事件A中,或者在事件B中,我們稱這個(gè)事件為事件A與事件B的并事件(或和事件) (或 )一定BAAB=至少ABA+B同時(shí)ABABABAB=釋疑互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生的事件,但也可以同時(shí)不發(fā)生;對(duì)立事件是特殊的互斥事件,特殊在對(duì)立的兩個(gè)事件不可能都不發(fā)生,即有且僅有一個(gè)發(fā)生.兩個(gè)事件互為對(duì)立事件的前提是互斥事件.3.概率的基本性質(zhì)(1)性質(zhì)1:對(duì)任意的事件A,都有 .(3)性質(zhì)3:如果事件A與事件B互斥,那么 .(4)性質(zhì)4:如果事件A與事件B互為對(duì)立事件,那么 .(5)性質(zhì)5:如果AB,那么

4、.(6)性質(zhì)6:設(shè)A,B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件,我們有 . .P(A)0必然事件0P(AB)=P(A)+P(B)P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B)P(A)P(B)P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)釋疑4.頻率的穩(wěn)定性(1)在任何確定次數(shù)的隨機(jī)試驗(yàn)中,一個(gè)隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率具有隨機(jī)性.(2)一般地,隨著試驗(yàn)次數(shù)n的增大,頻率偏離概率的幅度會(huì)縮小,即事件A發(fā)生的頻率fn(A)會(huì)逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的概率P(A).我們稱頻率的這個(gè)性質(zhì)為頻率的 .因此,我們可以用 估計(jì)概率P(A).穩(wěn)定性頻率fn(A)重要結(jié)論若事件A1,A2,An彼此互斥,則P(A1A2An)=P(A1)+

5、P(A2)+P(An).對(duì)點(diǎn)自測(cè)1.下列說法正確的是( )A.某廠一批產(chǎn)品的次品率為5%,則任意抽取其中20件產(chǎn)品一定會(huì)發(fā)現(xiàn)一件次品B.氣象部門預(yù)報(bào)明天下雨的概率是90%,說明明天該地區(qū)90%的地方要下雨,其余10%的地方不會(huì)下雨C.某醫(yī)院治療一種疾病的治愈率為10%,那么前9個(gè)病人都沒有治愈,第10個(gè)人就一定能治愈D.擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣,連續(xù)出現(xiàn)5次正面向上,第6次出現(xiàn)反面向上的概率與正面向上的概率仍然都為50%D解析:擲一枚硬幣,每次拋擲所出現(xiàn)的可能性都相等且互不影響,因此D正確.故選D.2.(必修第二冊(cè)P233練習(xí)T1改編)某小組有3名男生和2名女生,從中任選2名同學(xué)去參加演講比賽,事

6、件“至少有一名女生”與事件“全是男生”( )A.是互斥事件,不互為對(duì)立事件B.互為對(duì)立事件,不是互斥事件C.既是互斥事件,也互為對(duì)立事件D.既不是互斥事件也不互為對(duì)立事件解析:“至少有一名女生”包括“一男一女”和“兩名女生”兩種情況,這兩種情況再加上“全是男生”構(gòu)成全集,且不能同時(shí)發(fā)生,故“至少有一名女生”與“全是男生”既是互斥事件,也互為對(duì)立事件.故選C.C3.(2020新高考卷)某中學(xué)的學(xué)生積極參加體育鍛煉,其中有96%的學(xué)生喜歡足球或游泳,60%的學(xué)生喜歡足球,82%的學(xué)生喜歡游泳,則該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例是( )A.62%B.56%C.46%D.42%C

7、解析:不妨設(shè)該校學(xué)生總?cè)藬?shù)為100,既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生人數(shù)為x,則10096%=10060%-x+10082%,所以x=46,所以既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例為46%.故選C.4.某人進(jìn)行打靶練習(xí),共射擊10次,其中有2次中10環(huán),有3次中9環(huán),有4次中8環(huán),有1次未中靶.假設(shè)此人射擊1次,則其中靶的概率約為;中10環(huán)的概率約為.答案:0.90.25.從一箱產(chǎn)品中隨機(jī)地抽取一件,設(shè)事件A=抽到一等品,事件B=抽到二等品,事件C=抽到三等品,且P(A)=0.65,P(B)=0.2,P(C)=0.1,則事件“抽到的不是一等品”的概率為.解析:因?yàn)椤俺榈降牟皇且坏绕贰钡膶?duì)

