1、第十二講求圖形面積的幾種常用方法在組合圖形中，求陰影部分的面積的常用方法是：割補(bǔ)法、加減法、旋轉(zhuǎn)法、構(gòu)造法、等積的變換，抓不變量、等分、一半的應(yīng)用、代換、比例等。A、割補(bǔ)法：對(duì)于一些求不在一起的幾塊陰影面積的和，往往需要把它們通過(guò)剪割、拼補(bǔ)在一起，才便于計(jì)算，在剪割、拼補(bǔ)過(guò)程中，一定要注意割下來(lái)的圖形和補(bǔ)上去的圖形的形狀、大小必須完全一樣。【例1】如圖，每個(gè)小圓的半徑是2厘米，求陰影部分的面積是多少平方厘米？【分析與解】如圖，通過(guò)剪割、拼補(bǔ)，陰影部分的面積就變成了圓的面積減去正方形的面積，則陰影部分面積為：陰影=S圓一S正方形=兀>424X4+2X4=50.24-32=18.24(方厘米

2、)【例2】右圖中三個(gè)圓的半徑都是4厘米，三個(gè)圓兩兩交于圓心。求陰影部分的面積是多少平方厘米？【分析與解】如圖，三個(gè)陰影部分的面積都相等，只需要求出其中一個(gè)面積即可，但非常困難。這時(shí)我們可以考慮采用割補(bǔ)的方法，同時(shí)利用對(duì)稱性，將其個(gè)半圓形，則陰影部分的面積=3。14X4X4+2=25。12(平方厘米)B、加減法：注意觀察，所求陰影部分的面積看是由哪幾個(gè)圖形相加，再減去哪個(gè)圖形變可以得到。我們把這種通過(guò)加、減就能求出它的面積的方法，我們的把它稱為“加減法”【例3】如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4厘米，求陰影部分的面積是多少?【分析與解】如圖，顯然陰影部分的面積=扇形的面積空白c的面積，而空白c的面積=正方形

3、的面積一扇形的面積,即S陰影=S扇一(S正一S扇)=S扇一S正+$扇=S扇+S扇一S正即S扇+S扇比S正的面積多了b那部分的面積，即b=(b+c)+(b+a)(a+b+c)陰影部分的面積，S陰=兀>42+4*24X4=25.12-16=9.12（平方厘米）。【例4】如圖，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為12厘米，寬為8厘米，求陰影部分的面積是多少？【分析與解】如圖，S陰影=s大扇一Sa=S大扇一（S長(zhǎng)一S小扇）=S大扇+S小扇一S長(zhǎng)=TtX122-4+TtX82-4-12X8=163.28-96=67.28（平方厘米）C、旋轉(zhuǎn)法：在求一些面積時(shí)，有時(shí)需要把某個(gè)圖形進(jìn)行一定方向的旋轉(zhuǎn)，使之拼在起，變成另一個(gè)比

4、較方便求的圖形?！纠?】如圖，梯形ABCD的上底是3厘米，下底是5厘米，高是4厘米，E是梯形的中點(diǎn)。求陰影部分的面積是多少？【分析與解】如圖，由于E是梯形的中點(diǎn)，若以E為圓心，將三角形BEC繞反時(shí)針?lè)较蚍胖?，使C點(diǎn)與D點(diǎn)重合，顯然可得，陰影部分的面積與三角形ABE的面積相等，所以陰影部分的面積=梯形面積的一半=（3+4）X4+2+2=8（平方厘米）。D、等分法：就是將整個(gè)圖形，平均分成若干份，再看所求的圖形的面積占多少份，從而求得陰影部分的面積?！纠?】將三角形ABC的三條邊分別向外延長(zhǎng)一倍，得到一個(gè)大的六邊形，已知三角形ABC的面積是6平方厘米，求大六邊形的面積?！痉治雠c解】要求六邊形的面積

