1、第十二章第96煉平面幾何其它高考考點第96煉平面幾何、基礎知識:1、相似三角形的判定與性質（1）相似三角形的判定三個角：若兩個三角形對應角都相等，則這兩個三角形相似注：由三角形內角和為 180：可知，三角形只需兩個內角對應相等即可兩邊及一夾角：若兩個三角形的兩條邊對應成比例，且所夾的角相等，則這兩個三角形 相似 三邊：若兩個三角形三邊對應成比例，則這兩個三角形相似（直角三角形）若兩個直角三角形有兩組對應邊成比例，則這兩個直角三角形相似（2）相似三角形性質：若兩個三角形相似，這它們的對應角相等，對應邊成比例即相似比（主要體現(xiàn)出“對應”兩字），例如:若 ABC *a'b'c'

2、;,則有:A A, B B , C C,AB AC BCAB AC BC2、平行線分線段成比例：如圖：已知11/ 12/ 13,且直線m,n與平行線交于 A,B,C,D,E,F ,則以下線段成比例:(1)(2)(3)ABBC ABAC BCACDEEFDEDFEFDF（上比下）（上比全）（下比全）3、常見線段比例模型:（1） “A”字形：在公D,E,即形成一個“A進而有以下線段成比例：個 AD AEABC中，平行BC的直線交三角形另兩邊于DB ECDB CEAB AC AD AE DEAB AC BC（2） “8”字形：已知 AB/ CD ,連結AD, BC相交于O ,即形成一個“ 8”字，在

3、“ 8”字形中，有:&AOB *OC ,從而AOODBO ABCO CD4、圓的幾何性質:(1)與角相關的性質 直徑所對的圓周角是直角弦切角與其夾的弧所對的圓周角相等同弧(或等弧)所對的圓周角是圓心角的一半圓內接四邊形，其外角等于內對角(2)與線段相關的性質：等弧所對的弦長相等過圓心作圓上一條弦的垂線，則直線垂直平分該弦若一條直線與圓相切，則圓心與切點的連線與該直線垂直5、與圓相關的定理(1)切割線定理：設 PA是Qo的切線，PBC為割線，則有：PA2 PB PC(2)相交弦定理：設AB,CD是圓內的兩條弦，且AB,CD相交于P ,則有AP BP CP DP(3)切線長定理：過圓外一點

4、P可作圓的兩條切線， 且這兩條切線的長度相等6、射影定理：已知在直角三角形ABC 中,BCA 90； , CD為斜邊AB上的高(雙垂直特點)，則以下等式成立：BC2 BD BA AC2 AD AB CD2 BD AD注：射影定理結合勾股定理，以及等面積法。在直角三角形ABC 中的邊AC,BC,BD,DA,CD這五條線段中，可做到已知兩條邊 的長度，即可求出所有邊的長度7、平面幾何中線段長度的求法：(1)觀察所求線段是否是某個定理的一部分，從而湊齊該定理的其他條件即可求出該線段(2)考慮所求線段是否與其它線段存在比例關系(3)可將此線段放入三角形中，考慮是否能通過正余弦定理解決(4)若不易找到題

5、目中各線段與所求線段的聯(lián)系，可考慮將所求線段設為 行求解。、典型例題: 例1：如圖，已知PA切。0于A點，割線PCD與弦AB相交于E點,若PC 4,CD 21,則AE的長為思路：由PA是切線，PCD是割線聯(lián)想到切割線定理，所以有：PA2 PC PD PC PC CD 100,解得 PA 10 ,從而X ,通過方程進且 PA PE BE ，即AECE DEBE其中CEPE PC 6, DE CD CE 15,代入可得:AE6 1510PE BE 10,求AE可聯(lián)想到相交弦定理： AE BE CE DE,BD2 BA BEBEBD2BA7 ,則 AE BE AB 2,進而 DE.EA EB 14答

