1、利用Fractfox計(jì)算氧化鋅粉體聚集圖像的分形維數(shù)劉麗摘要：氧化鋅是一種常用的化學(xué)添加劑。對(duì)氧化鋅粉體的聚集研究為進(jìn)一步拓展氧化鋅的使用提供理論參考。本文基于計(jì)算分形維數(shù)的盒子法（box-counting），采用Fractfox2.0軟件，對(duì)氧化鋅粉體在溶液蒸發(fā)后的聚集圖像進(jìn)行了分析計(jì)算。關(guān)鍵詞：氧化鋅粉體，分形維數(shù)Calculating the Fractal Dimension of Aggregate Image of Zinc Oxide Powder by FractfoxLIU LiAbstract Zinc oxide is a commonly used chemical a

2、dditive. The study on the aggregation of zinc oxide powder provides a theoretical reference for the further use of zinc oxide. Based on the box-counting method of fractal dimension calculation, the aggregation image of zinc oxide powder after solution evaporation was analyzed and calculated by Fract

3、fox2.0 software.KEY WORDS zinc oxide powder, fractal dimension氧化鋅是一種常用的化學(xué)添加劑，廣泛地應(yīng)用于塑料、硅酸鹽制品、合成橡膠、潤(rùn)滑油、油漆涂料、藥膏、粘合劑、食 品、電池、阻燃劑等產(chǎn)品中。對(duì)氧化鋅粉體的聚集研究為進(jìn)一步拓展氧化鋅的使用提供理論參考。在對(duì)粉體聚集特性的研究中，常借助數(shù)學(xué)建?；蚍中蔚确椒?，對(duì)粉體的聚集形態(tài)進(jìn)行研究。本文將從分形角度對(duì)氧化鋅在溶液中的聚集行為進(jìn)行研究。分形是具有擴(kuò)展對(duì)稱性的幾何對(duì)象。擴(kuò)展對(duì)稱性又稱為自相似對(duì)稱性。其中，分形維數(shù)是描述分形的自相似對(duì)稱性的基本參數(shù)1。其具有的典型的幾何性質(zhì)包括：分形集具有

4、精細(xì)結(jié)構(gòu)或者都有任意小尺度下的比例細(xì)節(jié)。分形既不是滿足某些條件的點(diǎn)的軌跡也不是某些簡(jiǎn)單方程的解集，不能用傳統(tǒng)的幾何語(yǔ)言來(lái)描述。分形具有可能近似的自相似性或者統(tǒng)計(jì)的自相似性?！胺中尉S數(shù)”一般大于它的拓?fù)渚S數(shù)。對(duì)于不同類型的分形有的可能同時(shí)具有以上性質(zhì)，也有可能只具有大部分性質(zhì)，對(duì)某個(gè)性質(zhì)例外。 分形領(lǐng)域中，對(duì)自然界中的聚集行為研究較早。1981年韋廷（T.A.Witten）和桑戴（L.M.Sander）提出擴(kuò)散置限聚集（DLA）模型。推動(dòng)了廣泛一類非平衡生長(zhǎng)和聚集過(guò)程的研究。這個(gè)模型提供了一個(gè)理解許多其他生長(zhǎng)過(guò)程的基礎(chǔ)，這些過(guò)程包括，在赫利-邵（Hele-Shaw）槽中流體-流體移動(dòng)，電介擊穿，

5、電沉積過(guò)程，無(wú)規(guī)枝蔓生長(zhǎng)和疏松巖石溶解等，它也可能對(duì)地球物理學(xué)（例如：河流的形成，空洞形成）以及生物結(jié)構(gòu)的生長(zhǎng)研究產(chǎn)生一定的影響。擴(kuò)散置限聚集模型的模擬愛(ài)規(guī)則是：在晶格原點(diǎn)上放置一個(gè)種粒子，然后，從距原點(diǎn)為r1的任何地方放出第二粒子，使其進(jìn)行無(wú)歸行走，直至它抵達(dá)種粒子最近鄰位置便停止運(yùn)動(dòng)；繼而，在從離原點(diǎn)為r1的任何地方再放出第二個(gè)粒子，倘若放出的粒子無(wú)歸的走到r2>r1的位置,便將其放回原出發(fā)地。試驗(yàn)中，選取r1很大，使得生成的聚集位于半徑為r1的球內(nèi)。計(jì)算機(jī)模擬的圖示及結(jié)果見(jiàn)圖。圖1.1擴(kuò)散置限聚集模型計(jì)算機(jī)模擬圖由圖看出，由無(wú)歸行走抵達(dá)的新粒子絕大多數(shù)聚集在集團(tuán)的尖端附近，只有較少

