1、1動量、動量矩和動能定理動量、動量矩和動能定理從不同的從不同的側(cè)面揭示了質(zhì)點和質(zhì)點系總體的運動變側(cè)面揭示了質(zhì)點和質(zhì)點系總體的運動變化與其受力之間的關系，可用以求解質(zhì)化與其受力之間的關系，可用以求解質(zhì)點系動力學問題。點系動力學問題。動量、動量矩和動能定理稱為動力動量、動量矩和動能定理稱為動力學普遍定理。學普遍定理。本章將闡明及應用動量定理本章將闡明及應用動量定理2第十章第十章 動量定理動量定理q質(zhì)點和質(zhì)點系的質(zhì)點和質(zhì)點系的動量動量/ /沖量沖量q動量定理動量定理q質(zhì)點系的質(zhì)點系的質(zhì)心運動定理質(zhì)心運動定理（Theory of Momentum）3s/mkg 單位單位 vmxyzs+物體間機械運動相

2、互傳遞時產(chǎn)生作用力，物體間機械運動相互傳遞時產(chǎn)生作用力，該作用力與物體的速度變化和質(zhì)量有關。該作用力與物體的速度變化和質(zhì)量有關。動量是某瞬時質(zhì)點機械運動效應動量是某瞬時質(zhì)點機械運動效應 的一種度量，是的一種度量，是狀態(tài)量狀態(tài)量kmvjmvimvvmzyx 4 niiivmp1在固定直角坐標軸在固定直角坐標軸x，y 和和 z 上的矢量作投影上的矢量作投影, 即得即得5設各質(zhì)點的質(zhì)量為常數(shù)，用矢徑表示速度，則設各質(zhì)點的質(zhì)量為常數(shù)，用矢徑表示速度，則 iiiiiirmdtddtrdmvmp定義質(zhì)點系的質(zhì)量中心（定義質(zhì)點系的質(zhì)量中心（質(zhì)心質(zhì)心 C）的矢徑為：）的矢徑為： iiCrmmr1 CCiivm

3、rmdtdrmdtdp mmi 6cvmp 質(zhì)點系的動量，等于質(zhì)點系的總質(zhì)量與質(zhì)心速度的乘積質(zhì)點系的動量，等于質(zhì)點系的總質(zhì)量與質(zhì)心速度的乘積。投影到各坐標軸上有投影到各坐標軸上有czzcyycxxmvpmvpmvp 7質(zhì)點系的動量質(zhì)點系的動量O LmomvO質(zhì)點系或剛體的動量是反映質(zhì)點系或剛體質(zhì)點系或剛體的動量是反映質(zhì)點系或剛體隨質(zhì)心平動的運動量隨質(zhì)心平動的運動量0ov0p質(zhì)點系的動量等于質(zhì)點系的動量等于質(zhì)點系的總質(zhì)量與質(zhì)心速度的乘積質(zhì)點系的總質(zhì)量與質(zhì)心速度的乘積。對于質(zhì)。對于質(zhì)量均勻分布的剛體，量均勻分布的剛體，質(zhì)心質(zhì)心 即為即為幾何中心幾何中心（形心形心）CvmpOvmp2LmpC8橢圓規(guī)

4、機構中，橢圓規(guī)機構中，OCACCBl；滑塊滑塊A和和B的質(zhì)量均為的質(zhì)量均為m，曲柄曲柄OC和連桿和連桿AB的質(zhì)量忽略不計；曲柄以等角速度的質(zhì)量忽略不計；曲柄以等角速度 繞繞O軸旋軸旋轉(zhuǎn)；在圖示位置，角度轉(zhuǎn)；在圖示位置，角度 為任意值。為任意值。求求：圖示位置時，系統(tǒng)的總動量。圖示位置時，系統(tǒng)的總動量。AOBC 例：橢圓規(guī)的動量例：橢圓規(guī)的動量分析分析：將滑塊：將滑塊A和和B看作為兩個質(zhì)點，整個系統(tǒng)看作為兩個質(zhì)點，整個系統(tǒng)即為兩個質(zhì)點所組成的質(zhì)點系。求這一質(zhì)點系的即為兩個質(zhì)點所組成的質(zhì)點系。求這一質(zhì)點系的動量可以用兩種方法：動量可以用兩種方法：第一種方法第一種方法：先計算各個質(zhì)點：先計算各個質(zhì)點

