1、實數復習與回顧一、知識梳理1 .平方根(1)算術平方根的定義：一個正數x的平方等于a,即 那么這個正數x就叫做a的.0勺算術平方根是(2)平方根的定義：如果一個數x的平方等于a,即 那么這個數x就叫做a的(3)平方根的性質：一個正數有 個平方根，它們 0只有個平方根，它是 乎方根。(4)開平方：求一個數 a的的運算，叫做開平方。2 .立方根(1)立方根的定義：如果一個數x的等于a ,即 那么這個數x就叫做a的立方根。(2)立方根的性質：每個數 a都只有個立方根。正數的立方根是 0的立方根是 (3)開立方：求一個數 a的的運算叫做開立方。3 .實數(1)無理數的定義：無限不循環(huán)小數叫做 (2)實

2、數的定義： 統(tǒng)稱實數。(3)實數的分類： 按定義分： 3按性質分：(4)實數與數軸上的點的對應關系： 與數軸上的點是 對應的。(5)有關概念：在實數范圍內，相反數、倒數、絕對值的意義和有理數范圍內的意義4 .實數的運算：(1)實數的加、減、乘、除、乘方運算和 二樣，而且有理數的運算律對仍然適用。(2)兩個非負數的算術平方根的積等于這兩個數積的算術平方根，算術平方根的商等于這兩個數商的算術平方根，用式子表示為二、考點例析考點1平方根、立方根的定義與性質例1 (1)下列各數是否有平方根？若有，求出其平方根；若沒有， 說明理由。625 (2) 2 (1) 3(2)下列各數是否有立方根？若有，求出其立

3、方根。工-343 -2227分析：(1)要判斷一個對象有無平方根，首先要對這個對象進行轉化，直到能看出它的符號，然后依據平方根的性質進行判斷。(2)因為正數、0、負數均有立方根，所以所給各數都有立方根。解：(1)因為625>0 ,故其平方根有兩個，即 ±<625= 25; 因為(一2) 2=4>0 ,故其平方根有兩個，即±J( 2)?二及； 因為(1) 3= 1<0,故其不存在平方根。(2)由立方根的性質可知，所給各數均有立方根。 3,f1; * 3437 ;273一22的立方根3/1。說明：只有非負數才有平方根，這一點同學們一定要牢固掌握?？键c2實

4、數的分類與性質例2下列各數中：-1 , 77 , 3.14159, - K10- - 3/4 ,0,0.3,<8, V16 ,2.121122111222 其中有理數有無理數有分析：對于藥8、石6等應先化簡再判斷。解：有理數：一1, 3.14159,0,0.3, 78,164.10 a無理數有：77， ,， V4 ,2.12112111222 說明：本題考查有理數和無理數的概念，要正確判斷一個數屬于哪一類，理解各數的意義是關鍵。例3 貶 1的相反數是 ; J11的絕對值是 ;81121的倒數是。分析：如果a表示一個正實數，那么a就表示一個負實數，a與a互為相反數；0的相反數依然是0。一個

5、正實數的絕對值是它本身；一個負實數的絕對值是它的相反數，0的絕對值是0。1非零實數a的倒數是一。a-81解：2 1的相反數是1 42；的絕對值是 布；-，- 1219,所以一11的倒數是121119說明：解決此問題要牢記實數的性質，實數范圍內一個數的相反數、倒數、絕對值的意義和在有理數范圍內的意義是一樣的。考點3實數的運算例4(2)化簡 J8 2(2 2)得()(A) 2(B) 22 2(C) 2(D) 4d2 2分析：有理數的運算法則、性質、運算律等在實數范圍內仍然適用，本例根據運算順序直接計算即可。5-1151_ _ 1(1) =0.2 X 2 225 () = 15 ( 5) 75 75

6、；455444(2) 8'8 五(尬 2) 7822V/2 272 2 272=2。故選(A)。說明：在實數范圍內進行加、減、乘、除、乘方和開方運算，運算順序依然是從高級到低級。值得注意的是，在進行開方運算時，正實數和零可以開任何次方， 負實數能開奇次方，但不能開偶次方?？键c4非負數例5已知x, y為實數，且Vx-7 3(y 2)2 0 ,則x y的值為().(A) 3(B) - 3(C) 1(D) -1分析：本題主要考查非負數的性質及其應用，非負數，即不是負數，也即正數和零，常見的非負數主要有三種：實數的絕對值、實數的算術平方根、實數的偶次方。它有一個非常重要的性質：若干個非負數的和

