1、123456 第二章 向量場與線積分以及面積分2.1 向量場以及向量微分與積分定義2.1.1 向量函數(shù)與向量場 倘若對空間內(nèi)某一點(diǎn)集合之每一點(diǎn) P 選定一向量 , 稱此向量在這些點(diǎn)有了一個向量場 , 而且稱 為向量函數(shù)。789定義 2.1.2 極限值存在 對一個向量 之每一鄰域 N 而言 , 存在一 的去心鄰域 D 被包函於向量函數(shù) 之定義域內(nèi), 使得 對每一 D 中的 t 而言皆在 N 中 , 則謂向量函數(shù) 在 的極限為 , 寫作 10我們特別要注意的是 : 不一定要在 的定義域內(nèi) 。 的定義域必須包含 的去心鄰域 。 若存在一向量 ,使得成立 , 則我們才能說 存在。11定義 2.1.3

2、連續(xù)性 若(1) 在 的定義域內(nèi) ; (2)存在 ; (3) , 則謂向量函數(shù)在 為連續(xù)。 我們特別要注意的是 : 一定要在 的定義域內(nèi)。倘若考慮 Cartesian 座標(biāo)系 , 則 可以用 12來表示 , 而且若且唯若 在 為連續(xù) , 則三分量 與 以及 在 為連續(xù)。13定義 2.1.4 可微分性 若極限存在,則稱此向量函數(shù) 在點(diǎn) t 為可微分, 且向量 被稱為是向量函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)。1415定理 2.1.1 向量函數(shù)的微分法則 若 與 以及 均為向量函數(shù) , 且 k 為任意常數(shù) , 則我們有16定義 2.1.5 偏微分 若向量函數(shù)且 與 與 以及 對 n 個變數(shù) 而言均為可微分函數(shù) , 則 對

3、 的一階偏導(dǎo)數(shù)為 17我們要注意的是 , 同理 , 我們也有二階導(dǎo)數(shù)其餘以此類推。18同理 , 若 與 與 以及 對 n 個變數(shù) 而言均為可積分函數(shù) , 則 對 , m =1, 2, , n 的偏積分為 其餘依此類推。19例2.1.1 若向量函數(shù)與 以及 以及解: , 試求202122例2.1.2 試求例題 2.1.1 裡的2324定義 2.1.6 曲線的參數(shù)表示法 考慮 Cartesian 座標(biāo)系 , 則向量函數(shù)定義為一曲線 C 的參數(shù)表示法 , 而變數(shù) t , 被稱為這個表示法的參數(shù)。2526我們必須注意的是:對於實(shí)變數(shù) t 之每一固定值 而言 , 曲線 C 上 必有一點(diǎn)與之對應(yīng) , 且此

4、點(diǎn)的位置向量為 2. 參數(shù)表示法在許多應(yīng)用問題上被使用 , 例如在 力學(xué)問題上 , 此時參數(shù) t 被視為時間。273. 空間曲線的其他形式的表示法為 亦即改寫成 亦即表示兩曲面的交集即為一曲面。28定義 2.1.7 平面曲線與扭曲線 位於空間之一平面上的曲線被稱為一平面曲線 , 非平面曲線者則被稱為一扭曲線。 1. 表示通過位置向量為 之點(diǎn) A 且具有方向為 之直線 L , 其中 與均為常數(shù)向量。此直線 L 為292. 表示 x y 平面上以原點(diǎn) ( 0 , 0 ) 為心且主軸在 x 與 y 軸上的一橢圓若 a=b , 則表示一以原點(diǎn)為圓心且半徑為 a 的一圓。3031定義 2.1.8 簡單曲

5、線與非簡單曲線 一曲線上本身有彼此相交或接觸的點(diǎn) , 這交點(diǎn)被稱為是曲線的多重點(diǎn), 而此曲線稱為多重曲線或非簡單曲線。無多重點(diǎn)的曲線稱為簡單曲線。 例如 , 橢圓與螺旋線均為簡單曲線 , 但是下面曲線函數(shù)不是簡單曲線。323334例 2.1.3 試求經(jīng)過 A ( -3 , 1 , -2 ) 且方向為 之直線的參數(shù)表示式。 例 2.1.4 試求經(jīng)過點(diǎn) A ( 3 , -1 , 5 ) 與點(diǎn) B( 1 , 4 , -2 )之直線的參數(shù)表示式。 解:解:35例 2.1.5 試求直線的參數(shù)表示式解: 令 ,則我們有直線的參數(shù)表示式為36 例 2.1.6 試求曲線的參數(shù)表示式即曲線的參數(shù)表示式為則我們有