6、案：9 例2：如圖，四邊形 ABCD內接于圓O, DE與圓。相切于點D, AC BD F, F為AC 的中點，O BD, CD 加，BC 5,則 DE思路：由DE與圓。相切可想到切割線定理：即 DE2 EA EB, 因為BD是直徑，且F為AC的中點，所以 BD垂直平分 AC,且 BAD和&BCD為對稱的直角三角形。所以 AD CD 而， AB BC 5,所以 BD JAD_AB7 癡。在(EDF 中， 由切線可知ED BD ,且AD BE,所以由射影定理可 知例3：如圖， PA與圓O相切于 A , PCB為圓O的割線，并且不過圓心O ,已知BPA 30 , PA 2 73,PC 1,則

7、圓O的半徑等于思路:由PA與圓O相切于A可知PA2 PC PB ,可得PA_ _ _PB 12,從而BC PB PC 11,在八PAD中, PC可由 BPA 30 , PA 2布，可得：DA 2,PD 4,從而CD 3,BD 5,觀察圓內的弦，延長 AO交圓于E,從而有AD DE CD DB ,與半徑進行聯(lián)系可得：AD 2R AD CD DB，代入數(shù)值可得 R 7答案：R 7例4：如圖，P是半圓O的直徑BC延長線上一點，PT切半TH BC 于PT 1,PBPCPH2A. 一 a1B. 一 aC.D.思路：因為PT切半圓于點2T ,所以考慮連結圓心與切點,3可得:OTPT ,在 Rt&P

8、TO,由切割線定理可得：PT2 PCPB,PB PC 2aPC a .a2PB PCPB aa2BC PC PB 24a2 1,即 r Ja2 1 ,從而 OT r J a2 1,PO PC r a,由射影定理可得:PT2 PHPOPHPT2答案：BPO例5：如圖，PB為A ABC外接圓O的切線，BD平分 PBC ,交圓O于D , C,D,P共線.若 AB BD,PC PB, PD 1,則圓O的半徑 A思路：由AB BD可知AD為圓O的直徑，由弦切角性質可得中具有雙垂直的特點，所以只需已知兩條邊即可求出PHBADDBP ,且在圓中分 PBC 可 得BAD BCD DBCBCDDBCDBPBCD

9、DBCDBPBAD BCD （對同弧BD ）,由BD平DBP DBC , 進 而DBP ,在 RtBPD 中，可知：乂 BCD DBC DBP 3090C ,從而 BDE PAE ,進而可證pae”bdeAE BE GE EFPE AEBE DEAE BE PE DE ,所以 PE DE GE EF GE由相交弦定理可知：PE DEEF所以由PD 1可得：BD 2PD 2 ,在RtABD中， BAD 30：,可得1 cAD 2BD 4,從而 r -AD 2 2答案：2 例6：如圖， ABC內接于。，過BC中點D作平行于AC的直線l , l交AB于點E,交。于G、F ,交。O在點A切線于點P,若

10、 PE 3, ED 2,EF 3,則 PA 的長為.思路：由PA為切線可想到切割線定理，所以PA2 PG PF , PF PE ED EF 8,只需求出PG即可。因為PA為切線，所以弦切角 PAE C ,因為PF / AC ,所以 BDEPG PE GE 1,代入 PA2 PG PF 可得：PA 娓答案：6 例7：如圖，已知 AB和AC是圓的兩條弦，過點 B作圓的切線與AC的延長線相交于 D,過點C作BD的平行線與圓交于點E ,與AB相交于點F , AF 6, FB 2, EF 3,則線段CD的長為思路：由BD是切線且 DCA是割線可想到切割線定理，所以2CD AD BD2，分別計算各線段長度

