1、?圓的證明與計算?專題講解 圓的有關證明 一、圓中的重要定理:(1)圓的定義:主要是用來證明四點共圓.(2)垂徑定理:主要是用來證明弧相等、線段相等、垂直關系等等.(3)三者之間的關系定理: 主要是用來證明弧相等、線段相等、圓心角相等.(4)圓周角性質定理及其推輪: 主要是用來證明直角、角相等、弧相等.(5)切線的性質定理:主要是用來證明垂直關系.(6)切線的判定定理: 主要是用來證明直線是圓的切線.(7)切線長定理: 線段相等、垂直關系、角相等. 2.圓中幾個關鍵元素之間的相互轉化:弧、弦、圓心角、圓周角等都可以通過相等來互相轉化.這在圓中的證明和計算中經常用到.知識點一：判定切線的方法：1

2、假設切點明確，那么“連半徑，證垂直。常見手法有：全等轉化；平行轉化；直徑轉化；中線轉化等；有時可通過計算結合相似、勾股定理證垂直；2假設切點不明確，那么“作垂直，證半徑。常見手法：角平分線定理；等腰三角形三線合一，隱藏角平分線；總而言之，要完成兩個層次的證明：直線所垂直的是圓的半徑過圓上一點；直線與半徑的關系是互相垂直。在證明中的關鍵是要處理好弧、弦、角之間的相互轉化,要善于進行由此及彼的聯想、要總結常添加的輔助線.例：方法一：假設直線l過O上某一點A，證明l是O的切線，只需連OA，證明OAl就行了，簡稱“連半徑，證垂直，難點在于如何證明兩線垂直.例1 如圖，在ABC中，AB=AC，以AB為直

3、徑的O交BC于D，交AC于E，B為切點的切線交OD延長線于F.求證：EF與O相切.例2 如圖，：AB是O的直徑，點C在O上，且CAB=300，BD=OB，D在AB的延長線上.求證：DC是O的切線例3 如圖，AB是O的直徑，CDAB，且OA2=ODOP.求證：PC是O的切線.方法二：假設直線l與O沒有的公共點，又要證明l是O的切線，只需作OAl，A為垂足，證明OA是O的半徑就行了，簡稱：“作垂直；證半徑(一般用于函數與幾何綜合題例1： ：如圖，AC，BD與O切于A、B，且ACBD，假設COD=900.求證：CD是O的切線.知識點二：與圓有關的計算計算圓中的線段長或線段比，通常與勾股定理、垂徑定理

4、與三角形的全等、相似等知識的結合，形式復雜，無規(guī)律性。分析時要重點注意觀察線段間的關系，選擇定理進行線段或者角度的轉化。特別是要借助圓的相關定理進行弧、弦、角之間的相互轉化，找出所求線段與線段的關系，從而化未知為，解決問題。其中重要而常見的數學思想方法有：（1） 構造思想：如：構建矩形轉化線段；構建“射影定理根本圖研究線段任意兩條線段可求其它所有線段長；射影定理：所謂射影，就是正投影。 其中，從一點到一條直線所作垂線的垂足，叫做這點在這條直線上的正投影。一條線段的兩個端點在一條直線上的正投影之間的線段，叫做這條線段在這直線上的正投影。 由三角形相似的性質：直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜

5、邊上射影的比例中項。每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項。 公式RtABC中,BAC=90,AD是斜邊BC上的高,那么有射影定理如下:：(1)(AD)2;=BDDC, (2)(AB)2;=BDBC , (3)(AC)2;=CDBC 。 等積式 (4)ABXAC=BCXAD(可用面積來證明)構造垂徑定理模型：弦長一半、弦心距、半徑；構造勾股定理模型線段長度；構造三角函數(有角度的情況;找不到，找相似 2方程思想：設出未知數表示關鍵線段，通過線段之間的關系，特別是發(fā)現其中的相等關系建立方程，解決問題。3建模思想：借助根本圖形的結論發(fā)現問題中的線段關系，把問題分解為假設干根本圖形的

6、問題，通過根本圖形的解題模型快速發(fā)現圖形中的根本結論，進而找出隱藏的線段之間的數量關系。范例講解：例題1：ABP中，ABP=90，以AB為直徑作O交AP于C點，弧=，過C作AF的垂線，垂足為M，MC的延長線交BP于D.1求證：CD為O的切線；2連BF交AP于E，假設BE=6，EF=2，求的值。例題2：直角梯形ABCD中，BCD=90，AB=AD+BC，AB為直徑的圓交BC于E，連OC、BD交于F.求證：CD為O的切線假設，求的值例題3：如圖，AB為直徑，PB為切線，點C在O上，ACOP。1求證：PC為O的切線。2過D點作DEAB，E為垂足，連AD交BC于G，CG=3，DE=4，求的值。例題42

7、021調考：如圖，ABC中，以邊BC為直徑的O與邊AB交于點D，點E為 的中點，AF為ABC的角平分線，且AFEC。1求證：AC與O相切；2假設AC6，BC8，求EC的長家庭練習：1如圖，RtABC，以AB為直徑作O交AC于點D， ，過D作AE的垂線，F為垂足.1求證：DF為O的切線；2假設DF=3，O的半徑為5，求的值.2如圖，AB為O的直徑，C、D為O上的兩點， ，過D作直線BC的垂線交直線AB于點E，F為垂足.1求證：EF為O的切線；2假設AC=6，BD=5，求的值.3如圖，AB為O的直徑，半徑OCAB，D為AB延長線上一點，過D作O的切線，E為切點，連結CE交AB于點F.1求證：DE=

8、DF；2連結AE，假設OF=1，BF=3，求的值.4如圖，RtABC中，C=90，BD平分ABC，以AB上一點O為圓心過B、D兩點作O，O交AB于點一點E，EFAC于點F.1求證：O與AC相切；2假設EF=3，BC=4，求的值.5如圖，等腰ABC中，AB=AC，以AB為直徑作O交BC于點D，DEAC于E.1求證：DE為O的切線；2假設BC=，AE=1，求的值. 6如圖，BD為O的直徑，A為 的中點，AD交BC于點E，F為BC延長線上一點，且FD=FE.1求證：DF為O的切線；2假設AE=2，DE=4，BDF的面積為，求的值.7、如圖，AB是O的直徑，M是線段OA上一點，過M作AB的垂線交AC于

9、點N，交BC的延長線于點E，直線CF交EN于點F，且ECF=E1求證：CF是O的切線；2設O的半徑為1，且AC=CE，求的長8、如圖，AB是O的直徑，BCAB，過點C作O的切線CE，點D是CE延長線上一點，連結AD，且AD+BC=CD.1求證：AD是O的切線；2設OE交AC于F，假設OF=3，EF=2，求線段BC的長.9、如圖，ABC中，AB=BC，以AB為直徑的O交AC于點D，且CD=BD.1求證：BC是O的切線；2點M、N分別是AD、CD的中點，BM延長線交O于E，EFAC，分別交BD、BN的延長線于H、F，假設DH=2，求EF的長.10、如圖，AB是半O上的直徑，E是的中點，OE交弦BC于點D，過點C作交AD的平行線