1、2019年小學(xué)奧數(shù)數(shù)論專題一一完全平方數(shù)1.1234567654321x(1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1)是的平方.2 .1+1x2+1x2x3+1x2x3x4+1x2x3x4x5+1x2x3x4x5x6,這個(gè)算式的得數(shù)能否是某個(gè)數(shù)的平方？3 .寫出從360到630的自然數(shù)中有奇數(shù)個(gè)約數(shù)的數(shù).4 .一個(gè)數(shù)的完全平方有39個(gè)約數(shù)，求該數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)是多少？5 .從1到2019的所有自然數(shù)中，乘以72后是完全平方數(shù)的數(shù)共有多少個(gè)？6 .1016與正整數(shù)a的乘積是一個(gè)完全平方數(shù)，則a的最小值是.7 .已知3528a恰是自然數(shù)b的平方數(shù)，a的最小值是。8 .已知自然數(shù)n滿足：12!除

2、以n得到一個(gè)完全平方數(shù)，則n的最小值是。9 .考慮下列32個(gè)數(shù)：1!,2!,3!,，32!,請(qǐng)你去掉其中的一個(gè)數(shù)，使得其余各數(shù)的乘積為一個(gè)完全平方數(shù)，劃去的那個(gè)數(shù)是.10 .一個(gè)數(shù)減去100是一個(gè)平方數(shù)，減去63也是一個(gè)平方數(shù)，問這個(gè)數(shù)是多少？11 .能否找到這么一個(gè)數(shù)，它加上24,和減去30所得的兩個(gè)數(shù)都是完全平方數(shù)？12 .三個(gè)自然數(shù)，它們都是完全平方數(shù)，最大的數(shù)減去第二大的數(shù)的差為80,第二大的數(shù)減去最小的數(shù)的差為60,求這三個(gè)數(shù).13 .有5個(gè)連續(xù)自然數(shù)，它們的和為一個(gè)平方數(shù)，中間三數(shù)的和為立方數(shù)，則這五個(gè)數(shù)中最小數(shù)的最小值為.14 .求一個(gè)最小的自然數(shù)，它乘以2后是完全平方數(shù)，乘以3

3、后是完全立方數(shù)，乘以5后是5次方數(shù).15 .兩個(gè)完全平方數(shù)的差為77,則這兩個(gè)完全平方數(shù)的和最大是多少？最小是多少？16 .有兩個(gè)兩位數(shù)，它們的差是14,將它們分別平方，得到的兩個(gè)平方數(shù)的末兩位數(shù)(個(gè)位數(shù)和十位數(shù))相同，那么這兩個(gè)兩位數(shù)是.(請(qǐng)寫出所有可能的答案)17 .A是一個(gè)兩位數(shù),它的6倍是一個(gè)三位數(shù)B,如果把B放在A的左邊或者右邊得到兩個(gè)不同的五位數(shù)，并且這兩個(gè)五位數(shù)的差是一個(gè)完全平方數(shù)(整數(shù)的平方)，那么A的所有可能取值之和為.18 .已知ABCA是一個(gè)四位數(shù)，若兩位數(shù)AB是一個(gè)質(zhì)數(shù)，BC是一個(gè)完全平方數(shù)，CA是一個(gè)質(zhì)數(shù)與一個(gè)不為1的完全平方數(shù)之積，則滿足條件的所有四位數(shù)是.19 .

4、一個(gè)自然數(shù)與自身相乘的結(jié)果稱為完全平方數(shù).已知一個(gè)完全平方數(shù)是四位數(shù)，且各位數(shù)字均小于7.如果把組成它的數(shù)字都加上3,便得到另外一個(gè)完全平方數(shù)，求原來的四位數(shù).20 .有一個(gè)正整數(shù)的平方，它的最后三位數(shù)字相同但不為0,試求滿足上述條件的最小的正整數(shù).21 .能夠找到這樣的四個(gè)正整數(shù)，使得它們中任意兩個(gè)數(shù)的積與2002的和都是完全平方數(shù)嗎？若能夠，請(qǐng)舉出一例；若不能夠，請(qǐng)說明理由.22 .證明：形如11,111,1111,11111,的數(shù)中沒有完全平方數(shù)。23 .三個(gè)連續(xù)正整數(shù)，中間一個(gè)是完全平方數(shù)，將這樣的三個(gè)連續(xù)正整數(shù)的積稱為“美妙數(shù)”.問：所有小于2019的美妙數(shù)的最大公約數(shù)是多少？24

