1、臺(tái)北市第三十九屆中小學(xué)科學(xué)展覽作品說明書封面科別:數(shù)學(xué)科組別:國(guó)中組作品名稱: 三角形與四邊形的切割與變換關(guān)鍵詞:三角形 四邊形編號(hào):指導(dǎo)老師：王傳忠老師作者：臺(tái)北市立弘道國(guó)中 楊皓崴三角形與四邊形的切割與變換綱 要一、 研究動(dòng)機(jī)p2二、 研究目的與問題p2三、 研究過程與討論p3四、 結(jié)論與展望p18五、 參考資料p19一、 研究動(dòng)機(jī)由於去年曾以三角形與四邊形的命案現(xiàn)場(chǎng)得到臺(tái)北市科展佳作，激起我繼續(xù)研究這主題的興趣，希望從三角形與四邊形的切割與變換中，找尋更多有趣的問題及發(fā)現(xiàn)更多的數(shù)量關(guān)係。二、 研究目的與問題本研究目的是探討如何從三角形與四邊形的切割與變換過程中，尋找面積的變化關(guān)係及推導(dǎo)任

2、意四邊形的面積公式。本研究從去年的研究結(jié)果中，繼續(xù)修改問題及擴(kuò)展不同的問題，形成如下的研究問題：?jiǎn)栴}1 給定三角形，如果由兩頂點(diǎn)分別連接直線至對(duì)邊，將這三角形分割為四塊。要怎樣分割，才能使這四塊的面積有越多塊相等呢？問題2 給定三角形，沿著這三角形的三邊(固定方向)分別延長(zhǎng)或縮短某倍數(shù)，形成的新三角形和原三角形有怎樣的面積關(guān)係？問題3 給定四邊形，沿著這四邊形的四邊(固定方向)分別延長(zhǎng)或縮短某倍數(shù)，形成的新四邊形和原四邊形有怎樣的面積關(guān)係？問題4 任意四邊形有面積公式嗎？三、研究過程與討論問題1：給定三角形，如果由兩頂點(diǎn)分別連接直線至對(duì)邊，將這三角形分割為四塊。要怎樣分割，才能使這四塊的面積有

3、越多塊相等呢？ 1-1 設(shè)如圖的四塊面積分別為a,b,c,d，是否有可能分割使這四個(gè)區(qū)域的面積都相等呢？如果可能(即)，則，故E為的中點(diǎn)；同理，D為的中點(diǎn)。因此G為重心，則。然而這與假設(shè)矛盾。所以，不可能分割成四個(gè)區(qū)域都相等的面積。反過來(lái)說，我們可以得到這樣的結(jié)果：當(dāng)和為兩條中線時(shí)，則此二中線分割三角形為四塊區(qū)域，其四塊面積(a,b,c,d)的關(guān)係為。（兩相對(duì)面積分別相等）這個(gè)結(jié)果，我想到可以應(yīng)用解決Olympiad 1992年的一道問題：如圖，設(shè)ABCD為正方形，E、F、G、H分別為AO、BO、CO、DO的中點(diǎn)，則AHCF和BEDG兩四邊形共同部分的面積是原ABCD面積的多少？因?yàn)槿绻覀兿?/p>

4、看AOD，則可以得到EIHO= 1/3(AOD)，同理HLGO= 1/3(DOC)GKFO= 1/3(COB)FJEO= 1/3(BOA)故八邊形EIHLGKFJ的面積=1/3 ABCD。事實(shí)上從證明過程中，我發(fā)現(xiàn)本問題的正方形ABCD改為任意四邊形，本問題的結(jié)果仍然成立。1-2 由於四塊不可能全部相等，是否可以分割使這四個(gè)區(qū)域中的三個(gè)面積都相等呢？如果四個(gè)區(qū)域（a,b,c,d）中的三個(gè)區(qū)域面積相等，則可能情況如下：(1) b=c=d(2) a=b=c(3) a=d=c(4) a=b=d這四種情況中的(2)和(3)，由於對(duì)稱處理上，可視為同一種。第1種情況：b=c=d。因?yàn)閎=c則DG=GC；

5、同理，因?yàn)閏=d則EG=GB。故四邊形DBCE為平行四邊形，因而BD平行CE，故BD和CE不會(huì)有交點(diǎn)A，所以不可能有b=c=d的情況發(fā)生。第2種情況：a=b=c(第3種情況a=d=c和它類似)。連接AG線段，令A(yù)DG的面積為e，則AEG的面積為a-e。則，則 (1)，則 (2)由(1),(2)可得到，所以，；。依照這樣的比例，我們可以畫出BE和CD兩線段，將ABC分割成a=b=c這三塊區(qū)域的面積相等，且此四塊區(qū)域的面積比為。第4種情況：a=b=d。連接AG線段，令A(yù)DG的面積為e，則AEG的面積為a-e。則 解出得，。如此，AD:DB=1:2，AE:EC=1:2。(右圖)且此四塊區(qū)域的面積比為