6、 解:令37定義 2.1.9 弧長 若曲線 C 可以向量函數(shù) 來表示 , 則此曲線的長度為且函數(shù)稱為是曲線 C 的弧長函數(shù)或簡稱曲線 C 的弧長。 38定理 2.1.3若一平面曲線以 y=f( x ) , z=0 表示之,則 x=a 到 x=b 間的弧長為39 40例 2.1.7 試求圓螺旋線 由( a , 0 , 0 )到( a , 0 , 2c ) 的弧長。41例 2.1.8 試求平面曲線y=cosh x , z=0 由 x=0 到 x=1 的弧長。解 : 42定理 2.1.4 弧長 s 可以被用來當(dāng)做曲線之參數(shù)表示式裡的參數(shù)，亦即4344定義 2.1.10 切線 經(jīng)過曲線 C 上一點(diǎn) P

7、 與另一點(diǎn) Q 之直線 L , 當(dāng) Q 沿此曲線非常趨近於 P 時 , 則此直線 L 為曲線 C 上其一點(diǎn) P 的切線。 假設(shè)曲線 C 可以利用一連續(xù)微分的向量函數(shù) 表示 , t 為任意參數(shù)。令點(diǎn) P 與的位置函數(shù)為 與 , 則經(jīng)過點(diǎn) P 與 Q 的值線 L 與向量的方向相同。45定義 2.1.11 單位切線向量 向量函數(shù)稱為是曲線 C 在點(diǎn) P 的切線向量 , 其方向為在 P 之切線的方向 , 而對應(yīng)的單位向量46稱為 C 在 P 的單位切線向量。 47顯然 , 切線上一點(diǎn) P 之切線的參數(shù)表示式為此處 為曲線的位置函數(shù) , 而 w 為一實(shí)數(shù)參數(shù)。4849例 2.1.9 試求曲線 在點(diǎn) 處之

8、切線的參數(shù)表示式。解: 此曲線在點(diǎn) P 之切線的參數(shù)表示式為50 如果曲線 C 的向量函數(shù)表示為 ,其中 s為弧長 , 則 ( )為一單位向量且51定義 2.1.12 曲率與單位主法線向量以及單位副法 線向量 若曲線 C 以一階導(dǎo)數(shù)與二階導(dǎo)數(shù)均存在且連續(xù)的向量函數(shù) 表示 , 其中 s 為弧長 , 則 稱為曲線 C 的曲率 , 即表示曲線 C 彎曲的程度。若 則 方向的單位向量52稱為 C 的單位主法線向量 , 而向量稱為 C 的單位副法線向量 。 我們必須注意的是: 為長度一定的向量函數(shù) , 即 為常數(shù)53 即 得證垂直於 且 垂直 。54例2.1.10 試求半徑為 a 之圓的曲率。 解: 半

9、徑為 a 之圓的向量函數(shù)為則弧長函數(shù)為55 半徑為 a 之圓的向量函數(shù)可改為即得知曲率為 56定義 2.1.13 扭率 純量函數(shù)被稱為曲線 C 的扭率 , 即表示曲線 C 扭轉(zhuǎn)的程度。 我們必須注意的是 :1. 我們得到57 我們得到 得證 垂直於2. 我們有正交單位向量的右旋三元組又我們得知 與 垂直且 與 垂直且 我們有58又我們有 得證 垂直於 3. 因為 與 平行 , 故有其中 為純量59取 , 則得到扭率60例 2.1.11 試求向量函數(shù)為 之螺旋線的曲率 、 單位主法線向量 、單位副法線向量以及扭率。解:為弧長函數(shù)61 此圓螺線的向量函數(shù)可改寫為 其中 。 因此我們得到62曲率單位

