1、 淺談幾何概型的分類及應(yīng)用 安陽(yáng)縣第二高級(jí)中學(xué)分校 張興洲摘 要本文先介紹了幾何概型的定義，列舉出幾何概型的分類并對(duì)每種分類作詳細(xì)闡述，通過(guò)實(shí)際問(wèn)題，詳細(xì)表明其各種分類的具體應(yīng)用及優(yōu)點(diǎn)關(guān)鍵詞：幾何概型；幾何度量；測(cè)度Abstract this article introduced first the geometry generally definition, enumerates the geometry generally classification and makes the detailed elaboration to each kind of classification, th

2、rough the actual problem, indicates its each kind of classified in detail the concrete application and the merit. Key word: Geometry generally; Geometry measure; Measure. 目 錄正文-11幾何概型的定義-31.1幾何概型的定義-31.2幾何概型的兩個(gè)特點(diǎn)-31.3幾何概型的三個(gè)基本性質(zhì)-42幾何概型的分類和計(jì)算-32.1區(qū)間模型僅涉及一個(gè)變量-42.1.1測(cè)度為長(zhǎng)度的幾何模型-32.1.2測(cè)度為角度的幾何模型-32.2平面模型

3、涉及兩個(gè)變量-32.3空間模型涉及三個(gè)變量-53幾何概型的應(yīng)用-33.1幾何概型在生活中的應(yīng)用-33.2幾何概型在工業(yè)中的應(yīng)用-33.3幾何概型在教學(xué)、解題中的應(yīng)用-3參考文獻(xiàn)-34致 謝-361幾何概型的定義幾何概型是概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中最基本的問(wèn)題之一，因而有必要進(jìn)行深入探討和歸納1.1幾何概型的定義設(shè)是某個(gè)可度量的區(qū)域（可以是一維、二維、三維）。若一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)可歸納為向中隨機(jī)地投入一點(diǎn)M，點(diǎn)M落在中任一點(diǎn)是等可能的，即點(diǎn)M落在的某一子區(qū)域A內(nèi)的概率與A的幾何量成正比，而與A的行政和位置無(wú)關(guān)，則稱這樣的概率模型維幾何概率概型，簡(jiǎn)稱幾何概型對(duì)于幾何概型試驗(yàn)，若記“點(diǎn)M落在A內(nèi)”為事件A，則事件A

4、的概率公式為P(A)=m(A)/m(),其中m表示區(qū)域的幾何度量（可以是長(zhǎng)度、面積、體積等）1.2幾何概型的兩個(gè)特點(diǎn)（1）在一次隨即試驗(yàn)中，不同的試驗(yàn)結(jié)果（基本事件）有無(wú)限多個(gè)；（2）每一個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相等1.3幾何概型的三個(gè)基本性質(zhì)（1）對(duì)于任何事件A,P(A)0;（2）P()=1；（3）若兩兩互不相容，則P第一個(gè)性質(zhì)稱為概率的非負(fù)性，第二個(gè)性質(zhì)稱為概率的規(guī)范性，第三個(gè)性質(zhì)稱為概率的（由限）可加性2幾何概型的分類和計(jì)算由幾何概型計(jì)算公式P(A)=(分母不為0)可知，幾何概型的計(jì)算與測(cè)度即幾何度量有直接的關(guān)系，而幾何度量又可分為長(zhǎng)度度量，面積度量，體積度量，角度度量等不同情況，所以根據(jù)

5、幾何度量的不同可把幾何概型分為測(cè)度為長(zhǎng)度的幾何概型，測(cè)度為面積的幾何概型，測(cè)度為體積的幾何概型和測(cè)度為角度的幾何概型而測(cè)度為長(zhǎng)度的幾何概型和測(cè)度為角度的幾何概型都只涉及一個(gè)變量，稱為區(qū)間模型；測(cè)度為面積的幾何概型因涉及兩個(gè)變量又稱為平面模型；測(cè)度為體積的幾何概型又稱為空間模型2.1區(qū)間模型僅涉及一個(gè)變量2.1.1測(cè)度為長(zhǎng)度的幾何模型例 1 如圖 1，AOB=，OA = 2，OB = 5，在線段 OB上 任取一點(diǎn) C，試求 ：AOC為鈍角三角形的概率 解析 先看使AOC為直角三角形的情況：(1)若OCA=，則 OC=1；(2)若OCA=，則OC=4如圖，分別是適合以上兩種情況的點(diǎn)C，它們均在線段

