1、第第24章章解直角三角形解直角三角形中考要求中考要求1）基本概念：包括直角三角形的基本元素，）基本概念：包括直角三角形的基本元素，邊角關(guān)系，銳角三角函數(shù)等邊角關(guān)系，銳角三角函數(shù)等2）基本計算：包括對角的計算，對邊的）基本計算：包括對角的計算，對邊的計算，應用某種關(guān)系計算等。計算，應用某種關(guān)系計算等。3）基本應用：主要題型是：測量，航海，坡面）基本應用：主要題型是：測量，航海，坡面改造，光學，修筑公路等其主要思想方法是：改造，光學，修筑公路等其主要思想方法是：方程思想，數(shù)形結(jié)合，化歸轉(zhuǎn)化，數(shù)學建模等。方程思想，數(shù)形結(jié)合，化歸轉(zhuǎn)化，數(shù)學建模等。sin A= 斜邊的對邊Acos A= 斜邊的鄰邊At

2、an A= 的鄰邊的對邊AA cot A= 的對邊的鄰邊AA知識 概要（一）銳角三角函數(shù)的概念（一）銳角三角函數(shù)的概念分別叫做銳角分別叫做銳角A的的正弦、正弦、余弦、正切、余弦、正切、余切余切，統(tǒng)稱為，統(tǒng)稱為銳角銳角A的三的三角函數(shù)角函數(shù).0sin A1，0cos A1 這些這些函數(shù)值之間函數(shù)值之間有什么關(guān)系有什么關(guān)系？（二）同角三角函數(shù)之間的關(guān)系（二）同角三角函數(shù)之間的關(guān)系sinA+cosA=1tanA=sinA/cosAtanA cotA=1（三）互余兩角三角函數(shù)之間的關(guān)系（三）互余兩角三角函數(shù)之間的關(guān)系sin A= cos（90 - A）tan A =cotA（90 - A）212122

3、22332323333311角度角度逐漸逐漸增大增大正弦值正弦值如何變?nèi)绾巫兓?正正弦弦值值也也增增大大余弦值余弦值如何變?nèi)绾巫兓?余弦值逐漸減小正切值正切值如何變?nèi)绾巫兓?正切正切值也值也隨之隨之增大增大余切值余切值如何變?nèi)绾巫兓?余切余切值逐值逐漸減漸減小小cottancossin6 045 3 0角 度三角函數(shù)09001001不存在不存在0（四）特殊的三角函數(shù)值（四）特殊的三角函數(shù)值知識 概要知識 概要（五）三角函數(shù)值的變化規(guī)律（五）三角函數(shù)值的變化規(guī)律1）當角度在）當角度在0-90之間變化時，正弦值（正切值）之間變化時，正弦值（正切值）隨著角度的增大（隨著角度的增大（或減小或減

4、?。┒龃螅ǎ┒龃螅ɑ驕p小或減?。?）當角度在）當角度在0-90之間變化時，余弦值（余切值）之間變化時，余弦值（余切值）隨著角度的增大（隨著角度的增大（或減小或減小）而減?。ǎ┒鴾p?。ɑ蛟龃蠡蛟龃螅┲R 概要 填空：比較大小填空：比較大小1735tan) 1 (5317tan9cos2）（10cos82sin68sin3）（知識 概要（六）解直角三角形（六）解直角三角形由直角三角形中，除直角外的已知元素，求出所有由直角三角形中，除直角外的已知元素，求出所有未知元素的過程，叫做解直角三角形。未知元素的過程，叫做解直角三角形。若直角三角形若直角三角形ABC中，中，C=90 ，那么，那么A， B，

5、 C，a,b,c中除中除C=90外，其余外，其余5個元素之間有如下關(guān)系：個元素之間有如下關(guān)系：1）a+b=c2）A+B=90 3）c ca aA AB BB BC C斜斜邊邊A A的的對對邊邊s si in nA AABCabcc cb bA AB BA AC C斜斜邊邊A A的的鄰鄰邊邊c co os sA Ab ba aACACBCBCA A的鄰邊的鄰邊A A的對邊的對邊tanAtanA只要知道其中只要知道其中2個元素個元素（至少要有一個是邊）就（至少要有一個是邊）就可求出其余可求出其余3個未知數(shù)個未知數(shù)1）仰角和俯角）仰角和俯角鉛鉛直直線線水平線水平線視線視線視線視線仰角仰角俯角俯角在進