6、粒子進(jìn)入到溝槽中，這樣就使得圖形顯示出各種大小尺度的溝槽和觸須。產(chǎn)生這種結(jié)構(gòu)的原因，從圖形上看，是由于當(dāng)一個(gè)擴(kuò)散粒子抵達(dá)一個(gè)窄道進(jìn)入溝槽之前，它幾乎已經(jīng)碰上了一根觸須，因而無(wú)法進(jìn)入溝槽內(nèi)，這便形成“屏蔽效應(yīng)”2。近年來(lái)，在材料的聚集形態(tài)研究方面，也有不少采用分形研究聚集的例子。楊波3等人研究了沉積在硅油表面上的Ag原子團(tuán)簇，經(jīng)過(guò)隨機(jī)擴(kuò)撒和轉(zhuǎn)動(dòng)，最終形成大尺度分形凝聚體。劉陽(yáng)橋4等人研究了Al2O3懸浮液及沉積物分形特征，通過(guò)對(duì)沉積物表面SEM照片的灰度分析發(fā)現(xiàn)，其表面形貌具有分形特征，懸浮液的穩(wěn)定性越好，沉積物表面的分維值越大。2實(shí)驗(yàn)與測(cè)試氧化鋅粉體首先要進(jìn)行球磨，球磨這道工序使用行星式球磨機(jī)

7、進(jìn)行，本次實(shí)驗(yàn)使用干磨，球磨6 h。球磨罐一般用耐磨性好的尼龍制成，介質(zhì)球用瑪瑙球或氧化鋯球。 將球磨過(guò)后的氧化鋅取出放入干凈的方盤(pán)內(nèi)并收集起來(lái)。其次將培養(yǎng)皿中分別放入去離子水、乙醇，加入球磨過(guò)后的氧化鋅粉體，經(jīng)過(guò)超聲分散后放入干燥箱干燥。培養(yǎng)皿中分別放入兩片切割好的玻璃片，一片完全浸入，另一片緊挨培養(yǎng)皿壁豎立置于溶液中。最后將培養(yǎng)皿放入恒溫干燥箱中干燥。需注意酒精的沸點(diǎn)。用掃描電鏡對(duì)反應(yīng)后粉體聚集產(chǎn)物的微觀形貌進(jìn)行觀察。3.結(jié)果與分析3.1 SEM分析圖3(a)為氧化鋅粉體在酒精溶液中在70干燥箱中干燥后在電鏡下放大38倍后的整體形貌，(b)(c)(d)為在掃描電鏡下放大350倍后觀察到的微

8、觀形貌。圖中從左下至右上方向，為實(shí)驗(yàn)中玻璃片自底部至頂部方向?？v向上來(lái)看，紋路越來(lái)越細(xì)首先通過(guò)光學(xué)顯微鏡觀察玻璃片，可以看到整張玻璃片按粉體聚集情況可劃分為三個(gè)區(qū)域。粉體聚集呈現(xiàn)分形趨勢(shì)的底部區(qū)域（以下簡(jiǎn)稱底區(qū)域），粉體覆蓋較多的中部區(qū)域（以下簡(jiǎn)稱中區(qū)域）以及粉體聚集較少，但分形特征較明顯的上部區(qū)域（以下簡(jiǎn)稱頂區(qū)域）。 圖3.(a)氧化鋅在酒精溶液中干燥后在掃描電鏡下放大38倍后整體形貌 (b)氧化鋅在酒精溶液中干燥后在掃描電鏡下放大350倍后微觀形貌 (c) 氧化鋅在酒精溶液中干燥后在掃描電鏡下放大350倍后微觀形貌 (d)氧化鋅在酒精溶液中干燥后在掃描電鏡下放大350倍后微觀形貌中部區(qū)域?yàn)?/p>