6、OB上，由題意知，當(dāng)點(diǎn)C在線段內(nèi)時(shí)，AOC為鈍角三角形 故D的測(cè)度=OB =5，d的測(cè)度 =l+l=2從而，AOC為鈍角三角形的概率 P= 點(diǎn)評(píng) 對(duì)測(cè)度為線段長(zhǎng)度的問(wèn)題，在畫(huà)圖分析時(shí)要完整地、準(zhǔn)確地把握構(gòu)成所求事件的樣本空間所對(duì)應(yīng)的線段，防止遺漏或以偏蓋全例 2 設(shè)m在o，5上隨機(jī)地取值，求方程有有實(shí)根的概率解：一元二次方程有實(shí)數(shù)根=(m+1)(m-2)o，則m一1或m2，故所求概率P=2.1.2測(cè)度為角度的幾何模型例 3 在ABC中，B = C =，高 AE =，在 BAC內(nèi)作射線 AM 交BC于M ，求 BM <l的概率 解析 如圖2，射線AM在BAC內(nèi)是等可能分布的，當(dāng)AM與高AE

7、重合時(shí)，BM =l，故滿足 BM <l的射線 AM在 BAE內(nèi)于是D的測(cè)度 =BAC=，d的測(cè)度 =BAE =，從而P(BM1)=點(diǎn)評(píng) 若將本題 的“在 BAC內(nèi)作射線 AM交BC于M”改為“在線段BC上取點(diǎn)M”，則測(cè)度由“角度”變 為線段 的“長(zhǎng)度”，所以對(duì)于背景相似的問(wèn)題，要仔細(xì)研讀，認(rèn)真辨析，注意區(qū)別例 4 已知等腰三角形ABC，C，在直角邊BC上任取一點(diǎn)M，求的概率分析 如圖，在CB上取點(diǎn),使CA=，則區(qū)域D為線段CB的長(zhǎng)，為線段C的長(zhǎng) 解： 在CB上取點(diǎn)使CA=，設(shè)BCa，則C，故PC(CA=)=例 5 如圖 ，以等腰直角A三角形的直角頂點(diǎn)為圓心作圓，使這個(gè)圓與斜邊相關(guān)，則截得

8、的弦長(zhǎng)不小于直角邊的概率是多少? 解 設(shè)等腰直角三角形的直角邊長(zhǎng)度為1，“以其直角頂點(diǎn)為圓心作圓，這個(gè)圓 與斜邊相關(guān)，截得的弦長(zhǎng)不小于直角邊”為事件B要使這個(gè)圓與斜邊相關(guān)，則此圓半徑最短為，最長(zhǎng)為1；要保證事件B發(fā)生，則此圓半徑最短為圖4中的C N =，最長(zhǎng)為1，d的測(cè)度=，D 的測(cè)度=，P(B)= 2.2平面模型涉及兩個(gè)變量例6在區(qū)間(0，1)上隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)求關(guān)于的一元二次方程有實(shí)根的概率分析：設(shè)事件A表示方程有實(shí)根，因?yàn)槭菑?0，1)中任意取的兩個(gè)數(shù)，所以點(diǎn)(，)與正方形D內(nèi)的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，其中D一(，)0<<1，0<<1，事件A(，)40，(，)D)，有利事件A的樣

