1、1 如圖，在四棱錐P- ABCD中，底面ABC助正方形，平面PADL平面ABCD點(diǎn)M在線段 PB上, PD/平面 MAC PA=PD, AB=4(1) 求證：M為PB的中點(diǎn)；(2) 求二面角B- PD- A的大?。弧痉治觥?1)設(shè)ACH BD=O則0為BD的中點(diǎn)，連接0M利用線面平行的性質(zhì)證 明OM/ PD再由平行線截線段成比例可得 M為PB的中點(diǎn)；(2) 取AD中點(diǎn)G,可得PGLAD,再由面面垂直的性質(zhì)可得 PGL平面ABCD貝UPGLAD，連接0G則PGL0G再證明OGLAD.以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以GD GO GP所在直線為x、y、z軸距離空間直角坐標(biāo)系，求出平面 PBD與平面PAD的一

2、個(gè)法向量，由兩法向量所成角的大小可得二面角 B- PD- A的大?。?3) 求出P的坐標(biāo)，由P與平面PBD勺法向量所成角的余弦值的絕對(duì)值可得直線MC與平面BDP所成角的正弦值.【解答】(1)證明：如圖，設(shè)ACH BD=O ABCD正方形，二O為BD的中點(diǎn)，連接OM PD/平面 MAC PD?平面 PBD 平面 PBDH 平面 AMC=OM PD/ OM則，即卩M為PB的中點(diǎn)；BD BP(2) 解：取AD中點(diǎn)G, PA=PD- PGLAD平面PADL平面 ABCD且平面PADH平面ABCD=AD PG!平面 ABCD 貝U PG!AD,連接 OG 貝U PG1OG由G是AD的中點(diǎn)，O是AC的中點(diǎn)

3、，可得 OG/ DC貝U OGLAD.以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以GD GO GP所在直線為x、y、z軸距離空間直角坐標(biāo) 系，由 PA=PD=5, AB=4 得 D (2, 0, 0), A (-2, 0, 0), P (0, 0,血)，C (2,4, 0) , B (- 2, 4, 0), M (- 1, 2,返),2設(shè)平面PBD的一個(gè)法向量為：|.,則由(忌匣二°，得|-2k+V20 in*DB=O l-4x+4y=0,取z=為得取平面PAD的一個(gè)法向量為, ,二 cos VIDF1 m I I n |=1"><1二面角B- PD- A的大小為60°(3

4、) 解：二；-，平面BDP的一個(gè)法向量為：廠1.直線 MC與平面 BDP所成角的正弦值為|cos V . > 斗 "|=|=-.I.'.【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面角與面面角的求法，訓(xùn)練了利用空間向量求空間角，屬中 檔題.2.如圖，在三棱錐 P- ABC中, PAL底面ABC / BAC=90 .點(diǎn)D, E, N分別為 棱PA PC, BC的中點(diǎn)，M是線段AD的中點(diǎn)，PA=AC=4 AB=2(I)求證：MN/平面BDE(U)求二面角C- EM- N的正弦值；(川)已知點(diǎn)H在棱PA上，且直線NH與直線BE所成角的余弦值為'，求線段AH的長(zhǎng).【分析】(I)取AB中點(diǎn)F,連接

5、MF、NF,由已知可證MF/平面BDE NF/平面BDE得到平面 MFN/平面BDE則MN/平面BDE(U)由PAL底面ABC / BAC=90 .可以A為原點(diǎn)，分別以AB AC AP所在 直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.求出平面MEN與平面CME的一個(gè)法向量， 由兩法向量所成角的余弦值得二面角 C- EM- N的余弦值，進(jìn)一步求得正弦值；(川)設(shè)AH=t,則H(0, 0, t),求出麗、豆的坐標(biāo)，結(jié)合直線NH與直線BE所成角的余弦值為|列式求得線段AH的長(zhǎng).21【解答】(I)證明：取AB中點(diǎn)F,連接MF NF, M為 AD中點(diǎn)，二 MF/ BD BD?平面 BDE MF?平面 BDE

