1、第第6 6章章 圓軸扭轉時的強度與剛度計算圓軸扭轉時的強度與剛度計算v 第一節(jié) 扭轉的概念和實例v 第二節(jié) 扭矩和扭矩圖v 第三節(jié) 圓桿扭轉時的應力和變形v 第四節(jié) 圓桿扭轉的強度和剛度計算v 本章小結第一節(jié) 扭轉的概念和實例受力特點：一對力偶矩相等,轉向相反，作用在垂直于桿軸線的平面內的外力偶。變形特點：使相鄰截面繞桿軸線發(fā)生相對旋轉變形。扭轉實例：機器傳動軸，鉆桿，水電站機組中機動軸。第二節(jié) 扭矩和扭矩圖一、外力偶矩：傳遞軸的傳遞功率、轉速與外力偶矩的關系： nNmp (N.m)n)(P7024N.mnP9549馬力千瓦 其中：P 功率，千瓦（kW） n 轉速，轉/分（rpm）v 1.截開

2、： 2.代替： 扭矩Mn-當桿受到外 力偶矩作用而發(fā)生扭轉變形 時，在桿橫截面上將同時產生相應內力矩，稱為扭矩。 記為： Mn 扭矩符號規(guī)定： 右手螺旋定則。v 3.平衡：mMmMmnn0:0M1mmM2M3M1TM2M3T(a)(b)(c)扭矩扭矩 當軸上的外力偶矩確定以后，即可用截面法研究橫截面上的內力。以圖6（a）為例 由力偶平衡條件可知：m-m截面上必須有一個內力偶矩與外力偶矩1平衡，此內力偶矩稱為扭矩，用符號T表示，T的單位為Nm。如圖6（b） 由m=0得 110MTTM 若取m-m橫截面的右端部分為研究對象，畫出受力圖, 如圖6(c)所示。可求得m-m橫截面上的扭矩T，顯然，T與T

3、大小相等，方向相反，即為作用與反作用關系。 由m=0得T+2-M3=0 T=M3-M2(M1=M3-M2) 圖7扭矩的正負規(guī)定： 用右手螺旋法則 如圖7所示扭矩的正負規(guī)定扭矩圖扭矩圖 通常圓軸上各橫截面上的扭矩是不相同的。為了直觀地表示圓軸上扭矩的作用情況，把圓軸的軸線作為x軸（橫坐標軸）， 以縱坐標軸表示扭矩T，這種用來表示圓軸橫截面上扭矩沿軸線方向變化情況的圖形稱為扭矩圖。 【例】 繪出圖8(a)所示的懸臂梁的扭矩圖。 圖 8 222000NmB500Nm500NmT122T2B2000Nm1111500NmCT(Nm)O500Nm1500Nmx(a)(b)(c)(d)CA 解解 (1)

4、計算梁上各段橫截面上的扭矩。 因為是懸臂梁，可取截面的自由端部分BC段, 如圖8（b）所示。 由平衡方程T1-500=0 得T1 =500 Nm AB段：如圖8（c）所示。T2+2000-500=0T2 =-1500 Nm (2) 繪制扭矩圖如圖8(d)所示。 【例例】 已知一傳動軸如圖9 (a)所示，主動輪A上輸入功率為15 kW，B、C輪為輸出輪，輸出輪B上輸出功率為10 kW， 軸的轉速為n=1000 r/min。試求各段軸橫截面上的扭矩，并繪出扭矩圖。 解解 (1) 計算外力偶矩M。 mNMmNMBA49.95100010954924.1431000159549 方向與軸的轉向相同 方

5、向與軸的轉向相反 (2) 計算扭矩T。由圖9 (b)可得 T1+MA=0 T1= -MA=-143.24Nm 由圖9 (c)可得 T2+MA-MB=0 T2=MB-MA=-47.75Nm (3) 繪制扭矩圖如圖9(d)所示。由圖可知，AB段所承受的扭矩最大，其值為-143.24 Nm。 圖 9AMA1111T122MBMCBCMAMAMB22T20 x143.24 BNm47.75Nm(a)(b)(c)(d)T一 實心圓桿的扭轉1 觀察變形現(xiàn)象： 2 變形現(xiàn)象： （1）縱線在變形后近似為直線，但相對于原位置轉了一個 角。 （2）環(huán)線變形后仍相互平行，產生了剪應變。3 推論：（1）圓桿在扭轉后橫

6、截面保持為垂直桿軸線的平面，且大小、形狀不變，半徑為直線。實物圖ABOMMOBA扭轉角（扭轉角（）：）：任意兩截面繞軸線轉動而發(fā)生的角位移。剪應變（剪應變（）：直角的改變量。純剪切薄壁圓筒扭轉時的切應力軸線周長長度無變化含軸線的縱向截面無正應力橫截面無正應力橫截面只有剪應力qq 截面圓周上的內力矩rr 2:0 xMrrMe222rMe切應力互等定理切應力互等定理：在互相垂直的兩個平面上，切應力必然成對存在，且數(shù)值相等；兩者都垂直于兩個平面的交線，方向則共同指向或背離這一交線。右面左面與右面的切應力數(shù)值相等，但方向相反。=單元體的上、下、左、右四個側面上只有切應力，沒有正應力。純剪切狀態(tài)：22

