1、題目 第三章數(shù)列數(shù)列的概念高考要求 理解數(shù)列的概念，了解數(shù)列通項(xiàng)公式的意義；了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，并能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)知識(shí)點(diǎn)歸納 （1）一般形式：(2)通項(xiàng)公式：(3)前n項(xiàng)和：及數(shù)列的通項(xiàng)an 與前n項(xiàng)和Sn 的關(guān)系：題型講解 例若數(shù)列an滿足若，則的值為 （ ）A B C D解：逐步計(jì)算，可得,這說明數(shù)列an是周期數(shù)列，而, 所以應(yīng)選B點(diǎn)評(píng)分段數(shù)列問題是一種新問題，又涉及到周期數(shù)列，顯示了以能力立意，題活而不難的特色例2 如圖,一粒子在區(qū)域上運(yùn)動(dòng),在第一秒內(nèi)它從原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn),接著按圖中箭頭所示方向在x軸、y軸及其平行方向上運(yùn)動(dòng)，且每秒移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度（1）設(shè)粒子從原

2、點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，所經(jīng)過的時(shí)間分別為，試寫出的通相公式；（2）求粒子從原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)所需的時(shí)間；（3）粒子從原點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)，求經(jīng)過2004秒后，它所處的坐標(biāo)解：(1) 由圖形可設(shè)，當(dāng)粒子從原點(diǎn)到達(dá)時(shí)，明顯有 , ,即 （2）有圖形知，粒子從原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)所需的時(shí)間是到達(dá)點(diǎn)所經(jīng)過得時(shí)間 再加（4416）28秒，所以秒（3）由2004，解得，取最大得n=44,經(jīng)計(jì)算，得1980<2004，從而粒子從原點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過1980秒后到達(dá)點(diǎn)，再向左運(yùn)行24秒所到達(dá)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（20，44）點(diǎn)評(píng)從起始項(xiàng)入手，逐步展開解題思維由特殊到一般，探索出數(shù)列的遞推關(guān)系式，這是解答數(shù)列問題一般方法，也是歷年高考命題的熱

3、點(diǎn)所在例3已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足（1）寫出數(shù)列的前三項(xiàng)；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）證明：對(duì)任意的整數(shù)，有 解：（）為了計(jì)算前三項(xiàng)的值，只要在遞推式中，對(duì)取特殊值，就可以消除解題目標(biāo)與題設(shè)條件之間的差異由由由（）為了求出通項(xiàng)公式，應(yīng)先消除條件式中的事實(shí)上當(dāng)時(shí)，有 即有從而 接下來，逐步迭代就有 經(jīng)驗(yàn)證a1也滿足上式，故知 其實(shí)，將關(guān)系式和課本習(xí)題作聯(lián)系，容易想到：這種差異的消除，只要對(duì)的兩邊同除以，便得令就有 ，于是 ，這說明數(shù)列是等比數(shù)列，公比首項(xiàng)，從而，得，即，故有（）由通項(xiàng)公式得當(dāng)且n為奇數(shù)時(shí)， 當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為偶數(shù)，可以轉(zhuǎn)化為上面的情景故任意整數(shù)m>4，有點(diǎn)評(píng)本小題年全

4、國(guó)（舊教材版）高考理科壓軸試題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和以及不等式的證明考查靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題和解決問題的能力當(dāng)中的第2小題，顯然與課本上的問題有著相同的本質(zhì)而第小題又有著明顯的高等數(shù)學(xué)的背景，體現(xiàn)了知識(shí)與技能的交匯，方法與能力的提升，顯示了較強(qiáng)的選拔功能例4 已知數(shù)列an的通項(xiàng)an = (n+1)()n (nN)試問該數(shù)列有沒有最大項(xiàng)？若有，求出最大項(xiàng)和最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)；若沒有，說明理由解：an + 1 an = (n+2)( )n+1 (n+1) ( )n = 當(dāng)n9時(shí)，a n + 1 - an0即a n + 1a n；當(dāng)n=9時(shí)a n + 1a n0，即a n + 1a

5、n，當(dāng)n9時(shí)，a n + 1- an0即a n + 1a n，故a1a2a9 = a10a11a12，數(shù)列an中最大項(xiàng)為a9或a10，其值為10·（）9，其項(xiàng)數(shù)為9或10小結(jié)：1數(shù)列中數(shù)的有序性是數(shù)列定義的靈魂，要注意辨析數(shù)列的項(xiàng)和數(shù)集中元素的異同，數(shù)列an可以看作是一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集或它的子集1,2，n的函數(shù)，因此在研究數(shù)列問題時(shí)既要注意函數(shù)方法的普通性，又要注意數(shù)列方法的特殊性2根據(jù)所給數(shù)列的前n項(xiàng)求其通項(xiàng)時(shí)，需仔細(xì)觀察分析，抓住其幾方面的特征：分式中分子、分母的獨(dú)立特征；相鄰項(xiàng)變化的特征；拆項(xiàng)后的特征，各項(xiàng)符號(hào)特征和絕對(duì)值特征，并由此進(jìn)行化歸、歸納、聯(lián)想3通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和S

