1、實用標準文案平行四邊形的性質及判定（典型例題）1平行四邊形及其性質例 1 如圖，O 是ABCD 對角線的交點 OBC 的周長為 59，BD=38 ，AC=24 ，則 AD=_ 若 OBC 與 OAB 的周長之差為15，則 AB=ABCD 的周長 =_.分析：AC，可得 BC，再由平行四邊形對邊相等知AD=BC ，由平行四邊形的對角線互相平分 ，可知 OBC 與 OAB 的周長之差就為BC與 AB 之差，可得 AB，進而可得ABCD 的周長對角線互相平分 ) OBC 的周長 =OB OC EC精彩文檔實用標準文案=19 12 BC=59 BC=28ABCD 中， BC=AD( 平行四邊形對邊相等

2、 ) AD=28 OBC 的周長 -OAB 的周長=(OB OC BC)-(OB OA+AB)=BC-AB=15 AB=13 ABCD 的周長=AB BCCD AD=2(AB BC)=2(13 28)=82說明：本題條件中的 “OBC 占 OAB 的周長之差為15”，用符精彩文檔實用標準文案號語言表示出來后，便容易發(fā)現(xiàn)其實質，即BC 與 AB 之差是 15例2 判斷題(1) 兩條對邊平行的四邊形叫做平行四邊形()(2) 平行四邊形的兩角相等()(3) 平行四邊形的兩條對角線相等()(4) 平行四邊形的兩條對角線互相平分()(5) 兩條平行線中，一條直線上任一點到另一條直線的垂線段叫做兩條平行線

3、的距離 ()(6) 平行四邊形的鄰角互補()分析：根據(jù)平行四邊形的定義和性質判斷解：(1) 錯“兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形”是兩組對邊，而不是兩條對邊如圖四邊形ABCD ，兩條對邊 ADBC顯然四邊形精彩文檔實用標準文案ABCD 不是平行四邊形(2) 錯平行四邊形的性定理1，“平行四邊形的對角相等”對角是指四邊形中設有公共邊的兩個角，也就是相對的兩個角(3) 錯平行四邊形的性質定理3，“平行四邊形的對角線互相平分”一般地不相等 (矩形的兩條對角線相等)(4) 對根據(jù)平行四邊形的性質定理3 可判斷是正確的(5) 錯線段圖形，而距離是指線段的長度，是正值正確的說法是：兩條平行線中，一條

4、直線上任一點到另一條直線的垂線段的長度叫做這兩條平行線的距離(6) 對由定義知道，平行四邊形的對邊平行，根據(jù)平行線的性質可知平行四邊形的鄰角互補精彩文檔實用標準文案例 3 如圖 1，在 ABCD 中，E、F 是 AC 上的兩點且 AE=CF求證： EDBF分析：欲址 DEBF，只需 DEC= AFB, 轉證 =ABF CDF,因ABCD，則有 ABCD，從而有 BAC= CDA再由 AF=CF得 AF=CE 滿足了三角形全等的條件證明： AE=CFAE+EF=CF+EF AF=CE在ABCD 中AB CD( 平行四邊形的對邊平行 ) BAC= DCA( 兩直線平行內錯角相等 )精彩文檔實用標準

5、文案AB=CD( 平行四邊形的對邊也相等) ABF CDE(SAS) AFB= DCE EDBF( 內錯角相等兩直線平行 )說明：解決平行四邊形問題的基本思想是化為三角形問題不處理例 4 如圖已知在 ABC 中 DE BCFG，若 BD=AF 、求證；DE FG=BC 分析 1：要證 DEFG=DC 由于它們是平行線，由平行四邊形定義和性質考慮將 DE 平移列 BC 上為此，過 E(或 D)作 EHAB( 或 DM AC)，得到 DE=BH、只需證 HC=FG，因 AF=BD=EH ，CEH= A. AGF C 所以 AFG EHC 此方法稱為截長法分析 2：過 C 點作 CK AB 交 DE

