1、第第十十章章 正正弦弦穩(wěn)穩(wěn)態(tài)態(tài)分分析析 從從8-8 看出，線性時不變動態(tài)電路看出，線性時不變動態(tài)電路在正弦信號激勵下，若電路的特征根在正弦信號激勵下，若電路的特征根為負(fù)，其響應(yīng)中的固有響應(yīng)，隨時間為負(fù)，其響應(yīng)中的固有響應(yīng)，隨時間將逐漸衰減為零，而最后只剩強(qiáng)制響將逐漸衰減為零，而最后只剩強(qiáng)制響應(yīng)（即正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)） ，滿足這種條件應(yīng)（即正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)） ，滿足這種條件的電路稱為正弦穩(wěn)態(tài)電路。本章的重的電路稱為正弦穩(wěn)態(tài)電路。本章的重點(diǎn)是介紹如何用向量法分析正弦穩(wěn)態(tài)點(diǎn)是介紹如何用向量法分析正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。響應(yīng)。 10-1 正正弦弦電電壓壓和和電電流流 一一、 正正弦弦電電壓壓和和電電流流的的表表達(dá)達(dá)式式

2、眾眾所所周周知知， 正正弦弦電電壓壓是是周周期期的的按按正正弦弦規(guī)規(guī)律律隨隨時時間間交交變變的的電電壓壓。 本本書書采采用用 cos 函函數(shù)數(shù)表表示示正正弦弦電電壓壓和和電電流流， )tcos(I) t ( iim 式中式中 Im是正弦電流的振幅，表示正弦波是正弦電流的振幅，表示正弦波變化范圍的最大值；變化范圍的最大值； 是角頻率，表示每是角頻率，表示每秒變化的弧度數(shù)， 單位為弧度秒變化的弧度數(shù)， 單位為弧度/秒 （秒 （rad/s） 。） 。 由由 于于 正正 弦弦 波波 的的 一一 個個 周周 期期 對對 應(yīng)應(yīng) 于于 2，即即 2T，所所 以以 與與 周周 期期 T 和和 頻頻 率率 f

3、的的 關(guān)關(guān) 系系 為為 f2T2 ) t ( imImI 2T T 2)rad( t ti i 是是正正弦弦電電流流的的初初相相， 代代表表) t ( i在在t=0的的相相位位。若若i 為為正正值值，則則) t ( i的的正正最最大大值值發(fā)發(fā)生生在在 t=0 以以前前， 若若i 為為負(fù)負(fù)值值， 則則) t ( i的的正正最最大大值值發(fā)發(fā)生生在在 t=0之之后后。 i(t) 2 tIm-Imo例如例如)90tcos(ItsinI) t ( iomm I IM M， 稱為正弦波的三要素，若給出稱為正弦波的三要素，若給出表達(dá)式或波形，即可確定這三要素；表達(dá)式或波形，即可確定這三要素；若給出三要素，則

4、可寫出表達(dá)式或繪若給出三要素，則可寫出表達(dá)式或繪出波形。出波形。 ,例例 設(shè)設(shè)V)30t2sin(10) t (u0 ，求以，求以 cos函數(shù)表示的初相函數(shù)表示的初相u 。 解：解：)9030t2cos(10) t (u00 V)60t2cos(10o 0u60 例例 求求A)6t 2sin(2)4t 2cos() t ( i 的的 Im, 和和 。 解：原式解：原式t2sin025. 1t2cos29. 06sint2cos26cost2sin24sint2sin4cost2cos) t ( i )29. 0025. 1tgt2cos()025. 1()29. 0(122 )8 .105t2

5、cos(06. 10 0m8 .105, s/rad2,06. 1I 二二、同同頻頻率率正正弦弦波波的的相相位位差差 兩點(diǎn)說明：兩點(diǎn)說明： （1）規(guī)定相位差）規(guī)定相位差 ； （2）若算出）若算出 ，則實際相位差應(yīng)為，則實際相位差應(yīng)為 2 設(shè)設(shè))tcos(I) t (i1m11 )tcos(I) t (i2m22 則則2121)t()t( 稱稱為為) t (i1與與) t (i2的的相相位位差差，即即同同頻頻率率正正弦弦波波的的相相位位差差就就等等于于它它們們的的初初相相差差。 若若0 ，同同相相；0 ，1i超超前前2i； 0 ，1i滯滯后后2i； ，反反相相。 例例 設(shè)設(shè)A)43tcos(3)