10、主法線向量63單位副法線向量64扭率65定義 2.1.14 速度向量與速率以及加速度向量 令 為在空間內(nèi)運(yùn)動之質(zhì)點(diǎn) P 的位置向量 , 其中 t 為時間 , 則 表示質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動路線為 C 而且稱為此質(zhì)點(diǎn) P 運(yùn)動的速度向量 , 其方向與曲線C 相切而指向質(zhì)點(diǎn) P 運(yùn)動的瞬時方向, 而純量函數(shù)66稱為質(zhì)點(diǎn) P 的速率。速度向量的導(dǎo)數(shù)稱為加速度向量因此加速度的大小可用 來表示 , 其方向與 垂直。67定義 2.1.15 向量函數(shù)被稱為純量函數(shù) f 的梯度 , 其中 ( 讀成 nabla 或 del ) 為微分算式。 68 梯度符號 在工程文獻(xiàn)裡常被看到。因為純量函數(shù) f ( x , y , z )

11、 偏導(dǎo)數(shù)為 f 在三角座標(biāo)軸方向的變化率 , 為了想要尋找 f 在任意其他某方向的變化率 , 因此我們就有了方向?qū)?shù)的構(gòu)想。為了定義方向?qū)?shù) , 我們選定空間內(nèi)的一點(diǎn) P 以及一方向 , 此方向由單位向量 表示 , 令 C 為自點(diǎn) P 指向 方向的射線 , 且令 Q 點(diǎn)距離 P 點(diǎn)的距離為 s , 如圖 2.1.7 所示。因此 , 如果極限69則稱此數(shù)為 f 在 P 點(diǎn)之沿 方向的方向?qū)?shù)。顯然 , 的另一符號為 其中 D 表示微分而 表示方向。 倘若點(diǎn) P 的位置向量 , 則射線 C 可以表示為70 而且 f 有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)得知因此我們得到7172定義 2.1.16 方向?qū)?shù) 函數(shù) f 在

12、 P 點(diǎn)之沿 方向的方向?qū)?shù)為 73例 2.1.12 試求 在點(diǎn) P( 2 , -1 , 3 ) 沿向量 的方向 導(dǎo)數(shù) 。解: 我們有方向?qū)?shù)為7475例 2.1.13 試求 在點(diǎn) P( 0 , 0 , 1 ) 於 方向的方 向?qū)?shù)。解:又 76 我們得到77例 2.1.14 自點(diǎn) P (2 , 1 , -1) 處出發(fā) , 欲使 為最大 , 則方向應(yīng)指向何方? 且其方向?qū)?shù)之最大值為多少?解:78當(dāng) 方向指向時 , f(x , y , z) 的方向?qū)?shù)為最大 , 其大小為79例 2.1.15 若 試求函數(shù) f 使得 。解: 我們有80 把上式對 y 作偏微, 亦即81把上式對 z 做偏微 ,

13、亦即亦即我們得到82定理 2.1.4 令 為一純量函數(shù) , 其一階偏導(dǎo)數(shù)為連續(xù) , 若 f 在點(diǎn) P 的梯度 不為零向量 , 則其長度與方向僅與點(diǎn) P 有關(guān)而與座標(biāo)系的選擇無關(guān)。83定義 2.1.17 切平面與法線 若考慮在曲面 s 上經(jīng)過一點(diǎn) P 之各方向的曲線 , 則這些曲線在 P 點(diǎn)的切線必定位於同一平面上 , 此平面在 P 點(diǎn)與曲面 s 相切,而稱為曲面 s 在點(diǎn) P 的切平面。經(jīng)過 P 點(diǎn)且與切平面垂直的直線稱為曲面 s 在點(diǎn) P 的法線。 8485定理 2.1.5 令 f 為空間一區(qū)域 D 內(nèi)所定義且可微分的一純量函數(shù) , 令 P 為 f 之等值曲面上之 D 內(nèi)的任意點(diǎn)。若 f 在