6、二 MF/ 平面 BDE N為 BC中點(diǎn)，二 NF/ AC,又D E分別為AP PC的中點(diǎn)，二DE/ AC,則NF/ DEv DE?平面 BDE NF?平面 BDE 二 NF/ 平面 BDE又 ME NF=F平面 MFN/平面BDE則MN/平面BDE(U)解：v PA!底面 ABC / BAC=90 .以A為原點(diǎn)，分別以AB AC AP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.v PA=AC=4 AB=2 A (0 , 0 , 0), B (2 , 0 , 0), C (0 , 4 , 0), M( 0 , 0 , 1), N (1 , 2 , 0), E(0 , 2 , 2),則.一，11.

7、 一，設(shè)平面MEM勺一個(gè)法向量為；, ,由 in JIB1N -V 刁曰 由，一一，得 tin*ME=O隊(duì);甞取z=2,得諏,二.由圖可得平面CME勺一個(gè)法向量為in *n44/21:cosa 卜='i；n；rv2fxi- 21面角C- E* N的余弦值為廠'則正弦值為；(川)解：設(shè) AH=t，貝U H (0, 0, t ),宀-1，- ： ：.:.；直線NH與直線BE所成角的余弦值為；, |cos 丁，肓| = |丁 |=| 山-|=二FT "二：；解得：t= 或t= 1 .52當(dāng)H與P重合時(shí)直線NH與直線BE所成角的余弦值為丄！，此時(shí)線段AH的長(zhǎng)為21比.【點(diǎn)評(píng)】

8、本題考查直線與平面平行的判定， 考查了利用空間向量求解空間角， 考 查計(jì)算能力，是中檔題.3.如圖，幾何體是圓柱的一部分，它是由矩形 ABC(及其內(nèi)部)以AB邊所在 直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)120。得到的，G是I的中點(diǎn).(I)設(shè)P是卜上的一點(diǎn)，且 API BE,求/ CBP的大??；(U)當(dāng)AB=3 AD=2時(shí)，求二面角E-AG- C的大小.“ N0*【分析】(I)由已知利用線面垂直的判定可得 BEX平面ABP得到BE! BP,結(jié) 合/ EBC=120 求得/ CBP=30 ;(U)法一、取五的中點(diǎn)H,連接EH GH, CH,可得四邊形BEGH為菱形，取AG 中點(diǎn)M 連接EM, CM EC得到EML A

9、G CM! AG 說(shuō)明/ EMC為所求二面角的平 面角.求解三角形得二面角 E-AG- C的大小.法二、以B為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以BE, BP, BA所在直線為x , y , z軸建立空間直 角坐標(biāo)系.求出A, E, G C的坐標(biāo),進(jìn)一步求出平面 AEG與平面ACG的個(gè)法 向量，由兩法向量所成角的余弦值可得二面角 E- AG- C的大小.【解答】 解：(I)： APL BE, AB丄 BE,且 AB AP?平面 ABP ABA AP=A BE!平面ABP又BP?平面ABP BE! BP,又/ EBC=120 ,因此/ CBP=30 ;(U)解法一、取宀的中點(diǎn)H ,連接EH GH CHEBC=120

10、 ,二四邊形BECH為菱形,AE=GE=AC=GC=.取AG中點(diǎn)M連接EM CM EC,貝U EM! AG CM! AG / EMC為所求二面角的平面角.又 AM=1 EM二CM=，:二.在厶 BEC中 ,由于/ EBC=120 ,由余弦定理得：EC=22+22- 2X 2X 2X cos120° =12,二、,因此 EMC為等邊三角形,故所求的角為60°.解法二、以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以BE, BP, BA所在直線為x, y,直角坐標(biāo)系.由題意得:A (0, 0, 3), E (2, 0, 0), G (1,衍,3), C (- 1z軸建立空間，0）,u. -二，二；山，三

