1、年級初三學科數(shù)學版本通用版內容標題中考中的數(shù)形結合思想編稿老師王占元中考中的數(shù)形結合思想中考中的數(shù)形結合思想包括借助于直角坐標系研究數(shù)的關系，借助于數(shù)研究形的特征，從而簡化計算?！局R掌握】【知識點精析】1 .建立直角坐標系后，平面上的點和一對有序實數(shù)建立了一一對應關系，從而為數(shù)形結合創(chuàng)造了條件。2 .通過形加深對數(shù)的理解，通過數(shù)加深對形的認識，數(shù)形結合，化難為易?！窘忸}方法指導】例1.如果直線經(jīng)過一、二、四象限，則有()A. k>0 , b>0B. k>0 , b<0C.k<0 , b<0D.k<0 , b>0分析：由于一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、

2、二、四象限，可畫出它的示意圖，由圖象的傾斜方向及它與y軸交點的位置，確定 k、b的范圍。解：的圖象經(jīng)過一、二、四象限可以畫出它的示意圖(如圖所示)由圖象看出，圖象由左上方向右下方傾斜k<0又與y軸交點在x軸上方b>0.選 D評析：畫出直線的示意圖，從而使它的傾斜方向及與y軸交點的縱坐標清晰反映出來，由形的特征反映出了 k、b的特征。例2.若點A (a, b)在第二象限，則一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限分析：二.點A (a, b)在第二象限， a<0, b>0,所以可畫出y=ax+b的示意圖，看出它經(jīng)過哪 三個象限，不經(jīng)過第幾象限

3、。解：點A (a, b)在第二象限a<0, b>0 一次函數(shù)與y軸交點在x軸上方，且圖象由左上方向右下方傾斜，畫出它的圖象的示意圖，由 圖象看出它不經(jīng)過第三象限故選C評析：由y = kx + b中k、b的特征，決定了圖象的特征，畫出示意圖，使問題得解，體現(xiàn)了數(shù)形 結合的思想在研究一次函數(shù)中的應用。例 3. 已知二次函數(shù)，則一定有（A.B.C.D.分析：由a<0,可知拋物線開口方向向下；由，可知當時，拋物線與 y軸交點位于x軸上方，通過畫示意圖可看出它與x 軸交點的個數(shù)，從而確定判別式的值。解： 對于a<0,，拋物線的開口向下當時，由可知拋物線與y軸的交點在x軸上方可畫出

4、拋物線的示意圖由圖象看出拋物線與x 軸有兩個交點令y= 0,得有兩個不相等的實數(shù)根故選 A評析：由數(shù)的特征a<0,決定了拋物線的開口方向及與y軸交點的坐標，從而為畫拋物線的示意圖作好準備，又由拋物線與x軸交點的個數(shù)，求出一元二次方程判別式的符號，此題解題過程體現(xiàn)了數(shù)-形-數(shù)的數(shù)形結合思想。例4.已知：矩形 ABCD中，AB=4, AD =3,若A點與原點重合，AB邊與x軸重合，求矩形 ABCD四 個頂點的坐標。分析： 題目中只說A 點與原點重合，AB 邊與 x 軸重合，而沒有指明它位于第幾象限，因此應畫出圖象，分別加以考慮。解： 若矩形 ABCD 在第一象限（如圖），則它的頂點的坐標分別

5、為：A（0，0），B（4，0），C（4，3）， D（ 0， 3）若矩形ABCD 在第二象限，則它的頂點的坐標分別為：A（0，0）， B（4，0），C（4，3），D（0，3）若矩形ABCD 在第三象限，則它的頂點的坐標分別為：A（0，0）， B（4，0），C（4，3），D（0，3）若矩形ABCD 在第四象限，則它的頂點的坐標分別為：A（0，0），B（4，0），C（4，3）， D（ 0，3）評析： 結合圖象所在的象限畫出圖形，然后再確定點的坐標不易出錯?！究键c突破】【考點指要】數(shù)形結合思想是一種重要的數(shù)學思想，由于數(shù)和形反映了事物的兩個側面，因此常常借助于形研究數(shù)，借助于數(shù)研究形，從而通過“數(shù)形聯(lián)

6、手”解決問題相得益彰。正如華羅庚教授所指出的那樣：數(shù)無形，少直觀；形無數(shù)，難入微。正因為數(shù)形結合在解題中的重要性，因此中考試題中常常以各種各樣的形式反映出它們之間的聯(lián)系。我們應不斷提高對數(shù)形結合的認識，提高解題能力。【 典型例題分析】例1.已知：關于x的方程的兩個根滿足。求 a 的取值范圍。分析：如果用純代數(shù)的方法去解，要考慮的因素較多。如a>0, A>0,等，解法較繁。如果將一元二次方程的問題轉化為二次函數(shù)的問題去解決，便可以利用數(shù)形結合的思想去思考，通過圖象比較直觀地求出a 的取值范圍。解： 將方程化為設畫出它的示意圖，可以看出：當時， y<0；當 x=3時，y>0