6、行測量時，從下向上看，視線與水平線的夾角叫做仰角；從上往下看，視線與水平線的夾角叫做俯角.知識 概要（七）應用問題中的幾個重要概念（七）應用問題中的幾個重要概念 以正南或正北方向為準，正南或正北方向以正南或正北方向為準，正南或正北方向線與目標方向線構(gòu)成的小于線與目標方向線構(gòu)成的小于900的角的角,叫做方叫做方向角向角.如圖所示：如圖所示：3045BOA東東西西北北南南2）方向角）方向角4545西南西南O東北東北東東西西北北南南西北西北東南東南圖 19.4.5 坡度通常寫成坡度通常寫成1 m的形式，如的形式，如i=1 6.坡面與水平面的夾角叫做坡角，記作坡面與水平面的夾角叫做坡角，記作a，有有i

7、 =tan a顯然，坡度越大，坡角顯然，坡度越大，坡角a就越大，坡面就越陡就越大，坡面就越陡.lh 在修路、挖河、開渠和筑壩時，設計圖紙上都要注明斜在修路、挖河、開渠和筑壩時，設計圖紙上都要注明斜坡的傾斜程度坡的傾斜程度.lh如圖如圖:坡面的鉛垂高度（坡面的鉛垂高度（h）和水平長度（）和水平長度（l）的比叫做坡面坡度（或坡比）的比叫做坡面坡度（或坡比）.記作記作i,即即 I = .3）坡度（坡比）坡度（坡比）,坡角的概念坡角的概念銳角三角函數(shù)的概念關(guān)系銳角三角函數(shù)的概念關(guān)系銳角三角函數(shù)的概念銳角三角函數(shù)的概念1. 在在 ABC中中A B，C=90則則下列結(jié)論正確的是（下列結(jié)論正確的是（ ）si

8、nAsinBsinA+sinB=1sinA=sinB若各邊長都擴大為原來的若各邊長都擴大為原來的2倍，則倍，則tanA也擴大為原來的也擴大為原來的2倍倍A)(1)(3) B)(2)C)(2)(4) D)(1)(2)(3)解析：令解析：令a=3,b=4則則c=5,sinA=3/5,sinB=4/5且且 A B，易知，易知（1）（）（3）都不對，故選）都不對，故選 B）用構(gòu)造特殊的直角三角形來否定某些用構(gòu)造特殊的直角三角形來否定某些關(guān)系式，是解決選擇題的常用方法關(guān)系式，是解決選擇題的常用方法2.(20102.(2010哈爾濱中考哈爾濱中考) )在在RtRtABCABC中，中，C C9090，B B

9、3535，ABAB7 7，則，則BCBC的長為的長為( )( )(A)7sin35(A)7sin35 (B) (B) (C)7cos35(C)7cos35 (D)7tan35 (D)7tan35【解析解析】選選C.C.由三角函數(shù)的定義可知由三角函數(shù)的定義可知. .銳角三角函數(shù)的概念關(guān)系銳角三角函數(shù)的概念關(guān)系三角函數(shù)值三角函數(shù)值三角函數(shù)值三角函數(shù)值3.如果3.如果 cosA-0.5cosA-0.5+ +3 3tanB-3tanB-3 =0,=0,那么那么ABC是（ ）ABC是（ ）A）銳角三角形）銳角三角形B）直角三角形）直角三角形D）鈍角三角形）鈍角三角形C）等邊三角形）等邊三角形解：根據(jù)非負

