1、1.1.1 集合及其表示方法【知識導(dǎo)學(xué)】知識點一集合與元素的定義(1)集合：把一些能夠確定的、不同的對象匯集在一起，就說由這些對象組成一個集 合(有時簡稱為集).(2)元素：組成集合的每個對象都是這個集合的元素.(3)表示：通常用英文大寫字母 A, B, C,表示集合，用英文小寫字母 a, b, c, 表示集合中的元素.知識點二元素與集合的關(guān)系(1) “屬于"：如果a是集合A的元素，就記作 ,讀作“a屬于A” .(2) “不屬于"：如果a不是集合A的元素，就記作,讀作“a不屬于A” . 知識點三空集一般地，我們把不含任何元素的集合稱為 ,記作.知識點四 集合中元素的三個特性

2、(1)；(2)；(3) .知識點五集合的分類(1；(2).知識點六幾個常用數(shù)集的固定字母表示名稱非負整數(shù)集(自然數(shù)集)正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集符號知識點七集合的表示方法集合常見的表示方法有： 、(以及后面將要 學(xué)習(xí)的維恩圖法和數(shù)軸表示法等直觀表示方法 ).(1)列舉法：把集合中的元素 出來(相鄰元素之間用逗號分隔)，并寫在內(nèi)，以此來表示集合的方法稱為列舉法.使用列舉法表示集合時需注意的幾點元素之間用”隔開；元素不重復(fù)，滿足元素的互異性；元素?zé)o順序，滿足元素的無序性；對于含較多元素的集合，如果構(gòu)成該集合的元素有明顯規(guī)律，可用列舉法，但是必須把元素間的規(guī)律表述清楚后才能用省略號.(2)描述法：

3、如果屬于集合A的任意一個元素x都具有性質(zhì)p(x),而不屬于集合A的 元素都不具有這個性質(zhì)，則性質(zhì) p(x)稱為集合A的一個.此時，集合A可以用它 的特征性質(zhì)p(x)表示為.這種表示集合的方法，稱為特征性質(zhì)描述法，簡稱為 描述法.知識點八區(qū)間實數(shù)集R可以用區(qū)間表示為, “8”讀作“無窮大”，“一8”讀作“負無窮大”，“ + 00”讀作“正無窮大”.我們可以把滿足x>a, x>a, x<b, x<b的實數(shù) x的集合分別表示為定義區(qū)間數(shù)軸表示z| 一8<#<+8( X |n|hV5可以看出，區(qū)間實質(zhì)上是一類特殊 (即由數(shù)軸某一段上所有點對應(yīng)的實數(shù)組成的 集合)的符

4、號表示；例如，大于1且小于10的所有自然數(shù)組成的集合就不能用區(qū)間(1,10)表示.【評價自測】1 .判一判(正確的打，錯誤的打“x”)(1)某校高一年級16歲以下的學(xué)生能構(gòu)成集合.()(2)已知A是一個確定的集合，a是任一元素，要么aCA,要么a?A,二者必居其 且只居其一.()(3)對于數(shù)集 A=1,2, x2,若 xCA,則 x= 0.()對于區(qū)間2a, a+ 1,必有a<0.()集合y|y = x2, x R與s|s= t2, tC R的元素完全相同.()合.答案，X X (5)，2 .做一做(1)下列所給的對象能組成集合的是()A. “金磚國家”成員國B .接近1的數(shù)C.著名的科

5、學(xué)家D.漂亮的鮮花用適當?shù)姆?C, ?)填空.0?, 00,0 N,-2 N*, ："Z, 2 Q,冗 R.不等式2x1 >3的解集可以用區(qū)間表示為 .答案 (1)A (2)? C ? ? ? e (3)2, +8)【核心素養(yǎng)】題型一集合概念的理解例1下列所給的對象能構(gòu)成集合的是.所有的正三角形；高一數(shù)學(xué)必修第一冊課本上的所有難題；比較接近1的正數(shù)全體；某校高一年級的全體女生；平面直角坐標系內(nèi)到原點的距離等于 1的點的集合；參加2019年世乒賽的年輕運動員；a, b, a, c.解析能構(gòu)成集合.其中的元素需滿足三條邊相等.不能構(gòu)成集合.因“難題”的標準是模糊的，不確定的，故不

