1、有關(guān)拋物線焦點弦問題的探討過拋物線y2 2pxp>o的焦點f作一條直線L和此拋物線相交于 Axi,yj、BX22兩點結(jié)論 1： AB x1 x2 pABAFBF(X1 P)2(X2-)2X1結(jié)論2:假設(shè)直線L的傾斜角為，那么弦長AB證：1假設(shè)X2p2p.2sin時，直線L的斜率不存在，此時AB為拋物線的通徑，AB 2 p結(jié)論得證2假設(shè)時,設(shè)直線L的方程為:2y cot-代入拋物線方程得2p2,yi y2 2pcot由弦長公式得 AB 曲 cot2 y1 y22p(1 cot2 )2p.2sinsin22p.2sin2p AB的最小值為2 p，即過焦點的弦長中通徑長最短結(jié)論3：過焦點的弦中

2、通徑長最小結(jié)論4:SabAB ；為定值S OAB SOBF1S 0AF OFBF1 sin2OFAF sinOF2S OAB"AB結(jié)論5:(1)證 x1AFp3yy2y12p，X2BFsin(2) x 1x2=2y22p% x2OFAB sin(浙 y2)24P2p2P 卑 sin2 sinP2 sin結(jié)論6:以AB證：設(shè)M為AB的中點，過A點作準線的垂線過M點作準線的垂線 MM1，由梯形的中位線性質(zhì)和拋物線的定義知為直徑的圓與拋物線的準線相切AA 1,過B點作準線的垂線BBi,MM 1結(jié)論7:連接A1F、AA1 AF,|aa |bbJ |af| |bf2 2B1 F 那么 A1FA

3、A1FB1FAB2故結(jié)論得證AFA1 AA1/OFAA1FA1FOA1 FOA1 FA同理 B1 FOB1FBA1FB1 90A1F B1 F2結(jié)論 8： 1AM 1 BM 1 2M 1F AB 3M1 F AF BF4設(shè)AM 1與A1F相交于H , M1B與FB1相交于Q那么M1, Q，F(xiàn)，H四點共圓5|amJ2 IM1B2 4M1M 2證：由結(jié)論6知M1在以AB為直徑的圓上 AM 1 BM 1A1FB1為直角三角形，M1是斜邊A1 B1的中點AM 1M1FM 1FA1M 1A1 FAA1FAFA1AA1FFAMAA1M1 90AFA1A-| FM 190M1FABM1F2AFBFAM 1B

4、M 1AM1B 90又 A1FB1FA1FB1 90 所以 M1, Q，F(xiàn),H 四點共圓， AM1 2 M1B2 AB22 2 | 2 | 2AF BFAA1 BB12MM 4MM結(jié)論9： 1A、O、B1三點共線2B，O，A1三點共線3設(shè)直線AO與拋物線的準線的交點為 B1，那么BB1平行于X軸4設(shè)直線BO與拋物線的準線的交點為 A1，那么AA1平行于X軸結(jié)論10:所以koA2p2py22y2pkoB1所以三點共線。同理可征2 3 41 1|fa| |fb證：過A點作AR垂直X軸于點R,過B點作BS垂直X軸于點S,設(shè)準線與x軸交點為證：因為koA也X1y12*2p k0B1 y1y2 p2y2

5、 , 而 yyp2p2p2E,因為直線L的傾斜角為那么 ER EF FR P AF cos同理可得1BF1 cosP結(jié)論11：(1)線段EF平分角時AE2證：BB1/EF/AAAA1EBB1EAEF +A1EAAF|ae| 一BF|be|90=BEF + B1EB = 90當AF AF1 1 2FA "FF pPEQ怦佟|bf| |beB1E |bf|EAFAP1 cos(3) KaeK BE時AE不垂直于BE2BF| B1B, FAA1EA相似于 B1EB2時，af = EF=FB AEB =9011 cosAF| PB1BA1AA1EA = B1EBAEF = BEF即EF平分角

6、 PEQKae + Kbe =02px得k2x2 -p(k22)x0 設(shè)A(X1,yJ,B(X2,y2)那么X1X2p k22X1X2= 時，設(shè)直線L的方程為y k x-p將其代入方程y2 2 假設(shè) AE BE那么 Kae Kbe=- 1X1y2X2 24衛(wèi)即y2-XiP X2 P2 2k x1k x2-Xi2p2k 1 x1x2x1 x2 k 122p . 2 k 142p20k 12p2 k22 k212k21 1 1|AB | |CD |2p2 0不可能假設(shè)錯誤結(jié)論得證結(jié)論12:過拋物線的焦點作兩條互相垂直的弦AB、CD，那么推廣與深化:深化1:性質(zhì)5中，把弦AB過焦點改為AB過對稱軸上

7、一點Ea,0,那么有 Y1Y22 pa2 2證：設(shè) AB 方程為 my=x-a，代入 V2PX 得：y2PmV 2aP 0 ,二 丫必2Pa .|FR|深化2 :性質(zhì)12中的條件改為焦點弦AB不垂直于x軸，AB的中垂線交x軸于點R,那么|AB 1證明：設(shè)AB的傾斜角為a,直線ABy的方程為：tga(X P),2代入y2 22px 得：tg a(x px2寧)2px4,X即：2x(p 2pctg2a) p 04由性質(zhì)|AB|x1x2 p 2p 2pctg2a2p.2 sin a ,又設(shè)AB的中點為M,那么|FE|FM |pctg2a |p|cosa|2 |2 cos a sin a|FR|1.

8、|AB|2FMX1 X2 p | cos apctg2a |cos a,深化3：過拋物線的焦點F作n條弦A1B1、A2B2、 AnBn，且它們等分周角 2n,那么有p,A1Fx a證明：1設(shè)拋物線方程為1cos由題意A 2 Fx a , A 3nFx2 anA nFx an 1n ,11 cos a1cos(a)21 cos a2 sin a所以|A1F| |FB1|pp2p2p ，彳si n2(a1 ') n1sinn 12 (a)n同理1 A2FIIFB2Ip2，|AnF|FBn l2 p1i 1 |AiF| |FBi | 為定值;2il|AiBi| 為定值.sin 2(a)sin2 (a.2 sin a 易知n 12 sin a2 zsin (a1 |AiF| |FBi |2p2 pn 1 sin (a)nP2lAe |P1 cos a2p2p1 cos