5、的動量，再求其矢量和。的動量，再求其矢量和。第二種方法第二種方法：先確定系統(tǒng)的質(zhì)：先確定系統(tǒng)的質(zhì)心，以及質(zhì)心的速度，然后計算心，以及質(zhì)心的速度，然后計算系統(tǒng)的動量。系統(tǒng)的動量。9第一種方法：第一種方法：先計算各個質(zhì)點的動量，再求其矢量和：先計算各個質(zhì)點的動量，再求其矢量和：BBAAvmvmp 建立建立Oxy坐標系。在角度坐標系。在角度 為任意值的情形下：為任意值的情形下： cossinlxlyBA22 例：橢圓規(guī)的動量例：橢圓規(guī)的動量解：解： sinsincoscosllxvllyvBBAA2222 xyvvjip cossinlmlm22 )cos(-sinji lm2AOBC 10第二種方

6、法：第二種方法：先確定系統(tǒng)的質(zhì)心，以及質(zhì)心的速度，然后計算先確定系統(tǒng)的質(zhì)心，以及質(zhì)心的速度，然后計算系統(tǒng)的動量。系統(tǒng)的動量。質(zhì)點系的質(zhì)心在質(zhì)點系的質(zhì)心在C處，其速度處，其速度矢量垂直于矢量垂直于OC，其其數(shù)值數(shù)值為為 vC = l vC = l (sin icos j )系統(tǒng)的總質(zhì)量系統(tǒng)的總質(zhì)量mC= mA+ mB=2m系統(tǒng)的總動量系統(tǒng)的總動量例：橢圓規(guī)的動量例：橢圓規(guī)的動量xyvvAOBC lvp = 2lm (sin icos j )11tFI 21ttdtFI沖量沖量作用力作用力F與作用時間與作用時間t的乘積（的乘積（矢量矢量）與力矢的方向相同，記作：與力矢的方向相同，記作：（單位為（單

7、位為 N.s，量綱與動量相同）量綱與動量相同）變力的元沖量為：變力的元沖量為：dtFId沖量反映力的作用時間的積累效果，是過程量沖量反映力的作用時間的積累效果，是過程量12動量定理動量定理動量定理動量定理質(zhì)點動量定理質(zhì)點動量定理質(zhì)點系動量定理質(zhì)點系動量定理質(zhì)點系動量守恒定律質(zhì)點系動量守恒定律13質(zhì)點動量定理質(zhì)點動量定理質(zhì)點動量定理質(zhì)點動量定理 Fvmdtd dtFvmd 或者或者 tdtFIvmvm000vmvm0MMFFvm0vmI微分形式：微分形式：質(zhì)點的動量的增量等于作質(zhì)點的動量的增量等于作用于質(zhì)點上的力的元沖量（用于質(zhì)點上的力的元沖量（矢量矢量） ：積分形式：積分形式：在某一時間間隔內(nèi)

8、，質(zhì)點的動量的變化等于作在某一時間間隔內(nèi)，質(zhì)點的動量的變化等于作用于質(zhì)點上的力在此段時間內(nèi)的沖量（用于質(zhì)點上的力在此段時間內(nèi)的沖量（矢量矢量） ：14質(zhì)點系動量定理質(zhì)點系動量定理 dtFdtFvmdpdpdiieiiii dtFvmdpdiiii 外力：外力：外界物體對質(zhì)點系的作用力。外界物體對質(zhì)點系的作用力。內(nèi)力：內(nèi)力：質(zhì)點系的質(zhì)點之間的相互作用力（作用與反作用力）。質(zhì)點系的質(zhì)點之間的相互作用力（作用與反作用力）。由于質(zhì)點系中的由于質(zhì)點系中的內(nèi)力內(nèi)力等值、反向、成對地出現(xiàn)，相互抵消，等值、反向、成對地出現(xiàn)，相互抵消，內(nèi)力內(nèi)力沖量的矢量和為零，即沖量的矢量和為零，即質(zhì)點系動量定理質(zhì)點系動量定理