7、rMedxdy)(dydx)( 切應變 剪切胡克定律Alr=lr左面與右面的剪力等值、反相，組成了力偶。二 剪應力計算： 1 幾何關系： 2 物理關系： 3 靜力關系：扭轉剪剪應力公式：應力公式： G ddGIMpndGIlMpnpnpnpWMIMmaxG稱為剪切彈性模量 G與E具有相同得量綱。MPa 應力分布應力分布（實心截面）（空心截面）工程上采用空心截面構件：提高強度，節(jié)約材料，重量輕，結構輕便，應用廣泛。 確定最大剪應力：確定最大剪應力：pnIM由知：當max , 2dR)2 ( 22 maxdIWWMdIMIdMptnpnpn令nnWMmaxW 抗扭截面系數(shù)（抗扭截面模量）， 幾何量

8、，單位：mm3或m3。對于實心圓截面：332016D.DRIWpt對于空心圓截面：)-(12016)1 (4343D.DRIWpt 三 截面極慣性矩；抗扭截面模量 對圓截面： 對圓環(huán)截面：441 .032DDIp332 . 016DDWp444411.0132DDdDIp434312 .0116DDWp4420221032 d2 dD.DAIDApDdO 強度計算： 1 強度條件： 塑性材料： 脆性材料： 2 強度計算的三個方面： a 強度校核 b 截面選擇 c 許可荷載確定 PnWMmax 6 . 05 . 0 0 .18 .0。（1 ）計算扭矩 ， 由平衡條件，得 （2） 校核強度 由公式

9、 ，得 所以，滿足強度要求。nMmKNmMn.5 . 2 PnWMmax MPaMPadMWMnpn605910616105 . 216232max6.6 圓軸扭轉時的剛度條件一、相對扭轉角： 圓軸扭轉時兩個截面繞軸線相對轉動的角度，稱為這兩個截面的相對扭轉角。例如機器中的軸，如果變形過大就會影響機器的精度或在運轉中產生較大的振動。因此，必須對扭轉變形加以限制，通常限制單位長度扭轉角的最大值 不超過某一允許值 ，即應滿足下面所述的剛度條件。 max 1、扭轉時的變形、扭轉時的變形由公式pnGIMx dd 知：長為長為 l一段桿兩截面間相對扭轉角一段桿兩截面間相對扭轉角 為值不變）若 ( d d

10、0TGIlMxGIMpnlpn二、剛度計算二、剛度計算2、單位扭轉角、單位扭轉角 ：(rad/m) dd pnGIMx /m)( 180 dd pnGIMx 或3、剛度條件、剛度條件 (rad/m) maxpnGIM /m)( 180 maxpnGIM 或GIp反映了截面抵抗扭轉變形的能力，稱為截面的抗扭剛度截面的抗扭剛度。 稱為許用單位扭轉角。剛度計算的三方面：剛度計算的三方面： 校核剛度： 設計截面尺寸： 計算許可載荷： max max GM Inp max pnGIM 有時，還可依據(jù)此條件進行選材。 （1）剛度條件： 一般規(guī)定 精密機器的軸 一般傳動軸 精度要求不高的軸 （2）剛度計算的

11、三方面： a剛度校核 b荷載確定 c截面選擇 180pnpnGIMGIM m/)50. 025. 0(0 m/) 0 . 150. 0 (0 m/)50. 20 . 1 (0例例 1 1 如圖示其機器傳動軸。已知輪B的輸入功率 輪A、C、D的輸出功率為 軸的轉速n=500r/min，許用剪應力 剪切彈性模量G=80Gpa.試設計軸的直徑。解解（1）計算外力偶矩： KwNB30,5,10,10kwNkwNkwNDcA ,/1,400mMpamNnNmBB94.5725003095509550mNnNmAA74.2865001595509550mNnNmcc89.1905001095509550m

12、NnNmDD49.95500595509550 (2)作扭矩圖 用截面法，計算各段扭矩 AB段扭矩 BC段扭矩 CD段扭矩 其最大扭矩的絕對值為mNMn47.2861mNmmMBAn47.28694.57247.2862mNmMDn49.953mNMN47.286max （3）由強度條件，得 故求得直徑為 （4）由剛度條件，得 故求得直徑為 按剛度要求取軸的直徑為 180321804maxmaxmaxDGMGIMnpn 1108018047.28632180322642maxGMDnmmm38038. 0mmD38（一）扭轉是桿件四種基本變形之一，本章主要計論圓截面等 直 桿的扭轉。（二）扭轉時桿所受的外力是作用在垂直于桿軸線平面內的外 力偶。變形的特征是桿件的橫截面繞桿軸線作相對運動。（三） 扭轉時桿件橫截面上的內力，可用截面法求得。它是 作用 在橫截面所在平面的內力偶，稱為扭矩。（四） 圓軸扭轉時，變形符合平面假設。