1、圖形圖形(txng)相乘法相乘法 結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué)第一頁(yè)，共24頁(yè)。(a)二、簡(jiǎn)化方法AxEIAxEIxMMEIsEIMMdtan)d)(tan(1d1dPP式中，dA=MPdx為MP圖中有陰影線的微分面積，而 即為整個(gè)MP圖的面積對(duì)y軸的靜矩。用x0表示MP的形心至y軸的距離，則有 Axd0dAxAx(b)xyOxx0y0dxAABBC形心面積AdA=MPdxMP圖MPM圖=xtanMMy0 =x0tan第1頁(yè)/共24頁(yè)第二頁(yè)，共24頁(yè)。即 EIAysEIMM0Pd 將式（b）代入（a），有 EIxAAxEIsEIMM)tan()(tand00P式中，y0=x0tana，是MP圖的形心C處所

2、對(duì)應(yīng)的圖中的豎標(biāo)。 可見(jiàn)，上述積分式等于一個(gè)彎矩圖的面積A乘以其形心C處所對(duì)應(yīng)的另一直線彎矩圖上的豎標(biāo)y0，再除以EI。 這種以圖形計(jì)算代替積分運(yùn)算的位移計(jì)算方法，就稱為圖形相乘法（圖乘法）。 (6-16)第2頁(yè)/共24頁(yè)第三頁(yè)，共24頁(yè)。如果結(jié)構(gòu)上所有各桿段均可圖乘，則位移計(jì)算公式可寫為 EIAysEIMM0Pd(6-17)三、應(yīng)用(yngyng)圖乘法的注意事項(xiàng)1）y0只能(zh nn)取自直線圖形，而A應(yīng)取自另一圖形。2）當(dāng)A與y0在彎矩圖的基線同側(cè)時(shí)，其互乘值應(yīng)取(yn q)正號(hào)；在異側(cè)時(shí)，應(yīng)取(yn q)負(fù)號(hào)。 第3頁(yè)/共24頁(yè)第四頁(yè)，共24頁(yè)。3）下圖列出了幾種常見(jiàn)簡(jiǎn)單圖形的面積與

3、形心位置。須注意的是：圖中所示拋物線M圖均為標(biāo)準(zhǔn)拋物線，即M圖曲線的中點(diǎn)（或端點(diǎn)）為拋物線的頂點(diǎn)，而曲線頂點(diǎn)處的切線均與基線(jxin)平行，該處剪力為零。 第4頁(yè)/共24頁(yè)第五頁(yè)，共24頁(yè)。lllllhhCCCCCCC2l/3l/3(l+a)/3(l+b)/3abl/2l/23l/4l/43l/85l/82l/53l/54l/5l/5頂點(diǎn)頂點(diǎn)頂點(diǎn)二次拋物線二次拋物線A=hl/2A=hl/2A=2hl/3A1A2A1A2A1 =2hl/3A2 =hl/3A1 =3hl/4A2 =hl/4第5頁(yè)/共24頁(yè)第六頁(yè)，共24頁(yè)。4）如果MP與均為直線，則y0可取自其中任一圖形。5）如果是折線圖形，而M

4、P為非直線圖形，則應(yīng)分段圖乘，然后疊加。 )(10220110yAyAEIEIAyA1A2y01y02MP圖M圖第6頁(yè)/共24頁(yè)第七頁(yè)，共24頁(yè)。6）如果桿件為階形桿（EI為分段常數(shù)），則應(yīng)按EI分段圖乘，然后疊加，如圖所示。 202210110EIyAEIyAEIAyMMP圖A1A2y01y02EI1EI2圖第7頁(yè)/共24頁(yè)第八頁(yè)，共24頁(yè)。7）如果MP圖為復(fù)雜的組合圖形（由不同類型荷載按區(qū)段疊加法繪出），因而其面積和形心位置不便確定，則可用疊加法的逆運(yùn)算，將MP圖分解（還原）為每一種荷載作用下的幾個(gè)簡(jiǎn)單圖形，分別與圖互乘，然后疊加。)(10220110yAyAEIEIAydcydcyblA

5、alA3231,313221,21020121其中 梯形的分解 MA1A2y01y02MP圖圖abcdl第8頁(yè)/共24頁(yè)第九頁(yè)，共24頁(yè)。當(dāng)MP或圖的豎標(biāo)a、b或c、d不在基線同側(cè)時(shí)，如圖6-19b所示，處理原則仍和上面一樣，可將MP分解為位于基線兩側(cè)的兩個(gè)三角形（其中A1在上側(cè)，A2在下側(cè)），按上述方法，分別圖乘，然后疊加。 MMP圖A1A2y01y02abcdl圖cdydcyblAalA3132,313221,21020121第9頁(yè)/共24頁(yè)第十頁(yè)，共24頁(yè)。=+拋物線非標(biāo)準(zhǔn)圖形的分解 MAMBqa2/8MAMBdxqa2/8ABMAMBaqABMAMBqa2/8aMAMBdxqa2/8A