9、酒精與空氣的界面區(qū)域，在三個(gè)區(qū)域中分布最廣，在此區(qū)域，氧化鋅粉體受表面張力等作用影響，聚集較多。對(duì)此區(qū)域放大觀察，可見(jiàn)到粉體對(duì)玻璃片形成類似鱗片的疊層覆蓋。從覆蓋的疊層順序看，自上而下，疊層依次覆蓋。疊層的出現(xiàn)應(yīng)當(dāng)是粉體在酒精蒸發(fā)過(guò)程中，隨著氣-液界面的不斷下移，附著在玻璃片表面。粉體的聚集受酒精蒸發(fā)的影響。但疊層間也呈現(xiàn)一定的相似性。底區(qū)域分布僅次于中區(qū)域，隨著粉體的沉積和在中區(qū)域的消耗，使得酒精中分散的粉體數(shù)量減少，粉體在部分區(qū)域集聚，形成自相似的網(wǎng)狀聚集。頂區(qū)域部分在三個(gè)區(qū)域中所占比重最小，自中區(qū)域延伸出來(lái)，往上無(wú)明顯邊界。在玻璃片放置起始階段，表面是沒(méi)有氧化鋅粉體的。但酒精完全蒸發(fā)后卻

10、留下具有分形特點(diǎn)的氧化鋅線型紋理。說(shuō)明酒精在蒸發(fā)過(guò)程中攜帶了氧化鋅粉體附著在玻璃片的上部區(qū)域。觀察線性紋理，可發(fā)現(xiàn)線性紋理自下而上，線寬不斷減小，在高度相同的區(qū)域，線寬接近，同時(shí)存在較細(xì)的分支線；在不同高度區(qū)域，線寬不同。但細(xì)分支依然存在。從覆蓋的疊層順序看，自上而下，疊層依次覆蓋。疊層的出現(xiàn)應(yīng)當(dāng)是粉體在酒精蒸發(fā)過(guò)程中，隨著氣-液界面的不斷下移，附著在玻璃片表面。粉體的聚集受酒精蒸發(fā)的影響。但疊層間也呈現(xiàn)一定的相似性。底區(qū)域分布僅次于中區(qū)域，隨著粉體的沉積和在中區(qū)域的消耗，使得酒精中分散的粉體數(shù)量減少，粉體在部分區(qū)域集聚，形成自相似的網(wǎng)狀聚集。頂區(qū)域部分在三個(gè)區(qū)域中所占比重最小，自中區(qū)域延伸出

11、來(lái)，往上無(wú)明顯邊界。在玻璃片放置起始階段，表面是沒(méi)有氧化鋅粉體的。但酒精完全蒸發(fā)后卻留下具有分形特點(diǎn)的氧化鋅線型紋理。說(shuō)明酒精在蒸發(fā)過(guò)程中攜帶了氧化鋅粉體附著在玻璃片的上部區(qū)域。觀察線性紋理，可發(fā)現(xiàn)線性紋理自下而上，線寬不斷減小，在高度相同的區(qū)域，線寬接近，同時(shí)存在較細(xì)的分支線；在不同高度區(qū)域，線寬不同。但細(xì)分支依然存在。考慮線性紋理是由氧化鋅粉體構(gòu)成，則出現(xiàn)此特點(diǎn)的紋理可以看作是粉體的梯度輸運(yùn)和無(wú)規(guī)則運(yùn)動(dòng)共同作用的結(jié)果。其中，在不同高度上近似平行分布的線可解釋為粉體在輸運(yùn)過(guò)程中，被輸運(yùn)的粉體不斷附著在玻璃表面，被搬運(yùn)的粉體總量不斷減少，導(dǎo)致了自下而上，線寬越來(lái)越細(xì)。同時(shí)，在同一高度上，被輸運(yùn)