11、一一.,/ .in-AE=0，得,*那二0yr引）為平面AEG的一個(gè)法向量，-3z i=0內(nèi)+咼產(chǎn)0,取心，得&也2）；:為平面ACG的一個(gè)法向量,n - AG =0巧+運(yùn)北=02七皿2=0,取Z2=- 2,得怎遲呵-»m n-cos V => =、m r二面角E-AG- C的大小為60°.訓(xùn)練了線面角【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間角的求法，考查空間想象能力和思維能力, 的求法及利用空間向量求二面角的大小，是中檔題.4.如圖，在以A, B, C, D, E, F為頂點(diǎn)的五面體中，面ABEF為正方形，AF=2FD/ AFD=90，且二面角 D- AF- E與二面角C- B

12、E- F都是60(I)證明平面 ABEFL平面EFDC【分析】(I)證明AF丄平面EFDC利用平面與平面垂直的判定定理證明平面 ABEFL平面 EFDC(U)證明四邊形EFDC為等腰梯形，以E為原點(diǎn)，建立如圖所示的坐標(biāo)系，求 出平面BEC平面ABC的法向量，代入向量夾角公式可得二面角E-BC- A的余弦值.【解答】(I)證明：ABEF為正方形，二AFLEF.vZ AFD=90，二 AFL DF,v DFn EF=F, AFL平面 EFDCv AF?平面 ABEF平面ABEL平面EFDC(U)解：由 AFLDF, AFLEF，可得Z DFE為二面角D- AF- E的平面角；由ABEF為正方形，A

13、FL平面EFDCv BE! EF， BE!平面 EFDC即有CE! BE,可得Z CEF為二面角C- BE- F的平面角.可得Z DFEZ CEF=60 .v AB/ EF，AB?平面 EFDC EF?平面 EFDC AB/ 平面 EFDCv 平面 EFDn 平面 ABCD=C,DAB?平面 ABCD AB/ CD CD/ EF,四邊形EFDC為等腰梯形.以E為原點(diǎn)，建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè) FD=a則 E（ 0，0，0），B（ 0，2a，0），CC，0, a），A（ 2a，2a，0）， 2 2EB = （0，2a，0），DC =（空，- 2a,返a），AB = （- 2a，0，0）2 2設(shè)平

14、面BEC的法向量為 =（xi, yi,zi），L m*BC=0ff *設(shè)平面ABC的法向量為：=（X2, y2, Z2）,貝h 丁弓一°Ln'AB=0設(shè)二面角E- BC- A的大小為B,則cos 9 =-/I m I* I n | =-4_ 2負(fù)二化1-，【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面與平面垂直的證明， 考查用空間向量求平面間的夾角， 建 立空間坐標(biāo)系將二面角問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量夾角問(wèn)題是解答的關(guān)鍵.5如圖，菱形 ABCD勺對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O, AB=5 AC=6點(diǎn)E, F分別 在 AD CD上, AE=CF= , EF交于 BD于點(diǎn) H, # DEF沿 EF折至D' EF的位

15、置，OD =血(I)證明：D' H丄平面ABCD(U)求二面角B- D A- C的正弦值.【分析】(I)由底面ABCD為菱形，可得AD=CD結(jié)合AE=CF可得 EF/ AC再由 ABCD是菱形，得 AC丄BD 進(jìn)一步得到 EF丄BD由EF丄DH可得EF丄D' H,然 后求解直角三角形得D' H丄OH再由線面垂直的判定得 D' H丄平面ABCD(n)以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，由已知求得所用點(diǎn)的坐標(biāo)，得到僉礦、正的坐標(biāo)，分別求出平面 ABD與平面AD C的一個(gè)法向量：,，設(shè)二面角二面角 B- D' A- C的平面角為B，求出|cos 9 |