5、，似乎很困難，但通過(guò)三角形的頂點(diǎn)A、B、C的三條邊對(duì)六邊形進(jìn)行等分,就很容易得出，六邊形的面積是三角形面積的13倍，故所求面積為：6X13=78（平方厘米）【例7】如圖，在正方形中，放置了兩個(gè)小正方形，大正方形的面積是180平方厘米,求甲乙兩個(gè)小正方形有面積各是多少?1【分析與解】經(jīng)過(guò)等分，可以得到，甲的面積占正方形面積的一半的2,即甲的面積為4180+2+2=45（平萬(wàn)厘米）；乙的面積占正萬(wàn)形面積的一半的-,即乙的面積=180-2-9X94=40（平方厘米）。E、抓不變量：若甲比乙的面積大a,則甲和乙同時(shí)加上或減去相同的數(shù)，它們的大小不變，而圖形發(fā)生變化，再通過(guò)變化后的圖形進(jìn)行求解，就可以使

6、問(wèn)題得到簡(jiǎn)便；若兩個(gè)面積相等的圖形，同時(shí)加上或差動(dòng)相同的面積，則剩下的面積仍然相等。例8如圖，已知半圓的AB=20（厘米），陰影比陰影面積大57平方厘米，求直角三角形的高BC的長(zhǎng)？N【分析與解】根據(jù)條件，可以求得半圓的面積為：3.14X10X10+2=157（平方（、厘米），又“陰影比陰影面積大57平方厘米”，若陰影和陰影都加上空白部分，則半圓的面積比三角形的面積大57平方厘米，因此可求得三角形面積是157-57=100（平方厘米），高BC為：100X2+20=10（厘米）F、“一半”的應(yīng)用：在正方形、長(zhǎng)方形、平行四邊形中，以其中一條邊為底，在它的對(duì)邊上任意取一點(diǎn)，所得的三角形的面積等于整個(gè)面

7、積的一半。例9一個(gè)長(zhǎng)方形長(zhǎng)邊為12厘米，寬AB=8厘米，E是BC上一點(diǎn)，AE長(zhǎng)10厘米,AE和DF互相垂直，DF長(zhǎng)是多少厘米？【分析與解】如圖，如果連接DE,則可得三角形ADE的面積是長(zhǎng)方形面積的一半，由“AE和DF互相垂直”，可知DF是三角形ADE的高，貝UDF=12X8+2X2+10=9.6（厘米）【例10如圖，在長(zhǎng)方形中，四條直線把長(zhǎng)方形分成了八部分，已知其中的三部分的面積分別是17、45、34平方厘米，則陰影部分的面積是多少平方厘米？【分析與解】首先可得，兩個(gè)大三角形的面積都是長(zhǎng)方形面積的半，所剩下的部分也是長(zhǎng)方形的一半，為了能比較清楚的表示它們之間的關(guān)系，不妨用字母a、b、c來(lái)表木其

8、余部分的面積。顯然有a+b+c=a+17+45+c+34,所以陰影部分的面積b=17+45+34=96（平方厘米）【另解】也可根據(jù)覆蓋原理，當(dāng)覆蓋部分面積之和等于總面積時(shí)，必有重疊面積等于外露面積。b是重疊面積，17、45、34都是外露面積，所以有b=17+45+34=96（平方厘米）G、等積變換：根據(jù)圖形的特點(diǎn)，由面積與面積之間的相等關(guān)系，進(jìn)行一些轉(zhuǎn)化，從而使問(wèn)題解決得到簡(jiǎn)便。6厘米，求圖【例11如圖，由大、小兩個(gè)正方形組成的圖形中，小正方形的邊長(zhǎng)是中陰影部分的面積是多少平方厘米？【分析與解】根據(jù)已知條件，要求陰影部分的面積是比較難的。但是，如果我們連接BD,再仔細(xì)觀察三角形ACD與三角形A