8、立事件是“抽到的是一等品”,且P(A)=0.65,所以“抽到的不是一等品”的概率為1-0.65=0.35.答案:0.35關(guān)鍵能力課堂突破 類分考點(diǎn) 落實(shí)四翼考點(diǎn)一 事件的關(guān)系1.從裝有兩個(gè)白球和兩個(gè)黃球的口袋中任取2個(gè)球,以下給出了四組事件:至少有1個(gè)白球與至少有1個(gè)黃球;至少有1個(gè)黃球與都是黃球;恰有1個(gè)白球與恰有1個(gè)黃球;恰有1個(gè)白球與都是黃球.其中互斥而不對(duì)立的事件共有( )A.0組B.1組C.2組D.3組解析:中“至少有1個(gè)白球”與“至少有1個(gè)黃球”可以同時(shí)發(fā)生,如恰有1個(gè)白球和1個(gè)黃球,中的兩個(gè)事件不是互斥事件.中“至少有1個(gè)黃球”說明可以是1個(gè)白球和1個(gè)黃球或2個(gè)黃球,則兩個(gè)事件不

9、是互斥事件.中“恰有1個(gè)白球”與“恰有1個(gè)黃球”,都是指有1個(gè)白球和1個(gè)黃球,因此兩個(gè)事件是同一事件.中兩事件不能同時(shí)發(fā)生,也可能都不發(fā)生,因此兩事件是互斥事件,但不是對(duì)立事件.故選B.B2.設(shè)條件甲:“事件A與事件B互為對(duì)立事件”,結(jié)論乙:“概率滿足P(A)+P(B)= 1”,則甲是乙的( )A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件AC4.連續(xù)射擊兩次,每次發(fā)射一枚子彈,設(shè)A=兩次都擊中目標(biāo),B=兩次都沒擊中目標(biāo),C=恰有一次擊中目標(biāo),D=至少有一次擊中目標(biāo),其中彼此互斥的事件是,互為對(duì)立事件的是.答案:A與B,A與C,B與C,B與DB與D對(duì)互斥事件要把握住不

10、能同時(shí)發(fā)生,而對(duì)于對(duì)立事件除不能同時(shí)發(fā)生外,其并事件應(yīng)為必然事件,這些也可類比集合進(jìn)行理解,具體應(yīng)用時(shí),可把所有試驗(yàn)結(jié)果寫出來,看所求事件包含哪幾個(gè)試驗(yàn)結(jié)果,從而斷定所給事件的關(guān)系.解題策略考點(diǎn)二 隨機(jī)事件的頻率與概率例1 (2021江蘇南通調(diào)研)某超市計(jì)劃按月訂購(gòu)一種酸奶,每天進(jìn)貨量相同,進(jìn)貨成本每瓶4元,售價(jià)每瓶6元,未售出的酸奶降價(jià)處理,以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn),每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位:)有關(guān).如果最高氣溫不低于25 ,需求量為500瓶;如果最高氣溫位于區(qū)間20,25),需求量為300瓶;如果最高氣溫低于20 ,需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購(gòu)計(jì)劃,

11、統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù),得下面的頻數(shù)分布表:最高氣溫10,15)15,20)20,25)25,30)30,35)35,40天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計(jì)最高氣溫位于該區(qū)間的概率.(1)估計(jì)六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率;例1 (2021江蘇南通調(diào)研)某超市計(jì)劃按月訂購(gòu)一種酸奶,每天進(jìn)貨量相同,進(jìn)貨成本每瓶4元,售價(jià)每瓶6元,未售出的酸奶降價(jià)處理,以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn),每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位:)有關(guān).如果最高氣溫不低于25 ,需求量為500瓶;如果最高氣溫位于區(qū)間20,25),需求量為300瓶;如果最高氣溫低

12、于20 ,需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購(gòu)計(jì)劃,統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù),得下面的頻數(shù)分布表:最高氣溫10,15)15,20)20,25)25,30)30,35)35,40天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計(jì)最高氣溫位于該區(qū)間的概率.(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤(rùn)為Y(單位:元).當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時(shí),寫出Y的所有可能值,并估計(jì)Y大于零的概率.解題策略利用概率的統(tǒng)計(jì)定義求隨機(jī)事件的概率隨機(jī)事件在一次試驗(yàn)中是否發(fā)生雖然不能事先確定,但是在大量重復(fù)試驗(yàn)的情況下,它的發(fā)生呈現(xiàn)出一定的規(guī)律性,可以用事件發(fā)生的頻率去“測(cè)量”,因此可以通過計(jì)算事