6、。如果此問題改為凸四邊形且使用兩條對(duì)角線分割呢？(如圖)，即怎樣的凸四邊形，才會(huì)使兩條對(duì)角線分割出的四塊三角形有越多塊面積相等呢？我首先考慮梯形(如圖)，則可以得知：1. (因?yàn)?，又，所?。2. 若，則。故我們可以得到，任意凸四邊形以兩條對(duì)角線分割為四塊三角形。若這四塊三角形面積都相等此四邊形為平行四邊形。解決上述問題1的方法能應(yīng)用於解決去年的研究問題：一個(gè)任意三角形，將三邊分別三等分，再將頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)連接其對(duì)邊的等分點(diǎn)（如圖），則中間形成的三角形面積為原三角形面積的多少？先去掉AF線段（如圖），就會(huì)和問題1的研究圖形類似。再連接AG線段，以ABC的面積為1，設(shè)BDG的面積為a、AGE的面積為b

7、，則ADG=2a，CGE=2b。則解得 a=1/21，b=4/21。得知BDG=1/21。同理，AIE=1/21；CHF=1/21。又因ADGE=6/21，所以ADGI=5/21；CEIH=5/21；BFHG=5/21。因此，GHI=。從上述的結(jié)果，可得到如下的邊長(zhǎng)比：BG：GI=3/21：3/21=1：1，同理，AI：IH=1：1；CH：HG=1：1。這引起我的好奇，ABC可以分別由IGH的三邊延伸2倍得到。於是我形成如下的研究問題2：?jiǎn)栴}2：給定三角形，沿著這三角形的三邊(固定方向)分別延長(zhǎng)或縮短某倍數(shù)，形成的新三角形和原三角形有怎樣的面積關(guān)係？2-1 設(shè)三角形ABC為一給定的三角形。如果

8、從這三角形的三邊固定方向分別延長(zhǎng)k倍(即AD=kAB,BE=kBC,CF=kCA)，則新三角形DEF的面積為原三角形面積的幾倍？解：如圖，DB=(k-1)a，所以DEB=1/2(k-1)a(kh)=(k-1)kABC；同理，EFC= (k-1)kABC，F(xiàn)DA= (k-1)kABC所以，DEF=3(k-1)k+1ABCABC。討論：情況1：從圖形中我們很容易得知新三角形（DEF）的面積比原三角形面積大，或是從也可得知。情況2：則形成的新三角形(DEF)比原三角形(ABC)的面積小，或是利用，得知當(dāng)時(shí)，DEF的面積為最小值，且因，則，故DEF的面積為原三角形面積的1/4倍到1倍之間。另外我發(fā)現(xiàn)，

9、當(dāng)時(shí)，縮小k倍與縮小(1-k)倍所分別形成的新三角形面積都相等(如圖)且分別和相對(duì)三邊的中點(diǎn)對(duì)稱。例如，當(dāng)與所分別形成的三角形面積相等。如果三邊放大或縮小的倍數(shù)不一樣呢？2-2 給定三角形ABC，如果從這三角形的三邊固定方向分別延長(zhǎng)k,r,s倍。也就是說，CD=k AC，AE=r AB，BF=s BC。則新DEF的面積為原三角形面積的幾倍？ 解：DCF=(s-1)kABC；同理ADE= (k-1)rABC；BEF= (r-1)sABC。故DEF=(s-1)k+(k-1)r+(r-1)s+1ABC。類似，當(dāng)時(shí)，分別從三邊縮小倍與分別縮小倍所形成的新三角形面積都會(huì)相等。也就是說，如果我們從一三角形

10、的三邊任取三點(diǎn)，再取三點(diǎn)，使得和分別和三邊中點(diǎn)對(duì)稱，則和的面積必相等。(因?yàn)镈EF(令)=)如果把三角形改成四邊形呢？就是我的問題3。問題3：設(shè)四邊形ABCD為一給定的四邊形。如果從這四邊形的四邊固定方向分別延長(zhǎng)倍。如圖，則四邊形EFGH的面積為原四邊形面積的多少？我先從特殊的情況開始：設(shè)四邊形ABCD為一正方形，得到如下的問題。設(shè)四邊形ABCD為一給定的正方形。如果從這四邊形的四邊固定方向分別延長(zhǎng)倍。如圖，則EFGH的面積為原四邊形面積的多少？解：設(shè)四邊形ABCD的面積為S，可知道故，EFGH=討論：上述得到的這個(gè)公式，如果時(shí)，則四邊形EFGH的面積=。特殊情形1，當(dāng)且時(shí)，得到新四邊形EFG