16、 .則二面 角B- D' A- C的正弦值可求.【解答】(I)證明：ABCD1菱形, AD=DC 又 AE=CF=，丄三，貝U EF/ AC,又由ABCD是菱形，得 ACL BD貝U EF丄BD EF丄 DH 貝U EF丄 D' H, AC=6 AO=3又 AB=5 ACL OB OB=4二 OH坦叩D=1，貝U DH=D H=3 AD|OD' |2=|OH|2+|D' H|2，貝u d' H±OH又 OFT EF=H D H丄平面ABCD(n)解：以h為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系, AB=5 AC=6 B (5 , 0, 0), C

17、 (1, 3, 0), D (0, 0, 3), A (1, 3, 0),廠.一.:1.-:,'，,設(shè)平面ABD的一個(gè)法向量為yf “,ni AB二°由，上.，得丿nAD' =0z=5.4x+3y=0，取 x=3，得 y= 4,p+3y+3滬 0同理可求得平面AD C的一個(gè)法向量門(mén)?二(3, 0, 1),設(shè)二面角二面角B- D A- C的平面角為B, 則-1=已十【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面垂直的判定，考查了二面角的平面角的求法，訓(xùn)練了利用 平面的法向量求解二面角問(wèn)題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題.6 .在三棱柱 ABC A1B1C中，CA=CB側(cè)面ABBA1是邊長(zhǎng)為2的

18、正方形，點(diǎn)E, F 分別在線段 AA、AiBi上，且 AE= , AF=； , CELEF.24(I)證明：平面ABBAi丄平面ABC(U)若CALCB求直線AC與平面CEF所成角的正弦值.【分析】(I )取AB的中點(diǎn)D,連結(jié)CD DF, DE計(jì)算DE EF, DF,利用勾股定 理的逆定理得出 DEL EF,由三線合一得 CDLAB,故而CDL平面ABBAi，從而平 面ABBAi丄平面ABC(II )以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出 和平面CEF的法向量-I,則直 線AC與平面CEF所成角的正弦值等于|cos <1 三| .【解答】證明：(I )取AB的中點(diǎn)D,連結(jié)CD DF, DE

19、AC=BC D是 AB的中點(diǎn)，二 CDLAB.側(cè)面ABBAi是邊長(zhǎng)為2的正方形，AE= , AiF=：.24 AE= , EF= eF+dE=dF,. DEI EF,又 CEL EF, CEH DE=E CE?平面 CDE DE?平面 CDE EF丄平面CDE又CD?平面CDE CDL EF,又CDL AB AB?平面ABBAi , EF?平面ABBAi , AB, EF為相交直線, CDL平面 ABBA,又 CD? ABC平面ABBAi丄平面ABC(II 平面ABBA丄平面ABC三棱柱ABC- ABiC是直三棱柱，二CG丄平面ABCv CAL CB AB=2 二 AC=BC=.以C為原點(diǎn),以

20、CA CB CC為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示:則 A"，0, 0),C(0，。"(。，。，心心吩“呼誓2）.砰（-邁,0, 2）, CE=皿 0,寺）,CF=（竽，乎,2）.設(shè)平面CEF的法向量為n= (x, y, z)，貝U上竺z=0Ln-CF=0，令 z=4,得-1= （-，- 9 :, 4）.2z=0V2+y晉. - =10, | i|=6", J=. sin =_ 廣.1 InllACj 18.直線A與平面CEF所成角的正弦值為二.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了面面垂直的判定，線面角的計(jì)算，空間向量的應(yīng)用，屬于中 檔題.7.如圖，在四棱錐中 P- ABCDPA

