1、降落傘的選擇問題組長(zhǎng):組員:組員:張瑜場(chǎng)璐胡瀟摘要 本文討論并確定了降落傘的最正確選購(gòu)方案，在滿足空投物資重量的前提 下，使購(gòu)置降落傘的費(fèi)用最小。 該問題是一個(gè)優(yōu)化問題， 以購(gòu)置降落傘的費(fèi)用最 小構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)， 以救災(zāi)物資 2000kg ,5 種不同半徑的降落傘的最大載重量為限 制條件，進(jìn)行線性規(guī)劃，建立優(yōu)化模型。通過 LinDo 軟件對(duì)模型進(jìn)行求解，最終 得出最正確方案為3 m的降落傘數(shù)量為6個(gè)，其他半徑的降落傘不予選購(gòu)，以及 最小費(fèi)用為 4793 元。首先，我們需要計(jì)算各規(guī)格降落傘的價(jià)格，可知其價(jià)格由傘面費(fèi)，繩索費(fèi)， 固定使用費(fèi)三局部構(gòu)成，以此進(jìn)行計(jì)算。其次，我們需要計(jì)算出阻力系數(shù)，我們

2、利用了兩種方法確定出阻力系數(shù)為 2.95747 ；之后，我們要確定不同半徑的降落 傘的最大載重量， 通過之前計(jì)算出的速度與時(shí)間的關(guān)系式， 推出速度與質(zhì)量的關(guān) 系，再確定質(zhì)量與速度的關(guān)系， 從而通過計(jì)算得出不同半徑降落傘的最大載重量； 最后列出目標(biāo)函數(shù)和約束條件，進(jìn)行線性規(guī)劃，利用 LinDo 軟件得出最終結(jié)果?？傊?，我們的模型在理論分析上提出了選擇降落傘最優(yōu)化， 為選擇適宜的降 落傘提供了可行的理論依據(jù)。關(guān)鍵字：優(yōu)化方案、線性規(guī)劃、微分方程、 MATLAB,LINDO問題重述為了向?yàn)?zāi)區(qū)空投救災(zāi)物資，需要選擇不同類型的降落傘。降落傘根據(jù)半徑不 同分為半徑為2m、2.5m、3m、3.5m、4m五種

3、型號(hào)，降落傘的造價(jià)由傘面費(fèi) 用，繩索費(fèi)用和固定費(fèi)用三局部組成。每個(gè)降落傘用長(zhǎng)為 1m的16跟繩索連接重 物，重物位于球心正下方的球面處，降落傘在下降過程中除了受到重力的影響外， 還受到空氣的阻力。并且可以認(rèn)為阻力的大小與降落傘的速度和傘的面積成正 比。其阻力系數(shù)可由題中給出的數(shù)據(jù)確定，問題要求在滿足空投物資重量的前提 下，使購(gòu)置降落傘的費(fèi)用最小。具體數(shù)據(jù)見附錄中表格1,表格2問題的提出為向?yàn)?zāi)區(qū)空投救災(zāi)物資共2000kg，需選購(gòu)一些降落傘，空投高度為500m， 要求降落傘落地時(shí)的速度不能超過 20m/s。降落傘面為半徑r的半球面，用每根 長(zhǎng)為1m的16根繩索連著載重m的物體位于球心正下方球面處，

4、如圖 1所示。每個(gè)降落傘的價(jià)格由三局部組成。傘面費(fèi)用由傘的半徑r決定；繩索費(fèi)用由繩索總長(zhǎng)度及單價(jià)4元/米決定；其他費(fèi)用為200元。降落傘在降落的過程中受到了空氣的阻力，為了確定阻力的大小，用半徑3m、載重為300kg的降落傘從500m高度做降落實(shí)驗(yàn)，測(cè)得各時(shí)刻的高度。確定降落傘的選購(gòu)方案，即共需多少個(gè)，每個(gè)傘半徑多大，在滿足空投要求的條件下，使費(fèi)用最低模型分析這是一個(gè)優(yōu)化問題， 所求目標(biāo)函數(shù)是降落傘的總費(fèi)用。 針對(duì)這個(gè)問題我們主要 分三局部來分析的。首先，計(jì)算各規(guī)格降落傘的價(jià)格，由其價(jià)格的三局部組成：傘面費(fèi)，繩索 費(fèi)，固定使用費(fèi)。傘面費(fèi)為題目所給不同半徑?jīng)Q定，繩索由長(zhǎng)度決定，固定使用 費(fèi)為常數(shù)

