1、微 積 分 (知識(shí)點(diǎn)概要)第一章 函數(shù)、極限與連續(xù)11函數(shù)定義與符號(hào)12極限概念與運(yùn)算法則13求極限的方法14函數(shù)的連續(xù)性11函數(shù)的定義（P1）1函數(shù)的定義1若變量x、y之間存在著確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，即當(dāng)x的值給定時(shí)，唯一y值隨之也就確定，則稱y是x的函數(shù)，記為y=f(x)。 2確定函數(shù)有兩個(gè)要素：函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系。 例如：y=lgx2 與y =2lgx 就不是相同的函數(shù)，因?yàn)樗鼈兊亩x域不同。2函數(shù)記號(hào) 一旦在問題中設(shè)定函數(shù)y=f(x)，記號(hào)“f”就是表示確定的對(duì)應(yīng)規(guī)則，f（3）就是表示按此對(duì)應(yīng)規(guī)則在x=3時(shí)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y等。3初等函數(shù)（P6） 稱冪函數(shù)xk（k為常數(shù)），指數(shù)函數(shù)ax ，

2、對(duì)數(shù)函數(shù) logax （a為常數(shù)，a0，a1）三角函數(shù)及反三角函數(shù)為基本初等函數(shù)。 凡由基本初等函數(shù)經(jīng)有限次加、減、乘、除及有限次復(fù)合且能用一個(gè)式子表達(dá)的函數(shù)，稱為初等函數(shù)。4函數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)（1）有界性：（P5） 對(duì)于函數(shù)f(x)，若存在常數(shù)M、m對(duì)定義域內(nèi)所有x f(x)M 稱f(x)有上界 f(x)m 稱f(x)有下界，既有上界又有下界簡(jiǎn)稱有界。（2）奇偶性：（P3） 若函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于x=0的對(duì)稱區(qū)間，又對(duì)于定義域內(nèi)的任意x均有f(-x)=f(x) 則稱f(x)為偶函數(shù)。f(-x)=-f(x) 則稱f(x)為奇函數(shù)。（3）單調(diào)性：（P4） 若函數(shù)f(x)在a、b上有定義 對(duì)xa、

3、bx1x2 時(shí)f(x1)f(x2) f(x) 在a、b上 f(x1)f(x2) f(x) 在a、b上 （4）周期性:(P5)若存在常數(shù)a(a0)，使對(duì)任意x且有f(x)= f(x+a)則稱f(x)為周期函數(shù)，稱常數(shù)a 為f(x)的周期。12極限概念與運(yùn)算法則1極限的直觀定義（P11） 當(dāng)一個(gè)變量f(x)在xa的變化過程中變化趨勢(shì)是無限地接近于一個(gè)常數(shù)b，則稱變量f(x)在xa的過程中極限存在。稱常數(shù)b為它的極限，記為 f(x)=b 否則就稱極限不存在。 在極限不存在的情形中，若f(x)在xa的過程中，其值無限增大，則要求寫成： f(x)= +（相應(yīng)地 有f(x)= -，f(x)=）在定義中要注

4、意的是：xa的變化過程是指x以任何方式向a靠攏，且在靠攏的過程中始終有 xa。2極限的精確定義（略） 若對(duì)0，點(diǎn)有在0，當(dāng)0x-a時(shí) 有f(x)-b 成立。 則稱在xa的過程中，f(x)以b為極限記為：f(x)=b3極限的運(yùn)算法則：（P16） 若f(x)和g(x) 均存在，則f(x)±g(x)= f(x) ±g(x)f(x).g(x) = f(x) .g(x) = （g(x)0）4極限的性質(zhì)：（P15） 1唯一性： 若極限f(x)存在，則極限是唯一的。 2有界性： 若極限f(x)存在， 則一定存在a的去心領(lǐng)域即存在0，使f(x)在0x-a內(nèi)是有界的。3保號(hào)性： 設(shè)f(x)=

