1、第1章 電力網(wǎng)絡(luò)的數(shù)學(xué)模型及求解方法 電力網(wǎng)絡(luò)的數(shù)學(xué)模型是現(xiàn)代電力系統(tǒng)分析的基礎(chǔ)。例如，正常情況下的電力潮流和優(yōu)化潮流分析、故障情況下短路電流計(jì)算以及電力系統(tǒng)靜態(tài)安全分析和動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性的評(píng)估，都離不開(kāi)電力網(wǎng)絡(luò)的數(shù)學(xué)模型。這里所謂電力網(wǎng)絡(luò)，是指由輸電線路、電力變壓器、并(串)聯(lián)電容器等靜止元件所構(gòu)成的總體1。從電氣角度來(lái)看，無(wú)論電力網(wǎng)絡(luò)如何復(fù)雜，原則上都可以首先做出它的等值電路，然后用交流電路理論進(jìn)行分析計(jì)算。本章所研究的電力網(wǎng)絡(luò)均由線性的集中參數(shù)元件組成，適用于電力系統(tǒng)工頻狀態(tài)的分析。對(duì)于電磁暫態(tài)分析問(wèn)題，當(dāng)涉及到高額現(xiàn)象及波過(guò)程時(shí)，需要采用分布參數(shù)的等值電路。 電力網(wǎng)絡(luò)通常是由相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩

2、陣或節(jié)點(diǎn)阻抗矩陣來(lái)描述的2,3。在現(xiàn)代電力系統(tǒng)分析中，我們需要面對(duì)成干上萬(wàn)個(gè)節(jié)點(diǎn)及電力網(wǎng)絡(luò)所連接的電力系統(tǒng)。對(duì)電力網(wǎng)絡(luò)的描述和處理往往成為解決有關(guān)問(wèn)題的關(guān)鍵4。電力網(wǎng)絡(luò)的導(dǎo)納矩陣具有良好的稀疏特性，可以用來(lái)高效處理電力網(wǎng)絡(luò)方程，是現(xiàn)代電力系統(tǒng)分析中廣泛應(yīng)用的數(shù)學(xué)模型。因此。電力網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣及其稀疏特性是本章討論的核心內(nèi)容。節(jié)點(diǎn)阻抗矩陣的概念在處理電力網(wǎng)絡(luò)故障時(shí)有廣泛應(yīng)用，將在1.4節(jié)中介紹。 此外，雖然關(guān)于電力網(wǎng)絡(luò)的等值電路在一般輸配電工程的教科書(shū)中都有論述，但在建立電力網(wǎng)絡(luò)數(shù)學(xué)模型時(shí)，關(guān)于變壓器和移相器的處理卻有一些特點(diǎn)，因此1.1節(jié)中首先介紹這方面的內(nèi)容。1.1 基礎(chǔ)知識(shí)1.1.1 節(jié)

3、點(diǎn)方程及回路方程通常分析交流電路有兩種方法，即節(jié)點(diǎn)電壓法和回路電流法3。這兩種方法的共同特點(diǎn)是把電路的計(jì)算歸結(jié)為一組聯(lián)立方程式的求解問(wèn)題；其差別是前者采用節(jié)點(diǎn)方程，后者采用回路方程。目前在研究電力系統(tǒng)問(wèn)題時(shí)，采用節(jié)點(diǎn)方程比較普遍，但有時(shí)以回路方程作為輔助工具。以下首先以簡(jiǎn)單電力網(wǎng)絡(luò)為例，說(shuō)明利用節(jié)點(diǎn)方程計(jì)算電力網(wǎng)絡(luò)的原理和持點(diǎn)。圖11表示了一個(gè)具有兩個(gè)電源和一個(gè)等值負(fù)荷的系統(tǒng)。該系統(tǒng)有5個(gè)節(jié)點(diǎn)和6條支路，y1-y6為各支路的導(dǎo)納。以地作為電壓參考點(diǎn)，設(shè)各節(jié)點(diǎn)的電壓分別為.根據(jù)基爾霍夫第一定律可以分別列出以下節(jié)點(diǎn)的電流方程：圖1-1 節(jié)點(diǎn)電壓法的例子按節(jié)點(diǎn)電壓整理以后，可以寫出 式(1-2)左端

4、為由各節(jié)點(diǎn)流出的電流，右端為向各節(jié)點(diǎn)注入的電流。式(1-2)可以表示為規(guī)范的形式：和式(1-2)比較，可以看出，其中：這些稱為相應(yīng)各節(jié)點(diǎn)的自導(dǎo)納；這些稱為相應(yīng)節(jié)點(diǎn)之間的互導(dǎo)納，其余節(jié)點(diǎn)之間的互導(dǎo)納為零。式(1-3)為電力網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)方程，它反映了各節(jié)點(diǎn)電壓與注入電流之間的關(guān)系。其右端的為各節(jié)點(diǎn)的注入電流。在此例中，除外，其余節(jié)點(diǎn)的注入電流均為零。對(duì)式(1-3)進(jìn)行求解，即可得到各節(jié)點(diǎn)的電壓。當(dāng)節(jié)點(diǎn)電壓求出后，就不難求出各支路的電流，從而使網(wǎng)絡(luò)變量得以求解。在一般情況下，如果電力網(wǎng)絡(luò)有n個(gè)節(jié)點(diǎn)，則可按式(1-3)的形式列出n個(gè)節(jié)點(diǎn)的方程式，用矩陣的形式可以表示為1）式中：分別為節(jié)點(diǎn)注入電流列向量及

5、節(jié)點(diǎn)電壓列向量：為節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣，其中對(duì)角元素Yii為節(jié)點(diǎn)i的自導(dǎo)納，非對(duì)角元素Yij為節(jié)點(diǎn)i與節(jié)點(diǎn)j之間的互導(dǎo)納。 以下介紹對(duì)形成網(wǎng)絡(luò)方程非常重要的關(guān)聯(lián)矩陣的概念。 關(guān)聯(lián)矩陣是描述電力網(wǎng)絡(luò)連接情況的矩陣。不同類型的關(guān)聯(lián)矩陣在不同程度上反映的網(wǎng)絡(luò)的接線圖形。關(guān)聯(lián)矩陣中只含有0、十1、一1等3種元素，其中不包含網(wǎng)絡(luò)各支路的具體參數(shù)。例如，圖l-1所示的簡(jiǎn)單網(wǎng)絡(luò)有5個(gè)節(jié)點(diǎn)和6條支路，它的關(guān)聯(lián)矩陣為一個(gè)5行、6列的矩陣：關(guān)聯(lián)矩陣的行號(hào)與節(jié)點(diǎn)號(hào)相對(duì)應(yīng)，列號(hào)與支路號(hào)相對(duì)應(yīng)。例如第一行有3個(gè)非零元素，表示節(jié)點(diǎn)1與3個(gè)支路相連，這3個(gè)非零元素在第四列、第五列、第六列，表示與節(jié)點(diǎn)1相連的3條支路為支路4、5、6

6、(圖1-1中的y4、y5和y6)。當(dāng)非零元素為-1時(shí)，表示相應(yīng)支路電流的規(guī)定方向是流向節(jié)點(diǎn)；為十1時(shí)表示支路電流的規(guī)定方向是離開(kāi)節(jié)點(diǎn)的。矩陣中每一列非零元素所在位置表示相應(yīng)支路兩端的節(jié)點(diǎn)號(hào)，例如第五列的非零元素在第一行和第三行，表示支路5與節(jié)點(diǎn)1、3相連。第六列只有一個(gè)非零元素，在第一行，表示支路6為連在節(jié)點(diǎn)1的接地支路。 不難看出，由節(jié)點(diǎn)關(guān)聯(lián)矩陣可以反過(guò)來(lái)惟一地確定網(wǎng)絡(luò)的接線圖。節(jié)點(diǎn)關(guān)聯(lián)矩陣和網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)方程之間有密切的關(guān)系。設(shè)電力網(wǎng)絡(luò)有n個(gè)節(jié)點(diǎn)，b條支路。對(duì)每條支路都可列出如下的方程式：式中：為支路k的電流；為支路k的電壓降，方向和電流方向一致，為支路k的導(dǎo)納。圖12 電壓源轉(zhuǎn)化成電流源如果支