21、L平面 ABCDAD/ BC AD丄CD 且 AD=CD=，,BC=4 匚,PA=2(1) 求證：AB丄PC(2) 在線段PD上，是否存在一點(diǎn) M使得二面角M- AC- D的大小為45°，如 果存在，求BM與平面MAC所成角的正弦值，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【分析】(1)利用直角梯形的性質(zhì)求出 AB AC的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理的逆定理得出AB丄AC 由PAL平面ABCD尋出AB丄PA 故AB丄平面PAC于是AB丄PC(2)假設(shè)存在點(diǎn)M做出二面角的平面角，根據(jù)勾股定理求出 M到平面ABCD勺 距離從而確定M的位置，利用棱錐的體積求出B到平面MAC勺距離h,根據(jù)勾股 定理計(jì)算BM則£

22、;即為所求角的正弦值.BN【解答】解：(1)證明：四邊形ABCD是直角梯形，AD=CD=2匚，BC=4 二， AC=4 AB=J(bc_犧)丸 D 2=4, ABC是等腰直角三角形，即 AB丄AC, PAL平面 ABCD AB?平面 ABCD PAL AB, AB丄平面PAC，又PC?平面PAC， AB丄 PC.(2)假設(shè)存在符合條件的點(diǎn) M,過(guò)點(diǎn)M作MNLAD于 N,則MN/ PA MNL平面 ABCD： MNL AC過(guò)點(diǎn)M作MGLAC于G 連接NG貝U ACL平面MNG ACL NG即/ MGI是二面角M- AC- D的平面角.若/ MGN=4°5 ,貝U NG=MN又 AN=

23、=NG= = MN MN=1即M是線段PD的中點(diǎn).存在點(diǎn)M使得二面角M- AC- D的大小為45°.在三棱錐 M ABC中, VM-ab(= 1 SbC? MN=_ 二迖、二匕,3323設(shè)點(diǎn)B到平面MAC的距離是h,則Vb-ma=3 MG=MN， Sma= < -=：=2 二,£'乙 -=，解得 h=22.在厶 ABN中, AB=4 AN，/ BAN=135 , BN* &+2+2 X 4 x五逅, BM= : ：U【=3:， BM與平面MA(所成角的正弦值為：-二蘭匸BN 9檔題.8.如圖，在各棱長(zhǎng)均為 2的三棱柱 ABC ABC中，側(cè)面 AACC丄

24、底面ABC / AiAC=60 .(1) 求側(cè)棱AA與平面ABC所成角的正弦值的大??；(2) 已知點(diǎn)D滿足1'= .'.+'，在直線AA上是否存在點(diǎn)P, 使 DP/平面ABC?若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)P的位置，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【分析】（1）推導(dǎo)出A0丄平面ABC BOLAC,以0為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示 的空間直角坐標(biāo)系O- xyz，利用向量法能求出側(cè)棱 AA與平面ABC所成角的正 弦值.（2）假設(shè)存在點(diǎn) P符合題意，則點(diǎn) P的坐標(biāo)可設(shè)為 P （ 0, y , z），則 '二-，匚.利用向量法能求出存在點(diǎn)P,使DP/平面ABC,其坐標(biāo)為（0， 0，血），即恰好為A

25、i點(diǎn).【解答】解：（1）v側(cè)面AACCL底面ABC作AO丄AC于點(diǎn)O, AO丄平面ABC又/ ABC=/ AiAC=60，且各棱長(zhǎng)都相等， AO=1 OA=OB餌,BOLAC. （ 2 分）故以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O- xyz ,則 A （0,- 1, 0）, B （逅，0, 0）, Ai （0, 03）, C （0, 1, 0）,瓦=（0, 1,旋），瓦=（屆 b -V3）, AC= （0, 2, 0）. （ 4 分）設(shè)平面ABC的法向量為- =.,npAC=2y=0取 x=1,得=（1, 0, 1）.設(shè)側(cè)棱AA與平面ABC所成角的為B, 則 sin 9 =|cos v