9、BC,不難得出它們都是以小正方形的對(duì)角線AC為底，以梯形ABDC的高為高，所以三角形ACD的面積=三角形ABC的面積=小正方形面積的一半，所以陰影部分的面積=6X6+2=18（平方厘米）【例12】三角形ABC的面積為60平方厘米，AE=ED,BD=|BC,求陰影部分的面積3是多少平方厘米？【分析與解】BC看成3份，DC就是1份，由“AE=ED”可得三角形ABE的面積=三角形BDE的面積。又以BD為底的三角形在圖上有三角形BDE和三角形BDF,所以需要連接的線有EC或DF,如果連接EC,則會(huì)發(fā)現(xiàn)三角形AEF與三角形BED的聯(lián)系不大；如果連接DF,則有三角形AEF與三角形EFD的面積相等，陰影部分

10、的面積變變成為三角形BFD的面積。這時(shí)我們把三角形FDC的面積看作1份，三角形BDF的面積就是2份，三角形ABF的面積=三角形BDF的面積，所以三角形ABF的面積也為2份，三角形ABC的面積就被平分成了1+2+2=5（份），陰影部分的面積為：60X2=24（平方厘米）。H、構(gòu)造法：就是根據(jù)已知數(shù)據(jù)的特殊性，構(gòu)造出一個(gè)我們比較熟悉的圖形來(lái)進(jìn)行解答。這種方法在以后的學(xué)習(xí)中應(yīng)用得更加廣泛，在這里我們主要講如何將直角三角形構(gòu)造成正方形來(lái)計(jì)算的題型。【例13】一個(gè)等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)6厘米，求它的面積？Q6【分析與解】如果我們用四個(gè)同樣的等腰直角三角形就可以構(gòu)造成一個(gè)正方形，4倍。所求直角三角形個(gè)正方

11、形的邊長(zhǎng)就是這個(gè)三角形的斜邊長(zhǎng)度，面積是這個(gè)三角形的的面積是6X6+4=9（平方厘米）【例14】一個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)10厘米，兩直角邊相差6厘米,【分析與解】如果我們用四個(gè)同樣的直角三角形就可以構(gòu)造成一個(gè)空心正方形，正方形中陰影部分的面積=大正方形的面積一小正方形的面積，小正方形的邊長(zhǎng)恰好是兩條直角邊的差，所以直角三角形的面積=6X6）+4=16（平方厘米）I、比例法：如果兩個(gè)三角形的高相等，則它們面積的比等于它們底的比；如果兩個(gè)三角形的底相等，則它們面積的比等于它們高的比；如果兩個(gè)長(zhǎng)方形的寬相等，則它們面積的比就等于長(zhǎng)的比?！纠?5如圖，在梯形ABCD,兩條對(duì)角線相交于O,下底是上底的3倍

12、，三角形AOD的面積是12平方厘米，那么梯形的面積為多少平方厘米？【分析與解】在梯形ABCD中，容易得出三角形AOB的面積=三角形DOC的面積=12平方厘米；又AO:OC=OB:OD=AB:DC=1:3,12:a=3:1,a=4,12:b=1:3,b=36,則梯形的面積為：12+12+4+36=64（平方厘米）?！纠?6如圖，長(zhǎng)方形被兩條直線分成了四個(gè)小長(zhǎng)方形，已知其中三個(gè)長(zhǎng)方形的面積46x21分別是：4、6、21平方厘米，那么陰影部分的面積是多少？【分析與解】設(shè)陰影部分的面積是x平方厘米，則有4:6=x:21,則陰影部分x的面積=21X4y=14（平方厘米）J、利用r2和r3代換：有解有關(guān)圓

13、和圓柱的題目時(shí)，如果沒(méi)有告訴半徑以及沒(méi)有給出求半徑的條件，直接給出圖形的面積時(shí)，往往不需要求半徑，只需求出r2和r3即可。【例17如圖，陰影部分的面積為20平方厘米，求圓環(huán)的面積是多少？【分析與解】圓環(huán)的面積=大圓面積一小圓面積=兀R2兀r2=MR2r2);而R2所表示的意義為大正方形的面積，r2所表示的意義為小正方形的面積，(R2r2)恰好表示陰影部分的面積，所以圓環(huán)的面積=兀(R2r2)=3.14X20=62.8(平方厘米)【例18】一個(gè)正方體的體積50立方厘米，一個(gè)圓柱體的底面半徑、高與正方體的棱長(zhǎng)都相等，求這個(gè)圓柱體的體積？【分析與解】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a,圓柱體的底面半徑為r,高為h,