7、。分別將x=1, x= 3代入到中，得因此 a 的取值范圍為：評析： 此題借助于數(shù)形結合的方法，由開口方向，和x 軸交點的位置，不難畫出拋物線的示意圖，結合圖象不又t看出當 x=1時，及x = 3時y的正負，從而求出 a的取值范圍。例 2. 已知關于x 的一元二次方程的兩個實數(shù)根中，一個大于2，另一個小于2，求k 的取值范圍。分析： 由于條件中給出了兩個實數(shù)根的范圍，因此可將方程轉化為二次函數(shù)，借助于圖象加以表示。解： 設當x=2時，（ 1）當時，拋物線的開口向上，畫出它的示意圖（如圖1）由圖象看出：解得 1<k<6（ 2）當時，拋物線的開口向下，畫出它的示意圖（如圖2）由圖象看出

8、：這個不等式組無解綜合（1）、（2）得1<k<6評析： 將方程轉化為函數(shù)，從而為表示出它的示意圖創(chuàng)造了條件。例 3. 如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象相交于A、 B 兩點，則圖中的反比例函數(shù)的值小于一次函數(shù)的值的 x 的取值范圍是（）A.B.C.D.分析：由圖象看出：使反比例的函數(shù)的值小于一次函數(shù)的值的x,拋物線的一部分應在直線下方,所以，故應選D。解： 當時，反比例函數(shù)的值小于一次函數(shù)的值；當時，反比例函數(shù)的值小于一次函數(shù)的值故應選 D評析： 反比例函數(shù)的值小于一次函數(shù)的值，在圖象中應是反比例函數(shù)的圖象應在直線的下方。例 5. 如圖是三個反比例函數(shù)在x 軸上方的圖象，由此觀察得到

9、的大小關系為（）A.B.C.D.分析： 要比較之間大小關系，可以借助于圖象的位置來進行判斷。在第二象限，可知，而，可知k 1 最小。對于來說，而上方，顯然，故可得，故可選C。解：.的圖象在第二象限的圖象在第一象限又的圖象在的上方故選 C評析： 借助于圖象的位置比較的大小直觀、簡明。例 6.已知：a<0, b<0, c>0,且化簡：分析： 由于題目中a、 b、 c 之間的關系比較復雜，討論起來將要分很多情況。如果我們把a、 b、 c所代表的點表示在數(shù)軸上，那么三個非負數(shù)化簡將變得比較簡單。解：由 a<0, b<0, c>0,且，a、b、c所代表的點表示在數(shù)軸上

10、如圖所示觀察圖形，可知評析： 欲去掉絕對值符號時，必須考慮到絕對值內代數(shù)式的正負，借助于數(shù)形結合容易判斷?！揪C合測試】t （時）的函數(shù)圖象，下列說法 不正確的是（）1 .如圖是某人騎自行車的行駛路程S （千米）與行駛時間A. 從 0 時到3 時，行駛了30 千米B. 從 1 時到2時勻速前進C. 從 1 時到2時在原地不動D. 從 0 時到 1 時與從 2 時到 3時的行駛速度相同2 . 二次函數(shù)與x 軸兩交點之間的距離是。3 . 圖中有相同對稱軸的兩條拋物線，下列關系中不正確的是（）A. h=mB. k=nC. k>nD. k>0 , h>04 .在反比例函數(shù)的圖象上有兩點

11、，A （）、B （）,且，則的值為（）A.正數(shù)B.負數(shù)C.非正數(shù)D.非負數(shù)5 .為鼓勵居民節(jié)約用水，某城市將出臺新的用水收費標準：若每月每戶居民用水不超過4立方米，則按每立方米 2元計算；若每月每戶居民用水超過4立方米，則超過部分按每立方米4.5元計算（不超過部分仍按每立方米2元計算）。現(xiàn)假設該市某戶居民某月用水x立方米，水費為y元，則y關于x的函數(shù)關系用圖象表示正確的是（）6 .已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，那么下列判斷不正確的是（）A. abc>0B.C.D.G 你熱愛生命嗎?那么別浪費時間，因為時間是相或生命的材料富蘭克T 6 / 6【綜合測試答案】1. B解：對于 A,正確；對于 B,不正確；對于 C,正確；對于 D,正確。故選 B。2. 4解：畫出的圖象的示意圖，與x軸二個交點坐標為（1, 0） , （3, 0）兩點間距離為3. B解：對于A, ,對稱軸相同，h=m （正確）； 對于B,當x=0時，kwn,（不正確）； 對于C,當x=0時，k>n,（正確）； 對于D ，正確。故選 B4. A解：畫出的示意圖及A、 B 兩