26、 .，.，、i> |=|側(cè)棱AA與平面ABC所成角的正弦值為.（ 6 分）（2）： 1 =兒1割，而：；-.山，上；匚 一 - 山， BD = （-2丘,0, 0）,又t B （品山 °）, 點(diǎn) D （-苗,0, 0）.假設(shè)存在點(diǎn)P符合題意，則點(diǎn)P的坐標(biāo)可設(shè)為P( 0, y, z), 眉二礙 y, C DP/平面ABIC, ,= (- 1, 0, 1)為平面ABC的法向量，又DP?平面ABC,故存在點(diǎn)P,使DP/平面ABC,其坐標(biāo)為(0, 0,),即恰好為Ai點(diǎn).(12分)【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面角的正弦值的求法，考查滿足條件的點(diǎn)是否存在的判斷與 求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，

27、注意向量法的合理運(yùn)用.9.在三棱柱 ABC- A1B1C中，側(cè)面 ABBAi為矩形，AB=2 AA=2jE, D是AA的中 點(diǎn)，BD與 AB交于點(diǎn)O,且CQL平面ABBA .(I)證明：平面ABC丄平面BCD(U)若OC=OA ABC的重心為G,求直線GD與平面ABC所成角的正弦值.A D【分析】(I)通過(guò)證明AB丄BD, AB丄CO推出AB丄平面BCD然后證明平面ABC丄平面BCD（U）以0為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)D OB, 0C所在直線為x, y, z軸，建立如圖 所示的空間直角坐標(biāo)系 0- xyz 求出平面ABC的法向量，設(shè)直線GD與平面ABC 所成角a,利用空間向量的數(shù)量積求解直線 GD與

28、平面ABC所成角的正弦值即可.【解答】（本小題滿分12分）解：（I）： ABBA.為矩形，AB=2 .-, D 是 AA 的中點(diǎn)，二/ BAD=90 ,-1_，|丨-， 一 一，.'.ij從而 . |11 二:二 ，t J -一7-，；-一。_'_】-.， / ABD2 ABB,（2 分）訃". -訃W廠工，.汕廠一，從而AB丄BD（4 分）：C0L平面 ABBA, AB?平面 ABBA,二 AB丄CO : BDA C0=0 - AB丄平面 BCD/ AB?平面 ABC,平面ABC丄平面BCE>-（ 6分）（U）如圖，以0為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以0D 0B, 0C所在

29、直線為x, y, z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 0- xyz .在矩形ABBA1中，由于 AD/ BB,所以 A0DfA B.0B相似， 從而：0A OD AD 占又二:-，二 "|訂；-2 ,丨，丄 A（0,0）r0, 0）:I' 、： G ABC 的重心，二 （8 分）43C（0, 0,竽），B （O,竽，小羋r，-?面 ABC 的法 向 量 為 . ',耳二（等.竽，0）,疋（0,警，竽）,t n - AC =0由匹號(hào)?？傻?y+z=O令 y=1,則 z=- 1,，所以 *匚手.,( 10 分)設(shè)直線 GD 與平面 ABC 所成角 a , 則W6565所以

30、直線GD與平面ABC所成角的正弦值為-( 12分)川D 4【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面與平面垂直的判定定理的應(yīng)用， 直線與平面所成角的求法， 考查空間想象能力以及計(jì)算能力.10在矩形ABCDKAB=4： ,AD=2：，將 ABD沿BD折起，使得點(diǎn)A折起至A , 設(shè)二面角A'- BD- C的大小為B.(1) 當(dāng)B =90°時(shí)，求A C的長(zhǎng)；(2) 當(dāng)cos 9 =時(shí)，求BC與平面A BD所成角的正弦值.【分析】（1）過(guò)A作BD的垂線交BD于E,交DC于F,連接CE利用勾股定理 及余弦定理計(jì)算 AE CE由A E丄CE得出A C;（2）利用余弦定理可得 A F二=，從而得出A F丄平面A