5、。其次，我們分析物資在投放過程中的受力情況。 忽略了了其他因素影響， 有牛頓 第二定律分析可得， 是物資受到向下的重力和向上的阻力。 接下來的問題就是求 出阻力系數(shù)。求阻力系數(shù)，我們用了兩種方法。第一種： 利用牛頓第二定律， 得出速度關(guān)于時(shí)間的表達(dá)式， 又由對(duì)速度的積 分，得出高度與速度的關(guān)系，再用 MATLAB 作出時(shí)間與高度的關(guān)系圖，分析圖 像作線性回歸，利用 MATLAB 軟件計(jì)算出阻力系數(shù)；第二種：求出的速度的表達(dá)式， 用 MATLAB 軟件做出速度與時(shí)間的關(guān)系圖， 分析可得出阻力系數(shù)的大小。另外，對(duì)于確定不同規(guī)格的降落傘最大載重量， 利用給速度的關(guān)系式， 逐步 推出速度與質(zhì)量的關(guān)系，

6、進(jìn)而求得最大載重量。最后，我們寫出了目標(biāo)函數(shù)，并且結(jié)合約束條件得出了線性規(guī)劃，利用LINDO 軟件得出結(jié)果模型分析符號(hào)說明c1i ( i 1,2,3,4,5; ) ：分別表示購(gòu)置的半徑為 r 2,2.5,3,3.5,4; 的降落傘的價(jià)格， 單位 (元)。c2i ( i 1,2,3,4,5; ):分別表示購(gòu)置半徑為 r 2,2.5,3,3.5,4 的降落傘的繩索的價(jià)格， 單位 (元)。c3i ( i 1,2,3,4,5; ) ：分別表示購(gòu)置的半徑為 r 2,2.5,3,3.5,4; 的傘面面積，單位 (m)?？傎M(fèi)用，單位 (元)。Mr(r 2,2.5,3,3.5,4) ：指的是半徑 r 2,2.

7、5,3,3.5,4, 的最大載重量，單位 (kg )。v(t):s:t:表示t時(shí)刻降落傘的速度單位(m/s)。 表示降落傘的受力面積，單位 (m2 )。 表示時(shí)間，單位 (s)。k：表示空氣阻力系數(shù)m:貨物的質(zhì)量，單位 (kg)。g:重力加速度，單位 (m/ s2 )。模型假設(shè)1. 假設(shè)2000kg物資可以任意分割。2. 假設(shè)在降落傘下落過程中只受到重力， 和一個(gè)可以視為非重力因素共同作用下 的合力 空氣阻力的影響，不考慮橫向受力。3. 假設(shè)繩索和傘面的質(zhì)量忽略不計(jì)。4. 假設(shè)在受力分析過程中，和下落過程中計(jì)算高度時(shí)，可將物資看做質(zhì)點(diǎn)。5. 假設(shè)降落傘的阻力與速度和面積的成績(jī)成正比， 其系數(shù)成