14、點(diǎn) P 的梯度不為零向量 , 則此梯度的方向則為點(diǎn) P 所在之曲面的法線方向。 86例 2.1.16 試求迴轉(zhuǎn)錐面 在點(diǎn) P( 1 , 0 , 2 ) 的單位法線向量與切平面方程式。解: 令 則 單位法線向量87定義 2.1.18 散度 令 為可為分向量函數(shù) ,而 x, y,z 為空間內(nèi)右旋 Cartesian 座標(biāo)系 , 且令則函數(shù)稱為向量 的散度或以 所定義之向量場的散度。88定義 2.1.19 旋度 令 x , y , z 為空間內(nèi)右旋 Cartesian 座標(biāo)系, 且令為亦可為分向量函數(shù) ,則函數(shù)89稱為向量 的旋度或以 所定義之向量場的旋度定理 2.1.6 散度之不變性 散度之值與空

15、間內(nèi)座標(biāo)系的特殊選擇無關(guān)。定理 2.1.7 旋度之不變性 旋度之長度與方向與空間內(nèi)座標(biāo)系的特殊選擇無關(guān)。 90例 2.1.17 若 試求 與 。解:919293 習(xí) 題試求下列各向量函數(shù) 對於 x , y , , z 的一階偏導(dǎo)數(shù): 94若向量函數(shù) 以及 試求. 試求經(jīng)過點(diǎn) A 且方向為 之直線的參數(shù)表 示式。95四 試求下列直線的參數(shù)表示式:五 試求下列曲線的參數(shù)表示式:96試?yán)檬阶忧虺霭霃綖閍之圓周長。七. 試求下列各曲線的弧長 :半立方拋物線 至 ( 4 , 8 , 0 )。 圓之漸伸線 從( 1 , 0 , 0 )到( -1 , , 0 )。八. 試求下列各曲線在已予 P 點(diǎn)處之切線

16、的參數(shù)表示式 :97九. 設(shè) 為一運(yùn)動質(zhì)點(diǎn)的位置向量 , 其中 t 為時間 , 試描述此質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動路線的幾何形狀 , 並求其速度向量、速度及加速度向量。 98十. 試求下列各 其 f 等於十一. 試求純量函數(shù) f , 使得十二. 自點(diǎn) P( 2 , -1 , 2 ) 處出發(fā) , 欲使 之方向?qū)?shù)為最 大值 , 則方向應(yīng)指向何方?且其方向?qū)?shù)之 最大值為多少?99十三. 試求下列各已知平面在平面在點(diǎn) P 的單位 法線向量。十四. 試求下列各向量函數(shù) 的散度 與旋度。1007.2 線積分與面積分定義2.2.1 平滑曲線 倘若C為簡單曲線且其表示為其中s為C的弧長且 。如果為連續(xù)且對於所有的s而言 存

17、在且連續(xù) ,則稱C為一平滑曲線 , 亦即 , 曲線C上的每一點(diǎn)均有唯一的切線 , 此切線的方向?qū)⒀刂€進(jìn)行而連續(xù)地改變。101定義2.2.2 線積分與積分路線 若 f(x,y,z) 為s的連續(xù)函數(shù)且在平滑曲線C上的每一點(diǎn)都被定義,則被稱為函數(shù)f沿C自A至B的線積分 , A與B分別為曲線C的始點(diǎn)與終點(diǎn)，曲線C被稱為積分路線。 102定理 2.2.1 若 f 與 g 均為連續(xù)函數(shù) , 且其在平滑曲線 C上的點(diǎn)都已被定義 , 則其中二弧 與 具有與 相同的定向。 103例 2.2.1 試計算 之值, 其中 C 為橢圓 之 部份解: 我們有104例 2.2.2 試計算 , 其中 C 為橢圓螺線自點(diǎn)

18、A( 1,0,0 ) 至點(diǎn) B( ) 之部分。解: 105且 C 對應(yīng)於 有106例 2.2.3 試計算 , 其中 C 為 x y 平面 上之直線自點(diǎn) A( 2 , 1 , 0 ) 至 B( 1, -2, 0 ) 的線段。解: 線段 C 可表示為107以及在 C 上有我們得到108例 2.2.4 試計算 其中 C 為在平面 z =2 之內(nèi) (a) 拋物線 自點(diǎn) A( 1, 1, 2 ) 至點(diǎn) B( 2, 4, 2 ) 的弧。 (b) 直線 y=x 自點(diǎn)自點(diǎn) A( 1, 1, 2 ) 至點(diǎn) B( 2 , 2 , 2 ) 的線段。解: (a) 我們有109亦即110(b) y=x , z = 2