31、BCD以F為原點(diǎn)建 立坐標(biāo)系，求出I】和平面A BD的法向量則BC與平面A BD所成角的正弦 值為|cos v ：.,>| .【解答】解：（1）在圖1中，過(guò)A作BD的垂線交BD于 E,交DC于 F,連接CET AB=4 ", AD=2BD= | - *=10.cos / cbe= = t在 BCE中，由余弦定理得CE=|=2 - ；.V0 =90°,二 A E 丄平面 ABCD： A E 丄 CE |A ' C|=| ：上 一=2 一.(2) de=2 tan / FDE='''(-乙 2 T , 1).當(dāng)-H 即 cos/ A EF時(shí)

32、，二s II j . A U=A' F+eF,：/ A'FE=90°又 BDL AE BDL EF,： BDL平面 A'EF,： BDLA'F A'F丄平面ABCD以F為原點(diǎn)，以FC為x軸，以過(guò)F的AD的平行線為y軸，以FA'為z軸建立 空間直角坐標(biāo)系如圖所示： A（ 0, 0,屆）,D （_苗,0, 0）, B （3 屈,2 的,0）, C （3 屈,0, 0）. 1= （0, 2 , 0）, J；.= （4 匸，2 三，0）,=（二，0, .?。?t npDA; =0設(shè)平面A BD的法向量為n= （x, y, z）,貝叭“ &quo

33、t;一° ,二C0S V，盼需箒啜焉哼. BC與平面A'BD所成角的正弦值為二.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間角與空間距離的計(jì)算，空間向量的應(yīng)用，屬于中檔題.11.如圖，由直三棱柱 ABC- A1B1C1和四棱錐 D-BBCC構(gòu)成的幾何體中,BAC=90 , AB=1, BC=BE=2, GD=CD施，平面 CGD丄平面 ACCAi.(I)求證：AC丄DG;(U)若M為DC的中點(diǎn)，求證：AM/平面DBB;(川)在線段BC上是否存在點(diǎn)P,使直線DP與平面BBD所成的角為？若存ACL DC.0(U)易得/ BAC=90，建立空間直角坐標(biāo)系 A- xyz，1),依據(jù)已知條件可得A(0，0，

34、0)，沁岳 °)，S価，0)，B (0，0Bi (2, 0, 1), D(75 2),利用向量求得AM與平面DBB所成角為0,即AM/平面DBB.（川）利用向量求解【解答】解：（I）證明：在直三棱柱ABC- ABC中，CG丄平面ABC故Ad CC,由平面CCD丄平面ACCA1，且平面CCDG平面ACGA=CC,所以AC丄平面CGD,又CiD?平面CCD,所以AC丄DC.（U）證明：在直三棱柱 ABC- A1B1C1中，AA丄平面ABC所以AA丄AB, AA丄AC又/ BAC=90，所以，如圖建立空間直角坐標(biāo)系 A- xyz ,依據(jù)已知條件可得A（0, 0, 0）,二如曲。，打., B

35、（0, 0, 1）,Bi （2, 0, 1）, D（l,五 2）,所以'山，八-兀:.I /設(shè)平面DBB的法向量為.2x=0由*n-BBi=0r 一 即LnwBD-0令 y=1，則二.：，x=0,于是,因?yàn)镸為DC中點(diǎn)，所以 點(diǎn):,所以】，由1 丫 I 1，_ I I,可得乩'，所以AM與平面DBB所成角為0,即AM/平面DBB.（川）解：由（U）可知平面 BBD的法向量為p, T 門(mén)】設(shè) 丁- '，入 0 , 1,若直線 DP 與平面 DBB 成角 為二， 則- -'-：，I n | | DP | 吋4 入 J 入 +52解得故不存在這樣的點(diǎn).D【點(diǎn)評(píng)】本題考