8、為空氣阻力系數(shù)， 為 常數(shù)。6. 假設(shè)繩索的價(jià)格每米 1 元，每個(gè)降落傘固定費(fèi)用是常數(shù)為 200元。模型建立由模型分析可知， 這是一個(gè)優(yōu)化問題， 要建立費(fèi)用最小的目標(biāo)函數(shù)， 和以不 同規(guī)格的降落傘總載重量大于等于2000kg作為約束條件，在LINDO軟件中計(jì)算 出不同規(guī)格降落傘的選擇個(gè)數(shù)，得出一個(gè)最優(yōu)方案。對(duì)此問題分三步進(jìn)行：第一步：計(jì)算各規(guī)格單個(gè)降落傘的費(fèi)用在建立目標(biāo)函數(shù)時(shí)，總費(fèi)用是各規(guī)格降落傘的個(gè)數(shù)和相應(yīng)的單個(gè)降落傘的費(fèi) 用，所以首先要計(jì)算出各規(guī)格單個(gè)降落傘的費(fèi)用。由題目可知，其價(jià)格c由三局部組成，傘面費(fèi)5，繩索費(fèi)C2i，固定使用費(fèi)C3i， 而其中傘面費(fèi)On為題目中所給的不同半徑r決定，繩

9、索費(fèi)C2i由繩索長(zhǎng)度和單位長(zhǎng)度的價(jià)格決定，固定費(fèi)c3i為常數(shù)由題目中所給表格 1見附錄及計(jì)算可得其費(fèi)用：i2000 kg2345Cii 元651703506601000c2i元181226271317362Q元200200200200200C元44659682211771562表格3其中，由于貨物在球心正下方球面處，那么繩索長(zhǎng)度是2*r第二步：計(jì)算阻力系數(shù)為表述不同規(guī)格總載重量大于等于 2000kg這一條件，并求解降落傘速度滿足的微分方程，方正中的重要參數(shù)一一空氣阻力系數(shù)是未知的， 在此我們需要對(duì) 表格2中的數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，從而求出空氣阻力系數(shù)。對(duì)降落傘進(jìn)行受力分析見圖1JkF=kvsJI貨物f

10、G=mg由牛頓運(yùn)動(dòng)定律及假設(shè)有:mgma 其中a指下落過程中的加速度 即mg kvsv(0)0dvmdt解之得v(t)mgkste巧tH (t) V(t)dt0積分有:2kst2mgt m g 喬 mg2 2 e 2 2ks k sk s2kstH(t)字眾(疔1)ks k s由假設(shè)將原實(shí)驗(yàn)表的數(shù)據(jù)變?yōu)?t036912151821242730H(t)03075128183236285340392445499表格4在matlab中作圖可得:1F450-MQ-+-550-300-f an*200-1弭100+-so4Aj310152012與30圖3在MATLAB件中輸入以下程序:見附錄程序1由圖像

11、可見H(t)圖像的后段幾乎為線性關(guān)系，即后期幾乎為勻速運(yùn)動(dòng)，那么選擇t=9s,以后的點(diǎn)作線性回歸H (t) pt q (5)(其中p,q：計(jì)算過程中線性回歸的系數(shù))通過MATLAB件擬合寫出程序2 見附錄程序2可得：p=17.0667m/s,q=-18.4545m那么p 17m/s,q18m由分析，那么mg kvs v pt得k 2.959另一個(gè)方面為了檢驗(yàn)上述擬合是否高度近似，我們用下面的方法進(jìn)行檢驗(yàn) 由(3)式可知kstv(t)罟(1 e巧k s利用表格2的數(shù)據(jù)和式，輸入MATLAB件中作v(t)t 圖像可得：圖4mg 17.9278k s在t 9s之后，作擬合，可得k 2.95147在第

12、一個(gè)方法中計(jì)算所得空氣阻力系數(shù) k和此方法中計(jì)算的近似相等，可以 看出第一個(gè)方法的擬合度是很高的。第三步：求各種規(guī)格降落傘的最大載重量在列約束條件時(shí)，不同規(guī)格總載重量大于等于 2000kg，總載重量為不同規(guī) 格降落傘的個(gè)數(shù)乘其相應(yīng)的最大載重量得到，在此我們需要計(jì)算不同規(guī)格降落傘 的最大載重量。由(3)式可知v(t)=mg(ikste巧這是下落速度的方程，而我們要求出降落傘最大載重量，在這里將參數(shù)轉(zhuǎn)換, 將t變?yōu)槌Ａ慷鴮①|(zhì)量m視為變量，更容易求解。上式可寫為：v v(m)要求出最大載重量，需要得出m關(guān)于v是一個(gè)遞增函數(shù)，那么在v 20m/s時(shí), 便可以得到平安范圍內(nèi)的最大載重量。即嚴(yán)(賓申ksm