6、 的延長線于 K，只需證精彩文檔實用標準文案FG=EK ，轉證 AFG CKE 證法 1：過E作EHAB交于H DEBC四邊形 DBHE 是平行四邊形 (平行四邊形定義 ) DB=EHDE=BH( 平行四邊形對邊也相等 )又 BD=AF AF=EH BCFG AGF= C(兩直線平行同位角相等 )同理 A=CEH AFG EHC(AAS)精彩文檔實用標準文案 FG=HC BC=BH+HC=DE=FG即 CE+FG=BD證法 2：. 過 C 作 CKAB 交 DE 的延長線于 K. DEBC四邊形 DBCK 是平行四邊形 (平行四邊形定義 ) CK=BD DK=BC(平行四邊形對邊相等 )又 B

7、D=AF AF=CK CKAB A=ECK( 兩直線平行內錯角相等)精彩文檔實用標準文案 BCFG AGF= AED( 兩直線平行同位角相等 )又 CEK= AED( 對頂角相等 ) AGF= CEK AFG CKE(AAS)FG=EKDE+EK=BC DE+FG=BC例 5 如圖ABCD 中， ABC=3 A，點 E 在 CD 上,CE=1 ，EF CD 交 CB 延長線于 F，若 AD=1 ，求 BF 的長分析： 根據(jù)平行四邊形對角相等 ，鄰角互補，可得 C=F=45° 進而由勾股定理求出 CF，再根據(jù)平行四邊形對邊相等 ，得 BF 的長精彩文檔實用標準文案解： 在ABCD 中，

8、 ADBC A ABC=180° (兩直線平行同旁內角互補) ABC=3 A A=45°， ABC=135° C=A=45°(平行四邊形的對角相等 ) EFCD F=45°(直角三角形兩銳角互余 ) EF=CE=1 AD=BC=1例 6 如圖 1， ABCD 中，對角線 AC 長為 10cm，CAB=30°，AB 長為 6cm ，求ABCD 的面積精彩文檔實用標準文案解： 過點 C 作 CHAB，交 AB 的延長線于點 H (圖 2) CAB=30° SABCD AB·CH6×5=30(cm2)答：ABC

9、D 的面積為 30cm2 說明： 由于 =底×高，題設中已知 AB 的長，須求出與底 AB 相應的高，由于本題條件的制約，不便于求出過點 D 的高，故選擇過點 C 作高例 7 如圖， E、F 分別在ABCD 的邊 CD、BC 上，且 EFBD精彩文檔實用標準文案求證： SACE=S ABF分析： 運用平行四形的性質，利用三角形全等，將其轉化為等底同高的三角形證明：將 EF 向兩邊延長分別交AD、AB 的延長線于 G、H.ABCD DE AB DEG= BHF( 兩直線平行同位角相等 ) GDE= DAB( 同上 )AD BC DAB= FBH( 同上 ) GDE= FBH DEBH

10、，DBEH四邊形 BHED 是平行四邊形 DE=BH( 平行四邊形對邊相等 )精彩文檔實用標準文案 GDE FBH(ASA) SGDE=S FBH( 全等三角形面積相等 ) GE=FH( 全等三角形對應邊相等 ) SACE=S AFH( 等底同高的三角形面積相等 ) SADE SABF說明：平行四邊形的面積等于它的底和高的積即 S=a·haa 可以是平行四邊形的任何一邊，h 必須是 a 邊與其對邊的距離即對應的高，為了區(qū)別，可以把高記成 ha，表明它所對應的底是a例 8 如圖，在ABCD 中， BE 平分 B 交 CD 于點 E，DF平分 D 交 AB 于點 F，求證 BF=DE 精

11、彩文檔實用標準文案證明：四邊形 ABCD 是平行四邊形 DE FB ， ABC= ADC( 平行四邊形的對邊也平行對角相等) 1=3(兩直線平行內錯角相等 ) 1=2 2=3 DFBE( 同位角相等兩條直線平行)四邊形 BEDF 為平行四邊形 (平行四邊形定義 ) BF=DE (平行四邊形的對邊相等 )精彩文檔實用標準文案說明： 此例也可通過 ADF CBE 來證明，但不如上面的方法簡捷例 9 如圖， CD 的 Rt ABC 斜邊 AB 上的高， AE 平分 BAC交 CD 于 E，EFAB，交 BC 于點 F，求證 CE=BF 分析 作 EG BC，交 AB 于 G，易得 EG=BF 再由基