6、能構(gòu)成集合.不能構(gòu)成集合.因“比較接近1”的標準不明確，所以元素不確定，故不能構(gòu)成集11能構(gòu)成集合.其中的元素是“高一年級的全體女生能構(gòu)成集合.其中的元素是到坐標原點的距離等于1的點解析(1)，冗是實數(shù)，3是無理數(shù)，.正確； N*表示正整數(shù)集，而0不是正不能構(gòu)成集合.因為“年輕”的標準是模糊的，不確定的，故不能構(gòu)成集合.不能構(gòu)成集合.因為兩個a是重復(fù)的，不符合集合元素的互異性.答案【金版點睛】判斷一組對象能否構(gòu)成集合的方法(1)關(guān)鍵：看是否給出一個明確的標準，使得對于任何一個對象能按此標準確定它是 不是給定集合的元素.(2)切入點：解答此類問題的切入點是集合元素的特性，即確定性、互異性和無序性

7、.【跟蹤訓(xùn)練11判斷下列說法是否正確？并說明理由.(1)大于3的所有自然數(shù)組成一個集合；(2)未來世界的高科技產(chǎn)品構(gòu)成一個集合；3 1(3)1,0.5, 2 2組成的集合含有四個兀素；(4)出席2019年全國兩會的所有參會代表組成一個集合.解(1)中的對象是確定的，互異的，所以可構(gòu)成一個集合，故正確.(2)中的“高科技”標準是不確定的，所以不能構(gòu)成集合，故錯誤.1，一八(3)中由于0.5= 2不符合集合中元素的互異性，故錯誤.(4)中的對象是確定的，所以可以構(gòu)成一個集合，故正確 .題型二元素與集合關(guān)系的判斷與應(yīng)用例2 (1)下列所給關(guān)系正確的個數(shù)是()/ R；>/3?Q;0CN*;| 4

8、|?N*.A. 1B. 2 C. 3 D. 46(2)集合A中的兀素x滿足一e N, xC N,則集合A中的兀素為.6 x整數(shù)，故不正確；又|4|=4是正整數(shù)，故不正確，正確的共有 2個. N, x N,6x>0,x> 0,6-x>0, x> 0, .00x<6, 7=0,1,2,3,4,5.當x分別為0,345時，汽相應(yīng)的值分別為1，2,3,6,也是自然數(shù)，故填0，3,4，5.答案(1)B (2)0,3,4,5【金版點睛】1.常用數(shù)集之間的關(guān)系有理 實數(shù)數(shù)集<集R Q戴魁律,自然數(shù)集、 整數(shù)集負整數(shù)集分數(shù)集正整數(shù)集N *i：I無理數(shù)集2.確定集合中元素的三

9、個注意點1判斷集合中元素的個數(shù)時，注意集合中的元素必須滿足互異性2集合中的元素各不相同，也就是說集合中的元素一定要滿足互異性3若集合中的元素含有參數(shù)，要抓住集合中元素的互異性，采用分類討論的方法進行研究.【跟蹤訓(xùn)練2(1)用符號或“ ？”填空.0 N*; 1 N; 1.5 Z ;2V2 Q;4 + V5 R;若 x2+1 = 0,則 xR.(2)設(shè)xC R,集合A中含有三個元素3, x, x2-2x.求實數(shù)x應(yīng)滿足的條件；若一2C A,求實數(shù)x的值.答案(1)？C ？e ？ (2)見解析解析 :0不是正整數(shù)，. 0?N*.:1是自然數(shù)，.ICN.口上是小數(shù)，不是整數(shù)，1.5?Z.:22是無理數(shù)

10、，.2.27Q.2+季是無理數(shù)，無理數(shù)是實數(shù)，. 4+>/5 R.二.滿足x2+1=0的實數(shù)不存在，.x為非實數(shù)，；x?R.xw 3,(2)根據(jù)集合元素的互異性，可知x w x2-2x,2x 2xw 3,即 xw0,且 xw 3 且 xw1.''' x2 2x (x 1)2 1方一1,且一2CA, x 2.題型三 集合中元素的特性例3 已知集合A有三個元素：a 3,2a1, a2+1,集合B也有三個元素：0,1, x.(1)若一3C A,求a的值；(2)若x2C B,求實數(shù)x的值.解(1)由一3C A 且 a2+11,可知 a3= 3或 2a1 = 3,當 a 3

11、= 3 時，a = 0;當 2a1 = 3 時，a=1.經(jīng)檢驗，0與1都符合要求.得a = 0或一 1.(2)當 x= 0,1, -1 時，都有 x2CB,但考慮到集合元素的互異性， 30, xw1,故x= 1.【金版點睛】利用集合元素互異性求參數(shù)問題(1)根據(jù)集合中元素的確定性，可以解出參數(shù)的所有可能值，再根據(jù)集合中元素的互異性對集合中元素進行檢驗.(也是本講易錯問題)(2)利用集合中元素的特性解題時，要注意分類討論思想的應(yīng)用.【跟蹤訓(xùn)練3】 已知集合A包含三個元素：a-2,2a2 + 5a,12,且3CA,求a的值 解 因為A包含三個元素a-2,2a2+5a,12,且一3CA,所以 a 2