13、件發(fā)生的頻率去估算概率.此類題目的求解方法:先利用頻率的計(jì)算公式計(jì)算出頻率值,然后根據(jù)概率的定義確定頻率的穩(wěn)定值即為概率.針對(duì)訓(xùn)練(2021遼寧沈陽調(diào)研)電影公司隨機(jī)收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù),經(jīng)分類整理得到數(shù)據(jù)如表:電影類型第一類第二類第三類第四類第五類第六類電影部數(shù)14050300200800510好評(píng)率0.40.20.150.250.20.1好評(píng)率是指:一類電影中獲得好評(píng)的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值.(1)從電影公司收集的電影中隨機(jī)選取1部,估計(jì)這部電影是獲得好評(píng)的第四類電影的概率;(2021遼寧沈陽調(diào)研)電影公司隨機(jī)收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù),經(jīng)分類整理得到數(shù)據(jù)如表:電影類型第一類第二類第三類第四

14、類第五類第六類電影部數(shù)14050300200800510好評(píng)率0.40.20.150.250.20.1好評(píng)率是指:一類電影中獲得好評(píng)的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值.(2)隨機(jī)選取1部電影,估計(jì)這部電影沒有獲得好評(píng)的概率;(2021遼寧沈陽調(diào)研)電影公司隨機(jī)收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù),經(jīng)分類整理得到數(shù)據(jù)如表:電影類型第一類第二類第三類第四類第五類第六類電影部數(shù)14050300200800510好評(píng)率0.40.20.150.250.20.1好評(píng)率是指:一類電影中獲得好評(píng)的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值.(3)電影公司為增加投資回報(bào),擬改變投資策略,這將導(dǎo)致不同類型電影的好評(píng)率發(fā)生變化.假設(shè)表格中只有兩類電影的

15、好評(píng)率數(shù)據(jù)發(fā)生變化,那么哪類電影的好評(píng)率增加0.1,哪類電影的好評(píng)率減少0.1,使得獲得好評(píng)的電影總部數(shù)與樣本中的電影總部數(shù)的比值達(dá)到最大?(只需寫出結(jié)論)解:(3)增加第五類電影的好評(píng)率,減少第二類電影的好評(píng)率.考點(diǎn)三 互斥事件、對(duì)立事件的概率例2 某超市有獎(jiǎng)銷售中,購(gòu)滿100元商品得1張獎(jiǎng)券,多購(gòu)多得.1 000張獎(jiǎng)券為一個(gè)開獎(jiǎng)單位,設(shè)特等獎(jiǎng)1個(gè),一等獎(jiǎng)10個(gè),二等獎(jiǎng)50個(gè).設(shè)1張獎(jiǎng)券中特等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)的事件分別為A,B,C.求:(1)P(A),P(B),P(C);例2 某超市有獎(jiǎng)銷售中,購(gòu)滿100元商品得1張獎(jiǎng)券,多購(gòu)多得.1 000張獎(jiǎng)券為一個(gè)開獎(jiǎng)單位,設(shè)特等獎(jiǎng)1個(gè),一等獎(jiǎng)10個(gè)

16、,二等獎(jiǎng)50個(gè).設(shè)1張獎(jiǎng)券中特等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)的事件分別為A,B,C.求:(2)1張獎(jiǎng)券的中獎(jiǎng)概率;例2 某超市有獎(jiǎng)銷售中,購(gòu)滿100元商品得1張獎(jiǎng)券,多購(gòu)多得.1 000張獎(jiǎng)券為一個(gè)開獎(jiǎng)單位,設(shè)特等獎(jiǎng)1個(gè),一等獎(jiǎng)10個(gè),二等獎(jiǎng)50個(gè).設(shè)1張獎(jiǎng)券中特等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)的事件分別為A,B,C.求:(3)1張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)且不中一等獎(jiǎng)的概率.解題策略求復(fù)雜的互斥事件的概率的方法(1)直接法(2)間接法(正難則反)針對(duì)訓(xùn)練 一盒中裝有12個(gè)球,其中5個(gè)紅球,4個(gè)黑球,2個(gè)白球,1個(gè)綠球.從中隨機(jī)取出1球,求:(1)取出1球是紅球或黑球的概率;一盒中裝有12個(gè)球,其中5個(gè)紅球,4個(gè)黑球,2個(gè)白球