7、路為有電壓源的支路，如圖1-2(a)所示，則可先將該支路轉(zhuǎn)化為電流源的形式，見(jiàn)圖1-2(b)，圖中： 這樣，電流源可以看作是向電力網(wǎng)絡(luò)有關(guān)節(jié)點(diǎn)的注入電流，因而支路仍可應(yīng)用式(1-5)形的基本方程式。把這b條支路的基木方程式集中用矩陣的形式來(lái)表示，可以寫出式中：為支路電流列向量；為支路電壓降列向量；為支路導(dǎo)納所組成的對(duì)角矩陣。 又基爾霍夫第一定律可知，電力網(wǎng)絡(luò)中任意節(jié)點(diǎn)的注入電流與各支路電流有以下關(guān)系：式中：為一系數(shù)。當(dāng)支路電流流向節(jié)點(diǎn)i時(shí)， ；當(dāng)支路電流流出節(jié)點(diǎn)i時(shí)，；當(dāng)支路k與i點(diǎn)無(wú)直接聯(lián)系時(shí)，。不難看出，節(jié)點(diǎn)電流列向量與支路電流列向量應(yīng)有以下關(guān)系： 式中A為網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)關(guān)聯(lián)矩陣。設(shè)整個(gè)電力網(wǎng)

8、絡(luò)消耗的功率為S，從支路來(lái)看，可以得到式中：和表示相應(yīng)向量的共軛值；·表示向量的標(biāo)量積 從節(jié)點(diǎn)輸入總功率來(lái)看，可以得到顯然：由式（1-8）可知代入式（1-9）得由此得到節(jié)點(diǎn)電壓與支路電壓降列向量有以下關(guān)系：將式(1-6)及式（1-10)順次代入式(1-8)，就可以得到式中：Y為電力網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣，這樣，利用節(jié)點(diǎn)關(guān)聯(lián)矩陣就可以求得電力網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)方程式。以下仍以圖11所示的電力網(wǎng)絡(luò)為例，來(lái)說(shuō)明利用回路方程計(jì)算電力網(wǎng)絡(luò)的基本原理。在利用回路電流法計(jì)算時(shí)，用阻抗表示各元件的參數(shù)比較方便，其等值電路如圖13所示。該網(wǎng)絡(luò)共有3個(gè)獨(dú)立回路，其回路電流分別為、。根據(jù)基爾霍夫第二定律，可以列出3個(gè)

9、回路的電壓方程式：圖13 用電源代替電壓源的例子并可進(jìn)一步改寫成規(guī)范的形式：式中分別為3個(gè)回路的電源電勢(shì)，為3個(gè)回路的自阻抗；，分別為3個(gè)回路之間的互阻抗。當(dāng)回路電勢(shì)、已知時(shí)，對(duì)式(1-14)求解，即可求出電力網(wǎng)絡(luò)的回路電流、，并可進(jìn)而求出各支路的電流各節(jié)點(diǎn)電壓為這樣就得到了電力網(wǎng)絡(luò)的全部運(yùn)行情況。 在一般情況下，如果電力網(wǎng)絡(luò)有m個(gè)獨(dú)立回路，則可按式(114)的形式列出m個(gè)方程式，用矩陣的形式可以表示為式中：分別回路電流列向量及回路電勢(shì)列向量；為回路阻抗矩陣。其中為第i個(gè)回路的自阻抗，等于該回路各支路阻抗之和；為第i回路與第j回路間的互阻抗，其數(shù)值等于i、j回路公共支路阻抗之和，其符號(hào)取決于i

10、、j回路電流假定的方向，方向一致時(shí)取正號(hào)，方向相反時(shí)取負(fù)號(hào)。 對(duì)于圖1-2來(lái)說(shuō)，我們可以根據(jù)圖中的3個(gè)獨(dú)立環(huán)路寫出它的“環(huán)路關(guān)聯(lián)矩陣”環(huán)路關(guān)聯(lián)矩陣的行號(hào)與環(huán)路號(hào)相對(duì)應(yīng)，列號(hào)仍與支路號(hào)相對(duì)應(yīng)。例如第二行在第3列、第4列、第5列共有3個(gè)非零元素，表示環(huán)路3通過(guò)支路3、支路4和支路5。當(dāng)非零元素為+1時(shí)，表示環(huán)路電流的規(guī)定方向與支路電流的規(guī)定方向一致；為1時(shí)，表示環(huán)路電流的規(guī)定方向與支路電流方向相反。應(yīng)該指出，環(huán)路關(guān)聯(lián)矩陣不能惟一地確定網(wǎng)絡(luò)的接線固。換句話說(shuō)，可以有不同的接線圖對(duì)應(yīng)于同一環(huán)路關(guān)聯(lián)矩陣。用類似的上面關(guān)于節(jié)點(diǎn)關(guān)聯(lián)矩陣的方法我們也可以由環(huán)路關(guān)聯(lián)矩陣B求得電力網(wǎng)絡(luò)的回路方程式，并得到回路阻抗

11、矩陣的表達(dá)式：式中：為由支路阻抗所組成的對(duì)角矩陣。關(guān)聯(lián)矩陣的應(yīng)用當(dāng)然不限于以上所舉的例子，但是有了以上基本概念以后，就可以更靈活地處理網(wǎng)絡(luò)問(wèn)題，這些問(wèn)題將在以后有關(guān)章節(jié)中詳細(xì)論述。1.1.2 變壓器及移相器的等值電路電力網(wǎng)絡(luò)的等值電路是由輸電線路和變壓器等元件的等效電路連接而成的。交流輸電線路一般用型等值電路描述，教科書(shū)中有詳細(xì)的介紹。本節(jié)主要討論變壓器和移相器的等值電路，特別是關(guān)于其非標(biāo)準(zhǔn)變比的處理方法。出于靈活交流輸電系統(tǒng)(FACTS)的逐步應(yīng)用，電力網(wǎng)絡(luò)將會(huì)包含愈來(lái)愈多的FACTS元件。關(guān)于FACTS元件的等值電路問(wèn)題本節(jié)暫不涉及，將在后面有關(guān)章節(jié)中討論。當(dāng)將變壓器勵(lì)磁回路忽略或作為負(fù)荷

12、或阻抗單獨(dú)處理時(shí)，一個(gè)變壓器的其他性能可以用它的漏抗串聯(lián)一個(gè)無(wú)損耗理想變壓器來(lái)模擬1)，如圖14(a)所示。不難看出，圖中所示的電流及電壓存在如下關(guān)系：圖1-4 變壓器的等值電路由上式解、可得或者寫成根據(jù)式(1-19)即可得到圖1-4(b)所示的等值電路。如果都用相應(yīng)的導(dǎo)納來(lái)表示，則可得到圖1-4(c)所示的等值電路，圖中：應(yīng)該持別指山，在圖1-4(a)的電路中漏抗是放在變比為1的一側(cè)。當(dāng)漏抗是放在變比為K的一側(cè)時(shí)，可以用下面關(guān)系：即可將放在變比為1的一側(cè)，從而應(yīng)用圖1-4中的等值電路。以上介紹了雙繞組變壓器的等值電路。對(duì)于三繞織變壓器，可以按同樣的原理用星形或三角形電路來(lái)模擬。例如可以用圖1

13、5所示的電路來(lái)模擬三繞組變壓器，這樣就把三繞組變壓器的等值電路問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)閮蓚€(gè)雙繞組變壓器的等值電路問(wèn)題。 掌握了變壓器等值電路以后，就不難制定出多級(jí)電壓的電力網(wǎng)絡(luò)的等值電路。例如，對(duì)圖1-6（a）所示的電力網(wǎng)絡(luò)，當(dāng)變壓器、的漏抗如已歸算到側(cè)及側(cè)時(shí)，可以用圖1-6（c）或圖1-6（c）來(lái)模擬，不難證明，這兩種模型最終的等值電路是完全相同的，如圖1-6(d)所示。 在進(jìn)行電力系統(tǒng)運(yùn)行情況分析時(shí)，往往采用標(biāo)幺值計(jì)算。這時(shí)電力網(wǎng)絡(luò)等值電路戶所有參數(shù)都應(yīng)該用標(biāo)么值來(lái)表示。例如在圖1-6中，設(shè)側(cè)的基準(zhǔn)電壓為Vji、側(cè)的基準(zhǔn)電壓為Vj2，側(cè)的基準(zhǔn)電壓為Vj4，則變壓器、的基準(zhǔn)變比(或叫標(biāo)準(zhǔn)變比)分別為則變壓