19、我們有 亦即 111例 2.2.5 試計算 , 其中 C 的路線為 : 沿 x 軸 , 由點(diǎn) ( 0 , 0 ) 到點(diǎn) ( 1 , 0 ) , 再平行 y 軸 , 由點(diǎn) ( 1 , 0 ) 到點(diǎn) ( 1 , 1 ) 。 解: 1. 沿 x 軸 , 由點(diǎn) ( 0 , 0 ) 到點(diǎn) ( 1 , 0 ) 時 曲線 可表示為 1122. 沿平行線 y 軸 , 由點(diǎn) ( 1 , 0 ) 到點(diǎn) ( 1 , 1 ) 時 曲線 可表示為我們得到113我們得到由1. 2. 得知114定理 2.2.2 Greens 定理(不在平面上用法) 令 R 為 x y 平面上之有界封閉區(qū)域 , 其邊界C 由有線多條平滑線曲

20、線所構(gòu)成。令函數(shù)f ( x , y )與 g( x , y ) 在包函 R 之某定義域內(nèi)的每一點(diǎn)均為連續(xù), 且其偏導(dǎo)函數(shù) 與 亦均為連續(xù), 則我們有其中以反時針方向沿 R 的整個邊界 C 積分為正方向積分。115例 2.2.6 (a)試?yán)?Green s定理 ; (b)以直接積 分法計算 其中 C 為正方形 的邊界且 以 反時針方向為其正方向。解: (a) 由 Greens 定理 得知 與 g( x , y )=3 x , 則116(b) (1)沿 x 軸 , 由點(diǎn) ( 0 , 0 ) 到點(diǎn) ( 1 , 0 ) 時 且 我們有 (2)沿平行線 y 軸 , 由點(diǎn) ( 1 , 0 ) 到點(diǎn) (

21、1 , 1 ) 時 且 我們有117(3) 沿平行線 x 軸 , 由點(diǎn) ( 1 , 1 ) 到點(diǎn) ( 0 , 1 ) 時 且 我們有 (4) 沿 y 軸 , 由點(diǎn) ( 0 , 1 ) 到點(diǎn) ( 0 , 0 ) 時 且 我們有118由 (1)(2)(3)(4) 得知119例2.2.7 (a) 試?yán)?Greens 定理 ; (b) 以直接積分 法計算其中 C 為 與 y=x 所圍成區(qū)域的邊界且以反時針方向為正方向。解: (a) 由 Greens 定理 得知 與, 則120原式121(b) (1) 沿 曲線, 由點(diǎn) ( 0 , 0 ) 到點(diǎn) ( 1 , 1 ) 時, 我們有 122由 (1)(2)

22、 得知(2) 沿曲線 y = x 由點(diǎn) ( 1 , 1 ) 到點(diǎn) ( 0 , 0 ) 時, 我 們有123例 2.2.8 (a) 試?yán)?Greens 定理 ; (b) 以直接積 分法計算其中 C 為橢圓 的邊界且以反時針方向為正方向。124解: (a) 由 Greens 定理 得知 與 , 則125(b) x=2 cos t , y=sin t , 在 C 上我們有 126重要積分表:127我們必須注意：128129例 2.2.9 若 , 且 C 為圓 在第一象限區(qū)域的邊界且以反時 針方向為其正方向 , 試求 130131重要積分表：我們必須注意：若函數(shù) f( x , y , z ) 之一階

23、偏導(dǎo)數(shù)為連續(xù)函數(shù)，且其三個偏導(dǎo)數(shù)在一曲面 s 上的每一點(diǎn)均不全為零，則此曲面 s 可以表示為 f( x , y , z ) =0，而且為 s 的一單位法線向量。132定義2.2.3若向量在 u , v 平面上包含區(qū)域 R 之定義域內(nèi)為連續(xù)函數(shù)，其一階偏導(dǎo)數(shù) 與亦為連續(xù)函數(shù)， R 內(nèi)的每一封閉曲線都可以連續(xù)地收縮成為 R 內(nèi)的任一點(diǎn)而不離開，並且 R 內(nèi)每一點(diǎn)均滿足以及倘若 為某一曲面 s 上之點(diǎn)的位置向量，則此曲面 s 可以用參數(shù)表示法133例 2.2.12 試找出下列曲面之另一個表示形式 (a) 橢圓面 我們得知此曲面為134例 2.2.13 試找出下列曲面的參數(shù)表示法: (a) x + y