6、n的關(guān)系是一個(gè)十分重要的考點(diǎn)，運(yùn)用時(shí)不要忘記對(duì)an=Sn-Sn-1(n2) 的條件的驗(yàn)證學(xué)生練習(xí) 某人要買房，隨著樓層的升高，上下樓耗費(fèi)的精力增多，因此不滿意度升高，當(dāng)住第n層樓時(shí)，上下樓造成的不滿意度為n，但高處空氣清新，嘈雜音較小，環(huán)境較為安靜，因此隨樓層升高環(huán)境不滿意度降低，設(shè)住第n層樓時(shí)，環(huán)境不滿意度為，則此人應(yīng)選（ ）(A) 1樓 (B) 2樓 (C) 3樓 (D) 4樓2 若等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，前項(xiàng)之和為，前項(xiàng)之積為，前項(xiàng)倒數(shù)之和為，則 （A）= （B） （C） （D）32003年12月，全世界爆發(fā)禽流感，科學(xué)家經(jīng)過深入的研究，終于發(fā)現(xiàn)了一種細(xì)菌M在殺死禽流感病毒N的同時(shí)能夠自

7、身復(fù)制已知個(gè)細(xì)菌M可以殺死個(gè)病毒N，并且生成個(gè)細(xì)菌M，那么個(gè)細(xì)菌M和2048個(gè)禽流感病毒N最多可生成細(xì)菌M的數(shù)值是（）（A）1024 B）2048 （C） 2049 （D）無法確定4 設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，令，稱為數(shù)列，的“理想數(shù)”，已知數(shù)列，的“理想數(shù)”為2004，那么數(shù)列2， ，的“理想數(shù)”為(A) 2002 (B) 2004 (C) 2006 (D) 20085 某地為了防止水土流失，植樹造林，綠化荒沙地，每年比上一年多植相同畝數(shù)的林木，但由于自然環(huán)境和人為因素的影響，每年都有相同畝數(shù)的土地沙化，具體情況為下表所示：1998年1999年2000年新植畝數(shù)100014001800沙地畝數(shù)25

8、2002400022400而一旦植完，則不會(huì)被沙化問：（1）每年沙化的畝數(shù)為多少？ （2）到那一年可綠化完全部荒沙地？已知正項(xiàng)數(shù)列滿足 （），且求證（1）（2）7根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)，寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：（1）（2）1，（3）3,33，333,3333，（4）8根據(jù)下列條件，寫出數(shù)列中的前4項(xiàng)，并歸納猜想其通項(xiàng)公式：（1）a1 = 3 , a n + 1 = 2an + 1; (2)a1 = a , a n + 1 =; (3)對(duì)一切nN，a n0且2an+1參考答案CCCA（1）由表知，每年比上一年多造林400畝 因?yàn)?999年新植1400畝，故當(dāng)年沙地應(yīng)降為畝，但當(dāng)年實(shí)際沙地面積為2400

9、0畝，所以1999年沙化土地為200畝同理2000年沙化土地為200畝所以每年沙化的土地面積為200畝（2）由(1)知，每年林木的“有效面積”應(yīng)比實(shí)造面積少200畝 設(shè)2000年及其以后各年的造林畝數(shù)分別為、，則n年造林面積總和為： 由題意： 化簡(jiǎn)得,解得： 故8年，即到2007年可綠化完全部沙地 （1）將條件變形，得于是，有將這n-1個(gè)不等式疊加，得 故 （2）注意到，于是由（1）得，從而，有 7根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)，寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：（1）（2）1，（3）3,33，333,3333，（4）解：（1）an = ；(2)an = (-1)n (3)an = (10n-1) ； (4)an = 8根據(jù)下列條件，寫出數(shù)列中的前4項(xiàng)，并歸納猜想其通項(xiàng)公式：（1）a1 = 3 , a n + 1 = 2an + 1; (2)a1 = a , a n + 1 =; (3)對(duì)一切nN，a n0且2an+1解：（1）a1 = 3 , a2 = 7 , a3 = 15 , a4 = 31 猜想得an