14、器、的變比的標(biāo)幺值(也叫非標(biāo)準(zhǔn)變比)應(yīng)為因此，當(dāng)變壓器的等值電路采用標(biāo)幺值時(shí)，應(yīng)將上式中的及作為變壓器的變比。在現(xiàn)代電力系統(tǒng)中，特別是在電力市場(chǎng)環(huán)境下，電力潮流往往需要人為控制。為此，移相器在電力網(wǎng)絡(luò)中的應(yīng)用日益普遍。眾所周知，變壓器只改變其兩側(cè)的電壓大小，其變比是一個(gè)實(shí)數(shù)；而移相器還改變其兩側(cè)電壓的相位，因此其變比是一個(gè)復(fù)數(shù)。當(dāng)將移相器勵(lì)磁回路忽略或作為負(fù)荷或阻抗單獨(dú)處理時(shí)，一個(gè)移相器的其他性能可以用它的漏抗串聯(lián)一個(gè)無(wú)損耗理想變壓器來(lái)模擬，只是其變比是個(gè)復(fù)數(shù)，如圖1-7所示。由圖1-7可以得圖1-6 多級(jí)電壓電力網(wǎng)絡(luò)的等值電路圖1-7 移相器的等值電路到以下方程：顯然，有以下關(guān)系：現(xiàn)在需要知

15、道和的關(guān)系，為此要用功率守恒原理，式中、分別為、的共軛值，從上式得到式中：式(1-26)即為移相器的數(shù)學(xué)模型。容易驗(yàn)證，當(dāng)變比實(shí)數(shù)時(shí)，式(1-26)與式(1-18)一致，說(shuō)明變壓器只是移相器的特例。但是，由于移相器的變比為復(fù)數(shù)，因此，移相器沒(méi)有相應(yīng)的等值電路，而且含有移相器的電力網(wǎng)絡(luò)的導(dǎo)納矩陣是不對(duì)稱的，這一點(diǎn)要特別注意。1.2 節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣1.2.1 節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納舉證的基本概念 如前所述，在現(xiàn)代電力系統(tǒng)分析中，多采用式(13)形式的節(jié)點(diǎn)方程式，其階數(shù)等于電力網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)數(shù)n?？蓪⑺归_(kāi)寫成一般的形式該方程式系數(shù)所構(gòu)成的矩陣即節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣它反映了電力網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)及接線情況，因此導(dǎo)納矩陣可以看成是對(duì)電力

16、網(wǎng)絡(luò)電氣特性的一種數(shù)學(xué)抽象4。由導(dǎo)納矩陣所構(gòu)成的節(jié)點(diǎn)方程式是電力網(wǎng)絡(luò)廣泛應(yīng)用的一種數(shù)學(xué)模型。當(dāng)電力網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)數(shù)為n時(shí)，描述它的導(dǎo)納短陣是n×n階方陣?，F(xiàn)在我們討論其中各元素的物理意義。如果在節(jié)點(diǎn)i加一單位電壓，而把其余節(jié)點(diǎn)全部接地，即令則由節(jié)點(diǎn)方程式(1-27)可知，在這種情況下： 由式(1-29)可以看出導(dǎo)納短陣見(jiàn)式(1-28)第i列元素的物理意義。很明顯，導(dǎo)納矩陣中第i列對(duì)角元素，即節(jié)點(diǎn)i的自導(dǎo)納，在數(shù)值上等于節(jié)點(diǎn)i加單位電壓，其他節(jié)點(diǎn)都接地時(shí)，節(jié)點(diǎn)i向電力網(wǎng)絡(luò)注入的電流。導(dǎo)納矩陣中第i列非對(duì)角元素，即節(jié)點(diǎn)i與節(jié)點(diǎn)j間的互導(dǎo)納，在數(shù)值上等于節(jié)點(diǎn)i單位電壓，其他節(jié)點(diǎn)都接地時(shí)，節(jié)點(diǎn)j向

17、電力網(wǎng)絡(luò)注入的電流。 以下我們進(jìn)步用圖1-8(a)所示的簡(jiǎn)單電力網(wǎng)絡(luò)說(shuō)明導(dǎo)納矩陣各元素的具體意義。這個(gè)電力網(wǎng)絡(luò)有3個(gè)節(jié)點(diǎn)，因此導(dǎo)納矩陣為三階方陣圖1-8 簡(jiǎn)單電力網(wǎng)絡(luò)導(dǎo)納矩陣的形成 首先討論第一列元素、。根據(jù)上面的論述，這種情況下應(yīng)在節(jié)點(diǎn)1加單位電壓，將節(jié)點(diǎn)2及節(jié)點(diǎn)3接地，如固1-8(b)所示。不難看出：同樣，為了求得導(dǎo)納矩陣的第二列元素，應(yīng)給節(jié)條2加單位電壓，而將節(jié)點(diǎn)1及節(jié)點(diǎn)3接地，如圖1-8(c)所示。在這種情況下：為了得到導(dǎo)納矩陣的第三列元素，應(yīng)給節(jié)點(diǎn)3加單位電壓，將節(jié)點(diǎn)1及節(jié)點(diǎn)2接地如圖1-8(d)所示。在這種情況下：因此，圖1-8(a)所示簡(jiǎn)單電力網(wǎng)絡(luò)的導(dǎo)納矩陣應(yīng)為如果把圖1-8(a

18、)的節(jié)點(diǎn)編號(hào)改變一下，例如將節(jié)點(diǎn)1與節(jié)點(diǎn)2互換，如圖1-8(e)所示，按照以上的原則，可以求得這時(shí)的導(dǎo)納矩陣應(yīng)為 由此可見(jiàn)，導(dǎo)納矩陣的形式發(fā)生了變化，而其中各元素仍和式(1-30)導(dǎo)納矩陣各元素一一對(duì)應(yīng)。事實(shí)上，將式(1-30)所示導(dǎo)納矩陣中第一行與第二行交換，第一列與第二列交換即得到上式的導(dǎo)納矩陣。導(dǎo)納矩陣行列交換相應(yīng)于節(jié)點(diǎn)方程式的順序及變量的順序交換，并不影響方程式的解。岡此從電力網(wǎng)絡(luò)計(jì)貧來(lái)說(shuō)，節(jié)點(diǎn)編號(hào)的順序可以是任意的 通過(guò)上面的討論，可以看出導(dǎo)納矩陣有以下特點(diǎn)： (1)當(dāng)不含移相器時(shí)，電力網(wǎng)絡(luò)的導(dǎo)納矩陣為對(duì)稱矩陣。由式(1-30)可知在一般情況下，由網(wǎng)絡(luò)的互易特性容易看出：因此，導(dǎo)納矩

19、陣為對(duì)稱矩陣。對(duì)含移相器的情況將在后面介紹。 (2)導(dǎo)納矩陣為稀疏矩陣。由以上的討論可知，當(dāng)電力網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)i與節(jié)點(diǎn)j不直接相連時(shí)，導(dǎo)納矩陣中元素及，應(yīng)為零元素。例如在圖1-8(a)中，節(jié)點(diǎn)2與節(jié)點(diǎn)3不直接相連，因此在其導(dǎo)納矩陣中及都是零元素。一般地說(shuō)，導(dǎo)納矩陣每行非對(duì)角元素中非零元素的個(gè)數(shù)與相應(yīng)節(jié)點(diǎn)的出線數(shù)相等。通常，每個(gè)節(jié)點(diǎn)的出線數(shù)為24條。因而導(dǎo)納矩陣中每行非對(duì)角元素中平均僅有24個(gè)非零元素，其余的非對(duì)角元素均為零元素。所以導(dǎo)納矩陣中的零元素非常多，而且電力網(wǎng)絡(luò)規(guī)模愈大，這種現(xiàn)象愈顯著。例如有兩個(gè)電力網(wǎng)絡(luò)，節(jié)點(diǎn)數(shù)分別為10和1000，如果每個(gè)節(jié)點(diǎn)平均有3條出線，則前者導(dǎo)納矩陣的非零元素?cái)?shù)為

20、40，占矩陣總元素?cái)?shù)()的40，面后者非零元素?cái)?shù)4000個(gè)，僅占矩陣總元素?cái)?shù)的0.4。 導(dǎo)納矩陣的對(duì)稱性和稀疏性對(duì)于應(yīng)用計(jì)算機(jī)解算電力系統(tǒng)問(wèn)題有很大的影響。如果能充分利用這兩個(gè)持點(diǎn)，就會(huì)大大提高計(jì)算的速度并節(jié)約內(nèi)存。關(guān)于稀疏對(duì)稱導(dǎo)納矩陣的應(yīng)用，還將在以后有關(guān)章節(jié)中介紹。1.2.2 節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣的形成與修改 本節(jié)將討論二部分內(nèi)容：導(dǎo)納矩陣的形成、特殊元件的處理與導(dǎo)納矩陣修改。 首先討論導(dǎo)納矩階的形成。當(dāng)電力網(wǎng)絡(luò)只包含輸電線路時(shí)，導(dǎo)納矩陣的形成可以歸納為以下幾點(diǎn)： (1)導(dǎo)納矩陣的階數(shù)等于電力網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)數(shù)。 (2)導(dǎo)納矩陣各行非對(duì)角元素中非零元素的個(gè)數(shù)等于對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)所連的不接地支路數(shù)。(3)導(dǎo)納矩陣