12、= 3或 2a2 + 5a= 3,-3解彳導(dǎo)a= 1或a= _2當a=1時，A中三個元素為：一3, 3,12,不符合集合中元素的互異性，舍去.3 73當a=時，A中二個兀素為：-2, 3,12,才兩足就息.故a=2題型四集合的分類例4下列各組對象能否構(gòu)成集合？若能，請指出它們是有限集、無限集，還是空集(1)非負奇數(shù)；(2)小于18的既是正奇數(shù)又是質(zhì)數(shù)的數(shù)；(3)在平面直角坐標系中所有第三象限的點；(4)在實數(shù)范圍內(nèi)方程(x21)(x2 + 2x+ 1) = 0的解集；x2-x+ 1 = 0,(5)在實數(shù)范圍內(nèi)方程組的解構(gòu)成的集合.x+ y= 1解(1)能構(gòu)成集合，是無限集.(2)小于18的質(zhì)數(shù)

13、是2,3,5,7,11,13,17只有2是偶數(shù)，其余的都是正奇數(shù)，所以能構(gòu)成 集合，是有限集.(3)第三象限的點的橫坐標和縱坐標都小于0,能構(gòu)成集合，是無限集.(4)能構(gòu)成集合，注意集合中元素的互異性，集合中的元素是一 1,1,是有限集.x -x+ 1 = 0,(5)由x2 x+1 = 0的判別式A= 3<0,萬程無實根，由此可知萬程組x+ y= 1無解，能構(gòu)成集合，是空集.【金版點睛】集合的分類方法判斷集合是有限集，還是無限集，關(guān)鍵在于弄清集合中元素的構(gòu)成，從而確定集合中元素的個數(shù).【跟蹤訓(xùn)練4】 指出下列各組對象是否能組成集合，若能組成集合，則指出集合是 有限集、無限集，還是空集.(

14、1)平方等于1的數(shù)；(2)所有的矩形；(3)平面直角坐標系中第二象限的點；(4)被3除 余數(shù)是1的正數(shù)；(5)平方后等于一3的實數(shù)；(6)15的正約數(shù).解(1)中對象能組成集合，它是一個有限集；(2)中對象能組成集合，它是一個無限集；(3)中對象能組成集合，它是一個無限集；(4)中對象能組成集合，它是一個無限集；(5)中對象能組成集合，它是一個空集；(6)中對象能組成集合，它是一個有限集.題型五用列舉法表示集合例5用列舉法表示下列集合：x2 4,，一人(1)方程丁7 = 0的所有實數(shù)根組成的集合； x+2(2)不大于10的質(zhì)數(shù)集；(3)一次函數(shù)v= x與y=2x1圖像的交點組成的集合.x2 4

15、解(1)方程=0的實數(shù)根為2,x+ 2故其實數(shù)根組成的集合為2.(2)不大于10的質(zhì)數(shù)有2,3,5,7,故不大于10的質(zhì)數(shù)集為2,3,5,7.y=x,x=1,由解得y= 2x- 1,y=1.故一次函數(shù)丫 = 乂與丫= 2x1圖像的交點組成的集合為(1,1) .【金版點睛】用列舉法表示集合應(yīng)注意的三點(1)應(yīng)先弄清集合中的元素是什么，是數(shù)還是點，還是其他元素.(2)集合中的元素一定要寫全，但不能重復(fù).(3)若集合中的元素是點，則應(yīng)將有序?qū)崝?shù)對用小括號括起來表示一個元素.【跟蹤訓(xùn)練5】用列舉法表示下列集合:(1)不等式組2x- 6>0,1 + 2x> 3x-5的整數(shù)解組成的集合;(2)

16、式子+皆看0, bw0)的所有值組成的集合.2x-6>0,解（1）由得3<x< 6,1 + 2x> 3x- 5又x為整數(shù)，故x的取值為4,5,6,組成的集合為4,5,6.(2)aw0, bw0,；a與b可能同號也可能異號,則：當a>0, b>0時，回+2| = 2； a b當 a<0, b<0 時,回+*|= 2； a b '當 a>0, b<0 或 a<0, b>0 時，螞+?|=0. a b故所有值組成的集合為 2,0,2.題型六用描述法表示集合例6用描述法表示下列集合：(1)坐標平面內(nèi)，不在第一、三象限的點的