5、b ，f(x)變到后來必有f(x)。 ，f(x)變到后來必f(x) 。13求極限的方法1利用定義：例：求極限詳：由于x0，x0，所以在變化過程中始終有定義，顯然x0的過程中無限增大，且的符號(hào)不定故 =又例：驗(yàn)證e不存在詳：因當(dāng)x0+時(shí)x從0的右邊向0靠攏，+，于是e+，而當(dāng)x0-時(shí)，-，從而e0所以e不存在。2利用極限運(yùn)算法則（P16）3利用函數(shù)的連續(xù)性（P22、P23）由函數(shù)在點(diǎn)x0處連續(xù)的定義：若已知f(x)在x=a處連續(xù)，則必有f(x)= f(a)初等函數(shù)在具定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的，所以若f(x)是初等函數(shù)又判斷出a是在f(x)的定義區(qū)間上，則：f(x)= f(a) 即只要將x=a代入f(x

6、)計(jì)算f(a)4變形：（P17 例4例7）在向變量變化過程中，把f(x)作某價(jià)變形以消除不定性，通常采用消公因子，分子、分母同乘或除一因子，分子（分母）有理化手段。5利用兩個(gè)重要極限公式：（P18-P20） 兩個(gè)重要極限： =1 （=1）(1+)x=e (1+)=e=e =e6應(yīng)用洛必達(dá)法則(P66)設(shè)f(x) 、g(x)可導(dǎo) 且f(x) =g(x)=0 （或） 若=b （或） 則=b （或）7等階無窮?。ù螅┑奶鎿Q： x0時(shí) xsinxtanxex-1ln(1+x).1-cosx (只能替換因子) 8夾逼定理（P16） 若在a的鄰域內(nèi)有g(shù)(x)f(x)h(x) 且g(x)= h(x)=b （

7、或±）f(x)=b （或±） 9運(yùn)用泰勒公式（略）10化為定積分（略）11利用單調(diào)有界數(shù)列必有極限（略）14函數(shù)的連續(xù)性（P22、P23）1 定義：y=f(x)在x0的鄰域內(nèi)有定義 且 f(x)=f(x0 )則稱f(x)在x0處是連續(xù)的，否則就稱為是間斷的。注意：初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的。2 間斷點(diǎn)分類（P23） 3 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)： f(x)在a、b上必有界。 f(x)在a、b上必有最大（?。┲怠?f(a).f(b) <f()=0f()=0第二章 導(dǎo)數(shù)與微分 21 函數(shù)的可導(dǎo)性與導(dǎo)數(shù)（P43） 22 函數(shù)的可微性與微分21函數(shù)的可導(dǎo)性與導(dǎo)數(shù)（P43）1

8、導(dǎo)數(shù)的定義 設(shè)函數(shù)y=f(X)在x0的鄰域內(nèi)有定義若=b存在稱f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)。稱其極限值b 為f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)。記為： 3詳：（1）導(dǎo)數(shù)的物理意義：若y表示質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)時(shí)的位置， x表示時(shí)刻，則為質(zhì)點(diǎn)在x時(shí)刻的瞬時(shí)速度。（2）導(dǎo)數(shù)的幾何意義：若y=f(x)為平面直角坐標(biāo)系中的曲線方程 則即為曲線上相應(yīng)于x點(diǎn)處切線的斜率。（3）導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟(jì)意義：若y=f(x)表示總產(chǎn)量達(dá)到x時(shí)所付出的總費(fèi)用，則即為總產(chǎn)量在x水平上的邊際成本。（4）導(dǎo)數(shù)的數(shù)量意義：即為因變量y相對(duì)于向變量的x變化率。2導(dǎo)數(shù)的記號(hào) （1）在點(diǎn)x處的導(dǎo)數(shù)記為，或簡(jiǎn)記為：或 （2）在x=3處的導(dǎo)數(shù)記為或或簡(jiǎn)記為(3)