21、各對(duì)角元素，即各節(jié)點(diǎn)的自導(dǎo)納等于相應(yīng)節(jié)點(diǎn)所連支路的導(dǎo)納之和式中：為節(jié)點(diǎn)i與節(jié)點(diǎn)j間的支路阻抗的倒數(shù)；符號(hào)“”表示號(hào)后只包括與節(jié)點(diǎn)i直接相連的節(jié)點(diǎn)，當(dāng)節(jié)點(diǎn)i有接地支路時(shí)，還應(yīng)包括j=0的情況。例如在圖1-8中，節(jié)點(diǎn)1的自導(dǎo)納應(yīng)為節(jié)點(diǎn)2的自導(dǎo)納應(yīng)為(4)導(dǎo)納矩陣非對(duì)角元素等于節(jié)點(diǎn)i與節(jié)點(diǎn)j間支路的導(dǎo)納并取負(fù)號(hào)：例如圖1-8(a)中等等。 按照以上原則，無(wú)論電力網(wǎng)絡(luò)接線如何復(fù)雜，都可以根據(jù)給定的輸電線路參數(shù)和接線拓?fù)?，直接求出?dǎo)納矩陣。 以下討論電力網(wǎng)絡(luò)中包含變壓器、移相器時(shí)，導(dǎo)納矩陣的形成方法。 當(dāng)支路i、j為變壓器時(shí)，從原理上來(lái)說(shuō)，先把變壓器支路用圖1-4所示型等值電路代替，然后按以上原則形成導(dǎo)

22、納矩陣，并無(wú)任何困難。但在實(shí)際應(yīng)用程序中，往往直接計(jì)算變壓器支路對(duì)導(dǎo)納矩陣的影響。當(dāng)節(jié)點(diǎn)i、j之間為變壓器支路時(shí)，如果采用圖1-4(a)所示變壓器模擬電路，則可以根據(jù)圖1-4(c)求得該支路對(duì)導(dǎo)納矩陣的影響： (1)增加非零非對(duì)角元素(2)改變節(jié)點(diǎn)i的自導(dǎo)納，其改變量為(3)改變節(jié)點(diǎn)j的自導(dǎo)納，其改變量為當(dāng)支路i、j為移相器時(shí)，采用圖1-7的等值電路，則應(yīng)對(duì)導(dǎo)納矩陣做以下修正：(1)增加非零非對(duì)角元素(2)改變節(jié)點(diǎn)i的自導(dǎo)納，其改變量為(3)改變節(jié)點(diǎn)j的自導(dǎo)納，其改變量為從式(1-36)、式(1-37)可以看出，由于導(dǎo)納矩陣不再是對(duì)稱矩陣。但是，該矩陣的結(jié)構(gòu)是對(duì)稱的。在現(xiàn)代電力系統(tǒng)分析中，往往

23、需要研究不同接線方式情況下的運(yùn)行狀態(tài)，例如某臺(tái)變壓器或某條輸電線路的投入或切除，對(duì)某些元件的參數(shù)進(jìn)行修改等。由于改變一條支路的開(kāi)合狀態(tài)只影響該支路兩端節(jié)點(diǎn)的自導(dǎo)納及其互導(dǎo)納，因此在這種情況下不必重新形成導(dǎo)納矩陣，僅僅需要在原有導(dǎo)納矩陣的基礎(chǔ)上進(jìn)行必要的修改就可以得到所要求的導(dǎo)納矩陣。下面分幾種情況進(jìn)行介紹。1)從原有網(wǎng)絡(luò)引出一條新的支路，同時(shí)增加一個(gè)新的節(jié)點(diǎn)，見(jiàn)圖1-9(a)。圖1-9 電力網(wǎng)絡(luò)接線變更示意圖設(shè)i為原有網(wǎng)絡(luò)N中任意一節(jié)點(diǎn)，j為新增加節(jié)點(diǎn)，為新增加的支路阻抗。由于增加了一個(gè)新的節(jié)點(diǎn)，因而導(dǎo)納矩陣相應(yīng)增加一階。因?yàn)閖點(diǎn)只有一條支路，所以并增加非對(duì)角元素在這種情況下，原有網(wǎng)絡(luò)i節(jié)點(diǎn)的

24、自導(dǎo)納應(yīng)有如下的增量：(2)在原有節(jié)點(diǎn)i和j間增加一條支路，見(jiàn)圖1-9(b)。 在這種情況下，雖增加了支路，但并不增加節(jié)點(diǎn)數(shù)，導(dǎo)納短陣的階數(shù)不變。但是，與節(jié)點(diǎn)i、j有關(guān)的元素應(yīng)作以下修正：(3)在原有網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)i和j間切除一條阻抗為的支路。在這種情況下，相當(dāng)于在節(jié)點(diǎn)i和j間追加一條阻抗為的支路，見(jiàn)圖1-9(c)。因此導(dǎo)納矩陣有關(guān)元素應(yīng)作以下修改：(4)原有網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)i和j之間支路阻抗由改變?yōu)椤?在這種情況下，可以看作首先在節(jié)點(diǎn)i和j間切除阻抗為的支路，然后再在節(jié)點(diǎn)i和j間追加阻抗為的支路，如圖1-9(d)所示。根據(jù)式(1-40)及式(1-41)，讀者不難求出在此情況下導(dǎo)納矩陣有關(guān)元素的修正量。 應(yīng)

25、該指出，以上增加或切除的支路都是當(dāng)作只有阻抗的線路來(lái)處理的，如果增加或切除的支路是變壓器或移相器，則以上有關(guān)導(dǎo)納矩陣元素的修改應(yīng)按式(1-33)(1-35)或式(136)(139)進(jìn)行。 【例1-1】在圖1-10中表示了一個(gè)電力網(wǎng)絡(luò)的等值電路。圖中給出了支路阻抗和對(duì)地導(dǎo)納的標(biāo)么值。其中節(jié)點(diǎn)2和4間、節(jié)點(diǎn)3和5間為變壓器支路，變壓器漏抗和變比如圖所示。試求其導(dǎo)納矩陣?！窘狻?根據(jù)本節(jié)所述的方法，可以按節(jié)點(diǎn)順序逐行逐列地求出導(dǎo)納矩陣的有關(guān)元素。圖1-10 系統(tǒng)等值電路圖圖1-10中接地支路(并聯(lián)支路)標(biāo)出的是導(dǎo)納值，節(jié)點(diǎn)間支路(串聯(lián)支路)標(biāo)出的是阻抗值。由式(1-31)可以求出節(jié)點(diǎn)1的自導(dǎo)納為與節(jié)

26、點(diǎn)1有關(guān)的互導(dǎo)納可根據(jù)式(1-32)求出：支路24為變壓器支路，采用圖1-4(a)的模擬電路，由式(1-31)及式(1-35)可以求出節(jié)點(diǎn)2的自導(dǎo)納為與節(jié)點(diǎn)2有關(guān)的互導(dǎo)納為根據(jù)式(1-33)：用類似的方法可以求出導(dǎo)納矩陣的其他元素。最后得到導(dǎo)納矩陣為矩陣中末標(biāo)數(shù)字的元素為零元素1.3 電力網(wǎng)絡(luò)方程求解方法1.3.1 高斯消去法 目前，電力網(wǎng)絡(luò)方程主要用高斯消去法求解5,6。計(jì)算機(jī)在電力系統(tǒng)應(yīng)用的初期，曾經(jīng)因?yàn)閮?nèi)存容量的限制采用過(guò)迭代法法求解電力網(wǎng)絡(luò)的線性方程組。迭代法的致命缺點(diǎn)是存在收斂性問(wèn)題。因此，自從稀疏技術(shù)成功地在電力系統(tǒng)應(yīng)用之后7,8，迭代法幾乎完全為高斯消去法所代替。作為基礎(chǔ)，本節(jié)介

27、紹高斯消去法，以后將陸續(xù)介紹稀疏求解技術(shù)和稀疏向量技術(shù)。 高斯消去法求解線性方程組由消去運(yùn)算和回代運(yùn)算兩部分組成。消去運(yùn)算又叫前代運(yùn)算，可以按行進(jìn)行，也可按列進(jìn)行。同樣，回代運(yùn)算可以按行進(jìn)行，也可按列進(jìn)行。通常采用“消去運(yùn)算按列進(jìn)行，回代運(yùn)算按行進(jìn)行”的方式較多。以下就介紹這種算法，其他算法不難觸類旁通。 設(shè)有n階線性方程組。其中矩陣A和向量B的元素可以是實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)。例如電力網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)方程式(1-3)就是復(fù)數(shù)型的，而第2章中牛頓法潮流修正方程式就是實(shí)數(shù)型的。由于消去運(yùn)算只對(duì)A和B進(jìn)行，因此，為了算法敘述方便，把B作為第n+1列附在A之后，形成階增廣矩陣：為了方便討論，上式中用替代了 首先討論按