9、本點(diǎn)區(qū)域?yàn)閳D1中陰影部分A，A(，)40，0<<1，0<<1，有P(A)=例 7從(0，2)中，隨地取兩個(gè)數(shù)；兩數(shù)之和小0.8的概率分析：設(shè)兩數(shù)分別為x，y，則樣本空間D(x,y) 0<x<2，0<y<2，A表示兩數(shù)之和小于0.8，則A(x,y) x+y0.8, (x,y)D(圖2)，P(A)=0.08.例 8 在一張打上方格的紙上投一枚直徑為2的硬幣，方格邊長(zhǎng)要多少才能使硬幣與線不相交概率小于0.04.分析 如圖7，取一個(gè)方格，設(shè)邊長(zhǎng)為x，（x2），當(dāng)硬幣與線不相交是，圓心到線段不超過(guò)1，即圓心只能在圖中陰影部分內(nèi)才與邊界不相交，設(shè)有利事件A，

10、則P(A)=0.04.0x2時(shí)，硬幣必與線相交只需x2時(shí)，上式成立，即當(dāng)邊長(zhǎng)x2.5時(shí)，才能使硬幣與線不相交概率小于0.04例 9 設(shè)點(diǎn)(p ,q)在 3, 3中按均勻分布出現(xiàn)，試求方程 的兩根都是實(shí)數(shù)的概率 解析 根據(jù)一元二次方程有實(shí)數(shù)根的充要條件找出p，q的約束條件，進(jìn)而確定區(qū)域的測(cè)度，如圖3，基本事件總數(shù)的區(qū)域D的測(cè)度為正方形面積，即D的測(cè)度 =36由方程的兩根都是實(shí)數(shù)，得，所以 1.所以當(dāng)點(diǎn)(p，q)落在如圖所示的陰影部分時(shí)，方程的兩根均為實(shí)數(shù)，由圖可知，區(qū)域d的測(cè)度 =所以原方程兩根都是實(shí)數(shù)的概率P=點(diǎn)評(píng) 本題綜合了代數(shù)、幾何及概率等方面的相關(guān)知識(shí)，理解和分析時(shí)要注意數(shù)與形的結(jié)合和相

11、互轉(zhuǎn)化 例 10 在集合(x,y)0x5，0Y4內(nèi)任取一個(gè)元素，能使成立的概率是多少?解：如圖1，集合(x,y)0z5，0y4為矩形內(nèi)點(diǎn)的(包括邊界)suo所有點(diǎn)的集合，集合(x,y)表示矩形內(nèi)直線上方(包括直線)所有點(diǎn)的集合故所有概率為 例 11 分別在區(qū)間1，6和2，4內(nèi)任取一實(shí)數(shù)，依次記為m和n，求mn的概率 分析 題中涉及兩個(gè)變量，議題意得到這兩個(gè)變量的一組約束條件，可以考慮建立平面直角坐標(biāo)系，轉(zhuǎn)化為與面積有關(guān)的幾何概型問(wèn)題解：由已知得1m6,2n4,mn.設(shè)點(diǎn)P所在區(qū)域坐標(biāo)為（m，n）（mn），則點(diǎn)P所在區(qū)域?yàn)閳D3中陰影部分，因此所求概率P=。答：mn的概率為評(píng)注：當(dāng)實(shí)際問(wèn)題涉及兩個(gè)

12、變量時(shí)，可利用平面坐標(biāo)系來(lái)討論 例 12 在區(qū)間(0，1)中隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù)，則兩數(shù)之和大于0.5且小于15的概多少?分 析本題是在區(qū)間 (0，1)中隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù)為，且兩數(shù)是相互獨(dú)立的，是典型的二維空間問(wèn)題解:設(shè)在區(qū)間(O，1)中隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù)為x,y，即0<x<1,0<y <1,其對(duì)應(yīng)區(qū)域如圖1所示，正方形的面積為 D=1；令“兩數(shù)之和大于 0.5且小于1.5”為事件A,即0.5<x+y<1.5，設(shè)陰影部分的面積為d=1-,P(A)=.2.3空間模型涉及三個(gè)變量例13 正方形的棱長(zhǎng)為1，在正方體內(nèi)隨機(jī)取點(diǎn)M，求使四棱錐的體積小于的概率分析 需求四棱錐的高h(yuǎn)