9、或. （3）導(dǎo)數(shù)又稱微商 ， ，（每個(gè)記號(hào)都有意義的前提下）3導(dǎo)數(shù)的計(jì)算 （1）利用定義：（一般只用于求分段函數(shù)在分界點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)時(shí)，才需要用定義計(jì)算）P43 例3例8 （2）利用導(dǎo)數(shù)公式和求導(dǎo)法則； （3）隱函數(shù)求導(dǎo)；復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)；反函數(shù)求導(dǎo)。（P4951） （4）對(duì)數(shù)求導(dǎo)法；（P52） （5）高階導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)法（逐次計(jì)算，其他方法）（P54）22函數(shù)的可微性與微分（P55）1定義：若f(x)在x0 鄰域內(nèi)有定義，若對(duì)x有關(guān)系式 f(x0+x)-f(x0)=ax+0(x)其中a為常數(shù)，則稱f(x)在 x0處可微，并稱函數(shù)值之差中的線性主部 ax為f(x) 在x0處的微分，記為d f(x0)=ax2可

10、微的充要條件 f(x)在x處可微 f(x)在x處可導(dǎo)且a= f(x)在x處的微分即為df(x)=x=dx (x為自變量x= dx)3微分的計(jì)算（P56） （1）轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)的計(jì)算 （2）利用微分不變性即無論u 是中間變量還是自變量均有df(u)= （3）近似計(jì)算 如：計(jì)算e 例：e=e+( e-e) e-e=x=1.(0.1)=0.1 e1+0.1=1.1 （4）函數(shù)在處的三個(gè)局部性質(zhì)之間的關(guān)系 連續(xù)可導(dǎo) 可微第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.1利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性態(tài)3.2中值定理（略）3.3函數(shù)圖形繪制3 .4導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用3.1利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性態(tài)（P70-P77）（1）若在（a、b）內(nèi)f（x）=

11、0則在（a、b）內(nèi)f（x）=c（常數(shù)）（2）若在（a、b）內(nèi)f（x）0則在（a、b）內(nèi)f（x）嚴(yán)格單調(diào)增加（）（3）若在（a、b）內(nèi)f（x）0則在（a、b）內(nèi)f（x）嚴(yán)格單調(diào)減?。ǎ?）若在（a、b）內(nèi)f（x）0則在（a、b）內(nèi)f（x）向下凸（）（5）若在（a、b）內(nèi)f（x）0則在（a、b）內(nèi)f（x）向上凸（）（6）若f（xo）=0或f（xo）不存在，f（x）在xo的兩側(cè)變號(hào)則xo f（xo）為曲線y= f（x）的拐點(diǎn)，拐點(diǎn)的定義為曲線上凹凸的分界點(diǎn)。（7）若f（xo）=0（稱xo為駐點(diǎn)）或f（xo）不存在，且f（x）在xo左右變號(hào)，則xo為f（x）的極點(diǎn)，若從左到右f（x）由（-）變（+）

12、則xo為極小點(diǎn)。若從左至右，f（x）由（+）變（-），則xo為極大點(diǎn)。若f（xo）=0，f（xo）0則xo為f（x）的極點(diǎn)，若f（xo）0則xo為極小點(diǎn)，若f（xo）0則xo為極大點(diǎn)。3.3函數(shù)圖形的繪制（參見P84）3.4導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用（1）最大（小）值在經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用。（P76）（2）邊際分析與彈性分析。（P78P80）一般的方法是：經(jīng)濟(jì)上的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的問題（既建立函數(shù)模型）求f（x）或yx進(jìn)行分析。（參見P76-P80）第四章 不定積分4.1不定積分的概念、性質(zhì)、幾何意義4.2基本積分公式4.3計(jì)算不定積分的基本方法4.1不定積分概念、性質(zhì)（P98）幾何意義（P98P99）若f（x