9、 0 dtFii由此可知，由此可知，內(nèi)力內(nèi)力不改變質(zhì)點系的動量，因此：不改變質(zhì)點系的動量，因此：15質(zhì)點系動量定理質(zhì)點系動量定理質(zhì)點系動量定理的質(zhì)點系動量定理的微分形式：微分形式：質(zhì)點系動量的增量等于作用于質(zhì)點系動量的增量等于作用于質(zhì)點系上的外力元沖量之矢量和質(zhì)點系上的外力元沖量之矢量和，簡寫為：，簡寫為：或者：或者： RiCFFvmdtdpdtd 即：即：質(zhì)點系的動量對時間的導數(shù)等于作用于質(zhì)點系上的外質(zhì)點系的動量對時間的導數(shù)等于作用于質(zhì)點系上的外力之主矢力之主矢。 eieiiiIddtFvmdpd iiIddtFpd16質(zhì)點系動量定理質(zhì)點系動量定理tippdtFpd00質(zhì)點系動量定理的質(zhì)點系

10、動量定理的積分形式：積分形式：或者或者 itiIdtFpp00質(zhì)點系動量定理的質(zhì)點系動量定理的投影形式：投影形式： XiXFdtdp YiYFdtdp ZiZFdtdp17例例10-1 10-1 電動機外殼固定在水平基礎上電動機外殼固定在水平基礎上, ,定子和外殼的質(zhì)定子和外殼的質(zhì)量為量為 , ,轉(zhuǎn)子質(zhì)量為轉(zhuǎn)子質(zhì)量為 . .定子和機殼質(zhì)心定子和機殼質(zhì)心 , ,轉(zhuǎn)子質(zhì)心轉(zhuǎn)子質(zhì)心 , ,角速度角速度 為常量為常量. .求基礎的水平及鉛直約束力求基礎的水平及鉛直約束力. .2m1m1O2OeOO 21 18temgmmFy cos )(2221 temFx sin22 得得emp 2 tempx c

11、os2 tempy sin2 解解: :由由xxFdtdp gmgmFdtdpyy21 19xtem sin22 方向方向: :動約束力動約束力 - - 靜約束力靜約束力 = = 附加動約束力附加動約束力本題的附加動約束力為本題的附加動約束力為ytem cos22方向方向: :電機不轉(zhuǎn)時電機不轉(zhuǎn)時, , , , 稱稱靜約束力靜約束力; ;電機轉(zhuǎn)動時的約束力稱電機轉(zhuǎn)動時的約束力稱動約束力動約束力, ,上面給出的是動約束力上面給出的是動約束力. .0 xFgmmFy)(21 temgmmFy cos)(2221 temFx sin22 20例：鍛壓加工例：鍛壓加工FPh鍛錘重鍛錘重 P=30kN，

12、從高度，從高度h=1.5m處自由下落，打擊處自由下落，打擊工件使其變形，工件變形的時間工件使其變形，工件變形的時間 t0=0.01s，求鍛錘，求鍛錘對工件的平均壓力對工件的平均壓力F。解：解：鍛錘接觸工件時刻的速度為鍛錘接觸工件時刻的速度為ghghggtvo22 / 221gth以接觸工件時刻的鍛錘為對象，由積分形式的動量定理：以接觸工件時刻的鍛錘為對象，由積分形式的動量定理： 00tFPmvmv （其中末速度（其中末速度 v =0, m=P/g）PghtPgtvF 2111000=1690kN討論：討論：F/P=56.321質(zhì)點系動量守恒定律質(zhì)點系動量守恒定律質(zhì)點系動量守恒定律質(zhì)點系動量守恒

13、定律（Conservation of momentum of system of particles）若作用于質(zhì)點系的外力主矢恒等于零，質(zhì)點系的動量保若作用于質(zhì)點系的外力主矢恒等于零，質(zhì)點系的動量保持不變持不變：若作用于質(zhì)點系的外力主矢在某一坐標軸上的投影恒等若作用于質(zhì)點系的外力主矢在某一坐標軸上的投影恒等于零，則質(zhì)點系的動量在該坐標軸上的投影保持不變：于零，則質(zhì)點系的動量在該坐標軸上的投影保持不變：.constvmppii 0.constvmppXiiXX 022解：1) 取物塊和小球為研究對象 2) 其上的重力以及水平面的約束反力均為鉛垂方向。此系統(tǒng)水平方向不受外力作用，則沿水平方向動量守