13、的變化范圍解：設(shè)點(diǎn)M到平面ABCD的距離h，則四棱錐的體積為。若,由,h,所以帶你M到平面ABCD的距離小于時(shí)，.滿足點(diǎn)M到平面ABCD的距離小于的點(diǎn)組成以ABCD為底且高為的長(zhǎng)方體，其體積為又正方體的體積為1.所求概率P=.答：使四棱錐的體積小于的概率為評(píng)注：為了求出所有符合條件的點(diǎn)，需要找到一個(gè)符合條件的界點(diǎn)，這里體現(xiàn)了點(diǎn)、線、面、體的相互轉(zhuǎn)化本題的測(cè)度為幾何體的體積，解題的關(guān)鍵是對(duì)四棱錐 MABCD的高 h的變化范圍的探求 解決幾何概型問(wèn)題關(guān)鍵在于弄清題中的考察對(duì)象和對(duì)象的活動(dòng)范圍（1） 當(dāng)考察對(duì)象為點(diǎn)，點(diǎn)的活動(dòng)范圍在線段上時(shí)，用線段比計(jì)算：（2） 當(dāng)考察對(duì)象為點(diǎn)，點(diǎn)的活動(dòng)范圍在平面區(qū)域

14、內(nèi)時(shí)，用面積計(jì)算：（3） 當(dāng)考察對(duì)象為點(diǎn)，點(diǎn)的活動(dòng)范圍在空間區(qū)域時(shí)，用體積計(jì)算：（4） 當(dāng)考察對(duì)象為線時(shí)，一般用角度比計(jì)算對(duì)于幾何概型問(wèn)題的求解,關(guān)鍵是理解題意,定好測(cè)度,把握所求事件對(duì)應(yīng)的區(qū)域,注意與代數(shù)、幾何等相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系，掌握常見(jiàn)數(shù)學(xué)思想方法在解題中的靈活運(yùn)用 3幾何概型的應(yīng)用3.1幾何概型在生活中的應(yīng)用例 14 兩人約好在某地相會(huì)，兩人隨機(jī)地在7點(diǎn)到8點(diǎn)時(shí)間內(nèi)到相會(huì)點(diǎn)，假設(shè)先到的人最多等對(duì)方15分鐘，求兩人能相會(huì)的概率解析：設(shè)兩人到達(dá)相會(huì)點(diǎn)的耐問(wèn)分剮7點(diǎn)為x分鐘和7點(diǎn)y分鐘，則點(diǎn)(x，y)與正方形D內(nèi)點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，其中D=(x，y) x0<x60,0<y60，有利事件A=(

15、x，y) x-y 15,(x，y)D (圖3)，P(A)=這是典型的約會(huì)問(wèn)題，人們?cè)谏钪薪?jīng)常遇到，但不知道怎么解決，而用幾何概型來(lái)解舊簡(jiǎn)單多了，因?yàn)槭巧婕皟蓚€(gè)變量的幾何模型，所以為面積幾何概型，用面積幾何概型可以很簡(jiǎn)單的解決例 15 小明家定了一份報(bào)紙，送報(bào)人可能在早上6：30至7：30之間把報(bào)紙送到小明家，小明爸爸離開(kāi)家去工作的時(shí)間在早上7：00至8：00之間，求小明的爸爸在離開(kāi)家前能得到報(bào)紙的概率分析 本題涉及兩個(gè)變量，可利用平面直角坐標(biāo)系研究。當(dāng)小明的爸爸離家去工作的時(shí)刻晚于送報(bào)人把報(bào)紙送到小明家的時(shí)刻時(shí)，小明爸爸能得到報(bào)紙解：為了方便作圖，記6：30為0時(shí)，設(shè)送報(bào)人把報(bào)紙送到小明家的