11、。由 AF 6, FB 2, EF 3可使用相交弦定一 AF FBCF AF 316理得：CF 4 ,再由CF/BD可得：，所以BD ，同時EFBD BF 43AD AB 4CD FB答案：8 3例8:如圖，已知2AD 4CD，代入可得：4CD22 八 18BD2 3 CD -BD - 23PA與。相切，A為切點，過點P的割線交。于B, C兩點，弦CD/AP, AD,BC 相交于點 E,點 F 為 CE 上一點，且 P EDF,若 CE:BE 3:2,DE 3, EF 2,則 PA .思路：由PA與。相切可想到切割線定理，即2PA PB PC ,只需求出PB,PC即可。從題目條件中很難直接求出

12、這兩個量，考慮尋找題目中的相似三角形。由P EDFAEP FED1AEPFED ,所以AE EPFE EDCD/APAE ED EP EF。由切割線定理可知所以 C P , 進而AE ED BE EC。因為C EDF , 所 以C EDFCED CEDCED ''DEF ,則第DEEFDE2 CE EF，代入 DE 3,EF一 92可得CE ,所以BE2BP EP BE , PC PE CE445-一。則 PA Jpb PC 4答案:15 34例9：如圖，PA切圓。于點A,割線PBC經過圓心。，若PB OB 1,OD平分 AOC交圓。于點D ,連結PD交圓。于點E ,則PE的長

13、等于思路：由圖可知若要求得 PE ,可想到切割線定理模型PE PD PA2 ,只需求得PA, PD即可。由割線PBC與切線PA可想到切割線定理，從而可計算出PA 33 ,考慮計算 PD ,可將其放入DOP中計算，已知的邊有 OD 1,OP 2,需要求解 DOP ,在Rt&AOP中，通過邊的關系可判定AOP 進而 AOC由角平分線可知AOD ,所以 DOP32。從而可用余弦7E理計算出3即可算出PE解:PA切圓。于點APA2PB PC由PB OB 1可得：rPCPB BCPAPB PC、.3在Aaop 中，OAAP,OA1.OP 2, AP.3AOPAOC,OD平分AOC3-1AOD A

14、OC2PODAODAOP在APOD中，由余弦定理可得:DP222OP OD 2OP ODcosPODDP 、,7由切割線定理可得：PE PD2PA23.77答案：立7例10：如圖，AB,CD是圓O的兩條平行弦， AF / BD交CD于點E ,交圓O于點F ,過B點的切線交CD延長線于點P,若PD CE 1,PB J5,則BC的長為2PB2思路：由切割線定理可得 PB2 PD PC PC 5PDABDE為平行四邊形,從而從而DE PC PD CE 3,由兩組平行關系可得四邊形CMCE1_1 _一AE BD ,由AF/BD可得：一，若設BC為x ,則CM- x, BMCBCD44可想到相交弦定理，

15、 AM FM CM BM，所以只需用x表示出AM,FM即可得到關于x的方程。因為BP與圓相切,所以DBP ，結合P可得:BCP以有BCDBCP 、5 BDBP1 .5xAE1、,5xAM3AE 4 x, EM4 ；514、5xAEEFCEEDEFCE EDAE3.545x 415x3.53-x ,解得：x4,15答案：BC ,15三、歷年好題精選1、（2015,天津）如圖，在圓。中，M,N是弦AB的三等分點,弦CD,CE分別經過點若 CM2,MD4,CN 3,則線段NE的長為（A.B. 3C.103D.M ,N ,2、 （2015,廣東）如圖，已知AB是圓。的直徑，AB 4,EC是圓。的切線，

16、切點為C,BC 1 ,過圓心O作BC的平行線，分別交 EC, AC于點D和點P ,則OD 3、（2014,重慶）過圓外一點 P作圓的切線PA （ A為切點），再作割線PBC依次交圓于B,C ,若PA 6,AC 8,BC 9 ,則AB 4、(2015,新課標II)如圖，O為等腰三角形 ABC內一點，。與A ABC的底邊BC交于M,N兩點，與底邊上的高 AD交于點G ,且與AB, AC分別相切于E,F兩點(1)證明：EF/BC(2)若AG等于。的半徑，且 AE MN 2J3,求四邊形EBCF的面積5、(2014,湖北)如圖，P為。外一點，過P點作。0的兩 條切線，切點分別為 A,B,過PA的中點Q