6、 t (i1 ， A)2tcos(5)t(i2 求求1i與與2i的相位差的相位差 解：解： 45)2(43 則則43245 i11i滯滯后后2i43 ，或或2i超超前前1i43 。 例例 設(shè)設(shè)A)30t100cos(10) t ( i0 ， V)15t100sin(2) t (u0 求求) t ( i與與) t (u的的相相位位差差 。 作作業(yè)業(yè)： （P440 頁頁）10-2，10-5，10-6 解解： )105t100cos(2)9015t100cos(2)t (u000 V)75t100cos(2)180105t100cos(2000 000457530 （ ) t ( i滯滯后后) t

7、(u ） 三三、正正弦弦電電壓壓電電流流的的向向量量表表示示 tsinjtcosetj （式式中中1j ） 即即)eIm(tsin),eRe(tcostjtj 正正弦弦電電壓壓： eURe)tcos(U) t (u)t( jmm eURee .eURetjmtjjm 式中的復(fù)數(shù)式中的復(fù)數(shù) mjmmUeUU稱為正弦電壓稱為正弦電壓) t (u的相量。的相量。 （此相量是用極坐標(biāo)表示的復(fù)數(shù)，（此相量是用極坐標(biāo)表示的復(fù)數(shù)，也可用直角坐標(biāo)表示該復(fù)數(shù)，如圖所示） 。也可用直角坐標(biāo)表示該復(fù)數(shù)，如圖所示） 。 即相量是由正弦量的振幅和初相所構(gòu)成的即相量是由正弦量的振幅和初相所構(gòu)成的一個復(fù)數(shù)。其中振幅是復(fù)數(shù)的

8、模，初相是復(fù)一個復(fù)數(shù)。其中振幅是復(fù)數(shù)的模，初相是復(fù)數(shù)的幅角。數(shù)的幅角。 給給出出正正弦弦量量的的表表達(dá)達(dá)式式，就就可可確確定定該該正正弦弦量量的的相相量量，反反之之，給給出出一一個個相相量量及及其其 ，就就可可寫寫出出正正弦弦量量的的表表達(dá)達(dá)式式。 +jo sinjUm mmUU cosUm+jo sinUm mmUU1 cosUm sinjUm mmUU cosUm例例如如 A605IA)60t314cos(5) t ( i0m0 V505UtV314cos5) t (u0m 又如又如 A)60t2sin(10) t ( i0 A)150t2cos(10) t ( i0 A15010I0m

9、以上各式中的符號“以上各式中的符號“”是表示左邊的正弦”是表示左邊的正弦量與右邊的相量是相互對應(yīng)關(guān)系，即量與右邊的相量是相互對應(yīng)關(guān)系，即) t ( i的相的相量是量是mI，若已知，若已知A605I0m ，則所對應(yīng)的正弦，則所對應(yīng)的正弦電流為（設(shè)電流為（設(shè)s/rad314 ） A)60t314cos(5eIRe) t ( i0t314jm ) t ( i與與mI不能寫成等號。不能寫成等號。) t ( i是時域表達(dá)是時域表達(dá)式，而式，而mI常稱為頻域表達(dá)式。常稱為頻域表達(dá)式。 例例：設(shè)設(shè)已已知知V305U0m ，且且 2 V1505U0m mU所所代代表表的的正正弦弦電電壓壓為為 V)150t2c

10、os(5) t (u0 正弦量之間的運(yùn)算與相量之間的運(yùn)算關(guān)系有正弦量之間的運(yùn)算與相量之間的運(yùn)算關(guān)系有如下引理：如下引理：(1)唯一性引理唯一性引理設(shè)設(shè)i i1 1(t) I(t) I1m1m , i , i2 2(t) I(t) I2m2m若若i1(t)=i2(t), 則則I1m=I2m反之，若反之，若I1m=I2m, 則則 i1(t)=i2(t) 9 (2) (2) 線性引理線性引理 設(shè)設(shè)i1(t) I1m , i2(t) I2m則則 a1i1(t)+a2i2(t) a1I1m+a2I2m (3).微分引理微分引理 設(shè)設(shè)mI) t ( i eIjReeIdtdReeIRedtddtditjm

11、tjmtjm mIjdtdi , m222I)j (dtid mnnnI)j (dtid 例例 求求A)6t2sin(2)4t2cos() t ( i 的的Im， 和和 。 （前前面面舉舉過過的的一一例例） 解解：)73. 1 j1(707. 0j707. 0120241I0m 08 .10506. 1025. 1 j29. 0 )8 .105t2cos(06. 1) t ( i0 即即 Im=1.06， =2 rad/s， =105.80 例例 若若V)36t2cos(3) t (u0 ，求求 33dt) t (ud？ 解解：0m363U) t (u 33dt) t (ud所所對對應(yīng)應(yīng)的的相