36、查了空間線線垂直、線面平行的判定，向量法求二面角屬于中 檔題12.如圖，在多面體 ABCDE中，底面 ABCD為正方形，平面 AEDL平面 ABCDAB噸EASED EF/ BD(I )證明：AE丄CD(II )在棱ED上是否存在點(diǎn)M使得直線AM與平面EFBD所成角的正弦值為鼻？若存在，確定點(diǎn)M的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.EB【分析】(I )利用面面垂直的性質(zhì)得出 CDL平面AED故而AE1 CD(II )取AD的中點(diǎn)0,連接EQ以0為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，設(shè) 善，求出平面BDEF的法向量、令|cos V. ： |> | ，根據(jù)方程的解得出結(jié)論.【解答】(I )證明：四邊形ABCD是正方形，

37、二CDLAD又平面AEDL平面 ABCD平面 AED?平面 ABCD=ADCt?平面ABCD CDL平面 AED T AE?平面 AED AE1 CD(II )解：取AD的中點(diǎn)0,過(guò)0作ON/ AB交BC于N,連接EQ EA=ED-OELAD 又平面 AEDL平面 ABCD 平面 AEDA 平面 ABCD=A，OE?平 面AED OEL平面 ABCD以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系 O- xyz，如圖所示：設(shè)正方形ACM邊長(zhǎng)為2, 一-.ED則 A (1, 0 , 0), B (1 , 2 , 0), D (- 1 , 0 , 0) , E (0 , 0 , 1), M (-入，0 , 1-入)

38、'=(-入-1 , 0 , 1 -入)，三=(1 , 0 , 1), 1.= (2 , 2 , 0),則任迺二0Ln-DE=O設(shè)平面BDEF勺法向量為;,=(x , y , z),1, -1),即 px+2y=0 ,令 x=1 得;=(1 , Lx+z=OCOSV ,令I(lǐng)I-，解得入=0,人十2當(dāng)M與點(diǎn)E重合時(shí),直線AM與平面EFBD所成角的正弦值為羋.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線面垂直的判定，空間向量與線面角的計(jì)算，屬于中檔題.13.如圖,在四棱錐 P ABCD中 , / ABC玄 ACD=90 , / BACM CAD=60 , PA 丄平面 ABCD PA=2 AB=1.(1) 設(shè)點(diǎn)E為

39、PD的中點(diǎn),求證：CE/平面PAB(2) 線段PD上是否存在一點(diǎn)N ,使得直線CN與平面PAC所成的角B的正弦值為二？若存在，試確定點(diǎn)N的位置，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.52 ' 2-3, 0），設(shè)平面PAC的法向量為i= （x，y，z），|cos V， H【分析】（1）取AD中點(diǎn)M利用三角形的中位線證明 EM/平面PAB利用同位 角相等證明 MC AB,得到平面EMQ平面PAB證得EC/平面PAB（2）建立坐標(biāo)系，求出平面PAC的法向量，利用直線CN與平面PAC所成的角B 的正弦值為匚，可得結(jié)論.5【解答】（1）證明：取AD中點(diǎn)M 連EM CM則EMI PA EM?平面 PAB PA?平

40、面 PAB EM/ 平面 PAB在 Rt ACD中, Z CAD=60，AC=AM=2 二/ ACM=60 .而/ BAC=60，二 MC/ AB. MC 平面 PAB AB?平面 PAB 二 MC/ 平面 PAB EM? MC=M 二平面 EMC 平面 PAB EC?平面 EMC： EC/平面 PAB（2）解：過(guò)A作AF丄AD交BC于F,建立如圖所示的坐標(biāo)系，則 A （0，0，0），B （進(jìn)，吉，0），CZ3 1, 0），D （0，4, 0），P （0，0，2）， N為PD的中點(diǎn)，使得直線CN與平面PAC所成的角B的正弦值為 I 5【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面平行的判定，考查線面角，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué) 生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題.14.如圖，四棱錐 P-ABCD勺底面ABCD為平行四邊形，平面 PABL平面ABCDPB=PC/ ABC=45，點(diǎn)E是線段PA上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn).(I)求證：AB丄PC；(n)若厶PAB是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，求直線DE與平面PBC所成角的正弦 值.【分析】(I)作POLAB于0,連接0C可