5、.記S=(1M2M3x|Mn)+(4k+3),這里n>3.當(dāng)k在1至100之間取正整數(shù)值時(shí)，有個(gè)不同的k,使得S是一個(gè)正整數(shù)的平方.25 .稱能表示成1+2+3+H|+k的形式的自然數(shù)為三角數(shù).有一個(gè)四位數(shù)N,它既是三角數(shù)，又是完全平方數(shù).則N=.26 .自然數(shù)的平方按大小排成1,4,9,16,25,36,49,，問：第612個(gè)位置的數(shù)字是幾？27 .A是由2019個(gè)“4”組成的多位數(shù)，即444UU,A是不是某個(gè)自然數(shù)B的平方？如2002個(gè)4果是，寫出B;如果不是，請(qǐng)說明理由.參考答案1. .7777777的平方【解析】1234567654321=11111112,1+2+3+4+5+6

6、+7+6+5+4+3+2+1=72,22原式=(1111111M7)=7777777.2. 不可能【解析】判斷一個(gè)數(shù)是否是某個(gè)數(shù)的平方，首先要觀察它的個(gè)位數(shù)是多少.平方數(shù)的個(gè)位數(shù)只能是0,1,4,5,6,9,而2,3,7,8不可能是平方數(shù)的個(gè)位數(shù).這個(gè)算式的前二項(xiàng)之和為3,中間二項(xiàng)之和的個(gè)位數(shù)為0,后面二項(xiàng)中每項(xiàng)都有因子2和5,個(gè)位數(shù)一定是0,因此，這個(gè)0算式得數(shù)的個(gè)位數(shù)是3,不可能是某個(gè)數(shù)的平方.3. 361,400,441,484,529,576,625【解析】一個(gè)合數(shù)的約數(shù)的個(gè)數(shù)是在嚴(yán)格分解質(zhì)因數(shù)之后，將每個(gè)質(zhì)因數(shù)的指數(shù)(次數(shù))力口1后所得的乘積.如:1400嚴(yán)格分解質(zhì)因數(shù)后為23X52

7、X7,所以它的約數(shù)有(3+1)X(2+1)X(1+1)=4X3X2=24個(gè).(包括1和它自身)如果某個(gè)自然數(shù)有奇數(shù)個(gè)約數(shù)，那么這個(gè)數(shù)的所有質(zhì)因子的個(gè)數(shù)均為偶數(shù)個(gè).這樣它們加1后均是奇數(shù)，所得的乘積才能是奇數(shù).而所有質(zhì)因數(shù)的個(gè)數(shù)均是偶數(shù)個(gè)的數(shù)為完全平方數(shù).即完全平方數(shù)(除0外)有奇數(shù)個(gè)約數(shù)，反過來，有奇數(shù)個(gè)約數(shù)的數(shù)一定是完全平方數(shù).由以上分析知，我們所求的為360630之間有多少個(gè)完全平方數(shù)？18X18=324,19X19=361,25X25=625,26X26=676,所以在360630之間的完全平方數(shù)為192,202,212,222,232,242,252即360至IJ630的自然數(shù)中有奇數(shù)

8、個(gè)約數(shù)的數(shù)為361,400,441,484,529,576,625.4. 14,20解析設(shè)該數(shù)為p1a1xp2a2p；n,那么它的平方就是pi2alMp22a2刈1|黑Pn2%,因此(2a1+1產(chǎn)(2a2+1*ll&2an+1)=39.由于39=1父39=3X13,所以，2al+1=3,2a2+1=13,可得a1=1,a2=6；故該數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)為(1+1爐(6+1)=14個(gè)；或者，2&+1=39,可得a1=19,那么該數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)為19+1=20個(gè).所以這個(gè)數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)為14個(gè)或者20個(gè).5. 31【解析】完全平方數(shù)，其所有質(zhì)因數(shù)必定成對(duì)出現(xiàn).而72=23父32=2乂6父6,所

