1、(Ca余數(shù)問題題(教師版)"知識精講、帶余除法的定義及性質(zhì)一般地，如果a是整數(shù)，b是整數(shù)(bw。，若有ab=qr,也就是a=b兇+r,0年b;我們稱上面的除法算式為一個帶余除法算式。這里：(1)當(dāng)r0時：我們稱a可以被b整除，q稱為a除以b的商或完全商(2)當(dāng)r0時：我們稱a不可以被b整除，q稱為a除以b的商或不完全商一個完美的帶余除法講解模型：這是一堆書，共有a本，這個a就可以理解為被除數(shù)，現(xiàn)在要求按照b本一捆打包，那么b就是除數(shù)的角色，經(jīng)過打包后共打包了c捆，那么這個c就是商，最后還剩余d本，這個d就是余數(shù)。、三大余數(shù)定理：1 .余數(shù)的加法定理a與b的和除以c的余數(shù)，等于a,b分

2、別除以c的余數(shù)之和，或這個和除以c的余數(shù)。例如：23,16除以5的余數(shù)分別是3和1,所以23+16=39除以5的余數(shù)等于4,即兩個余數(shù)的和3+1.當(dāng)余數(shù)的和比除數(shù)大時，所求的余數(shù)等于余數(shù)之和再除以c的余數(shù)。例如：23,19除以5的余數(shù)分別是3和4,所以23+19=42除以5的余數(shù)等于3+4=7除以5的余數(shù)，即2 。3 .余數(shù)的乘法定理a與b的乘積除以c的余數(shù)，等于a,b分別除以c的余數(shù)的積，或者這個積除以c所得的余數(shù)。例如：23,16除以5的余數(shù)分別是3和1,所以23X16除以5的余數(shù)等于3X1=3。當(dāng)余數(shù)的和比除數(shù)大時，所求的余數(shù)等于余數(shù)之積再除以c的余數(shù)。例如：23,19除以5的余數(shù)分別是

3、3和4,所以23X19除以5的余數(shù)等于3%除以5的余數(shù)，即2.4 .同余定理若兩個整數(shù)a、b被自然數(shù)m除有相同的余數(shù)，那么稱a、b對于模m同余，用式子表示為：a書（modm）,左邊的式子叫做同余式。同余式讀作：a同余于b,模m。由同余的性質(zhì)，我們可以得到一個非常重要的推論：若兩個數(shù)a,b除以同一個數(shù)m得到的余數(shù)相同，則a,b的差一定能被m整除。用式子表示為：如果有a書（modm）,那么一定有ab=mk,k是整數(shù)，即m|（ab）a去除1992,得到商是46,余數(shù)是r,求a和r.【解析】因為1992是a的46倍還多r,得到19924643.14,彳#1992464314,所以a43,r14.【例2

4、】甲、乙兩數(shù)的和是1088,甲數(shù)除以乙數(shù)商11余32,求甲、乙兩數(shù).【解析】（法1）因為甲乙1132,所以甲乙乙1132乙乙12321088；【解析】則乙（108832）1288,甲1088乙1000.【解析】（法2）將余數(shù)先去掉變成整除性問題，利用倍數(shù)關(guān)系來做：從1088中減掉32以后，1056就應(yīng)當(dāng)是乙數(shù)的（111）倍，所以得到乙數(shù)10561288,甲數(shù)1088881000.【例3】一個兩位數(shù)除310,余數(shù)是37,求這樣的兩位數(shù)。【解析】本題為余數(shù)問題的基礎(chǔ)題型，需要學(xué)生明白一個重要知識點，就是把余數(shù)問題一即“不整除問題”轉(zhuǎn)化為整除問題。方法為用被除數(shù)減去余數(shù)，即得到一個除數(shù)的倍數(shù)；或者是

5、用被除數(shù)加上一個“除數(shù)與余數(shù)的差”，也可以得到一個除數(shù)的倍數(shù)。本題中310-37=273,說明273是所求余數(shù)的倍數(shù)，而273=3X7X13,所求的兩位數(shù)約數(shù)還要滿足比37大,符合條件的有39,91.【例4】有兩個自然數(shù)相除，商是17,余數(shù)是13,已知被除數(shù)、除數(shù)、商與余數(shù)之和為2113,則被除數(shù)是多少?【解析】被除數(shù)除數(shù)商余數(shù)被除數(shù)除數(shù)+17+13=2113,所以被除數(shù)除數(shù)=2083,由于被除數(shù)是除數(shù)的17倍還多13,則由“和倍問題”可得：除數(shù)=（2083-13）+（17+1）=115,所以被除數(shù)=2083-115=1968?！纠?】有48本書分給兩組小朋友，已知第二組比第一組多5人.如果把

6、書全部分給第一組，那么每人4本，有剩余；每人5本，書不夠.如果把書全分給第二組，那么每人3本，有剩余；每人4本，書不夠.問：第二組有多少人？【解析】由48412,4859.6知，一組是10或11人.同理可知48316,48412知，二組是13、14或15人，因為二組比一組多5人，所以二組只能是15人，一組10人.【例6】一個兩位數(shù)除以13的商是6,除以11所得的余數(shù)是6,求這個兩位數(shù).【解析】因為一個兩位數(shù)除以13的商是6,所以這個兩位數(shù)一定大于13678,并且小于13（61）91；又因為這個兩位數(shù)除以11余6,而78除以11余1,這個兩位數(shù)為78583.【例7】有一個大于1的整數(shù)，除45,5