14、則有a3=50,r=h=a,V=Hr2h=Ha3=3.14X50=157（立方厘米）解法練習(xí)題12A、割補(bǔ)法：1、求下列圖形中陰影部分的面積。(單位：厘米)4圖1-64圖8-8B、加減法：2、求下列圖形中陰影部分的面積。（單位：厘米）圖2-1圖2-3圖2-884442圖2-1044圖2-14A8A圖C-1312圖2-155圖2-9B圖2-12AB=17BO102=10DAC=2圖2-16C、旋轉(zhuǎn)法：3、求下列圖形中陰影部分的面積。（單位：厘米）D、等分法：4、下列每個(gè)正六邊形的面積都是36平方厘米，求圖形中陰影部分的面積。圖4-1圖4-2圖4-35、四個(gè)相同的正六邊形，每個(gè)面積都是6平方厘米，

15、求圖形中三角形的面積。6、如圖所示，四個(gè)等腰直角三角形和一個(gè)正方形拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，已知正方形的面積是5平方厘米，求長(zhǎng)方形的面積。8、長(zhǎng)方形ABCD的長(zhǎng)是15厘米，寬是8厘米，E、F是中點(diǎn)，求陰影部分的面積。E、F、G、H分別是中點(diǎn)，求陰影部分的面積。幾？10、下面是兩個(gè)等腰直角三角形組成的圖形，求陰影部分的面積占整個(gè)圖形的幾分之E、抓不變量:11、正方形ABCD的邊長(zhǎng)為5厘米，CEF的面積比ABE的面積大5平方厘米，求CE的長(zhǎng)。12、已知長(zhǎng)方形ABCD,長(zhǎng)是8厘米，寬是6厘米，陰影比陰影面積小10.5平方厘米，求線段CE的長(zhǎng)？13、在平行四邊形BCDG中，BC長(zhǎng)10厘米，直角三角形ABC的直角

16、邊AB的長(zhǎng)是8厘米，已知陰影部分的面積比AEF的面積大10平方厘米。求BF的長(zhǎng)？14、已知半圓的半徑是4,陰影部分比陰影部分面積大4.44平方厘米，求BC的長(zhǎng)?B15、如圖三角形ABC與三角形DEF是兩個(gè)完全一樣的三角形，已知AB=12,BE=5,DG=4,求陰影部分的面積？16、如圖，OB把半徑為6厘米，圓心角為900的扇形分成兩部分，扇形OBC的面積是扇形OAB面積的2倍。ODBE是長(zhǎng)方形，那么圖中甲的面積比乙的面積大多少？F、“一半”的應(yīng)用：17、已知長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為8厘米，寬為6厘米，求陰影部分的面積?818、已知平行四邊形被分為4個(gè)三角形，已知其中3個(gè)三角形有面積分別為11、30、43平

17、方厘米，那么陰影部分的面積為多少平方厘米？19、如圖所示，已知平行四邊形中的3個(gè)三角形的面積分別為7、2、9平方厘米，那么陰影部分的面積為多少平方厘米？20、如圖所示，已知正方形圖中的五塊面積分別為65、20、50、15、70平方厘米，那么陰影部分的面積為多少平方厘米？21、在平行四邊形ABCD中，三角形ABP的面積為15,三角形PBC的面積為34,那么陰影部分的面積為多少平方厘米？ADPCBDE=?EADFADPBCBC0.62A0.80BDFCEDGF是長(zhǎng)方形，CD=4厘米，DG=5厘米三角形ABP的面積為12,三角形PBC的面積為21,那么陰DHA_GBGC25、正方形外面有A、B兩點(diǎn)，

