1、第一章 矩陣及其應(yīng)用習(xí)題解答本章需要掌握的是：1矩陣的定義，以及矩陣的運算加、減、數(shù)乘和乘法；2方陣的冪和多項式，以及矩陣轉(zhuǎn)置的性質(zhì)；3逆陣的定義，以及逆陣的4條性質(zhì)；4分塊矩陣的運算規(guī)那么；5矩陣的三種初等變換及行階梯矩陣和行最簡矩陣；6三種初等矩陣，以及定理1.4左乘行變，右乘列變、1.5、1.6和1.7；7求逆陣的方法：定義法和初等變換法。1、 設(shè)方陣A滿足2003A2=5A+16E，求(A-E)-1。題型分析：此類題型考核的知識點是逆陣的定義，即AB=BA=EA-1=B, B-1=A。因此無論題中給出的有關(guān)矩陣A的多項式如此題是2003A2=5A+16E多么復(fù)雜，只需要把該多項式配方成

2、“所求逆的表達式*配方后的因子=E即可，即此題是要配成A-E*(?)=E。解： 2003A2-5A-16E=0 2003A2-2003A+1998A-16E=0 %配出2003A可提取的A-E 2003AA-E+1998A-1998E+1982E=0 %配出1998可提取的A-E 2003A-E+1998A-E+1982E=0 %提取公因式A-E A-E2003A+1998E=-1982E %將只有單位陣的那一項移至等式右端 A-E2003A+1998E-1982=E %寫成“AB=BA=E的形式 2003A+1998E-1982A-E=EA-E-1=2003A+1998E-1982 %由逆陣

3、定義可知穩(wěn)固練習(xí)：教材第38頁第13題2、 設(shè)A=1021，求Ak。其中k為正整數(shù)。題型分析：此類題型考核的知識點是矩陣的乘法和冪運算。解題思路為依次計算A2，A3，最多到A4，通常這時已經(jīng)可以看出規(guī)律，依此規(guī)律解題即可。解：A2=10211021=102*21，A3=102*211021=102*31，因此推論Ak=102k1，用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：1當(dāng)k=1時，A=102*11成立；2假設(shè)當(dāng)k=n-1時，上式成立，即An-1=102*(n-1)1，那么有 當(dāng)k=n時，An=An-1A=102(n-1)11021=102*n1也成立。所以 Ak=102k1穩(wěn)固練習(xí)：教材第41頁二、填空題33

4、、 設(shè)A=E-uuT ，E為n階單位陣，u為n維非零列向量，uT 為u的轉(zhuǎn)置，證明：1） A2=A的充要條件是uTu=1；2） 當(dāng)uTu=1時，A是不可逆的。題型分析：這道題綜合了矩陣這一章的大局部知識點，是個綜合題，對于剛學(xué)了第一章的同學(xué)們來說也是一道難題。解題思路首先要明確u為n為非零向量是指u是一個只有一行或一列的矩陣，題中有uTu=1即告訴我們u是一個n*1階列矩陣即列向量u1u2un。解：1充分性證明，即uTu=1A2=AA2=E-uuTE-uuT=E-2 uuT + uuTuuT %注意uTuuuT！uTu是個數(shù)，uuT是個n階方陣uTu=1，A2=E-2uuT+uuT=E-uuT

5、=A 必要性證明，即A2=AuTu=1 A2=A,即E-2 uuT+ uuTuuT=E-uuT,化簡得 uuTuuT- uuT=0 ，uTu是個數(shù) % 是數(shù)就可以提取到矩陣外 （uTu） uuT- uuT=0，那么（uTu-1） uuT=0又u為非零向量，uuT0 uTu-1=0，即uTu=12反證法由1可知，當(dāng)uTu=1時，A2=A，那么如果A可逆，有A-1A2=A-1A，那么有A=E，這與矛盾。所以A不可逆。穩(wěn)固練習(xí)：教材第42頁二、填空題154、 設(shè)A=1-201,gx=x2+2x-3,求gA。題型分析：此類題型考核的知識點是矩陣的多項式，要熟練掌握矩陣多項式的各項性質(zhì)，尤其是多項式中的

6、常數(shù)項在矩陣多項式中必須乘以單位陣！否那么矩陣與數(shù)無法相加。解：gA=A2+2A-3E % 關(guān)鍵點在于常數(shù)項的變化！ =1-2011-201+21-201-31001 %簡單的矩陣運算 =0-800穩(wěn)固練習(xí)：教材42頁二、第14題5、 設(shè)n維行向量=12,0,0,12,矩陣A=E-T,B=E+2T,其中E為n階單位陣，求AB。題型分析：此類題型考核的知識點是矩陣乘法，一般這種題型都是有簡化的計算，不可能是一一代入求解，雖然這也能求出結(jié)果，但是計算量很大。所以通常解題思路是先把AB的表達式求出，看表達式里有何規(guī)律可尋。解：AB=E-TE+2T=E+T-2TT% 是行向量，那么要知道T是n階方陣，