12、相量量為為 0000035424)9036(243624j363)2j ( )54t2cos(24dt) t (ud033 四四、 正正弦弦電電壓壓電電流流的的有有效效值值 在在周周期期變變化化的的電電壓壓、電電流流中中是是用用有有效效值值而而不不是是用用振振幅幅值值表表征征其其大大小小。 1、 有有效效值值的的定定義義 有有效效值值是是將將周周期期變變量量（如如電電流流 i）和和直直流流電電流流 I 在在一一個個周周期期內(nèi)內(nèi)通通過過同同一一電電阻阻所所消消耗耗的的能能量量作作比比較較來來度度量量的的： iRIR對對 i T02T0idt) t (iRdt) t (pW 對對 I WI=PT=

13、RI2T iRIR若在一個周期內(nèi)若在一個周期內(nèi) Wi=WI， 就平均作， 就平均作功功的能力，這兩個電流的大小是相的能力，這兩個電流的大小是相等的，則等的，則 I 的數(shù)值稱為周期的數(shù)值稱為周期 i 的有的有效值，即效值，即 T02dt) t (iT1I T02T0idt) t (iRdt) t (pW WI=PT=RI2T 2、正正弦弦波波有有效效值值與與振振幅幅值值的的關(guān)關(guān)系系 可可以以導(dǎo)導(dǎo)出出mmI707. 02II ，mmU707. 02UU 城城市市照照明明供供電電電電壓壓 220V 即即指指有有效效值值，其其振振幅幅值值為為 V311Um 作作業(yè)業(yè)： （P440 頁頁）10-2，10

14、-5，10-6，10-8，10-9 3、 有效值相量有效值相量I和和U 由正弦波的有效值和初相所構(gòu)成的極由正弦波的有效值和初相所構(gòu)成的極坐標(biāo)復(fù)數(shù)稱為有效值相量， 它與振幅相坐標(biāo)復(fù)數(shù)稱為有效值相量， 它與振幅相量的關(guān)系為量的關(guān)系為 I2I2IImm 今后， 除非特別申明， 相量均指有效值今后， 除非特別申明， 相量均指有效值相量。相量。 10-2 正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng) 一、一、 在在8-8 中已討論過一階電路在中已討論過一階電路在正弦信號激勵下的響應(yīng)為（參見該正弦信號激勵下的響應(yīng)為（參見該節(jié)及習(xí)題節(jié)及習(xí)題 8-68） 特特解解或或強(qiáng)強(qiáng)制制響響應(yīng)應(yīng)齊齊次次解解或或固固有有響響應(yīng)應(yīng))tcos(I

15、Ke) t ( imt 對于第一項，若對于第一項，若 0（即特征根（即特征根s0） ， 這是暫態(tài)響應(yīng)， 第二項便是正） ， 這是暫態(tài)響應(yīng)， 第二項便是正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。 確定正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的過程及方法，確定正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的過程及方法，是首先假設(shè)一個正弦函數(shù)， 然后將該是首先假設(shè)一個正弦函數(shù)， 然后將該正弦函數(shù)代回微分方程， 這涉及三角正弦函數(shù)代回微分方程， 這涉及三角函數(shù)的微分函數(shù)的微分,積分和化簡， 當(dāng)微分方程積分和化簡， 當(dāng)微分方程的階數(shù)很高時， 計算的階數(shù)很高時， 計算mI和和 并非易事。并非易事。當(dāng)正弦量用相量表示后， 用相量法求當(dāng)正弦量用相量表示后， 用相量法求解微分方程的正弦特

16、解， 就變得比較解微分方程的正弦特解， 就變得比較容易。容易。 二二、 用用相相量量法法求求解解微微分分方方程程的的特特解解 t=0RC+_ucis以以 RC 一一階階電電路路為為例例. 圖圖中中) t ()tcos(I) t (iisms 求求) t (uc的的特特解解) t (ucp。 首先建立首先建立0t的微分方程的微分方程 )tcos(IuR1dtducismcc 其解其解cpchucmtcuu)tcos(UKe) t (u 其中齊次解其中齊次解cpu為什么是為什么是 tKe不再贅不再贅述，如何確定待定常數(shù)也不再說明，述，如何確定待定常數(shù)也不再說明，現(xiàn)只討論如何用相量法求特解現(xiàn)只討論如