18、圖形內(nèi)所標(biāo)數(shù)據(jù)分別為各小三角形的面積，那么陰影部分的面積為多少平方厘米？EP26、如圖，ABCD為平行四邊形，三角形DCE的面積是97平方厘米，那么陰影部分的面積為多少平方厘米？24、平行四邊形ABCD中，被兩條直線分成四個(gè)平行四邊形，已知平行四邊形PFBG=26平方厘米，平行四邊形DHPE=16平方厘米，那么陰影部分的面積為多少平方厘米？23、在長(zhǎng)方形ABCD中影部分的面積為多少平方厘米?27、如圖，在四邊形ABCD中，DCFG為正方形，ADEB為梯形，DE=30厘米，DG=24厘米，AB=39厘米，求梯形ABED的面積？28、如圖，長(zhǎng)方形被分成四個(gè)小三角形，其中一個(gè)三角形占長(zhǎng)方形面積的21

19、%,另個(gè)面積為87平方厘米，求長(zhǎng)方形的面積？29、在四邊形ABCD中，AB=BC=10厘米，BE=8厘米，求AD的長(zhǎng)?30、在正方形ABCD中，AB=8厘米,AF=10厘米，求DE的長(zhǎng)?31、BD、CF將長(zhǎng)方形ABCD分成4塊，紅色三角形面積是4平方厘米，黃色三角形面積是6平方厘米，綠色四邊形的面積是多少平方厘米?AD32、AED和BFC是兩個(gè)相等的等腰直角三角形，面積都是2003平方厘米，求平行四邊形ABCD的面積?33、AE:ED=9:5,BF:FC=7:4。比較紅色與藍(lán)色面積的大小。G、等積變換:234、二角形ABC的面積為1,AE=ED,BD=-3BC,求陰影部分的面積。BBC,AE=

20、ED,若三角形ABC的面積是14平方厘米，求陰影部36、三角形ABC的面積是40平方厘米，AE=ED,DC=2DB,則陰影部分的面積是多三角形ABC的面積是12平方厘米，EC=2AE,F是中點(diǎn)，則陰影部分的面積是37、38、由大小兩個(gè)正方形組成的圖形中,小正方形的邊長(zhǎng)是6厘米，則陰影部分的面積是39、由大小兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)分別是10厘米、6厘米，則陰影部分的面積是多少平方厘40、已知長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是15厘米，寬是8厘米，四邊形EFGH的面積是12平方厘米,求空白部分的面積？41、已知長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是8厘米，寬是6厘米，四邊形EFGH的面積是3平方厘米，求陰影部分的面積？H、構(gòu)造法：42、如圖，求四邊形

21、的面積是多少？（單位：厘米）43、一個(gè)等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)6厘米，求它的面積?44、一個(gè)正方形的對(duì)角線長(zhǎng)5厘米，求這個(gè)正方形的面積。45、一個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)是的面積？10厘米，兩直角邊的差是3厘米，求這個(gè)直角三角形46、一個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)是15厘米，兩直角邊的差是4厘米，求這個(gè)直角三角形的面積?47、如圖，小正方形的邊長(zhǎng)是3厘米，大正方形的邊長(zhǎng)是5厘米，求陰影部分的面積是I、比例法：48、四邊形的兩條對(duì)角線，將四邊形分為四個(gè)小三角形，別是15平方米、75平方米、65平方米，求陰影部分的面積?已知其中三個(gè)三角形的面積分49、一個(gè)長(zhǎng)方形被兩條直線分成四個(gè)長(zhǎng)方形，其中三個(gè)的面積分別是方米、30平方米，求陰影部分的面積？20平方米、25平50、一個(gè)長(zhǎng)方形被四條直線分成九個(gè)長(zhǎng)方形，其中五個(gè)的面積分別是1、2、3、4、551、如圖所示，圖形內(nèi)所標(biāo)數(shù)據(jù)分別為各小長(zhǎng)方形的面積，那么大長(zhǎng)方形的面積是多少?203616301252、如圖所示，已知梯形中的兩個(gè)小三角形的面積為3、9平方厘米，那么梯形的面積是多少？ABCD中，三角形CDE的面積為20平方厘米,AE:ED=2:53、如圖所示，已知梯形5,那么梯形的面積是多