9、以滿足條件的數(shù)必為某個(gè)完全平方數(shù)的2倍，由于2M31M31=1922<2008c2M32M32=2043所以2父12、2M22、2M312都滿足題意，即所求的滿足條件的數(shù)共有31個(gè).6. 2543【解析】先將1016分解質(zhì)因數(shù)：1016=2M27,由于1016Ma是一個(gè)完全平方數(shù)，所以至少為24父1272,故a最小為2父127=254.7. 2【解析】3528=23父32父72,要使3528a是某個(gè)自然數(shù)的平方，必須使3528a各個(gè)不同質(zhì)因數(shù)的個(gè)數(shù)為偶數(shù)，由于其中質(zhì)因子3和7各有2個(gè)，質(zhì)因子2有3個(gè)，所以a為2可以使3528a是完全平方數(shù)，故a至少為2.8. 231【解析】先將12!分解

10、質(zhì)因數(shù)：12!=210M35父52M7M11，由于12!除以n得到一個(gè)完全平方數(shù)，那么這個(gè)完全平方數(shù)是12!的約數(shù)，那么最大可以為210父34父52,所以n最小為12口210m34父52)=3x7x11=231.本題也可以這樣想，既然12!除以n得到一個(gè)完全平方數(shù)，12!的質(zhì)因數(shù)分解式中3,7,11的哥次是奇數(shù)，所以n的最小值是3M7x11=231.9. 15【解析】設(shè)這32個(gè)數(shù)的乘積為A.所以，只要?jiǎng)澣?6!這個(gè)數(shù)，即可使得其余各數(shù)的乘積為一個(gè)完全平方數(shù).另外，由于16!=16父15!,而16也是完全平方數(shù)，所以劃去15!也滿足題意.10. 424【解析】設(shè)這個(gè)數(shù)減去63為A2,減去100為

11、B2,則A2-B2=(A+BRA-B)=100-63=37=37父1,可知A+B=37,且AB=1,所以A=19,B=18,這樣這個(gè)數(shù)為182+100=424.11. .不可能【解析】假設(shè)能找到，設(shè)這兩個(gè)完全平方數(shù)分別為A2、B2,那么這兩個(gè)完全平方數(shù)的差為54=(A+B'(AB),由于(A+B)和(AB)的奇偶性質(zhì)相同，所以(A+B'(AB)不是4的倍數(shù)，就是奇數(shù)，不可能是像54這樣是偶數(shù)但不是4的倍數(shù).所以54不可能等于兩個(gè)平方數(shù)的差，那么題中所說的數(shù)是找不到的.12. 12、8、2【解析】設(shè)這三個(gè)數(shù)從大到小分別為A2、B2、C2,那么有(A+B'(A-B)=80,

12、(A+C'(AC)=140,因?yàn)?40=2父2父5父7,A+C、AC同奇同偶，所以有A+C=14,AC=10或A+C=70,AC=2,分別解得A=12,C=2和A=36,C=34,對(duì)于后者沒有滿足條件的B,所以A只能等于12,C=2,繼而求得B=8,所以這三個(gè)數(shù)分別為12、8、2.13. 1123【解析】考查平方數(shù)和立方數(shù)的知識(shí)點(diǎn)，同時(shí)涉及到數(shù)量較少的連續(xù)自然數(shù)問題，設(shè)未知數(shù)的時(shí)候有技巧：一般是設(shè)中間的數(shù)，這樣前后的數(shù)關(guān)于中間的數(shù)是對(duì)稱的.設(shè)中間數(shù)是x,則它們的和為5x,中間三數(shù)的和為3x.5x是平方數(shù)，設(shè)5x=52Ma2,則x=5a2,3乂=1522=3乂5黑22是立方數(shù)，所以a2至