13、）有原函數(shù)g（x）顯然g（x）+1，g（x）+2，g（x）+c（c為任意常數(shù)）均為f（x）的原函數(shù)，求f（x）的所有原函數(shù)的 運(yùn)算稱為求f（x）的不定積分記為 f（x）dx由不定積分的概念可以明確兩條： 不定積分的最后答案中一定帶有任意常數(shù)項(xiàng)；檢查不定積分是否正確，應(yīng)用求導(dǎo)進(jìn)行驗(yàn)證。4.2基本積分公式（P99P100）4.3計(jì)算不定積分的基本方法：（P102，P106，P110）湊微分法：例如：由sinxdx=-cosx+csinudu=-cosu+c換元法： f（x）dx令x=g（t） 則 f（x）dx=f（g（t）dg（t）分部積分法（P110）udv=uv-vdu第五章 定積分5.1定積

14、分的概念、幾何意義；（P128，P129）5.2定積分的性質(zhì)；（P130）5.3微積分基本定理；（P132）5.4計(jì)算定積分的基本方法（P136P140）5.5廣義積分（P140）5.1定積分的概念，幾何意義（及經(jīng)濟(jì)意義）（P129P130）定積分是介紹一種計(jì)算具有可加性整體量的方法。f（x）dx定義為區(qū)間a、b上的f（x）的定積分5.2定積分的性質(zhì)（P130）（性質(zhì)1性質(zhì)7）5.3微積分基本定理若F（x）為f（x）的一個(gè)原函數(shù)，則f（x）dx=F（b）-F（a）（牛頓萊布尼茨公式）由此定積分的計(jì)算就轉(zhuǎn)化原函數(shù)的計(jì)算。5.4計(jì)算定積分的基本方法：由牛頓萊布尼茨公式，定積分的計(jì)算可轉(zhuǎn)化為被積函數(shù)

15、的原函數(shù)的計(jì)算，因此，不定積分的所有計(jì)算技巧都可用于定積分的計(jì)算，但固定積分是一個(gè)具體數(shù)值的計(jì)算，所以又有其自己的特點(diǎn)。1定積分計(jì)算時(shí)的幾點(diǎn)注意）在定積分計(jì)算中作換元時(shí)，上、下限要隨之一起變換。例如 dt）若被積函數(shù)中有完全平方的開方運(yùn)算時(shí)，則在去根號(hào)時(shí)需適當(dāng)?shù)丶由县?fù)號(hào)。例如=+）關(guān)于絕對(duì)值的積分，一定先把絕對(duì)值符號(hào)去掉。例如：=+）對(duì)稱性的利用，例如：= ）若f（x）為以T為周期的連續(xù)的周期函數(shù)，則=2定積分的計(jì)算 1變上限定積分的求導(dǎo)公式：（P132 ， 定理5.1） 2.牛頓-萊布尼茨公式（P135） （條件：f(x)在a,b上連續(xù)F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)）3在按積分法 牛頓公式-

16、在按積分法。（P137、例1-5） 湊微法。（同上） 分部積分法（P139） 廣義積分計(jì)算方法（P140）4定積分應(yīng)用的計(jì)算方法。 幾何的面積計(jì)算。（P142） 經(jīng)濟(jì)上應(yīng)用的計(jì)算。（P146）幾何的面積計(jì)算 1由曲線y=f(x)，直線x=a，x=b及x軸所圍成的平面圖形的面積為 (P142圖5.11,-5.13) 2設(shè)函數(shù)f(x)、g(x)在a,b上連續(xù)且滿足: 0g(x)f(x) xa,b由這兩條曲線及x=a、x=b所圍成的圖形的面積為: (P143 圖5.14 , 5.15)3由曲線x=(y)(0)及在線y=c、y=d (c<d) y軸所圍成的曲邊梯形的面積為: (P143 圖5.1