11、H均為正方形，且：當(dāng)邊長(zhǎng)延伸k倍時(shí)新四邊形面積為原正方形面積的多少倍k=25k=313k=425特殊情形2，當(dāng)且時(shí)，得到得到新四邊形EFGH均為正方形，且：當(dāng)邊長(zhǎng)延伸1/k倍時(shí)新四邊形面積為原正方形面積的多少倍k=1/21/2k=1/35/9k=1/45/8因?yàn)?，故k=1/2為最小值。上述結(jié)果可應(yīng)用於解決1985年AIME(American Invitational Mathematics Examinations)中的一道問題：ABCD為一正方形且面積為1，分別在四邊各取n等分點(diǎn)的第1個(gè)等分點(diǎn)E、F、G、H(如圖)，再連接AF、BG、CH、DE，求n為多少時(shí)，IJKL的面積為1/1985？解

12、：因?yàn)槠叫?，所以。故四邊形ABCD為四邊形IJKL邊長(zhǎng)分別延伸n倍時(shí)所得。因此，ABCD的面積為IJKL面積的倍。故，。即，所以n=32。回原問題3的一般四邊形呢？設(shè)給定四邊形ABCD。如果從這四邊形的四邊固定方向分別延長(zhǎng)倍，即，則產(chǎn)生的新四邊形EFGH的面積為原四邊形面積的多少？解：因?yàn)?同理，所以，四邊形EFGH的面積+ABCD但是，本問題想得到的是新四邊形EFGH的面積是原四邊形ABCD的多少倍？上述等式並無(wú)法表示，因此我先考慮下列的特殊情況（令A(yù)BCD的面積為S）：情況1，（即四邊都伸縮一樣的倍數(shù)）時(shí)，則新四邊形EFGH的面積註：這公式與恰好與正方形的特殊情況一致。情況2，（即對(duì)邊分別

13、伸縮一樣的倍數(shù)）時(shí)，則新四邊形EFGH的面積例如，當(dāng)四邊形EFGH的面積=8ABCD的面積。然而，除了特殊情況1和2外，是否能如正方形情形有一般的公式呢？經(jīng)過我研究後，得知我們不可能得到一般的公式。如果有一般的公式，如下的反例將會(huì)產(chǎn)生矛盾。反例：取一梯形ABCD，且(如圖)。當(dāng)時(shí)，則新四邊形EFGH的面積=ABCD的面積。(1)但是當(dāng)此四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)從新命名，而放大倍數(shù)仍是時(shí)，則EFGH的面積卻=ABCD的面積。(2)故由(1)、(2)知，問題3從四邊形的四邊固定方向分別延長(zhǎng)倍，所產(chǎn)生新四邊形面積無(wú)法得到為原四邊形面積多少倍的一般公式。只有當(dāng)四邊都伸縮一樣的倍數(shù)或?qū)叿謩e伸縮一樣的倍數(shù)時(shí)，才

14、能得出一般公式。接著，我考慮時(shí)，研究怎樣的四邊形也會(huì)具有上述類似三角形的結(jié)果呢？即四邊形的問題是：當(dāng)時(shí)，怎樣的四邊形？分別從四邊縮小倍與分別縮小倍所形成的兩個(gè)新四邊形面積都相等。也就是說，怎樣的四邊形？如果我們從此四邊形ABCD的四邊任取四點(diǎn)，再取四點(diǎn)，使得和分別和四邊的中點(diǎn)對(duì)稱，則四邊形和的面積必相等。經(jīng)我研究後得到如下的結(jié)果：設(shè)ABCD為一凸四邊形。若我們從四邊形ABCD的四邊分別縮小倍()得到四邊形EFGH與分別縮小倍得到四邊形，則所形成的這兩個(gè)新四邊形面積相等ABCD為平行四邊形。證明：如圖，取從四邊形ABCD的四邊分別縮小倍與分別縮小倍所形成的兩個(gè)新四邊形為EFGH及。因假設(shè)其面積相

15、等，故。也就是說，所以。因此，即。同理，取，我們可以推得。所以。同理也可以推得，即得證ABCD為平行四邊形。若ABCD為平行四邊形（令其面積為s），則。由前述得知，四邊形EFGH的面積+ABCD(令)=四邊形的面積得證。也就是說，可以得到如下的結(jié)果：設(shè)ABCD為一凸四邊形。如果我們從此四邊形ABCD的四邊任取四點(diǎn)，再取四點(diǎn)，使得和分別和四邊中點(diǎn)對(duì)稱，則四邊形和的面積相等ABCD為平行四邊形。問題4：任意四邊形有面積公式嗎？為解決這問題，我從一本書上看到，古埃及人曾有一個(gè)計(jì)算四邊形的面積公式(記載於西元前1650年的來(lái)茵紙草上)。這公式如下：四邊形面積=如果四邊形是長(zhǎng)方形，顯然這公式是對(duì)的。但其