17、何用相量法求特解) t (ucp，即即cmU和和 u 各等于多少。各等于多少。 t=0RC+_ucis設(shè)設(shè)ucmcmcpUU) t (u ，ismsmsII) t (i &將將cpu代入原微分方程，并兩端取相量，由微代入原微分方程，并兩端取相量，由微分引理得分引理得 smcmIU)R1cj ( 上式稱為原微分方程的復(fù)數(shù)方程。上式稱為原微分方程的復(fù)數(shù)方程。 （這是一（這是一個代數(shù)方程）由復(fù)數(shù)方程得個代數(shù)方程）由復(fù)數(shù)方程得)R1cj/(IUsmcm t=0RC+_ucis)tcos(IuR1dtducismcc 由復(fù)數(shù)運(yùn)算，很容易得出由復(fù)數(shù)運(yùn)算，很容易得出ucmcmUU ，進(jìn)，進(jìn)而求得上述

18、電路的特解（即正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)） 。而求得上述電路的特解（即正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)） 。由初始條件可確定由初始條件可確定chu中的待定常數(shù)中的待定常數(shù) K，于是，于是求得全響應(yīng)求得全響應(yīng)) t (uc。 顯顯而而易易見見，由由于于相相量量法法求求特特解解是是將將微微分分方方程程化化成成代代數(shù)數(shù)方方程程來來求求解解，因因此此，可可適適用用于于高高階階常常系系數(shù)數(shù)微微分分方方程程在在正正弦弦激激勵勵下下的的特特解解。 例例 10-5 已已知知V)30t2cos(2) t (u0s ，求求) t ( i的的正正弦弦穩(wěn)穩(wěn)態(tài)態(tài)響響應(yīng)應(yīng)。 解： （解： （1）以）以) t ( i為變量的微分方程：為變量的微分方程： s

19、tud)( i5 . 01dtdii )120t2cos(4)30t2sin(4dtdui 2dtdidtid00s22 1 1H i(t) 1H i(t)0.5F+_us （2）其其復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)方方程程為為： 0m21204I 22j)2j( 得得0000m1521352212042j21204I A)15t2cos(2) t ( i0 作業(yè)： （作業(yè)： （P441 頁）頁）10-11，10-13 即即)120t2cos(4)30t2sin(4dtdui 2dtdidtid00s22 10-3 基爾霍夫定律的相量形式基爾霍夫定律的相量形式 在上一節(jié)中，雖然相量法將微分方程在上一節(jié)中，雖然相量法將

20、微分方程在正弦激勵下的特解化成了復(fù)數(shù)方程的求在正弦激勵下的特解化成了復(fù)數(shù)方程的求解，但對高階電路，微分方程的建立就是解，但對高階電路，微分方程的建立就是一件很困難、麻煩的工作。對正弦激勵下一件很困難、麻煩的工作。對正弦激勵下的電路，能否象直流激勵下的電阻電路那的電路，能否象直流激勵下的電阻電路那樣，用觀察法直接寫出復(fù)數(shù)方程，回答是樣，用觀察法直接寫出復(fù)數(shù)方程，回答是肯定的， 只要引入肯定的， 只要引入 KCL、 KVL 和元件和元件 VCR的相量模型，那時，電阻電路的所有分析的相量模型，那時，電阻電路的所有分析方法將推廣到正弦穩(wěn)態(tài)電路。方法將推廣到正弦穩(wěn)態(tài)電路。 一一、 KCL 的的相相量量形

21、形式式 m11I,i m2, 2Ii m33I ,i 因因此此，在在正正弦弦電電路路中中，KCL 可可直直接接用用相相量量寫寫出出，即即除除正正弦弦電電流流瞬瞬時時值值滿滿足足 KCL 以以外外，其其相相量量也也滿滿足足 KCL。但但注注意意，電電流流的的振振幅幅值值和和有有效效值值不不滿滿足足 KCL。 0iii321 若若三三者者都都是是同同頻頻率率的的正正弦弦波波，則則 0eIReeIReeIRetjm3tjm2tjm1 可以寫成可以寫成 0e )IIIRe(tjm3m2m1 0IIIm3m2m1 或或0III321 二二、KVL 的的相相量量形形式式 CU +_+ - + -+-RuL

22、uSuRU LU CusU 即即：除除正正弦弦電電壓壓瞬瞬時時值值滿滿足足 KVL 以以外外，其其相相量量 （振振幅幅相相量量或或有有效效值值相相量量） 也也滿滿足足KVL。仍仍注注意意，振振幅幅和和有有效效值值不不滿滿足足 KVL。 同同樣樣有有： ) t (u) t (u) t (u) t (uscLR smcmLmRmUUUU 或或scLRUUUU 例例 ： 上上 圖圖 電電 路路 中中 ， 已已 知知tcos100) t (us ，tsin30) t (uL ，)180tsin(150) t (u0c 求求)t(uR +_+ -+ -+-SuRuLuCu作作業(yè)業(yè)： （441 頁頁）10