7、9,101所得的余數(shù)相同，求這個數(shù).【解析】這個題沒有告訴我們，這三個數(shù)除以這個數(shù)的余數(shù)分別是多少，但是由于所得的余數(shù)相同，根據(jù)同余定理，我們可以得到：這個數(shù)一定能整除這三個數(shù)中的任意兩數(shù)的差，也就是說它是任意兩數(shù)差的公約數(shù).1014556,594514,（56,14）14,14的約數(shù)有1,2,7,14,所以這個數(shù)可能為2,7,140【例8】22003與20032的和除以7的余數(shù)是._2_3_4_5_6一.【解析】找規(guī)律.用7除2,2,2,2,2,2,的余數(shù)分別是2,4,1,2,4,1,2,4,1,2的個數(shù)是3的倍數(shù)時，用7除的余數(shù)為1;2的個數(shù)是3的倍數(shù)多1時，用7除的余數(shù)為2;2的個數(shù)是3

8、的倍數(shù)多2時，用7除的余數(shù)為4.因為22003236672,所以22003除以7余4.又兩個數(shù)的積2除以7的余數(shù)，與兩個數(shù)分別除以7所得余數(shù)的積相同.而2003除以7余1,所以2003除以7余1.故2頡3與20032的和除以7的余數(shù)是415.【例9】求2461135604711的余數(shù).【解析】因為246111223.8,1351112.3,604711549.8,根據(jù)同余定理（三），2461135604711的余數(shù)等于83811的余數(shù)，而838192,1921117.5,所以2461135604711的余數(shù)為5.【例10】求31997的最后兩位數(shù).八1997一-39【解析】即考慮3除以100的

9、余數(shù).由于10042"由于327除以25余2,所以3除以25余8,1020220203除以25余24,那么3除以25余1;又因為3除以4余1,則3除以4余1;即31能被4和25整除，-20,_20-一1997而4與25互質(zhì)，所以31能被100整除，即3除以100余1,由于1997209917,所以3除以1001765>17/。62。5的余數(shù)即等于3除以100的余數(shù)，而3729除以100余29,3243除以100余43,3(3)3,所以1719973除以100的余數(shù)等于292943除以100的余數(shù)，而29294336163除以100余63,所以3除以1001997余63,即3的最

10、后兩位數(shù)為63.【例11】2200820082除以7的余數(shù)是多少？32008。3669+13、669【解析】28除以7的余數(shù)為1,200836691,所以22(2)2,其除以7的余數(shù)為：166922；2008除以7的余數(shù)為6,則20082除以7的余數(shù)等于62除以7的余數(shù)，為1;所以.2008222008除以7的余數(shù)為：213.66,求這個兩位數(shù)。【答案】79171錯寫成117,結(jié)果商少3而余數(shù)恰恰相同，這題【作業(yè)2】明明在一次計算除法時，把被除數(shù)中的除數(shù)是多少？【答案】18【作業(yè)3】兩數(shù)相除，商4余8,被除數(shù)、除數(shù)、商數(shù)、余數(shù)四數(shù)之和等于415,則被除數(shù)是.【解析】因為被除數(shù)減去8后是除數(shù)的4

11、倍，所以根據(jù)和倍問題可知，除數(shù)為(415488)(41)79,所以，被除數(shù)為7948324【作業(yè)4】1013除以一個兩位數(shù)，余數(shù)是12.求出符合條件的所有的兩位數(shù).【解析】1013121001,100171113,那么符合條件的所有的兩位數(shù)有11,13,77,91,因為“余數(shù)小于除數(shù)”，所以舍去11,答案只有13,77,91?！咀鳂I(yè)5】求478296351除以17的余數(shù).【解析】先求出乘積再求余數(shù)，計算量較大.可先分別計算出各因數(shù)除以17的余數(shù)，再求余數(shù)之積除以17的余數(shù).478,296,351除以17的余數(shù)分別為2,7和11,化711）1791.【作業(yè)6】一個大于1的數(shù)去除290,235,2

12、00時，得余數(shù)分別為a,a2,a5,則這個自然數(shù)是多少？【解析】根據(jù)題意可知，這個自然數(shù)去除290,233,195時，得到相同的余數(shù)（都為a）.既然余數(shù)相同，我們可以利用余數(shù)定理，可知其中任意兩數(shù)的差除以這個數(shù)肯定余0.那么這個自然數(shù)是29023357的約數(shù)，又是23319538的約數(shù)，因此就是57和38的公約數(shù)，因為57和38的公約數(shù)只有19和1,而這個數(shù)大于1,所以這個自然數(shù)是19.【作業(yè)7】有48本書分給兩組小朋友，已知第二組比第一組多5人.如果把書全部分給第一組，那么每人4本，有剩余；每人5本，書不夠.如果把書全分給第二組，那么每人3本，有剩余；每人4本，書不夠.問：第二組有多少人？【

13、解析】由48412,4859.6知，一組是10或11人.同理可知48316,48412知，二組是13、14或15人，因為二組比一組多5人，所以二組只能是15人，一組10人.【作業(yè)8】某個大于1的自然數(shù)分別除442,297,210,得到相同的余數(shù)，則該自然數(shù)為?！痉治觥渴紫纫宄粋€事實：兩個數(shù)被同一個數(shù)除余數(shù)相同，則這兩個數(shù)相減（大減?。┠鼙贿@個數(shù)整除。知道了這個事實后我們就很容易做這個題了。因為該自然數(shù)能整除442297145,也能整除442210232,同樣能整除29721087。所以可知這個自然數(shù)必定是145,232,87的公約數(shù)。而這三個數(shù)大于1的公約數(shù)只有29。所以可知這個自然數(shù)為29。【作業(yè)9】兩位自然數(shù)ab與ba除以7都余1,并且ab,求abba.【解析】abba能被7整除，即（10ab）（10ba）