13、少含有3和5的質(zhì)因數(shù)各2個(gè)，即a2至少是225，中間的數(shù)至少是1125,那么這五個(gè)數(shù)中最小數(shù)的最小值為1123.14. 215M320父524【解析】為使所求的數(shù)最小，這個(gè)數(shù)不能有除2、3、5之外的質(zhì)因子.設(shè)這個(gè)數(shù)分解質(zhì)因數(shù)之后為2aM3bM5c，由于它乘以2以后是完全平方數(shù)，即2a*父3隈5c是完全平方數(shù)，則(a+1)、b、c都是2的倍數(shù);同理可知a、(b+1)、c是3的倍數(shù)，a、b、(c+1)是5的倍數(shù).所以，a是3和5的倍數(shù)，且除以2余1;b是2和5的倍數(shù)，且除以3余2;c是2和3的倍數(shù)，且除以5余4.可以求得a、b、c的最小值分別為15、20、24,所以這樣的自然數(shù)最小為215X320

14、X524.15. 85【解析】設(shè)這兩個(gè)完全平方數(shù)分別是A2和B2,且A2B2=77,則兩個(gè)完全平方數(shù)的和可以表示為77+2B2,所以B越大，平方和越大，B越小，平方和越小，而(A+B'jAB)=77,77=7x11=1x77,當(dāng)A+B=77,AB=1時(shí)，B取得最大值38,此時(shí)兩個(gè)完全平方數(shù)的和最大，為2965;當(dāng)A+B=11,A_B=7時(shí)，B取得最小值2,此時(shí)兩個(gè)完全平方數(shù)的和最小，為85.16. 18、32,43、57,68、82【解析】設(shè)這兩個(gè)兩位數(shù)中較小的那個(gè)為n,則另外一個(gè)為n+14,由題知，(n+14)2n2=100k(k為正整數(shù))，即7(n+7)=25k,由于(7,25)=

15、1,所以25(n+7),由于n與n+14均為兩位數(shù)，所以17<n+7E92,故n+7可能為25、50或者75,n可能為18、43或者68.經(jīng)檢驗(yàn)，n=18、43、68均符合題意，所以這兩個(gè)兩位數(shù)為18、32,或者43、57,或者68、82.17. 145【解析】如果把B放在A的左邊，得到的五位數(shù)為100B+A=601A;如果把B放在A的右邊，得到的五位數(shù)為1000A+B=1006A;這兩個(gè)數(shù)的差為1006A_601A=405A,是一個(gè)完全平方數(shù)，而405=92父5,所以A是5與一個(gè)完全平方數(shù)的乘積.A又是一個(gè)兩位數(shù)，所以可以為5M22、5父32、5M42,A的所有可能取值之和為5M22+

16、5父32+5父42=145.18. 3163和8368【解析】本題綜合利用數(shù)論知識(shí)，因?yàn)槎且粋€(gè)質(zhì)數(shù)，所以B不能為偶數(shù)，且同時(shí)BC是一個(gè)完全平方數(shù)，則符合條件的數(shù)僅有16和36,所以可以確定B為1或3,C=6.由于CA是一個(gè)質(zhì)數(shù)與一個(gè)不為1的完全平方數(shù)之積，在6169中只有63和68符合條件，那么A為3或8.那么AB可能為31,33,81,83,其中是質(zhì)數(shù)的有31和83,所以滿足條件的四位數(shù)有3163和8368.19. 1156【解析】設(shè)這個(gè)四位數(shù)為abcd=m2，由于其各位數(shù)字都小于7,所以每位數(shù)字都加3,沒有發(fā)生進(jìn)位，故由一得：3333=n2-m3=(n-m)(n+m)將3333分解質(zhì)因數(shù)