7、為 0,這幾個非負數均為零。利用這個性質可解本題，解：由題意，得x 1 0, y 2 0,即x 1, y 2,所以x y 1。故選（D）。說明：非負數是中考?？嫉闹R點，同學們應從其意義入手，理解并掌握它?？键c5數形結合題例6 已知實數a、b在數軸上的位置如圖所示：試化簡：| a- b |I a+b I分析：要化簡I a-b I - I a+b I ,需根據數軸上 a、b的位置判斷a b和a+b的符號。-11 1 4b0 a解：因為 a>0 , b<0，且 I a I < I b I ,所以 ab>0 , a+b<0 ,所以原式=(ab) + (a+b) =a b

8、+a+b=2a說明：數形結合是解決數學問題常用的思想方法，解題時必須通過所給圖形抓住相關數的信息?？键c6探究題例7閱讀下列解題過程：5 .4.54 .5 、4 石16.51、,65、6 .5,6.5.6.5.6 、5請回答下列問題:(1)、觀察上面的解題過程，請直接寫出式子：n 2(2)、利用上面所提供的解法，請化簡：1111 L 1. 2 13 2.4.3.5 一 4.10.9分析：通過閱讀解題過程不難發(fā)現(xiàn)，每個式子的結果都等于分母中兩個式子的差。解：(1) 1,二 Jn 1 Vn o ,n 、n 1=亞 1 J3 <2 v14 V3 屈 v14V10 J9 = d而 1 。說明：這類

9、題目需要我們細心觀察及思考，探究其中的規(guī)律，尋找解決問題的途徑。三、易錯點例析1、對平方根、算術平方根、立方根的概念與性質理解不透理解不透平方根、算術平方根、立方根的概念與性質，往往出 現(xiàn)以下錯誤：求一個正數的平方根時， 漏掉其中一個，而求立方根 時，又多寫一個；求算術平方根時前面加上“”成了平方根等等。1例1 (1)求6一的平萬根(2)求V81的算術平萬根4錯解：（1）（6： 號 5 ； （2） 溝的算術平方根是9錯解分析：錯解（1）中混淆了平方根和算術平方根；錯解（2）中88= =9 , 881的算術平方根其實是 9的算術平方根，而 9的算術 平方根是3。正確解法：（1）（61J25之；（

10、2）.81的算術平方根是3 o例2求64與一27的立方根。錯解：64的立方根是d4, 27沒有立方根。錯解分析：64的立方根是4,只有一個，認為 64的立方根有兩個且互為相反數，是與正數的平方根相混淆；-27的立方根是-3,錯誤地認為-27沒有立方根是與負數沒有平方 根相混淆。正確解法：因為43=64 ,所以64的立方根是4。因為（3） 3= 27, 所以一27的立方根是一3。2、忽略平方根成立的條件只有非負數才能開平方，這一條件解題時往往被我們忽略。例3當m取何值時， m2有意義？錯解：不論m取何值時，m m2都無意義。錯解分析：考慮不全，漏掉了 m=0時的情況。正確解法：當 m=0時，一m

11、2=0,此時m m2有意義。3、實數分類時只看表面形式對實數進行分類不能只看表面形式，應先化簡，再根據結果去判斷。例 4 下列各數一 2、一、3.14159、一 V9、q 5、( 一 >/7 )、V8中無理數有.錯解：無理數有 一、一J9、3T5> ( J7)2、3/8。 3錯解分析：這種錯誤認為帶根號的數都是無理數。其實能化簡的應先化簡，而二-3, ( J7) 2=7, 3/8=2,所以它們是有 理數。正確解法：無理數有 一、3/5o 34、運算錯誤在進行實數的運算時要注意運算法則與公式的正確應用，千萬不要忽略公式的應用條件。例 5 化簡(1) 5 va V9a(2) & 9) ( 25)錯解：(1) 5 va J9a =5 Ja 3五=2 ；(2) J( 9) ( 25) = "'r9) K 25)