17、作割線交0O于C,D 兩點，若 QC 1,CD 3,則 PB 6、(2014,新課標全國卷I)如圖，四邊形ABCD是。的內接四邊形，AB的延長線與 DC的延長線交于點E ,且CB CE(1)證明： D E(2)設AD不是。的直徑，AD的中點為M,且MB MC ,7、(2014,新課標II)如圖，P是°。外一點，PA是切線，A為切 點，割線PBC與00相交于點B,C,PC 2PA, D是PC的中點， AD的延長線交00于點E ,證明：(1) BE EC2 AD DE 2PB28、（2014,天津）如圖所示：|ABC是圓的內接三角形， BAC的平 分線交圓于點 D ,交BC于點E ,過點

18、B的圓的切線與 AD的延長線 交于點F ,在上述條件下，給出以下四個結論： BD平分 CBF ; FB2 FD FA ； AE CE BE DE ；AF BD AB BF ,則所有正確結論的序號是（）A. B. C. D. 9、如圖，在 &ABC 中，AB 3,BC中點，BE AC于E, BE的延長線交則EF的長為CD ,過C作圓O的10、如圖，AB是圓。的直徑，點C在圓。上，延長BC到D使BC 切線交AD于E .若AB 8 , DC 4 ,則DE習題答案:1、答案：A解析：由M,N三等分AB,不妨設 AM MN NB x ,則由切割線定理可得：AM MB CM DM2x2 2 4,解

19、得x 2,再由切割線定理可得：AN NB CN NE,所以AN NB 4 2 8NE -CN 332、答案：8解析：連結OC,由AB2r4可得OC且圓。于C ,所以OC另一方面,A2 ,因為EC由AB是直徑可得圖1BC AC ,所以CB的平行線OP AC ,且由。是AB中點可得OP為 ,11的一條中位線，所以 OP -BC -,22則在toCD中，由雙垂直（OP AC,OCCD ）可用射影定理 OC2 OPOD ,從而ODOC2OP3、答案：4PB PB BC 可得：62 x x 9 ,解析：設PB x,則由切割線定理 PA2 PB PCPAB ,再利用公共角 P可得:解得：x 3, PC 1

20、2,因為PA是切線，所以 C&PAB z&PCA,所以PAABPC，即AB ACPA ACPC124、解析：（1）證明：.AABC是等腰三角形，且 AD BCAD是 CAB的平分線AE AF , AD EFA AE, AF為。0的切線EF / BC（2）由（1）可知AD是EF的垂直平分線，又因為EF是偽的弦O在AD上連結OE,OM ,則由AE是切線可得OE AE設0O的半徑為r ,則AG rAO 2r 2OE可得： EAO 30： EAF 60：'AE AF(abcaef均為等邊三角形2,3AO 4,OE 2 rOMr 2,DM1 MN 2OD1,從而ADAOOD5 A

21、B10.33Sg邊形 EBCFS' ABCS1, AEF10 .3 2316.335、答案：4解析：由切割線定理可知： QA2 QC QDQCQC CDPA中點可得PA2QA 4 ,再由切線長相等PB PA 44,從而QA4,由Q是6、解析：(1)證明： A,B,C,D四點共圓D CBE ''CB CECBE ED E(2)證明：設BC中點為N ,連結MN:MB MC MN BCO在直線MN上M M為AD中點，且AD不是Qo的直徑OM AD 即 MN ADAD / BCA CBEA E ,由（1）得 D E&ADE為等邊三角形第十二章第96煉平面幾何其它高考考點7、證明：（1）連結AB,ACD是PC中點，且PC 2PAPA ADPAD PDAP PDA DACDCA, PADBADDACB