10、數(shù)的性質(zhì)，由已知得解：根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)，由已知得cosA=cosA=1 12 2,tanB=,tanB= 3 3則則 C銳角三角函數(shù)的概念關(guān)系銳角三角函數(shù)的概念關(guān)系三角函數(shù)值三角函數(shù)值三角函數(shù)值三角函數(shù)值4. 計算：4. 計算： sinsin2 24545 0 0+ 6tan30+ 6tan30 點評點評 融特殊角的三角函數(shù)值，簡單融特殊角的三角函數(shù)值，簡單的無理方程的計算以及數(shù)的零次冪的的無理方程的計算以及數(shù)的零次冪的意義于一體是中考命題率極高的題型意義于一體是中考命題率極高的題型之一之一cos245+ tan60cos30oooo30sin45cos30sin45cos銳角三角函數(shù)的概念關(guān)

11、系銳角三角函數(shù)的概念關(guān)系三角函數(shù)值三角函數(shù)值互余或同角的三角函數(shù)關(guān)系互余或同角的三角函數(shù)關(guān)系互余或同角的三角函數(shù)互余或同角的三角函數(shù)5.下列式中不正確的是（下列式中不正確的是（ ）A)cos35A)cos35 2 26060 2 26060 C點評點評：應用互余的三角函數(shù)關(guān)系：應用互余的三角函數(shù)關(guān)系進行正弦與余弦的互化，并了解進行正弦與余弦的互化，并了解同一個銳角的三角函數(shù)關(guān)系，能同一個銳角的三角函數(shù)關(guān)系，能運用其關(guān)系進行簡單的轉(zhuǎn)化運算，運用其關(guān)系進行簡單的轉(zhuǎn)化運算，才能解決這類問題。才能解決這類問題。銳角三角函數(shù)的概念關(guān)系銳角三角函數(shù)的概念關(guān)系三角函數(shù)值三角函數(shù)值互余或同角的三角函數(shù)關(guān)系互余

12、或同角的三角函數(shù)關(guān)系互余或同角的三角函數(shù)互余或同角的三角函數(shù)6 在在 ABC中中C=90化簡下面的式子化簡下面的式子1 1- -2 2s si in nA Ac co os sA A 7 已知方程已知方程 的兩根為的兩根為一個直角三角形兩銳角一個直角三角形兩銳角A，B的余弦，的余弦，求求A，B的度數(shù)及的度數(shù)及m的值的值點評：利用互余或同角的三角函點評：利用互余或同角的三角函數(shù)關(guān)系的相關(guān)結(jié)論是解決這類問數(shù)關(guān)系的相關(guān)結(jié)論是解決這類問題的關(guān)鍵題的關(guān)鍵220 xx m 銳角三角函數(shù)的概念關(guān)系銳角三角函數(shù)的概念關(guān)系三角函數(shù)值三角函數(shù)值互余或同角的三角函數(shù)關(guān)系互余或同角的三角函數(shù)關(guān)系4.解直角三角形解直角

13、三角形解直角三角形解直角三角形7 7. .在在R Rt t A AB BC C中中， 解解 點評點評：由于三角函數(shù)是邊之間：由于三角函數(shù)是邊之間的比，因此利用我們熟知的按的比，因此利用我們熟知的按比例設為參數(shù)比的形式來求解，比例設為參數(shù)比的形式來求解，是處理直角三角形問題的常用是處理直角三角形問題的常用方法。方法。3.數(shù)學活動課上，小敏、小穎分別畫了數(shù)學活動課上，小敏、小穎分別畫了ABC和和DEF， 數(shù)據(jù)如圖，如果把小敏畫的三角數(shù)據(jù)如圖，如果把小敏畫的三角形面積記作形面積記作SABC，小穎畫的三角形面積記作，小穎畫的三角形面積記作SDEF，那么你認為（，那么你認為（ ）ASABC SDEF B

14、SABC 16點點B在暗礁區(qū)外在暗礁區(qū)外.2)如圖過點如圖過點C作作CDAB交交AB的延長線于的延長線于D點，設點，設BD=x，在，在Rt BCD中，中，CBD=60， 船繼續(xù)向東航行沒有觸礁的危險。船繼續(xù)向東航行沒有觸礁的危險。 13.(1213.(12分分) )為打擊索馬里海盜，保護各國商船的順利通行，為打擊索馬里海盜，保護各國商船的順利通行，我海軍某部奉命前往該海域執(zhí)行護航任務某天我護航艦正我海軍某部奉命前往該海域執(zhí)行護航任務某天我護航艦正在某小島在某小島A A北偏西北偏西4545并距該島并距該島2020海里的海里的B B處待命位于該島處待命位于該島正西方向正西方向C C處的某外國商船遭