6、BaMAMBABq=+第10頁(yè)/共24頁(yè)第十一頁(yè)，共24頁(yè)。四、應(yīng)用圖乘法的計(jì)算(j sun)步驟1）作實(shí)際荷載彎矩圖MP圖；2）加相應(yīng)單位荷載，作單位彎矩圖圖； 3）用圖乘法公式（6-17）求位移。例6-7】試求圖6-21a所示簡(jiǎn)支梁跨中截面C的撓度DCV和B端的轉(zhuǎn)角qB。已知EI=常數(shù)。 解： (1)作實(shí)際荷載彎矩圖，如圖6-21b所示。 qABCll/2l/2ABCql2/8A1A2A0MP圖第11頁(yè)/共24頁(yè)第十二頁(yè)，共24頁(yè)。(2)加相應(yīng)單位荷載，作單位彎矩圖 (3)用圖乘法公式（6-17）求位移： )(3845325)8232(2)(142022011VEIqllqllEIyAyA

7、EIC將MP圖與 圖相乘，則得1MqABCll/2l/2ABCql2/8A1A2A0MP圖AABBCCy01y02y0l/41111M2M圖圖第12頁(yè)/共24頁(yè)第十三頁(yè)，共24頁(yè)。( )EIqllqllEIEIyAB242)832(13200q將MP圖與 圖相乘，則得2MqABCll/2l/2ABCql2/8A1A2A0MP圖AABBCCy01y02y0l/41111M2M圖圖第13頁(yè)/共24頁(yè)第十四頁(yè)，共24頁(yè)。)(128454EIql【例6-8】試求圖示懸臂梁跨中截面C的撓度DCV。已知EI=常數(shù)。解：(1)解法一lqlllqlllqlllqllEIyAyAyAyAEIC43)32232(

8、65)85221(43)22(3)2221(1)(1222044033022011V作MP圖，并按A1、A2、A3、A4四部分劃分，如圖所示 MAAABBBCCCl/2l/2lqqlA1A2A3A422ql892ql)32(2qly01y02y03y04lMP圖圖1第14頁(yè)/共24頁(yè)第十五頁(yè)，共24頁(yè)。(2)解法二)(1284587)8231(32)21(1)(1422022011VEIqllqlllqllEIyAyAEIC作MP圖，并按A1、A2兩部分劃分，如圖所示。 計(jì)算結(jié)果與前法完全相同，但因?qū)P圖分塊恰當(dāng)，使計(jì)算更簡(jiǎn)便。 MMP圖圖AABBCA1A2y01y021l82qlql2第1

9、5頁(yè)/共24頁(yè)第十六頁(yè)，共24頁(yè)?！纠?-9】試求圖示剛架截面D的豎向位移DDV。解：求解本題時(shí)注意：一是對(duì)于斜桿CD，應(yīng)以桿軸為基線計(jì)算；二是對(duì)于階形住AC，應(yīng)按EI不同分段圖乘。 (1)作MP圖5 .3794565.12321AABCD12m8m4m4m2.5kN/m20kN4EI3EI2EI(12.65m)ABCD14010020(45)A1A2A3A4A5MP圖(kNm)第16頁(yè)/共24頁(yè)第十七頁(yè)，共24頁(yè)。5 .63210065.12212A2404)20100(213A80208214A5601408215AABCD12m8m4m4m2.5kN/m20kN4EI3EI2EI(12.

10、65m)ABCD14010020(45)A1A2A3A4A5MP圖(kNm)第17頁(yè)/共24頁(yè)第十八頁(yè)，共24頁(yè)。(2)作 圖 M6122101y8123202y12050403yyyABCD14010020(45)A1A2A3A4A5MP圖(kNm)ABCD12m8m4m4m2.5kN/m20kN4EI3EI2EI(12.65m)MACD112y01y02y03y04y05圖(m)第18頁(yè)/共24頁(yè)第十九頁(yè)，共24頁(yè)。(3)計(jì)算位移值： )(5 .91112560128041122403185 .63265 .37921413121055044033022011VEIEIEIEIyAyAEI

11、yAEIyAyAEIABBCCDD第19頁(yè)/共24頁(yè)第二十頁(yè)，共24頁(yè)?！纠?-10】試求圖示剛架截面D的水平位移DDH。已知EI=常數(shù)。 解：(1)作MP圖 (2)加相應(yīng)單位荷載，作 圖 MABCDqaaaABCDa/2a/2y01y021M圖ABCDA1A2MP圖qa2/4qa2/4qa2/8第20頁(yè)/共24頁(yè)第二十一頁(yè)，共24頁(yè)。(3)計(jì)算(j sun)位移值：)(2430)231()421(2)232()421(211422055044033022011HEIqaaaqaaaqaEIyAyAyAyAyAEID豎桿二梁桿ABCDa/2a/2y01y021M圖y03y04y05ABCDA1A2MP圖qa2/4qa2/4qa2/8CCCDDDA3A4A5qa2/4qa2/4qa2/8CD桿MP圖第21頁(yè)/共24頁(yè)第二十二頁(yè)，共24頁(yè)?！纠?-11】試求圖6-25a所示剛架鉸C左右兩側(cè)面C1、C2的相對(duì)轉(zhuǎn)角 。已知EI=常數(shù)。 21CCq解：EIlFllFllFEIyAyAyAyAEICC2471)2421(232)421(2112PPP04403302201121 橫梁二立柱qABCDEC1C2FPlll/2l/2FPl/4FPl/4MP圖A1A2A3A4M111y01y02y03y04圖1第22頁(yè)/共24頁(yè)第二十三頁(yè)，共24頁(yè)?！纠?