7、而T是個數(shù)T=12,0,0,12120012=12AB=E+T-2TT= E+T-2*12T=E穩(wěn)固練習(xí)：教材第41頁二、填空題16、 設(shè)3階方陣A,B滿足關(guān)系式A-1BA=6A+BA ,求矩陣B，其中A=130001400017。題型分析：此類題型類似求解矩陣方程，考核的知識點主要是逆陣的定義與性質(zhì)，尤其是對角矩陣的逆陣也是對角矩陣，其主對角線上的元為原對角矩陣主對角線元的倒數(shù)。解題思路是先將矩陣方程化簡成所求矩陣的表達式，再代入具體矩陣求解。如此題中應(yīng)將方程化成B=？。注意一般不會是一一代入求解，那樣計算量就大了。解：A-1BA=6A+BA A-1BA-BA=6A % 第一步將含矩陣B的所

8、有項移到方程左端，其他移到右端。 A-1-EBA=6A % 想方法將所求矩陣B提取公因式因為A可逆，所以在方程兩邊同時右乘A-1，那么有 A-1-EB=6E又因為A-1=300040007，那么A-1-E=200030006是對角矩陣也可逆。 A-1-EB=6E的兩邊同時左乘A-1-E-1，有 B=6A-1-E-1 =6200030006-1=300020001 % 最終化成B=6A-1-E-1，再代入求解有多種解法，同學(xué)們也可以嘗試在原式兩邊同時右乘A-1看看。穩(wěn)固練習(xí)：教材41頁二、87、 設(shè)A，B均為n階對稱矩陣，且矩陣A和矩陣E+AB都可逆，試證E+AB-1A為對稱陣。題型分析：此題為

9、綜合性題，考核的知識點即對稱矩陣和逆陣的定義與性質(zhì)，熟練掌握有關(guān)對稱和逆陣的所有性質(zhì)就容易求解此題。對稱陣涉及轉(zhuǎn)置，而題中又涉及到逆陣，所以一定會用到將逆陣和轉(zhuǎn)置聯(lián)系在一起的那條性質(zhì)，即（AT）-1=（A-1）T。以及A+BT=AT+BT,ABT=BTAT, AB-1=B-1A-1等。一定要注意 A+B-1A-1+B-1 !證明：根據(jù)對稱陣的定義，即要證明(E+AB）-1AT=（E+AB）-1A，將左式展開，有(E+AB）-1AT=AT(E+AB)-1T %轉(zhuǎn)置的性質(zhì)（AB）T=BTAT因為A，B均為對稱陣，據(jù)定義有AT=A,BT=B，又（AT）-1=（A-1）T那么 AT(E+AB)-1T=

10、A(E+AB)T-1 =AET+(AB)T-1 %轉(zhuǎn)置的性質(zhì)（A+B）T=AT+BT =A(E+BTAT)-1 %轉(zhuǎn)置的性質(zhì)（AB）T=BTAT =A(E+BA)-1 % A，B為對稱陣大局部同學(xué)卡在這里，怎樣證明A(E+BA)-1=(E+AB)-1A呢？想方法把左式中的A移到括號前方，怎么移？逆陣性質(zhì)里有(AB)-1=B-1A-1，因此將左式化成：AE+BA-1=A-1-1E+BA-1 =(E+BA)A-1)-1 =(EA-1+BAA-1)-1 %將A-1乘進括號 =(A-1+B)-1 =A-1(E+AB)-1 %把A-1當(dāng)公因子提取至左端 =A-1(E+AB)-1 %仍利用逆陣性質(zhì)(AB)

11、-1=B-1A-1 =(E+AB)-1A(E+AB）-1AT=（E+AB）-1A，根據(jù)對稱陣的定義可知，E+AB-1A為對稱陣。證明二：簡寫如下：（E+AB）-1A =（AA-1+AB）-1A= AA-1+B-1A = A-1+B-1A-1A =A-1+B-1E+AB-1A T=A-1+B-1T=A-1+BT-1=A-1T+BT-1=A-1+B-1=（E+AB）-1A所以（E+AB）-1A是對稱陣。穩(wěn)固練習(xí)：教材37頁第7題8、1設(shè)A,B都可逆，求0AB0的逆； 2利用分塊矩陣，求下面矩陣的逆。,其中ai0 (i=1,2,n)題型分析：此類題型考核的知識點是分塊矩陣和逆陣的相關(guān)性質(zhì)。第一小題只

12、要找到一個2*2階的分塊矩陣和0AB0相乘后得單位陣即可，可用初等變換法求逆，也可用定義求。第二小題很明顯是第一小題的延伸題，根據(jù)第一小題的結(jié)論可以直接推出第二題的答案。解：1方法一：用定義假設(shè)有一2*2階的分塊矩陣MNLK，令MNLK0AB0=EOOE，那么展開有NBMAKBLA=EOOE % A,B為子矩陣，所以表示成EOOE，而不是1001。所以有NB=E,MA=O,KB=O,LA=E 又因為A，B皆可逆，那么A，B均不為零矩陣所以N=B-1，L=A-1；令M=O，K=O，那么 %這里不太嚴密的一點是AB=O,并不能說明A=O或B=O，所以我們令M=O,K=O0AB0-1=0B-1A-10 方法二：初等變換法OABO EOOEr1r2BOOA OEEO % 利用初等行變換 EOOE OB-1A-1O % 此處左乘了BOOA-1=B-1OOA-1對角矩陣的逆， 即B-1OOA-1BOOA OEEO=EOOE OB-1A-1O所以0AB0-1