16、時(shí)刻為x，小明的爸爸離開(kāi)家的時(shí)刻為y，則0x60，30y90(單位：分鐘) 只要yx,小明的爸爸離家前舊能得到報(bào)紙。在平面直角坐標(biāo)系中作上述區(qū)域（如圖）由圖可知區(qū)域D=,區(qū)域.所求概率P=答：小明的爸爸離開(kāi)家之前能得到報(bào)紙的概率為評(píng)注 ：平面直角坐標(biāo)系是解決涉及兩個(gè)變量的問(wèn)題的重要工具，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題是解題的關(guān)鍵，如本題是把“小明的爸爸能看到報(bào)紙”轉(zhuǎn)化為兩個(gè)時(shí)刻的關(guān)系yx.例 16 某公共汽車站每隔10分鐘有一輛汽車到達(dá)，乘客到達(dá)車站的時(shí)刻是任意的，求一個(gè)乘客候車時(shí)間不超過(guò)7分鐘的概率分析 每個(gè)乘客可在相鄰兩班車之間的任何一個(gè)時(shí)刻到達(dá)車站，因此每個(gè)乘客到達(dá)車站的時(shí)間t可以看成是均勻落

17、在長(zhǎng)為10分鐘的時(shí)間區(qū)域上的一個(gè)隨機(jī)點(diǎn)，等待時(shí)間不超過(guò)7分鐘則是指點(diǎn)落在區(qū)間上解：設(shè)上一輛車于時(shí)刻到達(dá)，而下輛車于時(shí)刻到達(dá)，線段的長(zhǎng)度為10.設(shè)T是線段上的點(diǎn)，且的長(zhǎng)度等于7，如圖1所示記等車時(shí)間不超過(guò)7分鐘為事件A，事件A發(fā)生即點(diǎn)t落在線段上，由D=10，d7，得P(A)=3.2幾何概型在工業(yè)中的應(yīng)用例 17 在一個(gè)底面為正方形的容器內(nèi)撒入1000粒豆子，數(shù)得落在正方形內(nèi)切圓內(nèi)的豆子數(shù)為785粒，試估計(jì)圓周率的近似值 解析 首先利用頻率估計(jì)豆子落入圓內(nèi)的概率，再根據(jù)幾何概型求出這個(gè)概率,根據(jù)這兩個(gè)概率相等來(lái)估計(jì)圓周率的近似值 記“豆子落入正方形 內(nèi)切圓”為事件 A，則P(A)=(其中R為圓的

18、半徑，為圓周率)，豆子落人內(nèi)切圓的頻率,由于1000數(shù)目較大，所以有P(A)，即所以故估計(jì)圓周率的近似值是3140點(diǎn)評(píng) 一般地，向正方形內(nèi)撒豆子的數(shù)目越大，頻率越接近概率，由此估計(jì)的值就越精確 例 18 用橡皮泥做成一個(gè)直徑為6cm的小球，假設(shè)橡皮泥中混入了一個(gè)很小的沙粒，試求這個(gè)沙粒距離球心不小于lcm的概率解:設(shè)“沙粒距離球心不小于lcm”為事件A，球心為O，沙粒位置為M，則事件A發(fā)生，即OM lcm設(shè)R=3，r=1則D=,d=.P(A)=.答 ：沙粒距離球心不小于lcm的概率為3.3幾何概型在教學(xué)、解題中的應(yīng)用例 19 一 條 線 段 長(zhǎng) 為 n，把 這 條 線 段 分 成三 段 ，求 三 條 線 段 能 構(gòu) 成 三 角 形 的概 率 設(shè)其中兩條線段長(zhǎng)分別為x,y,則第三條線段長(zhǎng),則樣本空間D=有利事件例 20 在國(guó)周上任取三個(gè)點(diǎn) A、B、C求厶ABC為鈍角三角形的概率， ，（圖6）4歸納總結(jié) 幾何概型不只局限于列舉的種類，我們要多想多思.幾何概型的應(yīng)用，有待我們?cè)谠鷮?shí)的掌握基礎(chǔ)知識(shí)的基礎(chǔ)上，多做，多練，運(yùn)用科學(xué)的思維方法去深入挖掘，使其得到充分的利用.主要參考文獻(xiàn)1 茆詩(shī)松,程依明,濮小龍. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)M. 北京：高等教育出版社,2004.2 徐穎. 幾何概型分類及應(yīng)用J. 中學(xué)生數(shù)理化,2007,7-8，1