28、列消去過(guò)程，它的運(yùn)算步驟如下： 第一步，消去第一列。首先，把增廣矩陣的第一行規(guī)格化為式中：然后，用式(1-42)所表示的行消去的第一列對(duì)角線以下各元素，結(jié)果使的第2n行其他元素化為式中：上標(biāo)(1)表示該元素第一次運(yùn)算的結(jié)果。這時(shí)矩陣變?yōu)椋号c之對(duì)應(yīng)的方程組是，它與同解。矩陣未標(biāo)出的元素為零，下同。 第二步，消去第二列。 首先，把增廣短陣的第二行規(guī)格化為式中：然后，用式(1-43)所表示的行消去的第二列對(duì)角線以下各元素結(jié)果使的第3n行其他元素化為式中：上標(biāo)(2)表示該元素第二次運(yùn)算的結(jié)果。這時(shí)矩陣變?yōu)椋阂话愕?，在消去第k列時(shí)要做以下的運(yùn)算：經(jīng)過(guò)對(duì)矩陣的n次消去運(yùn)算，即k從1依次取到n按式(1-44

29、)、式(1-45)運(yùn)算，使矩陣A對(duì)角線以下的元素全部化為零，從而得到增廣矩陣與之對(duì)應(yīng)的方程組是即與原方程組同解。 現(xiàn)在來(lái)討論按行回代過(guò)程。對(duì)于方程組(1-47)，回代運(yùn)算自下而上進(jìn)行。首先由第n方程可知然后將代入第n一1個(gè)方程，解出再將和代入第n-2個(gè)方程，可解出。一般地，把已求出的代入第i個(gè)方程，即可求出式(1-48)就是按行回代的一般公式?！纠?2】 利用高斯消去法求解下列線性方程組【解】 由原方程組可寫出其增廣矩陣首先按式(1-44)對(duì)第一行規(guī)格化，即用其對(duì)角元素1除第一行各元素，得到然后按式（1-45）消去第一列，得到 現(xiàn)在對(duì)第二列進(jìn)行消去運(yùn)算。先按式（1-44）對(duì)第二行規(guī)格化，即用其

30、對(duì)角元素-3除第二行各元素：然后按式（1-45）消去第二列，得到 現(xiàn)在對(duì)第三列進(jìn)行消去運(yùn)算。先按式（1-44）對(duì)第三行規(guī)格化，即用其對(duì)角元素4/3除第三行個(gè)元素：然后按式（1-45）消去第三列，得到最后，按式（1-44）對(duì)第四行規(guī)格化，即用其對(duì)角元素15/12除第四行元素：這樣，經(jīng)消去運(yùn)算后，我們得到原方程組的同解方程組為按式（1-48）對(duì)以上同解方程組進(jìn)行回代運(yùn)算，即可逐個(gè)求出：1.3.2 因子表和三角分解在實(shí)際計(jì)算中，經(jīng)常遇到這種情況：對(duì)于方程組需要多次求解，每次僅改變其常數(shù)項(xiàng)B，而系數(shù)矩陣A是不變的。這時(shí)，為了提高計(jì)算速度，可以利用因子表求解。 因子表可以理解為高斯消去法解線性方程組的過(guò)

31、程中對(duì)常數(shù)項(xiàng)B全部運(yùn)算的一種記錄表格。如前所述，高斯消去法分為消去過(guò)程和回代過(guò)程?；卮^(guò)程的運(yùn)算由對(duì)系數(shù)矩陣進(jìn)行消去運(yùn)算后得到的上三角矩陣元素確定，見(jiàn)式(1-46)。為了對(duì)常數(shù)項(xiàng)進(jìn)行消去運(yùn)算(又叫前代運(yùn)算)，還必須記錄消去過(guò)程運(yùn)算所需要的運(yùn)算因子。消去過(guò)程中的運(yùn)算又分為規(guī)格化運(yùn)算和消去運(yùn)算，以按列消去過(guò)程為例，由式(1-44)、式(1-45)可知，消去過(guò)程中對(duì)常數(shù)項(xiàng)B中的第i個(gè)元素 (即)的運(yùn)算包括將上式中的運(yùn)算因子及逐行放在下三角部分，和式(1-46)的上三角矩陣元素合在一起，就得到了因子表其中下三角元素用來(lái)對(duì)常數(shù)項(xiàng)B進(jìn)行消去(前代)運(yùn)算，上三角矩陣元素用來(lái)進(jìn)行消去回代運(yùn)算。因子表也可以表示

32、為如下形式：式中： 不難看出，因子表中下三角部分的元素就是系數(shù)矩陣在消去過(guò)程中曾用以進(jìn)行運(yùn)算的元素，因此只要把它們保留在原來(lái)的位置，并把對(duì)角元素取倒數(shù)就可以得到因子表的下三角部分。而因子表中上三角部分的元素就是系數(shù)矩陣在消去過(guò)程完成后的結(jié)果。 對(duì)于方程組，需要多次求解，每次僅改變其常數(shù)項(xiàng)B而系數(shù)矩陣A是不變的情況，應(yīng)首先對(duì)其系數(shù)矩陣A進(jìn)行消去運(yùn)算，形成因子表。有了因子表，就可以對(duì)不同的常數(shù)項(xiàng)B求解。這時(shí)，可以直接應(yīng)用因子表中的元素，用下面的公式代替式(1-49)、式(1-50)，進(jìn)行消去運(yùn)算：用以下公式代替式(1-48)進(jìn)行回代運(yùn)算：【例1-3】 求出例1-2中線性方程組系數(shù)矩陣A的因子表，并

33、用該因子表對(duì)下列常數(shù)項(xiàng)求解：【解】對(duì)照例1-2的求解過(guò)程，即可寫出系數(shù)矩陣A的因子表為上面因子表下三角部分的元素就是該例的系數(shù)矩陣消去過(guò)程中畫括弧的數(shù)字(對(duì)角元素用倒數(shù)替代)；而因子表上三角部分就是該例中系數(shù)矩陣消去過(guò)程最終的上三角部分。 以下用此因子表下三角部分的元素對(duì)B按列消去。首先根據(jù)式(1-52)對(duì)規(guī)格化，即用除，得出然后用因子表下三角部分第一列元素，按照式(1-53)分別對(duì)、運(yùn)算：以上完成了第一列的消去運(yùn)算，現(xiàn)在再根據(jù)式(1-52)對(duì)規(guī)格化，即用除，得出然后用因子表下三角部分第二列元素，按照式(1-53)分別對(duì)、運(yùn)算；以上完成了第二列的消去運(yùn)算，現(xiàn)在再根據(jù)式(1-52)對(duì)規(guī)格化，即用

34、除，得出然后用因子表下三角部分第二列元素，按照式(1-53)分別對(duì)運(yùn)算：以上完成了第三列的消去運(yùn)算，最后，再根據(jù)式(1-52)對(duì)規(guī)格化，即用除，得出以上完成了全部消去運(yùn)算，對(duì)照因子表，至此我們相當(dāng)于得到了如下的同解方程式： 按照式（1-54），利用因子表的上三角部分即可逐個(gè)求得各變量的值：應(yīng)該指出，式（1-50）所示的因子表不僅可以用高斯消去法求出，而且可以用三角分解的方法求出。不難驗(yàn)證，上例中的因子表與其系數(shù)矩陣A有如下關(guān)系：式中：或者還可把進(jìn)一步分解為在上例中，只要用中各列對(duì)角元素除相應(yīng)列的各非對(duì)角元素，即可得到而；的對(duì)角元素則構(gòu)成D，即這樣，原系數(shù)矩陣A一般可以表示為由上例中可以看出這一

35、現(xiàn)象并非偶然，可以證明當(dāng)系數(shù)矩陣A為對(duì)稱矩陣時(shí)，上式必然成立。以下推導(dǎo)矩陣三角分解的遞推公式。將式(1-55)展開(kāi)：比較兩邊左上角第一個(gè)元素，可得比較兩邊第二行第一個(gè)元素和第二列前兩個(gè)元素，可知所以，可以遞推出這樣，我們有如下的分解式：依此類推，如果已經(jīng)求出了的前k-1行和U的前k-1列元素，則有上式右邊兩個(gè)矩陣中的所有元素均已求出。逐個(gè)比較式兩邊第k行前k-1元素和第k列前k個(gè)元素，即可求得的第k行和U的第k列元素：這是一個(gè)遞推公式，當(dāng)k從1依次取到n時(shí)，可用它求得三角分解式。進(jìn)一步再用中各列對(duì)角元素除相應(yīng)列的各非對(duì)角元素，即可得到L：而的對(duì)角元素則構(gòu)成D，即。這樣，我們就可將系數(shù)矩陣分解為