17、6)4若在區(qū)間c,d上中(y) (y)，則由這兩條曲線及在線y=c,y=d所圍成的圖形（如圖5-17）的面積為: (P143 圖5.17)定積分在經(jīng)濟(jì)上應(yīng)用的計(jì)算。（P146）1由邊際函數(shù)求總函數(shù)（P146） 由于總函數(shù)（如總成本、總收益、總利潤(rùn)等）的導(dǎo)數(shù)就是邊際函數(shù)（邊際成本、邊際收益、邊際利潤(rùn)等），當(dāng)已知初始條件時(shí)，即可用不定積分求總函數(shù)，也可以用定積分求總函數(shù)。例如：已知邊際成本C(Q)，固定成本C0，邊際收益R(Q)則： 總成本函數(shù)總收益函數(shù)總利潤(rùn)函數(shù)2由邊際函數(shù)求總函數(shù)的極值（P146）設(shè)邊際收益為R(Q)，邊際成本C(Q)，固定成本為C0，已知R(Q)= C(Q),即Q=Q0時(shí)利潤(rùn)

18、最大，則最大利潤(rùn)為 3連續(xù)復(fù)利資金流量的現(xiàn)值（P147）若現(xiàn)有本金p0元，以年利率r的連續(xù)復(fù)利計(jì)息，則t年后的本利和A(t)為A(t)=p0ert反之，某項(xiàng)投資資金t年后的本利和A已知，則按連續(xù)復(fù)利計(jì)算，現(xiàn)金應(yīng)有資金p0=Ae-rt-p0稱為資本現(xiàn)值。在時(shí)間1,T內(nèi),若資金流量A是時(shí)間t的函數(shù),以年利率r連續(xù)復(fù)利計(jì)算,則T年末資金流量總和的現(xiàn)值為 特別地,當(dāng)資金流量為常數(shù)A時(shí)5.5廣義積分廣義積分就是把積分的概念推廣至無窮區(qū)間和無界函數(shù)。（1）無窮區(qū)間的廣義積分定義=（2）無界函數(shù)廣義積分定義（略）第六章 多元函數(shù)微分學(xué)6.1二元函數(shù)的極限與連續(xù)（P1536.2偏導(dǎo)數(shù)與全微分（P1596.3復(fù)

19、合函數(shù)與隱函數(shù)的微分法（P164P166）6.4二元函數(shù)的極值（P166）6.1二元函數(shù)的極限與連續(xù)（1）極限（二元函數(shù)）定義P158=A 或 =A（2）二元函數(shù)的連續(xù)=6.2偏導(dǎo)數(shù)與全微分 6.3復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的微分法（1）復(fù)合函數(shù)微分法設(shè)函數(shù)u=u（x，y），v=v（x，y），在點(diǎn)（x，y）處的偏導(dǎo)數(shù)存在。函數(shù)z=f（u，v）在對(duì)應(yīng)于點(diǎn)（x，y）的（u，v）處有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)則復(fù)合函數(shù)z=fu（x，y）、v（x，y）對(duì)x，y的偏導(dǎo)數(shù)都存在，并且有=.+.=.+.例：求z=esin（x+2y）的偏導(dǎo)數(shù)解：令u=xy v=x+2y 則z=esinv=.+.=esinv.2xy+ ecosv.1 =e2xysin(x+2y)+cos(x+2y)=.+.= esinv.x2+ ecosv.2 = e x2sin(x+2y)+2cos(x+2y)（2）隱函數(shù)的微分法設(shè)函數(shù)F（x，y，z）在點(diǎn)P（x，y，z）的某一鄰域內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且F（x，y，z）=0，F(xiàn)（x，y，z）0則方程F（x，y，z）=0在點(diǎn)（x，y，z）的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)的函數(shù)z=f（x，y）它滿足條件z=f（x，y）并且有=-，=-，特別地 例：設(shè)=1，求及解：令F（x，y，z）=-1=0則有F=，F(xiàn)y=，F(xiàn)z=當(dāng)Fz0，即Z0時(shí)，有=-=-=-=-=