14、恒沿水平方向動量守恒。vrvAB細桿角速度：ktksin0 即細桿鉛垂時，小球相對相對于物塊的最大的水平速度(向左)：lklvr0 max1 ktsin0 ktcos0 23vrvAB物塊絕對速度為(向右) vvvvra 3) 根據(jù)動量守恒條件0 )(vvmvmrBA4) 物塊的速度BABBArBmmlkmmmvmv 0 1 ktsin0 則 物塊有向左的最大速度小球絕對速度小球絕對速度24 mrmmrmriiiiiC 計算質(zhì)心位置時，常采用直角坐標的投影形式，即計算質(zhì)心位置時，常采用直角坐標的投影形式，即 mzmzmymymxmxiiCiiCiiC 25 eFdtpd Ciivmvmp eC

15、CFamvmdtddtpd eCFam 26質(zhì)心運動定理質(zhì)心運動定理將將質(zhì)心運動定理質(zhì)心運動定理與與質(zhì)點動力學基本方程質(zhì)點動力學基本方程進行類比，可知二者進行類比，可知二者具有相同的形式。即，質(zhì)點系質(zhì)心的運動，可看成具有相同的形式。即，質(zhì)點系質(zhì)心的運動，可看成“質(zhì)點質(zhì)點”的的運動，該運動，該“質(zhì)點質(zhì)點”集中了質(zhì)點系集中了質(zhì)點系全部質(zhì)量全部質(zhì)量以及質(zhì)點系的以及質(zhì)點系的全部外全部外力力。質(zhì)點系的內(nèi)力不影響質(zhì)點系質(zhì)心的運動。質(zhì)點系的內(nèi)力不影響質(zhì)點系質(zhì)心的運動。質(zhì)心運動定理質(zhì)心運動定理的的投影形式：投影形式：ziCyiCxiCFzmFymFxm 直角坐標：直角坐標：biniCtiCFFvmFvm0 2

16、自然坐標：自然坐標：27 在爆破山石時，土石碎塊向各處飛落，在尚無碎石落地前，所有土石碎塊為一質(zhì)點系，其質(zhì)心的運動與一個拋射質(zhì)點的運動相同。 根據(jù)質(zhì)點的運動軌跡，可以在采取定向爆破時，預先估計大部分土石塊堆落的地方。 質(zhì)心運動定理說明：質(zhì)點系的內(nèi)力不影響質(zhì)心的運動，質(zhì)心運動定理說明：質(zhì)點系的內(nèi)力不影響質(zhì)心的運動，只有外力才能改變質(zhì)心的運動只有外力才能改變質(zhì)心的運動。CvP28質(zhì)心運動守恒定律質(zhì)心運動守恒定律質(zhì)心運動守恒定律質(zhì)心運動守恒定律若作用于質(zhì)點系的外力主矢恒等于零，則若作用于質(zhì)點系的外力主矢恒等于零，則質(zhì)心的位置或質(zhì)心的位置或者者靜止靜止或者做或者做勻速直線運動勻速直線運動若作用于質(zhì)點系

17、的外力主矢在某個軸上的投影恒等于零，若作用于質(zhì)點系的外力主矢在某個軸上的投影恒等于零，則則質(zhì)心位置在該軸上的質(zhì)心位置在該軸上的投影投影或者或者靜止靜止，或者做，或者做勻速直線運勻速直線運動動。對于剛體或剛體系統(tǒng)，其質(zhì)心容易確定，應用動量定理對于剛體或剛體系統(tǒng)，其質(zhì)心容易確定，應用動量定理時，主要采用質(zhì)心運動形式時，主要采用質(zhì)心運動形式質(zhì)心運動定理。質(zhì)心運動定理。29例例10-?：如圖所示，在靜止的小船上，一人自船頭走如圖所示，在靜止的小船上，一人自船頭走到船尾，設人的質(zhì)量為到船尾，設人的質(zhì)量為 m2，船的質(zhì)量為，船的質(zhì)量為 m1，船長，船長 l，水的阻力不計。求船的位移。水的阻力不計。求船的位