16、他四邊形也適用嗎？我就先畫一個(gè)梯形試試看，如右。這梯形的面積是平方公分，而依照這公式算得的面積是平方公分。所以古埃及人所記載的四邊形面積公式是不正確。經(jīng)研究後得知：這公式也只有在四邊形是長(zhǎng)方形時(shí)才正確，且依這公式算出的面積會(huì)高估原四邊形面積，證明如下。4-1 任意四邊形ABCD（如圖），其面積，且等號(hào)成立時(shí)ABCD為長(zhǎng)方形。證明：連接對(duì)角線AC(如圖)，可得四邊形ABCD面積=其中等號(hào)成立為，即。同理，如果我們連接對(duì)角線BD，可得四邊形ABCD面積，其中等號(hào)成立為。所以四邊形ABCD面積且等號(hào)成立時(shí)ABCD為長(zhǎng)方形。我又從我的數(shù)學(xué)腦袋書中發(fā)現(xiàn)，比上述古埃及人的公式更接近原四邊形面積的算法(利用

17、兩雙對(duì)邊中點(diǎn)連線的乘積作為此四邊形的面積)。以下我把古埃及人的算法和這種算法作比較得到如下的結(jié)果。4-2 任意四邊形ABCD（如圖），設(shè)EF、GH分別為此四邊形的對(duì)邊中點(diǎn)連線，則四邊形ABCD面積，且。證明：我先將上圖四邊形的四塊所有邊長(zhǎng)都相等的邊均作上相同記號(hào)，及角也作上記號(hào)如下圖。得知：，接著分別剪下四塊，再把AEMH及CFMG這兩塊四邊形分別旋轉(zhuǎn)180°，以及將BGME與HMFD兩四邊形對(duì)調(diào)，拼排成下圖。由於，且，故這四塊拼出的圖形為四邊形。又，所以此圖形為平行四邊形。並得到(因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膬呻p對(duì)邊相等)，故(即)。因此，此平行四邊形的兩邊長(zhǎng)分別為原四邊形的EF及GH。故，A

18、BCD的面積=此平行四邊形面積。接著，我們將四邊形ABCD再做一個(gè)全等的四邊形，拼成如下圖。由於，所以EFK三點(diǎn)共線。又及，所以AEKI為平行四邊形。故可得。又因，所以，同理，。故四邊形ABCD的面積。得證。上面猜測(cè)的公式（對(duì)邊中點(diǎn)連線長(zhǎng)的乘積）仍然高估原四邊形面積，雖然如此，已比古埃及人的公式更接近原面積。這時(shí)，我想如果我們把四邊形的分割調(diào)整如下，再?gòu)男缕磁?，就可得到長(zhǎng)方形，也因而可得出任意四邊形的面積公式。4-3 任意四邊形ABCD（如圖），E、F、G、H為四邊中點(diǎn)，連線某一對(duì)邊中點(diǎn)（如），再分別從兩點(diǎn)F、H作的垂線，交於I、J。則ABCD面積=且，。證明：我先將上圖四邊形的四塊所有邊長(zhǎng)都

19、相等的邊均作上相同記號(hào)，及角也作上記號(hào)如圖。得知：，及。再分別剪下四塊，旋轉(zhuǎn)AEJH及IFCG 180°，以及將BEFI與HJGD兩四邊形對(duì)調(diào)，即可拼出一長(zhǎng)方形(如圖)。故，即，。因此，ABCD面積=。得證。四、 結(jié)論與展望(一) 研究結(jié)論1. 給定ABC，如果由B、C兩頂點(diǎn)連接直線至對(duì)邊，將這三角形分割為四個(gè)區(qū)域，如圖。我們得出最多只能有三個(gè)區(qū)塊相等的三種情況：(1) a=b=c；(2)a=d=c；(3)a=b=d。且四塊區(qū)域的面積比：情況(1)為；情況(2)為；情況(3)為。2. 給定ABC，如果沿著這三角形的三邊固定方向分別延長(zhǎng)或縮小k,r,s倍。也就是說，。則新三角形DEF的面積為原三角形面積的倍。特殊情形，若沿著這三角形的三邊固定方向都延長(zhǎng)或縮小k倍，則新三角形DEF面積為原三角形面積的倍。3. 給定ABC，且。如果沿著三邊固定方向分別縮小倍與分別縮小倍所形成的新三角形面積都會(huì)相等。也就是說，如果我們從一三角形的三邊任取三點(diǎn)，再取三點(diǎn)，使得和分別和三邊中點(diǎn)對(duì)稱，則和的