12、本圖，可得 EG=EC ，從而得出結論證明：過E點作EGBC交AB于G點 EGA= B精彩文檔實用標準文案 EFAB EG=BF CD 為 RtABC 斜邊 AB 上的高 BAC B=90° BAC ACD 90° B=ACD ACD= EGA AE 平分 BAC 1=2又 AE=AE AGE ACE(AAS) CE=EG CE=BF 說明：(1) 在上述證法中， “平移 ”起著把條件集中的作用 (2) 本題也可以設法平移 AE(連 F 點作 FG AE，交 AB 于 G)精彩文檔實用標準文案例 10 如圖，已知ABCD 的周長為 32cm ，ABBC=5 3，AE BC

13、于 E，AFDC 于 F， EAF=2 C，求 AE 和 AF 的長分析：從化簡條件開始由 ABCD 的周長及兩鄰邊的比 ，不難得到平行四邊形的邊長 EAF=2 C 告訴我們什么？這樣，立即可以看出 ADF 、 AEB 都是有一個銳角為 30°的直角三角形精彩文檔實用標準文案再由勾股定理求出解：ABCD 的周長為 32cm即 AB+BC+CD+DA=32 AB=CD BC=DA( 平行四邊形的對邊相等 )又 ABBC=5 3 EAF+ AFC+ C+CEA=360° (四邊形內角和等于 360°) AEBC AEC=90°AFDC EAF+ C=180&

14、#176; EAF=2 C C=60°精彩文檔實用標準文案 ABCD( 平行四邊形的對邊平行 ) ABE= C=60°(兩直線平行同位角相等 )同理 ADF=60°說明： 化簡條件，化簡結論，總之，題目中哪一部分最復雜就從化簡那一部分開始，這是一種常用的解題策略，我們把這種解題策略稱為：從最復雜的地方開始它雖簡單，卻很有效2平行四邊形的判定例1 填空題(1) 如圖 1，四邊形 ABCD 與四邊形 BEFC 都是平行四邊形，則精彩文檔實用標準文案四邊形 AEFD 是_，理由是 _(2) 如圖 2，D、E 分別在 ABC 的邊 AB、AC 上， DE=EF ， AE=

15、EC ，DEBC 則四邊形 ADCF 是_，理由是 _，四邊形 BCFD是_，理由是 _分析：判定一個四邊形是平行四邊形的方法較多，要從已知條件出發(fā)，具體問題具體分析：(1)根據(jù)平行四邊形的性質可得AD 平行且等于 BC，BC 平行且等于 EF ，從而得 AD 平行且等于 EF，由判定定理 4 可得 (2) 由 AE=EC ，DE=EF ，由判定定理 3 可得四邊形 ADCF 是平行四邊形，從而得 AD CF 即 BDCF，再由條件，可得四邊形 BCFD 是平行四邊形解： (1) 平行四邊形，一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形(2) 平行四邊形，對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，平行四邊

16、形，兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形精彩文檔實用標準文案說明： 平行四邊形的定義 (兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形，既是平行四邊形的一個性質，又是平行四邊形的一個判定方法例 2 如圖，四邊形 ABCD 中，AB=CD ADB= CBD=90° 求證：四邊形 ABCD 是平行四邊形分析：判定一個四邊形是平行四邊形，有三類五個判定方法，這三類也是按邊、角和對角線分類，具體的五個方法如下表：因此必須根據(jù)已知條件與圖形結構特點，選擇判定方法證法一： AB=CD ADB= CBD=90° ，BD=DB 精彩文檔實用標準文案 RtABD RtCDB ABD= CDB ， A

17、= C ABD+ CBD= CDB+ ADB即 ABC= CDA 四邊形 ABCD 是平行四邊形 (兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形 )證法二： ADB= CBD=90° ，AB=CD 、BD=DB RtABD RtCDB ABD= CDB ABCD (內錯角相等兩直線平行 )四邊形 ABCD 是平行四邊形 (一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形 )證法三：由證法一知， RtABD RtCDB 精彩文檔實用標準文案 DA=BC又 AB=CD四邊形 ABCD 是平行四邊形 (兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形 )說明： 證明一個四邊形是平行四邊形，往往有多種證題思路，我們必須注