24、 + z=3 平面 ; (b) 拋物柱 ; (c) 橢圓柱解:135定義 2.2.4 平滑曲面與分段平滑曲面 一平滑曲面 s 為具有唯一法線且其方向連續(xù)地隨 s 上之點(diǎn)而改變的曲面。一分段平滑曲面為可以分割為有限多個平滑部份的曲面。例如 , 一球面為平滑曲面 , 而一立方體的邊界面為分段平滑曲面。136定義 2.2.5 切平面 線性獨(dú)立的二向量所決定得平面稱為 s 在對應(yīng)點(diǎn) P 的切平面 , 此平面在 P 切於 s , 故包函經(jīng)過 P 且在上之任一曲線在該點(diǎn) P 的切線。與137定義 2.2.6 法線與單位法線向量 經(jīng)過點(diǎn) P 且垂直於經(jīng)過該點(diǎn) P 之切平面的直線, 稱為 s 在 P 的法線

25、, 而單位向量稱為 s 在點(diǎn) P 的單位法線向量。 138定理 2.2.3 若 s 為用向量函數(shù) 所表示的一平滑曲面 , 則 s 在點(diǎn) P 之切平面可表為 。 139例 2.2.15 試 求出下列曲面在點(diǎn) 的切平面解: (a) 點(diǎn)140(b) 令經(jīng)過點(diǎn)的切平面為141經(jīng)過點(diǎn)的切平面為142定義 2.2.7 一曲面 的面積可表示為R 為對應(yīng)於該曲面之u ,v 平面內(nèi)的區(qū)域 , 則稱為面積元素。 143例 2.2.16 試求下列各曲面的面積解: (a) 曲面的位置向量為且 144145(b) 曲面的位置向量為曲面的面積為146147曲面的面積148定義 2.2.8 面積分 若 f ( x , y

26、, z ) 在曲面 s 上為連續(xù)函數(shù) , 則被稱為函數(shù) f ( x , y , z ) 在曲面 s 上的面積分。 149我們必須注意： 若 s 以向量函數(shù)表示為參數(shù)式，則 若 s表為 z = g( x , y ) 的形式，則其中 為曲面 z = g( x , y ) 在平面 x y 上的正向投影。1503. 若s 為一平滑曲面，且 P為s 上的任一點(diǎn)，則我們可以選取 s在點(diǎn)P之單位法線向量的方向為s在點(diǎn)P的正法線方向，顯然選取有兩種可能性。151定義 2.2.9 平滑曲面的可定向 平滑曲面 s 的正法線方向 , 當(dāng)其在 s 上任一點(diǎn) P 為已知時 , 可以以唯一且連續(xù)的方式擴(kuò)展到全曲面 , 亦

27、即當(dāng)曲面 s 的正法線沿一曲線 C 自 連續(xù)移動而返回 時，則方向?qū)⒌狗催^來 , 如此則稱曲面 s 為可定向。 152定義 2.2.10 分段平滑曲面的可定向 若一分段平滑曲面 s 的每一平滑部份可以定向 , 且能使沿此兩部份 與 之每一共同邊界 對於 的正方向恰與 對於的正方向相反時 , 則稱 s 為可定向。153例 2.2.17 試求 , 其中 154155156157158159160161162定理 2.2.4 Gauss 散度定理 令R為空間內(nèi)一封閉有界的區(qū)域 , 且其邊界為分段平滑的可向曲面 s 。令 在包含R之某定義域內(nèi)為連續(xù)函數(shù)且有連續(xù)的一階偏導(dǎo)函數(shù), 則其中 為 在s對於R之