36、的形式。特別值得注意的是，當(dāng)系數(shù)矩陣A對(duì)稱時(shí)，式(1-56)成立。1.3.3 稀疏技術(shù)由1.3.2節(jié)討論可知，電力網(wǎng)絡(luò)方程組求解的過(guò)程實(shí)際上就是順序用因子表中的元素對(duì)常數(shù)項(xiàng)向量運(yùn)算的過(guò)程。例1-3的因子表中共有16個(gè)元素：4個(gè)對(duì)角元素，6個(gè)下三角元素和6個(gè)上三角元素。因此，其求解過(guò)程共有16次乘加運(yùn)算。由式(1-53)、式(1-54)可知，如果因子表中的某些元素為零，則相應(yīng)的乘加運(yùn)算可以省略。所謂稀疏技術(shù)就是充分利用電力網(wǎng)絡(luò)方程組的稀疏特性，盡量減少不必要的計(jì)算以提高求解的效率。下面用例題說(shuō)明。 【例14】 試用稀疏技術(shù)求解例1-2的線性方程組?！窘狻?為了充分利用方程組的稀疏特性，對(duì)于例12

37、的線性方程組做如下的變換：則原方程組變?yōu)槲覀儗⒁蜃颖淼姆椒ń庠摲匠探M。其系數(shù)矩陣為 首先對(duì)第一行規(guī)格化及對(duì)第一列消去。在這里僅有兩次運(yùn)算：一次規(guī)格化運(yùn)算和一次消去運(yùn)算，上式帶括弧數(shù)字就是這兩次運(yùn)算的計(jì)算因子。對(duì)于4×4的系數(shù)矩陣而言，消去第一列本應(yīng)包括一次規(guī)格化運(yùn)算和三次消去運(yùn)算，但由于上式中和均為零，故相應(yīng)的運(yùn)算即可免除。這樣得到 然后對(duì)第二行規(guī)格化及對(duì)第二列消去。在這里也僅有兩次運(yùn)算；一次規(guī)格化運(yùn)算和一次消去運(yùn)算，上式帶括弧數(shù)字就是這兩次運(yùn)算的計(jì)算因子。對(duì)于4×4的系數(shù)矩陣而言，消去第二列本應(yīng)包括一次規(guī)格化運(yùn)算和二次消去運(yùn)算，但由于上式中為零，故相應(yīng)的運(yùn)算即可免除。這樣

38、得到對(duì)第三行規(guī)格化及對(duì)第二列消去也有兩次運(yùn)算：一次規(guī)格化運(yùn)算和一次消去運(yùn)算，上式帶括弧數(shù)字就是這兩次運(yùn)算的計(jì)算因子。消去后得到因此，我們可以寫出其系數(shù)矩陣的因子表應(yīng)當(dāng)指出，以上因子表也可以用三角分解公式(1-60)、(1-61)求得，讀者可自行驗(yàn)證。亡述因子表含有6個(gè)零元素，因此求解時(shí)將減少6次乘加運(yùn)算。以下我們對(duì)常數(shù)向量求解：首先，用因子表下三角部分的元素對(duì)B接列消去。根據(jù)式(1-52)對(duì)規(guī)格化，即用除，得出然后用因子表上三角部分第一列元素，按照式(1-53)分別對(duì)、運(yùn)算。由于、均為零，故有這兩步計(jì)算完全可以免去，而只需做以下運(yùn)算：以上完成了第一列的消去運(yùn)算，現(xiàn)在再根據(jù)式(1-52)對(duì)規(guī)格化

39、，即用除，得出然后用因子表下三角部分第二列元素，按照式(1-53)分別對(duì)運(yùn)算：以上完成了第三列的消去運(yùn)算，最后，再根據(jù)式(1-52)對(duì)規(guī)格化，即用除，得出以上完成了全部消去運(yùn)算，對(duì)照因子表，至此我們相當(dāng)于得到了如下的同解方程組：按照式(1-54)，利用因子表的上三角部分即可逐個(gè)求得各變量的值。由于、為零，故回代過(guò)程可免除三次乘加運(yùn)算：將以上解代入式(1-63)中即可得到原方程組(1-62)的解。 從這個(gè)例題可以看出，當(dāng)線性方程組的稀疏特性得到充分利用時(shí)，不僅在形成因子表過(guò)程中減少了計(jì)算量，更重要的是減少了求解方程組時(shí)前代和回代的計(jì)算量。因子表中有多少零元素，就減少多少乘加的運(yùn)算量。因此，在因子

40、表中保持盡可能多的零元素?cái)?shù)是提高算法效率的關(guān)鍵9。1.3.4 稀疏向量法1.3.3節(jié)討論的稀疏技術(shù)目前已被用于解決幾乎所有大型電力網(wǎng)絡(luò)的問(wèn)題。以下將介紹可進(jìn)一步提高計(jì)算速度的稀疏向量法10。 稀疏向量法主要用來(lái)解決線性代數(shù)方程組的右端向量?jī)H有少量非零元素，或我們只對(duì)待求向量中個(gè)別無(wú)素感興趣的情況。稀疏向量法很簡(jiǎn)單，但是節(jié)省的計(jì)算量和內(nèi)存旦卻非?？捎^，可以避免所有不必要的計(jì)算。因此，在電力潮流分析的補(bǔ)償法、短路故障分析、最優(yōu)潮流以及靜態(tài)安全分析等問(wèn)題中有廣泛的應(yīng)用。 原則上講，稀疏向量法可用于滿矩陣或稀疏矩陣的線性方程組。本節(jié)主要介紹在稀疏矩陣線性方程組中的稀疏向量法。如前所述，在電力網(wǎng)絡(luò)不包含

41、移相器時(shí)，其導(dǎo)納矩陣Y是對(duì)稱的，當(dāng)存在有移相器時(shí)，稀疏導(dǎo)納矩陣只在結(jié)構(gòu)上是對(duì)稱的。節(jié)點(diǎn)電壓方程為為了討論的普遍性，假定Y是在結(jié)構(gòu)上對(duì)稱的n階方陣。如前所述，可以經(jīng)過(guò)三角分解表示為式中：L和U分別為下三角陣和上三角陣；D為對(duì)角矩陣。利用以上表達(dá)方式求解方程組是很方便的。例如，可以將方程組寫成把上式分解為依次解式(1-68)(1-70)就可求出V。當(dāng)Y陣對(duì)稱時(shí)，L和U互為轉(zhuǎn)置陣。當(dāng)Y陣在結(jié)構(gòu)上對(duì)稱時(shí)，L和U在結(jié)構(gòu)上也是對(duì)稱的?，F(xiàn)在可以把求解的消去過(guò)程表示為回代過(guò)程表示為這些運(yùn)算本來(lái)可以按行進(jìn)行，也可以按列進(jìn)行。但是在用稀疏向量法時(shí)消去過(guò)程式(1-71)必須按列進(jìn)行，而回代過(guò)程式(1-72)必須按行

42、進(jìn)行才能達(dá)到高效運(yùn)算的目的。對(duì)L和U可以有各種存儲(chǔ)的方法。但是在用稀疏向量法時(shí)，存儲(chǔ)的方案必須滿足可以直接找山L陣各列中和U陣各行中最小足碼的非零非對(duì)角元素。其實(shí)這也不是什么難事。在很多情況下，獨(dú)立向量J是稀疏的，但待求的y一般并無(wú)稀疏持性。在后文中，稀疏向量可以指稀疏向量J，或者指向量y中我們感興趣的幾個(gè)元素。如果向量I是稀疏的，則在消去過(guò)程中只用L中某幾列元素，稱之為快速消去過(guò)程，以下簡(jiǎn)寫為FF。如果只需求向量V的幾個(gè)元素，則在回代過(guò)程中只用U中某幾行元素，稱之為快速回代過(guò)程，以下簡(jiǎn)寫為FB?！纠?5】 求解如下線性方程織【解】 此線性方程組的系數(shù)矩陣和例1-4中的式(1-64)一樣，只是