15、到海盜襲擊，船長發(fā)現(xiàn)在其北偏處的某外國商船遭到海盜襲擊，船長發(fā)現(xiàn)在其北偏東東6060的方向有我軍護航艦的方向有我軍護航艦( (如圖所示如圖所示) )，便發(fā)出緊急求救信，便發(fā)出緊急求救信號我護航艦接警后，立即沿號我護航艦接警后，立即沿BCBC航線以航線以每小時每小時6060海里的速度前去救援問我護海里的速度前去救援問我護航艦需多少分鐘可以到達該商船所在的航艦需多少分鐘可以到達該商船所在的位置位置C C處？處？( (結(jié)果精確到個位參考數(shù)據(jù)：結(jié)果精確到個位參考數(shù)據(jù)： 1.4, 1.7)1.4, 1.7)23【解析解析】由圖可知，由圖可知，ACB=30ACB=30,BAC=45,BAC=45，作作BD

16、ACBDAC于于D(D(如圖如圖) )，在，在RtRtADBADB中，中，AB=20,BD=ABsin 45AB=20,BD=ABsin 45=20=20 =10 . =10 .在在RtRtBDCBDC中，中，DCB=30DCB=30BC=2BC=210 =20 28,10 =20 28, 0.47 0.47，0.470.4760=28.228(60=28.228(分鐘分鐘).).答：我護航艦約需答：我護航艦約需2828分鐘就可到達該商船所在的位置分鐘就可到達該商船所在的位置C C處處. .22222286011）如圖）如圖AM，BN是一束平行的陽光從教室窗戶是一束平行的陽光從教室窗戶AB射入

17、的平射入的平面示意圖，光線與地面所成的角面示意圖，光線與地面所成的角AMC=30，在教室地面，在教室地面的影長的影長MN= 米，若窗戶的下檐到教室地面的距離米，若窗戶的下檐到教室地面的距離BC=1米，米，則窗戶的上檐到教室地面的距離則窗戶的上檐到教室地面的距離AC為（為（ ）米）米A A) )2 23 3 B B) )3 3 C C) )3 3. .2 2 D D) )3 33 32 22 2 3 3解：如圖過B作BD解：如圖過B作BDMC交AM于D，MC交AM于D， 則得四邊形DBNM是平行四邊形 則得四邊形DBNM是平行四邊形 B此題屬于光學問題的基本應用，首先此題屬于光學問題的基本應用，

18、首先要對有關(guān)生活常識有所了解，從圖形要對有關(guān)生活常識有所了解，從圖形入手，數(shù)形結(jié)合，將已知信息轉(zhuǎn)化為入手，數(shù)形結(jié)合，將已知信息轉(zhuǎn)化為解直角三角形的數(shù)學模型去解。解直角三角形的數(shù)學模型去解。12）如圖，一張長方形的紙片）如圖，一張長方形的紙片ABCD，其長，其長AD為為a，寬，寬AB為為b(ab) ，在，在BC邊上選取一點邊上選取一點M，將，將 ABM沿著沿著AM翻折翻折后，后，B至至N的位置，若的位置，若N為長方形紙片為長方形紙片ABCD的對稱中心，的對稱中心，求求a/b的值。的值。2 21 1N ND DA AB BC CM M3解解：如如圖圖連連結(jié)結(jié)N NC C，由由已已知知得得， A AB BMM 點評點評：此題是創(chuàng)新綜合題，要求我們對圖形及其此題是創(chuàng)新綜合題，要求我們對圖形及其變換有較深刻的理解，并運用圖形對稱性和解直變換有較深刻的理解，并運用圖形對稱性和解直角三角形知識或勾股定理建立等式求解。角三角形知識或勾股定理建立等式求解。13）一艘輪船以一艘輪船以20海里海里/時的速度由西向東航行，途中接到臺時的速度由西向東航行，途中接到臺風警報，臺風中