1、2 2 柯西古薩基本定理柯西古薩基本定理第三章第三章 復(fù)變函數(shù)的積分復(fù)變函數(shù)的積分(1). 等價(jià)條件在 D 內(nèi)與路徑無關(guān).yPxQ在 D 內(nèi)有yQxPudddLyQxPdd對(duì) D 內(nèi)任意閉曲線 L 有0ddLyQxP在 D 內(nèi)有設(shè) P, Q 在 D 內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則有回憶計(jì)算第二型曲線積分的方法回憶計(jì)算第二型曲線積分的方法(2). 格林公式LyQxPddyxyPxQDddL是是D邊界的正向邊界的正向一、問題的提出觀察上節(jié)例觀察上節(jié)例1, , )( 在復(fù)平面內(nèi)處處解析在復(fù)平面內(nèi)處處解析被積函數(shù)被積函數(shù)zzf 此時(shí)積分與路線無關(guān)此時(shí)積分與路線無關(guān). 觀察上節(jié)例觀察上節(jié)例4, ,1 0 0

2、zzn 時(shí)為時(shí)為被積函數(shù)當(dāng)被積函數(shù)當(dāng) , 0的內(nèi)部不是處處解析的的內(nèi)部不是處處解析的為中心的圓周為中心的圓周它在以它在以Cz cizzz. 02d1 0此時(shí)此時(shí)觀察上節(jié)例觀察上節(jié)例5, ,)( iyxzzf 被積函數(shù)被積函數(shù)由于不滿足柯西黎曼方程由于不滿足柯西黎曼方程, 故而在復(fù)平面內(nèi)故而在復(fù)平面內(nèi)處處不解析處處不解析. d 與路線有關(guān)與路線有關(guān)此時(shí)積分值此時(shí)積分值z(mì)zc . , 0域域但此區(qū)域已不是單連通但此區(qū)域已不是單連通的內(nèi)部函數(shù)處處解析的內(nèi)部函數(shù)處處解析的的雖然在除去雖然在除去Cz 由以上討論可知由以上討論可知, 積分是否與路線有關(guān)積分是否與路線有關(guān), 可可能決定于被積函數(shù)的解析性及區(qū)

3、域的連通性能決定于被積函數(shù)的解析性及區(qū)域的連通性.B二、基本定理柯西古薩基本定理柯西古薩基本定理. 0d)( : )( , )( czzfCBzfBzf的積分為零的積分為零內(nèi)的任何一條封閉曲線內(nèi)的任何一條封閉曲線沿沿那末函數(shù)那末函數(shù)內(nèi)處處解析內(nèi)處處解析在單連通域在單連通域如果函數(shù)如果函數(shù)C定理中的定理中的 C 可以不是簡(jiǎn)單可以不是簡(jiǎn)單曲線曲線.此定理也稱為此定理也稱為柯西積分定柯西積分定理理.關(guān)于定理的說明關(guān)于定理的說明:(1) 如果曲線如果曲線 C 是區(qū)域是區(qū)域 B 的邊界的邊界, )( 在在函數(shù)函數(shù)zf , 上解析上解析即在閉區(qū)域即在閉區(qū)域CBB , 上解析上解析內(nèi)與內(nèi)與CB czzf.

4、0d)( 那末那末(2) 如果曲線如果曲線 C 是區(qū)域是區(qū)域 B 的邊界的邊界, )( 在在函數(shù)函數(shù)zf那末那末上連續(xù)上連續(xù)在閉區(qū)域在閉區(qū)域 , CBB , 內(nèi)解析內(nèi)解析B定理仍成立定理仍成立.三、典型例題例例1 1解解 1.d321 zzz計(jì)算積分計(jì)算積分 , 1 321 內(nèi)解析內(nèi)解析在在函數(shù)函數(shù) zz根據(jù)柯西古薩定理根據(jù)柯西古薩定理, 有有 1. 0d321zzz例例2 2. ),1(0d)( 任意閉曲線任意閉曲線是是其中其中證明證明Cnzzcn 證證 , )1(為正整數(shù)時(shí)為正整數(shù)時(shí)當(dāng)當(dāng)n , )(平面上解析平面上解析在在 zzn 由柯西古薩定理由柯西古薩定理, . 0d)( cnzz ,

5、 1 )2(時(shí)時(shí)為負(fù)整數(shù)但不等于為負(fù)整數(shù)但不等于當(dāng)當(dāng) n , )(平面上解析平面上解析的整個(gè)的整個(gè)在除點(diǎn)在除點(diǎn)zzn , :點(diǎn)點(diǎn)不包圍不包圍若若情況一情況一 C由柯西古薩定理由柯西古薩定理, ; 0d)( cnzz , :點(diǎn)點(diǎn)包圍包圍若若情況二情況二 C由上節(jié)例由上節(jié)例4可知可知, . 0d)( cnzz , )(圍成的區(qū)域內(nèi)解析圍成的區(qū)域內(nèi)解析在在 Czn 例例3 3.d)1(1 212 izzzz計(jì)算積分計(jì)算積分解解,11211)1(12 izizzzz , 21 1 1 上解析上解析都在都在和和因?yàn)橐驗(yàn)?izizz根據(jù)柯西古薩定理得根據(jù)柯西古薩定理得 212d)1(1izzzz 21d1

6、211211izzizizz 212121d121d121d1izizizzizzizzz0 21d121izzizi 221. i 四、小結(jié)與思考 通過本課學(xué)習(xí)通過本課學(xué)習(xí), 重點(diǎn)掌握柯西古薩基本定重點(diǎn)掌握柯西古薩基本定理理:. 0d)( : )( , )( czzfCBzfBzf的積分為零的積分為零內(nèi)的任何一條封閉曲線內(nèi)的任何一條封閉曲線沿沿那末函數(shù)那末函數(shù)內(nèi)處處解析內(nèi)處處解析在單連通域在單連通域如果函數(shù)如果函數(shù)并注意定理成立的條件并注意定理成立的條件.思考題思考題應(yīng)用柯西應(yīng)用柯西古薩定理應(yīng)注意什么古薩定理應(yīng)注意什么?思考題答案思考題答案(1) 注意定理的條件注意定理的條件“單連通域單連通域”.(2) 注意定理的不能反過來用注意定理的不能反過來用. .