23、-17，10-18 解解：cmLmsmRmUUUU 其中其中0sm0100U ， 30j9030U0Lm ， 150j9150U0cm 0Rm502 .156120j10030j150j100U 即即 )50tcos(2 .156) t (u0R 注： （歐拉公式）注： （歐拉公式） sinjcosej j9010 ，118010 10-4 RLC10-4 RLC元件電壓電流關(guān)系的相量形式元件電壓電流關(guān)系的相量形式 上式的含義是：上式的含義是： （1） RIU 或或mmRIU 即即U與與I或或mU與與mI符合歐姆定律符合歐姆定律 （2）iu ,即電壓即電壓 u 與電流與電流 i同相。同相。 R

24、iu 若若)tcos(I2)t ( i ，則，則)tcos(RI2) t (u IRU 或或mmIRU （電阻（電阻 VCR 的相量形式）的相量形式）一、一、 電阻元件電阻元件iRu+_ 兩端取相量，由微分引理得兩端取相量，由微分引理得ILjU （電感元件電感元件VCR 的相量形式）的相量形式） 若若)tcos(I2)t(iiL ，則，則)90tcos(LI2) t (u0iL 二、二、 電感元件電感元件dtdicu + u _ iL上式意味著上式意味著0iumm90LIULIU 或或 ., 0u),(0,u,u,I ,L,L,)2(LLL等等效效為為短短路路電電感感此此時時直直流流當(dāng)當(dāng)一一定

25、定時時當(dāng)當(dāng)電電感感對對電電流流的的阻阻力力隨隨 (3) uL超前超前iL900. （1)1)對相量對相量U U和和I I，j Lj L有有“電阻的含義；電阻的含義； iC+ -u三三、 電電容容元元件件 由此可見：由此可見： （1） j C 有“電導(dǎo)”的含義；有“電導(dǎo)”的含義； (2) c， cI，當(dāng)，當(dāng) c 和和 U 一定時，一定時， cI,當(dāng)當(dāng)0 （直流） ，（直流） ，0Ic ，電容等效為開，電容等效為開路，這正是直流穩(wěn)態(tài)時，電容應(yīng)有的表路，這正是直流穩(wěn)態(tài)時，電容應(yīng)有的表現(xiàn)。現(xiàn)。 等等式式兩兩邊邊取取相相量量，由由微微分分引引理理得得 UcjI 上上式式意意味味著著 0ui90cUI d

26、tduc) t ( i (3) icci超超前前cu 900。 若若)tcos(U2) t (uuc 則則)90tcos(cU2) t (i0uc 例例 已知電流表已知電流表 A1、A2 的讀數(shù)如圖，求電的讀數(shù)如圖，求電流表流表 A 的讀數(shù)。的讀數(shù)。 ?A A10A1 A10A2 RC解解：設(shè)設(shè)并并聯(lián)聯(lián)支支路路兩兩端端電電壓壓00UU 則則A010I01 ，A10jA9010I02 A451 .1410j10III021 即即電電流流表表 A 的的讀讀數(shù)數(shù)為為 14.1A。 例例 已知已知A)30t5cos(25) t ( i0 ， 求求) t (us。 4 2H 2H 0.5F+_iSu解解

27、：A305I0 則則V10j3 .173020I4U0R V3 .43j251205030525jILjU00L& V73.1j16025.05j305cjIU00c &V4 .975257.51j7 . 6UUUUcLRs V)4 .97t5cos(252) t (u0s 四四、 阻阻抗抗與與導(dǎo)導(dǎo)納納 歐歐姆姆定定律律的的相相量量形形式式元件元件或或N I U 1、 阻阻抗抗的的定定義義 jXR)(IUIUIUZiumm （1） Z 雖然是兩個相量之比，但雖然是兩個相量之比，但 Z 不是相不是相量，通常是一復(fù)數(shù)，有模和幅角或?qū)嵅亢吞摿?，通常是一?fù)數(shù)，有模和幅角或?qū)嵅亢吞摬?，實部為電阻成分，虛部為電抗成分。部，實部為電阻成分，虛部為電抗成分?(2).阻抗值取決于電路結(jié)構(gòu)、 元件參數(shù)阻抗值取決于電路結(jié)構(gòu)、 元件參數(shù)及電源頻率。阻抗的單位為歐（及電源頻率。阻抗的單位為歐（ ） 。）