28、向外法線方向的份量 , 而 為s的向外單位法線向量。163我們必須注意 :設(shè) s 為可定向曲面，則我們可以選定單位法線向量 而將 s 加以定向。令 表示與正 x , y 及 z 軸之間的夾角，則可得 令 為在 s上之每一點(diǎn)均有定義且連續(xù)的函數(shù)，則我們依其定義可得 164亦即令 則我們有165例 2.2.18 試計算 其中所組成的封閉曲面。166 平行六面體的表面且167168169170171172173174考慮 Gauss 散度定理則我們可以得到下列的基本性質(zhì):175 176 由 2. 與 3. 得到177178定義 2.2.11 調(diào)和函數(shù) 若 f 滿足 Laplacian 方程式且其二階

29、偏導(dǎo)函數(shù)在 D 內(nèi)為連續(xù) , 則此函數(shù) f 稱為一調(diào)和函數(shù)。 179由散度定理得知 :令 R 在空間內(nèi)為封閉有界區(qū)域，令 f 與 g 在值域包含 R 時為調(diào)和函數(shù)，則180181定理 2.2.5 Stokes 旋度定理 令 s 為空間內(nèi)之分段平滑的定向曲面 , 且令 s 的邊界為分段平滑之簡單封閉曲線 C 。令 為連續(xù)的向量函數(shù)且其一階偏導(dǎo)函數(shù)在包函 s 之空間一定義域內(nèi)為連續(xù)函數(shù) , 則其中 在 s 之單位向外法線方向的分量 , 且 為 在 C 之切線向量方向的分量。 182定理 2.2.6 令 在一定義域 D 內(nèi)為一連續(xù)可微分的向量函數(shù)，此一定義域 D 在平面上包含邊界 C 為一分段平滑簡

30、單封閉曲線的一單連有界的封閉區(qū)域 s ，則 Greens 定理即為 Stokess 定理 的特例。 183184例 2.2.19 試計算其中 正方形頂點(diǎn) (0,0,0) , (1,0,0) , (1,1,0) , (0,1,0)185解:186187188例2.2.20 相對於空間右旋 Cartesian 座標(biāo)系 , 試?yán)?stokes 定理計算下列各 的交線 , 從原點(diǎn)視之為順時針指向。 之 交線 , 方位由原點(diǎn)透視為順時針方向。189解: (a) C 在平面 z = x+3 或 zx3 =0 上 , 且 垂直此平面。 令 f =z x3 則190191192193194195 C 在平面

31、 z = y+1 上 令 f(x,y,z) = z-y-1 由原點(diǎn)透視為順時針方向196197198定義 2.2.12 恰當(dāng)微分 對於三變數(shù)的一階微分形式而言 , 如果在定義域 D 內(nèi)存在亦可微分函數(shù)的微分使得滿足，則稱形式( 2.2.1 ) 在 D 內(nèi)為恰當(dāng)或恰當(dāng)微分。 199定理 2.2.7 恰當(dāng)性與路徑無關(guān) 令 f ( x,y,z ) 與 g( x,y,z ) 以及 h( x,y,z ) 在空間區(qū)域 D 內(nèi)為連續(xù) , 若且唯若微分形式 f dx + g dy + h dz在 D 內(nèi)為恰當(dāng) , 則線積分 。 200定理 2.2.8 恰當(dāng)性與路線無關(guān)的判斷準(zhǔn)則 令 f ( x , y , z

32、 ) 為在空間區(qū)域內(nèi)具有連續(xù)一階偏導(dǎo)函數(shù)的連續(xù)函數(shù) , 若且唯若線積分與 D 內(nèi)的積分路徑 C 無關(guān) ( 因此 , f dx + g dy + h dz 在 D 內(nèi)為恰當(dāng) ) , 則在 D 內(nèi)有此處 , 亦即我們有 201例 2.2.21 試判別下列微分形式是否為恰當(dāng): (a) y z dx + x z dy + x y dz (b) y cos x y dx + x cos x y dy + sin z dz (c)解: 202203204例 2.2.22 試計算其中 C 為由點(diǎn) P ( 0 , 0 , 1 ) 到點(diǎn)的路線。205206 此線積分符號內(nèi)的形式為恰當(dāng)把上式對 y 作偏微則必等於 (2) 式 , 207因此我們有把上式對 z 作偏微分則必等於 (3) 式 , 208因此我們得到亦即209例 2.2.23 試計算其中 C 為由點(diǎn) P ( 0 , 0 , 0 ) 到點(diǎn) 的路線