17、,1個(gè)綠球.從中隨機(jī)取出1球,求:(2)取出1球是紅球或黑球或白球的概率.備選例題例1 (1)一個(gè)人打靶時(shí)連續(xù)射擊兩次,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是()A.至多有一次中靶B.兩次都中靶C.只有一次中靶 D.兩次都不中靶解析:(1)事件“至少有一次中靶”包括“中靶一次”和“中靶兩次”兩種情況.由互斥事件的定義,可知“兩次都不中靶”與之互斥.故選D.答案:(1)D(2)如果事件A與B是互斥事件,且事件AB發(fā)生的概率是0.64,事件B發(fā)生的概率是事件A發(fā)生的概率的3倍,則事件A發(fā)生的概率為;事件B發(fā)生的概率為.解析:(2)設(shè)P(A)=x,P(B)=3x,所以P(AB)=P(A)+P(B)=x+

18、3x=0.64.所以P(A)=x=0.16,P(B)=3x=0.48.答案:(2)0.160.48例2 某超市為了解顧客的購(gòu)物量及結(jié)算時(shí)間等信息,安排一名員工隨機(jī)收集了在該超市購(gòu)物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù),如表所示:一次購(gòu)物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顧客數(shù)/人x3025y10結(jié)算時(shí)間/(min/人)11.522.53已知這100位顧客中一次購(gòu)物量超過8件的顧客占55%.(1)確定x,y的值,并估計(jì)顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間的平均值;例2 某超市為了解顧客的購(gòu)物量及結(jié)算時(shí)間等信息,安排一名員工隨機(jī)收集了在該超市購(gòu)物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù),如表所示:一次購(gòu)物量1至4件5至8

19、件9至12件13至16件17件及以上顧客數(shù)/人x3025y10結(jié)算時(shí)間/(min/人)11.522.53已知這100位顧客中一次購(gòu)物量超過8件的顧客占55%.(2)求一位顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間不超過2 min的概率.(將頻率視為概率)例3 某險(xiǎn)種的基本保費(fèi)為a(單位:元),繼續(xù)購(gòu)買該險(xiǎn)種的投保人稱為續(xù)保人,續(xù)保人本年度的保費(fèi)與其上年度出險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)聯(lián)如表:上年度出險(xiǎn)次數(shù)012345保費(fèi)/元0.85aa1.25a1.5a1.75a2a隨機(jī)調(diào)查了該險(xiǎn)種的200名續(xù)保人在一年內(nèi)的出險(xiǎn)情況,得到統(tǒng)計(jì)表如表:出險(xiǎn)次數(shù)012345頻數(shù)605030302010(1)記A為事件“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)不高于基本保

20、費(fèi)”,求P(A)的估計(jì)值;例3 某險(xiǎn)種的基本保費(fèi)為a(單位:元),繼續(xù)購(gòu)買該險(xiǎn)種的投保人稱為續(xù)保人,續(xù)保人本年度的保費(fèi)與其上年度出險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)聯(lián)如表:上年度出險(xiǎn)次數(shù)012345保費(fèi)/元0.85aa1.25a1.5a1.75a2a隨機(jī)調(diào)查了該險(xiǎn)種的200名續(xù)保人在一年內(nèi)的出險(xiǎn)情況,得到統(tǒng)計(jì)表如表:出險(xiǎn)次數(shù)012345頻數(shù)605030302010(2)記B為事件“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)但不高于基本保費(fèi)的160%”,求P(B)的估計(jì)值;例3 某險(xiǎn)種的基本保費(fèi)為a(單位:元),繼續(xù)購(gòu)買該險(xiǎn)種的投保人稱為續(xù)保人,續(xù)保人本年度的保費(fèi)與其上年度出險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)聯(lián)如表:上年度出險(xiǎn)次數(shù)012345保費(fèi)/元0.85aa1.25a1.5a1.75a2a隨機(jī)調(diào)查了該險(xiǎn)種的200名續(xù)保人在一年內(nèi)的出險(xiǎn)情況,得到統(tǒng)計(jì)表如表:出險(xiǎn)次數(shù)012345頻數(shù)605030302010(3)求續(xù)保人本年度平均保費(fèi)的估計(jì)值.例4 如圖,A地到火車站共有兩條路徑L1和L2