43、右端常數(shù)項(xiàng)是稀疏向量：因此，此線件方程組的因子表也和式（1-64)相同：將此因子表分解，容易得出首光討論消去過(guò)程。由消去公式(1-53)可知，當(dāng)為零時(shí)，所有與有關(guān)的運(yùn)算可以避免。換句話說(shuō)，下三角陣中第k列元素可以忽略不用。在本例中，為零，故L中第一列元素可以跳過(guò)。因此，對(duì)該稀疏向量來(lái)說(shuō)，消去過(guò)程應(yīng)從第二列開(kāi)始進(jìn)行。消去過(guò)程同樣包括規(guī)格化運(yùn)算和消去運(yùn)算。消去后，有端常數(shù)項(xiàng)的稀疏向量變?yōu)槿缓筮M(jìn)行第三列的消去。由于的第三個(gè)元素為零，故可以跳過(guò)L中第三列元素，直接進(jìn)入第四列的消去過(guò)程。這時(shí)只需用對(duì)進(jìn)行規(guī)格化運(yùn)算，從而得到消去過(guò)程結(jié)束后的常數(shù)項(xiàng)向量：以下討論回代過(guò)程。如前所述，在稀疏向量法中回代過(guò)程只有

44、按行進(jìn)行才能見(jiàn)效。如果在解向量V我們只V3感興趣，則上三角陣U中第一行和第二行元素有關(guān)運(yùn)算完全可以免去。如果在解向量V中我們只對(duì)V2感興趣，則上三角陣U中第一行元素有關(guān)運(yùn)算完全可以免去；此外，由于，故和U中第三行元素有關(guān)運(yùn)算完全也可以免大。因此，只用上三角陣U中第二行元素0 1 0 2進(jìn)行回代即可，即 由以上例題可以看出，稀疏向量法的關(guān)鍵在于找出FF和FB所需要進(jìn)行運(yùn)算的上U的有效子集。FF的有效列子集與L和I的稀疏結(jié)構(gòu)有關(guān)，F(xiàn)B的有效行子集與U和V的稀疏結(jié)構(gòu)有關(guān)。 為了尋求FF有效列子集和提高稀疏矩陣運(yùn)算的效率，可根據(jù)以上例題歸納出如下的簡(jiǎn)單算法： (1)對(duì)獨(dú)立向量I清零，將非零元素置入，形

45、成初始I。 (2)在I中向下搜索非零元素，將找到的最小非零元素的點(diǎn)號(hào)置入k。 (3)用L陣的第k列對(duì)I進(jìn)行消去過(guò)程運(yùn)算。 (4)當(dāng)k=n時(shí)，終止。否則轉(zhuǎn)到第(2)步。 這種算法保證在FF中只進(jìn)行必要的非零元素的運(yùn)算，但是該算法在清零和搜索上卻做了大量不必要的運(yùn)算。對(duì)FB有和上述類似的算法，但浪費(fèi)的計(jì)算量可能更大。 為了避免上述計(jì)算量的浪費(fèi)，關(guān)鍵是預(yù)先高效地找出因子化路徑。一個(gè)稀疏向量的因子化路徑是進(jìn)行FF時(shí)用到L的列數(shù)的順序表。在線性方程求解過(guò)程中，對(duì)FF而言將采用前向順序，對(duì)FB則采用逆向順序。 當(dāng)向量I中只有一個(gè)非零元素時(shí)，稱為單元素向量，設(shè)其點(diǎn)號(hào)為k，可用以下算法求得其相應(yīng)的因子化路徑：

46、 (1)令k為路徑中第一個(gè)點(diǎn)號(hào)。 (2)尋找L陣的k列中(或U陣的k行中)最小的非零元素的點(diǎn)號(hào)，將此點(diǎn)號(hào)置入k,并列入路徑中。 (3)如果k=n，結(jié)束，否則轉(zhuǎn)到第(2)步。 單元素向量的因子化路徑可由因子表指針數(shù)組直接確定。一般稀疏向量為單元素向量之和，其路徑為各單元素向量路徑的并集。對(duì)于稀疏系統(tǒng)而言，任何稀疏向量均有一個(gè)相應(yīng)的因子化路徑。 【例1-6】 試求圖1-11所示電力網(wǎng)絡(luò)的因子化路徑?！窘狻?圖1-11所示電力網(wǎng)絡(luò)的導(dǎo)納矩陣的結(jié)構(gòu)如圖1-12中黑點(diǎn)所示(圖中只表示了下三角部分)。由于該電力網(wǎng)絡(luò)共有21條支路，故共有21個(gè)黑點(diǎn)所代表的非對(duì)角元素。三角分解以后增加了10個(gè)注入元素(圖中用

47、圓圈表示)。故因子表中共有31個(gè)元素。圖1-11 一個(gè)電力網(wǎng)絡(luò)的接線圖由因子表的結(jié)構(gòu)很容易確定單元素向量的因子化路徑。例如：k1時(shí)，因子化路徑為：k5時(shí)，因子化路徑為： k6時(shí)，因子化路徑為：等等。當(dāng)稀疏向量為非單元素向量時(shí)，其路徑為各單元素向量因子化路徑的并集。對(duì)如下稀疏向量：其因子化路徑為上述k1時(shí)及k5時(shí)因子化路徑的并集： 為了找出所有因子化路徑，對(duì)圖1-12因子表結(jié)構(gòu)可列出表1-1所示鏈接表。圖1-12 一個(gè)電力網(wǎng)絡(luò)的因子表的結(jié)構(gòu)圖表1-1 因子表結(jié)構(gòu)的連接表圖1-13 全部因子化路徑圖由表1-1的因子表結(jié)構(gòu)鏈接表可以得到因子化路徑，如圖1-13所示。利用此因子化路徑就可以高效處理稀疏

48、向量有關(guān)的問(wèn)題。例如，想知道當(dāng)在節(jié)點(diǎn)5注入電流I5(其他節(jié)點(diǎn)注入電流為零)時(shí)，節(jié)點(diǎn)1的電壓是多少。為此，只需按以下因子路徑進(jìn)行消去：按以下因子路徑進(jìn)行間代：即可。以上求解過(guò)程只涉及5列上三角元素和7行上三角元素，計(jì)算效率明顯提高。對(duì)于稀疏向量法來(lái)說(shuō)，由于上述因子路徑已預(yù)先求出，可直接應(yīng)用，故省去了無(wú)謂的搜索和清零運(yùn)算。1.3.5 電力網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)編號(hào)優(yōu)化目前電力系統(tǒng)計(jì)算程序中在解電力網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)方程時(shí)，大多采用1.3節(jié)中介紹的直接解法。為了對(duì)網(wǎng)絡(luò)方程反復(fù)求解，往往首先對(duì)導(dǎo)納矩陣進(jìn)行三角分解，然后就可以來(lái)對(duì)不同的右端常數(shù)項(xiàng)進(jìn)行前代及回代運(yùn)算，從而得到網(wǎng)絡(luò)方程的解。 如前所述，導(dǎo)納矩陣是零元素很多的稀疏矩

49、陣，分解后得到的三角陣一般也是稀疏矩陣。通常，導(dǎo)納矩陣非零元素的分布和分解后的三角陣是不同的，因?yàn)橄ミ^(guò)程或分解過(guò)程中會(huì)產(chǎn)生新的非零元素，即注入元素。消去過(guò)程中產(chǎn)生注入元素的原因，可以直觀地用電路的星網(wǎng)變換來(lái)解釋。如圖1-14所示，在消去節(jié)點(diǎn)1以前的網(wǎng)絡(luò)中，由于節(jié)點(diǎn)l、i及節(jié)點(diǎn)l、j間無(wú)直接聯(lián)系，故可斷定，在導(dǎo)納矩陣中及。為零元素，為非零元素。圖1-14 高斯消去法與星網(wǎng)變換的關(guān)系當(dāng)用高斯消去法消去導(dǎo)納矩陣的第列時(shí)，可以證明2，相當(dāng)于用星網(wǎng)變換的原理消去節(jié)點(diǎn)1。消去節(jié)點(diǎn)1之后電力網(wǎng)絡(luò)將要在節(jié)點(diǎn)i、j，節(jié)點(diǎn)i、l及節(jié)點(diǎn)l、j之間出現(xiàn)新的支路。因此，在新網(wǎng)絡(luò)的導(dǎo)納矩陣中，Yil、Ylj、Yij都是