17、集合；(2)所有被3除余1的整數(shù)的集合；1(3)使y= 2 有息義的頭數(shù)x的集合.x +x 6解(1)因為不在第一、三象限的點分布在第二、四象限或坐標軸上，所以坐標平面 內(nèi)，不在第一、三象限的點的集合為(x, y)Xy< 0, x R, yC R.(2)因為被3除余1的整數(shù)可表示為3n+1, nCZ,所以所有被3除余1的整數(shù)的集 合為xx=3n+ 1, n Z.1(3)要使 y=x2+x_6有意乂，則 x2+x 6*0.由 x2+x 6=0,彳4x1 = 2, x2= 3.1所以使y = x2 + x 6有忠義的頭數(shù)x的集合為x|xw2且xw 3, xCR.【金版點睛】用描述法表示集合的

18、注意點(1)用描述法表示集合，首先應(yīng)弄清集合的屬性，是數(shù)集、點集還是其他的類型.一般地，數(shù)集用一個字母代表其元素，而點集則用一個有序數(shù)對來表示.(2)用描述法表示集合時，若描述部分出現(xiàn)元素記號以外的字母，要對新字母說明其 含義或取值范圍.(3)多層描述時，應(yīng)當準確使用 “且”和“或”，所有描述的內(nèi)容都要寫在集合內(nèi).【跟蹤訓(xùn)練6】試用描述法表示下列集合：(1)方程x2-x-2 = 0的解集；(2)大于1且小于7的所有整數(shù)組成的集合.解(1)方程x2 x 2 = 0的解可以用x表示，它滿足的條件是x2-x-2 = 0,因此，方程的解集用描述法表示為xC R|x2x 2 = 0.(2)大于一1且小于

19、7的整數(shù)可以用x表示，它滿足的條件是xZ,且1<x<7,因此，該集合用描述法表示為xZ|-1<x<7.題型七列舉法和描述法的綜合運用例7集合A=x|kx28x+16=0,若集合A只有一個元素，試求實數(shù)k的值，并用 列舉法表示集合A.解當k=0時，原方程為168x=0,.x= 2,止匕時A=2,符合題意.當kw0時，由集合A中只有一個元素，方程kx28x+16 = 0有兩個相等實根.即 A= 64 64k = 0,即 k= 1,從而 x=x2 = 4,.集合 A=4.綜上所述，實數(shù)k的值為0或1.當k= 0時，A=2;當 k=1 時，A= 4.條件探究把本例條件“只有一個

20、元素”改為“有兩個元素”，求實數(shù)k取值范圍的集合. 心、- o一一人一“，k*0,一解 由題意可知萬程kx28x+16=0有兩個不等的實根.解得64- 64k> 0,k<1 且 “0.k的取值范圍的集合為k|k<1且kw 0.【金版點睛】分類討論思想在集合中的應(yīng)用(1)本題在求解過程中，常因忽略討論 k是否為0而漏解.由kx2-8x+ 16= 0是 否為一元二次方程而分k= 0和kw0兩種情況，注意做到不重不漏.（2）解答與集合描述法有關(guān)的問題時，明確集合中的代表元素及其共同特征是解題的 切入點.6【跟蹤訓(xùn)練7（1）設(shè)集合B= xCN 2X CN .試判斷元素1,2與集合B的

21、關(guān)系；用列舉法表示集合B.（2）已知集合 A=x|x2ax+ b=0,若人=2,3,求 a, b 的值.解（1）當 x= 1 時，-6 = 2CN.2+1當 x=2 時，-6- = 3?N.所以 1CB,2?B.2+2 26二CN, xC N,2 + x 只能取 2,3,6,2 + x=6.題型八 集合中的新定義問題例8已知集合A= 1,2,4,則集合B=（x, y）|xC A, yC A中元素的個數(shù)為（）A. 3B. 6 C. 8 D. 9解析根據(jù)已知條件，列表如下：V1241(1,1)(1.2)(1,4)I 22,1)(2,2)(2,4)4(4,1)(4,2)(4,4)由上表可知，B中的元素有9個，故選D.答案D【金版點睛】本例借助表格語言，運用列舉法求解.表格語言是常用的數(shù)學(xué)語言，表達問題清晰， 明了；列舉法是分析問題的重要的數(shù)學(xué)方法， 通過“列舉”直接解決問題或發(fā)現(xiàn)問題的規(guī) 律，此方法通常配合圖表 含樹形圖 使用.【跟蹤訓(xùn)練8】定義A*B = z|z= xy, x A, y B,設(shè)人=1,2, B = 0,2,則集合 A*B中的所有元素之和為（）A. 0B. 2C. 3D. 6答案 D解析根據(jù)已知條件，列表如右圖：根據(jù)集合中元素的互異性，由上表可知 A*B = 0,2,4