13、kstv'(m) (1 e m )kskstkstg _g e _g!e肓 ks ks mIIv (m)g_ kskste=皚2 mkstgt e m2 *mkstgt e m g2mm,kstgt市30,那么v(m) 03 m那么 v v(m)為單調(diào)遞增函數(shù)故m m(v)也為單調(diào)遞增函數(shù)由此可得當(dāng)v 20m/s，每種規(guī)格降落傘取得最大載重量 聯(lián)立式，式，得消去參數(shù)t,有v(t)=(1kste m )ksH(t)mgt2kstmg(eksk s1)(8)2 kvs、 m g(1)H(t)(9)mg mvk2s2ks將 r 225,3,3.5,4, s 2 r2，代入(9)式有:M (2

14、)M (2.5)M (3)M (3.5)M (4)M(r)S(r)表格5其中(M,r2,2.5,335,4)指的是半徑r 225,3,3.5,4,的最大載重量)模型求解那么所得線性規(guī)劃為：根據(jù)購(gòu)置降落傘的總費(fèi)用最少可得出目標(biāo)函數(shù)為：5min zCjXj i 1,2,3,4,5;i 1以采購(gòu)的降落傘載重量之和不少于空投物資的總重量為約束條件：5xiMi 2000 i 1,2,3,4,5;i 1決策條件為采購(gòu)的各種規(guī)格的降落傘個(gè)數(shù)不為負(fù)，所以有：X 0 且為整數(shù) i=1,2,3,4,5；由：c1 446 c 596c3 822 c4 1177 Cs 1562M1152.396 M2238.119

15、M3 342.892 M4466.713 M5609.585帶入數(shù)據(jù)那么有：min z 446%596屜 822x3 1177%1562疋ST 152為 238x2 343x3 467疋 610x5 2000且X 0 且為整數(shù) i=1,2,3,4,5;通過 LINDO軟件可得 X-!0 ;x20 ;x36 ;x40 ;x50 ;z 4793即在此次降落傘的選擇中選擇半徑為 3m的降落傘6個(gè)，最小費(fèi)用為4793元模型的評(píng)價(jià)與推廣優(yōu)點(diǎn)：用兩種方法計(jì)算出了 k的大小，大大簡(jiǎn)化了問題。2. 在解決這個(gè)問題時(shí)，從v(t)推導(dǎo)出v(m),而且從v(m)反推出m(v)，盡可能大 的減少了計(jì)算量。3. 在解決問題時(shí)，采用分步求解法不但細(xì)化了問題，而且使問題得到了更全面更 精確地結(jié)果。缺點(diǎn)：1 選擇降落傘時(shí)，計(jì)算貨物的加速度時(shí)忽略了風(fēng)力因素，會(huì)導(dǎo)致計(jì)算的不精確。2. 在簡(jiǎn)化問題時(shí)對(duì)降落傘的質(zhì)量進(jìn)行忽略，但在實(shí)際中是不可任意忽略的。3. 本文將貨物處理成物理質(zhì)點(diǎn)，并未考慮實(shí)際物資是否可拆分。模型的推廣1. v mg中，可以通過該改變降落傘載重量與面積的大小可以改變落地時(shí)速度ks的大小。2. 通過對(duì)這個(gè)模型的建立，可以推廣到不同質(zhì)量的貨物上，如3000kg ,5000 kg3. 這個(gè)模型也適用于集裝箱問題，從更進(jìn)一步上舉一反三，進(jìn)行資源的整合。參考文獻(xiàn)1.:/ baidu /附錄