18、意分析，通過比較，選擇最簡捷的證題思路本題三種證法中，證法二與證法三比較簡捷，本題還可用定義來證明例 3 如圖， ABCD 中，E、G、F、H 分別是四條邊上的點，且 AE=CF ，BG=DH ，求證： EF 與 GH 互相平分分析：只須證明 EGFH 為平行四邊形精彩文檔實用標準文案證明：連結 EG、GF、FH 、HE四邊形 ABCD 是平行四邊形 A=C，AD=CB BG=DH AH=CG又 AE=CF AEH CFG(SAS) HE=GF同理可得EG=FH四邊形 EGFH 是平行四邊形 (兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形 ) EF 與 GH 互相平分 (平行四邊形的對角線互相平分)說

19、明：平行四邊形的性質，判定的綜合運用是解決有關線段和角問題基本方法精彩文檔實用標準文案例 4 如圖，ABCD 中， AEBD 于 E，CFBD 于 F求證：四邊形 AECF 是平行四邊形分析：由平行四邊形的性質，可得ABE CDF AE= CF進而可得四邊形AECF 是平行四邊形證明：ABCD 中， ABCD(平行四邊形的對邊平行，對邊相等) ABD= CDB( 兩直線平行內錯角相等 )AE BD、CFBD AECFAEB= CFD=90° ABE CDF(AAS) AE=CF四邊形 AECF 是平行四邊形 (一組對邊平行且相等的四邊形是精彩文檔實用標準文案平行四邊形 )說明：平行四

20、邊形的定義，既是平行四邊形的一個性質，又是平行四邊形的一個判定方法例 5 如圖， ABCD 中，E、F 分別在 AD、BC 上，且 AE=CF ，AF、BE 相交于 G，CE 、DF 相交于 H求證： EF 與 GH 互相平分分析： 欲證 EF 與 GH 互相平分，只需四邊形 EGFH 為平行四邊形，利用已知條件可知四邊形 AFCE 、四邊形 EBFD 都為平行四邊形，所以可得 AF EC ，BEDF，從而四邊形 GEHF 為平行四邊形證明：ABCD 中， ADBC( 平行四邊形對邊平行且相等) AE=CF DE=BF四邊形 AFCE 、四邊形 BFDE 是平行四邊形 (一組對邊平行且精彩文檔

21、實用標準文案相等的四邊形是平形四邊形) AFCE ，BEDF(平行四邊形對邊平行 )四邊形 EGFH 是平行四邊形 (兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形 ) GH 與 EF 互相平分 (平行四邊形的對角線互相平分)說明：平行四邊形問題，并不都是以求證某一個四邊形為平行四邊形的形式出現(xiàn)的往往更多的是求證線段的相等、角的相等、直線的平行、線段的互相平分等等要靈活地根據(jù)題中已知條件，以及定義、定理等先判定某一四邊形為平行四邊形，然后再應用平行四邊形的性質加以證明例 6 如圖，已知ABCD 中，EF 在 BD 上，且 BE=DF，點 G、H 在 AD、CB 上，且有 AG=CH ，GH 與 BD 交

22、于點 O，求證 EGHF精彩文檔實用標準文案分析：證 EF 、GH 互相平分GEHF 為平行四邊形證明：連 BG、DH、 GF、EH ABCD 為平行四邊形 AD BC又 AG=HC DG BH四邊形 BGDH 為平行四邊形(一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形) HOGO ，DO=BO( 平行四邊形的對角線互相平分)又 BE=DF OE=OF四邊形 GEHF 為平行四邊形 (對角線互相平分的四邊形是平行精彩文檔實用標準文案四邊形 ) EGHF(平行四邊形的對邊平行相等)說明： 由于條件 BE=DF 涉及到對角線 BD，所以考慮用對角線互相平分來證明例 7 如圖，ABCD 中， AEBD 于 E，CFBD 于 F，G、H 分別為 AD、BC 的中點，求證： EF 和 GH 互相平分分析： 連結 EH，HF、FG、GE，只須證明 EHFG 為平行四邊形證法一：連結 EH，HF、FG、GE精彩文檔實用標準文案 AEBD ，G 是 AD 中點 GED= GDE同理可得四邊形 ABCD 是平行四邊形 AD BC， GDE= HBF GE=HF ， GED= HFB GEHF四邊形 GEHF 為平行四邊形 (一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形 ) EF 和 GH 互相平分 (平行四邊