50、非零元素，這樣在消去第一列的過(guò)程中就出現(xiàn)了兩個(gè)注入元素。一般地講，當(dāng)消去節(jié)點(diǎn)k時(shí)，以k為中心的星形網(wǎng)絡(luò)將變?yōu)橐粋€(gè)與節(jié)點(diǎn)k直接聯(lián)系的節(jié)點(diǎn)為頂點(diǎn)的網(wǎng)形網(wǎng)絡(luò)。如果與節(jié)點(diǎn)k相連的節(jié)點(diǎn)數(shù)為Jk，則網(wǎng)形網(wǎng)絡(luò)的支路數(shù)應(yīng)等于從Jk個(gè)節(jié)點(diǎn)中任意取兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的組分?jǐn)?shù)。假設(shè)在節(jié)點(diǎn)k消去前，其周圍Jk個(gè)節(jié)點(diǎn)間已有Dk條文路數(shù)，則在消去節(jié)點(diǎn)k所增加的新支路數(shù)(即注入元素的個(gè)數(shù))為 注入元素的多少與消去的順序或節(jié)點(diǎn)編號(hào)有關(guān)。在圖1-15中表示了一個(gè)簡(jiǎn)單電力網(wǎng)絡(luò)的4種不同的節(jié)點(diǎn)編號(hào)方案和將導(dǎo)納矩陣三角分解以后三角陣中出現(xiàn)注入元素的情況。顯然，不同的節(jié)點(diǎn)編號(hào)方案所得到的注入元素的數(shù)日也不相同。圖1-15 節(jié)點(diǎn)編號(hào)對(duì)注入元素的影

51、響 所謂節(jié)點(diǎn)編號(hào)的優(yōu)化，就是要尋求一種使注入元素?cái)?shù)目最少的節(jié)點(diǎn)編號(hào)方式。為此，可以比較各種不同的節(jié)點(diǎn)編號(hào)方案在三角分解中出現(xiàn)的注入元素?cái)?shù)目，從中選取注入元素最少的節(jié)點(diǎn)編號(hào)方案。但這樣做需要分析非常多的方案，例如對(duì)僅有5個(gè)節(jié)點(diǎn)的電力網(wǎng)絡(luò)來(lái)說(shuō)，其編號(hào)的可能方案就有5！=120個(gè)。一般，對(duì)n個(gè)節(jié)點(diǎn)的電力網(wǎng)絡(luò)來(lái)說(shuō)，節(jié)點(diǎn)編號(hào)的可能方案就有n!個(gè)，工作量非常大。因此，在實(shí)際計(jì)算工作中往往采取一些簡(jiǎn)化的方法，求出一個(gè)相對(duì)的節(jié)點(diǎn)編號(hào)優(yōu)化方案，并不一定追求“最優(yōu)”方案。目前，節(jié)點(diǎn)編號(hào)優(yōu)化的方法很多，大致可分以下3類：1. 靜態(tài)地按最少出線支路數(shù)編號(hào) 這種方法又稱為靜態(tài)優(yōu)化法。在編號(hào)以前，首先統(tǒng)計(jì)電力網(wǎng)絡(luò)各節(jié)點(diǎn)的

52、出線支路數(shù)，然后，按出線支路數(shù)由少到多的節(jié)點(diǎn)順序編號(hào)，當(dāng)有n個(gè)節(jié)點(diǎn)的出線支路數(shù)相同時(shí)，則可以按任意次序?qū)@n個(gè)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行編號(hào)。 這種編號(hào)方法的根據(jù)是，在導(dǎo)納矩陣中，出線支路數(shù)最少的節(jié)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的行中非零元素也最少，因此在消去過(guò)程中產(chǎn)生注入元素的可能性也比較小。這種方法非常簡(jiǎn)單，適用于接線方式比較簡(jiǎn)單，即環(huán)路較少的電力網(wǎng)絡(luò)。 2動(dòng)態(tài)地按最少出線支路數(shù)編號(hào) 在上述方法中，各節(jié)點(diǎn)的出線支路數(shù)是按原始網(wǎng)絡(luò)統(tǒng)計(jì)出來(lái)的，在編號(hào)過(guò)程中認(rèn)為固定不變。事實(shí)上，在節(jié)點(diǎn)消去過(guò)程中，每消去一個(gè)節(jié)點(diǎn)以后，與該節(jié)點(diǎn)相連的各節(jié)點(diǎn)的出線支路數(shù)將發(fā)生變化(增加、減少或保持不變)。因此，如果在每消去一個(gè)節(jié)點(diǎn)后，立即修正尚未編號(hào)節(jié)點(diǎn)的

53、出線支路數(shù)，然后選其中出線支路數(shù)最少的一個(gè)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行編號(hào)，就可以預(yù)期得到更好的效果。動(dòng)態(tài)地按最少出線支路數(shù)編號(hào)方法的持點(diǎn)就是在按出線最少原則編號(hào)時(shí)考慮了消去過(guò)程中各節(jié)點(diǎn)出線數(shù)目的變動(dòng)情況。這種方法也稱為個(gè)動(dòng)態(tài)優(yōu)化法。3動(dòng)態(tài)地按增加出線數(shù)最少編號(hào) 這種方法又稱為動(dòng)態(tài)優(yōu)化法。用前兩種方法編號(hào)，只能使消去過(guò)程中出現(xiàn)新支路的可能性減少，但并不一定保證在消去這些節(jié)點(diǎn)時(shí)出現(xiàn)的新支路最少。比較嚴(yán)格的方法應(yīng)該是按消去節(jié)點(diǎn)后增加出線數(shù)最少的原則編號(hào)。具體編號(hào)方法如下： 首先，根據(jù)星網(wǎng)變換的原理，按式(1-73)分別統(tǒng)計(jì)消去網(wǎng)絡(luò)各節(jié)點(diǎn)時(shí)增加的出線數(shù)，選其中增加出線數(shù)最少的被消節(jié)點(diǎn)編為第1號(hào)節(jié)點(diǎn)。 確定了第1號(hào)節(jié)點(diǎn)以

54、后，即可從網(wǎng)絡(luò)消去此節(jié)點(diǎn)，相應(yīng)地修改其余節(jié)點(diǎn)的出線數(shù)目。 然后，對(duì)網(wǎng)絡(luò)中其余的節(jié)點(diǎn)重復(fù)以上過(guò)程，順序編出第2號(hào)、第3號(hào)一直到編完為止。 很明顯，這種編號(hào)方法的工作量比以上兩種方法大得多。 【例1-7】 試對(duì)圖1-16所示電力網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行節(jié)點(diǎn)編號(hào)優(yōu)化?！窘狻?以下分別用3類節(jié)點(diǎn)優(yōu)化編號(hào)方法進(jìn)行編號(hào)。圖1-16 電力網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)編號(hào)的例子1)用靜態(tài)優(yōu)化法編號(hào)。圖1-16所示電力網(wǎng)絡(luò)共有8個(gè)節(jié)點(diǎn)，14條支路。各節(jié)點(diǎn)出線數(shù)如表1-2所示。按照各節(jié)點(diǎn)出線數(shù)進(jìn)行編號(hào)的結(jié)果如圖1-17(a)所示。按照這種編號(hào)方案，在消去節(jié)點(diǎn)的過(guò)程中將出現(xiàn)4條新支路。即消去節(jié)點(diǎn)1時(shí)，出現(xiàn)新支路27和28；在消去節(jié)點(diǎn)2時(shí)13現(xiàn)新支路3

55、7和47。對(duì)這樣編號(hào)所形成的導(dǎo)納矩陣進(jìn)行三角分解以后，其下三角陣的結(jié)構(gòu)如圖1-17(b)所示，其中4個(gè)注入元素l72、l73、l74、l82，和上面說(shuō)的新增加的4條支路相對(duì)應(yīng)。圖1-17 靜態(tài)優(yōu)化法編號(hào)的結(jié)果2)用半動(dòng)態(tài)優(yōu)化法編號(hào)。 編號(hào)過(guò)程如表1-3所示。 編號(hào)結(jié)果如圖l-18(a)所示。按照這種編號(hào)方案，在節(jié)點(diǎn)的消去過(guò)程中共出現(xiàn)兩條新支路，即在消去節(jié)點(diǎn)1時(shí)出現(xiàn)新支路45和48。表1-3 半動(dòng)態(tài)優(yōu)化法編號(hào)過(guò)程圖1-18 半動(dòng)態(tài)和動(dòng)態(tài)優(yōu)化法編號(hào)的結(jié)果3)用動(dòng)態(tài)優(yōu)化法編號(hào)。 為了確定首先編哪一個(gè)節(jié)點(diǎn)，需要分別計(jì)算消去網(wǎng)絡(luò)中各節(jié)點(diǎn)時(shí)出現(xiàn)的新支路數(shù)。計(jì)算結(jié)果如表1-4所示。由表1-4可以看出，應(yīng)先編節(jié)點(diǎn)R或節(jié)點(diǎn)S。假設(shè)我們把R點(diǎn)編為1號(hào)，并立即從網(wǎng)絡(luò)中消去，然后