17、，有3333=3X11X101,其有(1+1)x(1+1)x(1+1)=8個(gè)約數(shù)，但是有n+mnm,所以只有4種可能，即3333=1父3333=3父1111=11父303=33父101.由于m2=abcd之1000,故m>30,所以(n+m)(n-m)=2m>60;又n2=(a+3)(b+3)(c+3)(d+3)<10000,所以n<100,故(n+m)+(nm)=2n<200；檢驗(yàn)，只有33x101滿足101_33>60且101+33<200,所以n+m=101,n_m=33,得m=34,原來的四位數(shù)為342=1156.20. 1444【解析】平方數(shù)

18、的末尾只能是0,1,4,5,6,9,因?yàn)?11,444,555,666,999都不是完全平方數(shù)，所以所求的數(shù)最小是4位數(shù).考察1111,1444可以知道1444=38x38,所以滿足條件的最小正整數(shù)是1444.21. .見解析【解析】因?yàn)榕紨?shù)的平方能被4整除，奇數(shù)的平方被4除余1,因此任一正整數(shù)的平方n2被4除余0或1.假設(shè)存在四個(gè)正整數(shù)%、降、”、Q,使得nn+2002=m2(i,j=1,2,3,4,i¥j).又2002被4除余2,故nm被4除余2或3.若小、不、露中有兩個(gè)偶數(shù)，如小n2是偶數(shù)，那么是4的倍數(shù)，nnj+2002被4除余2,所以不可能是完全平方數(shù)；因此小我、虱、山中至

19、多只有一個(gè)偶數(shù)，至少有三個(gè)奇數(shù).設(shè)丘、山、色為奇數(shù)，1為偶數(shù)，那么n、%、%被4除余1或3,所以nP5、中至少有兩個(gè)數(shù)余數(shù)相同.如n“被4除余數(shù)相同，同為1或3,那么1明被4除余1,所以n,1+2002被4除余3,不是完全平方數(shù)；綜上，n口+2002不可能全是完全平方數(shù).22. 略【解析】由于奇數(shù)的平方是奇數(shù)，偶數(shù)的平方為偶數(shù)，而奇數(shù)的平方除以4余1,偶數(shù)的平方能被4整除.現(xiàn)在這些數(shù)都是奇數(shù)，它們除以4的余數(shù)都是3,所以不可能為完全平方數(shù).23. 60【解析】60=3父4父5是一個(gè)美妙數(shù)，因此美妙數(shù)的最大公約數(shù)不會(huì)大于60.任何三個(gè)連續(xù)正整數(shù)，必有一個(gè)能為3整除，所以，任何美妙數(shù)必有因子3.若

20、中間的數(shù)是偶數(shù)，它又是完全平方數(shù)，必定能為4整除；若中間的數(shù)是奇數(shù)，則第一和第三個(gè)數(shù)是偶數(shù)，所以任何美妙數(shù)必有因子4.另外，由于完全平方數(shù)的個(gè)位數(shù)字只能是0,1,4,5,6,9,若其個(gè)位是0和5,則中間的數(shù)能被5整除；若其個(gè)位是1和6,則第一個(gè)數(shù)能被5整除；若其個(gè)位是4和9,則第三個(gè)數(shù)能被5整除.所以，任何美妙數(shù)必有因子5.由于3,4,5的最小公倍數(shù)是60,所以任何美妙數(shù)必有因子60,故所有美妙數(shù)的最大公約數(shù)至少是60.綜合上面分析，所有美妙數(shù)的最大公約數(shù)既不能大于60,又至少是60,所以，只能是60.24. 8【解析】一個(gè)平方數(shù)除以4的余數(shù)是0或1.當(dāng)n之4時(shí)，S除以4余3,所以S不是平方數(shù)；當(dāng)n=3時(shí)，S=4k+9,當(dāng)k在1至100之間時(shí)，S在13至409之間，其中只有8個(gè)平方數(shù)是奇數(shù)：52,22222227,9,11,13,15,17,19,其中每1個(gè)平方數(shù)對(duì)應(yīng)1個(gè)k,所以答案為8.25. 1225【解析】依題有1+2+3+HI+k=a2,即kk號(hào)戔=a2.因?yàn)閗與k+1是兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)，其中必有