18、移。30解：解：人與船組成質(zhì)點系人與船組成質(zhì)點系因不計水的阻力，故外力在水平軸上的投影之和等于零，因不計水的阻力，故外力在水平軸上的投影之和等于零，即即 。則有。則有 0 exF常量常量 0CCxx又因系統(tǒng)初瞬時靜止，因此質(zhì)心在水平軸上保持不變。有又因系統(tǒng)初瞬時靜止，因此質(zhì)心在水平軸上保持不變。有常量常量 0CCxx取坐標軸如圖所示，人在走動前，取坐標軸如圖所示，人在走動前，系統(tǒng)的質(zhì)心坐標為系統(tǒng)的質(zhì)心坐標為21120mmbmamxC 人走到船尾時，船移動的距離為人走到船尾時，船移動的距離為s，則質(zhì)心坐標為，則質(zhì)心坐標為 2112mmsbmslamxC 3121120mmbmamxC 2112m

19、msbmslamxC 常量常量 0CCxx可求得小船移動的位移可求得小船移動的位移 122mmlms 討論1、質(zhì)點系的內(nèi)力（鞋底與船、質(zhì)點系的內(nèi)力（鞋底與船間摩擦力）雖不能改變質(zhì)心間摩擦力）雖不能改變質(zhì)心的運動，但能改變系統(tǒng)中各的運動，但能改變系統(tǒng)中各部分的（人與船）的運動。部分的（人與船）的運動。2、靠碼頭的小船會因人上岸、靠碼頭的小船會因人上岸而離岸后退，為防止，應在而離岸后退，為防止，應在岸上將船拴住。岸上將船拴住。32例例10-510-5 均質(zhì)曲柄均質(zhì)曲柄AB長為長為r, ,質(zhì)量為質(zhì)量為m1, ,假設受力偶作用以不假設受力偶作用以不變的角速度變的角速度轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動, ,并帶動滑槽連桿以及與

20、它固連的活塞并帶動滑槽連桿以及與它固連的活塞D, ,如圖所示如圖所示. .滑槽、連桿、活塞總質(zhì)量為滑槽、連桿、活塞總質(zhì)量為m2, ,質(zhì)心在點質(zhì)心在點C . .在活在活塞上作用一恒力塞上作用一恒力F F . .不計摩擦及滑塊不計摩擦及滑塊B的質(zhì)量的質(zhì)量, ,求求: :作用在曲作用在曲柄軸柄軸A A處的最大水平約束力處的最大水平約束力Fx . .33tmmmmrtxaCCx cos2dd2121222 tmmrFFx cos2212 212max2mmrFF 顯然顯然,最大水平約束力為最大水平約束力為應用質(zhì)心運動定理應用質(zhì)心運動定理,解得解得 FFammxCx 21 21211coscos2mmb

21、rmrmxC 解解:如圖所示如圖所示34求求:(1):(1)電機外殼的運動電機外殼的運動.(2).(2)電機跳起的最小角速度電機跳起的最小角速度例例 10-610-6 地面水平地面水平, ,光滑光滑, ,已知已知 , , , , ,初始靜止初始靜止, , 常量常量. .1me 2m3521211)sin()(mmseamsamxC axC 0由由 , ,10CCxx sin212emmms 得得電機在水平方向沒有受到外力，且初始靜止，因此系統(tǒng)的質(zhì)電機在水平方向沒有受到外力，且初始靜止，因此系統(tǒng)的質(zhì)心坐標心坐標 xc 保持不變。保持不變。解解: :（1 1）電機在水平方向的運動）電機在水平方向的運動36 gmmtemFy2122cos 解解: :（2 2）電機跳起的最小角速度電機跳起的最小角速度在上一例題中求得支撐面的鉛直反力在上一例題中求得支撐面的鉛直反力鉛直反力的最小值為鉛直反力的最小值為 2221min emgmmFy 思考題電機是否會跳起？起跳的條件是什么？電機是否會跳起？起跳的條件是什么？電機起跳的條件為：電機起跳的條件為：起跳的最小角速度為：起跳的最小角速度為：0 yFgemmm221min 37 例例 質(zhì)量為質(zhì)量為M 的大三角塊放在光滑水平面上，其斜面上放一和它相似的小三的大三