12、的粉體微粒存在方向不定的無(wú)規(guī)則運(yùn)動(dòng)，因此同一高度下的線性出現(xiàn)較細(xì)分支。3.2分形維數(shù)的計(jì)算通過(guò)對(duì)圖像的分析處理，可以獲得粉體聚合形狀特征的分形維數(shù)。分形維數(shù)的計(jì)算方法比較多，雖然準(zhǔn)確度各不相同，但結(jié)果都大同小異。目前常見(jiàn)的有三類：1，盒子法（box-counting）5  Gangepain于1986年提出來(lái)的。將圖像看做三維的曲面，然后計(jì)算覆蓋的盒子數(shù)，即可得到分形維數(shù)。  Step 1:對(duì)于一幅MxM的圖像，看其看做三維空間的一個(gè)曲面。長(zhǎng)為M寬為M高為L(zhǎng)，其中L為圖像的像素級(jí)數(shù)，一般取L=256。  Step 2: 將其所在平面(

13、MxM)分為RxR大小的網(wǎng)格，在“高度”這個(gè)坐標(biāo)也進(jìn)行相同的劃分，不過(guò)劃分的單位為R*L/M。這樣，圖像所在三維空間就被劃分中很多“盒子”?？吹贸鰜?lái)，這樣劃分的目的是使長(zhǎng)寬方向和高度方向的劃分“次數(shù)”相同。  Step 3：在被劃分成的每個(gè)RxR個(gè)網(wǎng)格內(nèi)，找出最大像素值u和最大像素值b，輸出從最小值到最大值，一共要幾個(gè)盒子才能覆蓋住,盒子個(gè)數(shù)記為n(i,j)假設(shè)當(dāng)前是第（i，j）個(gè)網(wǎng)格。即n(i,j)=(u-b+R-1)/R，式中為取整符號(hào).  Step 4: 對(duì)每個(gè)RxR的盒子數(shù)求和，記為N。即N=sum(n(i,j)。  Step

14、 5: 此時(shí)理論上分形維數(shù)D= -logN/logR,當(dāng)R趨于無(wú)窮大時(shí)。當(dāng)現(xiàn)實(shí)中R是有限值，所以改變R的值，求出一組N來(lái)，應(yīng)用線性擬合，所得直線的斜率就是D。2,隨機(jī)游走法（fractional Brownian motion，F(xiàn)BM)6    這是Mandelbrot在他的“自然界的分形幾何”中提出的。在這種模型中，圖像的灰度值被認(rèn)為是隨機(jī)游走的結(jié)果，于是就可用fBf模型來(lái)建模。   Step 1：將圖像灰度值看做隨機(jī)游走的結(jié)果，設(shè)定一個(gè)間隔值R（比如R=3），計(jì)算G=I（x2，y2）-I(x1,y1)，其中要求|(x2,y2)-(x1,y1)|=R。

15、簡(jiǎn)化計(jì)算就是每個(gè)點(diǎn)跟他上下左右相鄰R的像素點(diǎn)作差。   Step 2：計(jì)算G的期望，就是均值，也就是全部加起來(lái)除以總個(gè)數(shù)，得到E（G）。   Step 3：理論上，log(E)=(3-D)logR+c，c為常數(shù)。為了精確計(jì)算，跟上面的方法1一樣，取不同的R，最后得到一組對(duì)應(yīng)的E和R，進(jìn)行線性擬合，得到的斜率就是3-D。3，頻域法78  Pentland提出了頻域分形維估計(jì)方法。  Step 1：全圖做傅里葉變換，則fBf的傅里葉功率譜滿足P(f)=f(-2h-1)=f(2D-5)。其中h是臨時(shí)變量，這里無(wú)用；D就是

16、分形維數(shù)。  Step 2：在功率譜圖上，對(duì)相同頻率的數(shù)值求和，即距離原點(diǎn)為5的點(diǎn)累加為P（5），以此類推。得到P(f)-f函數(shù)  Step 3：對(duì)logP(f)，logf進(jìn)行線性擬合，斜率就是2D-5。就可以求出D了。本實(shí)驗(yàn)中采用盒子法（box-counting）對(duì)所拍SEM照片進(jìn)行分析。分析中，采用Fractfox2.0軟件對(duì)分形維數(shù)進(jìn)行計(jì)算。Fractfox2.0主要是對(duì)圖像進(jìn)行分形處理的一種軟件。原理是對(duì)導(dǎo)入的圖片選擇合理的灰度闕值，獲得較為理想的分布圖，利用邊緣提取、形態(tài)學(xué)處理等手段計(jì)算分維數(shù)。分形維數(shù)通常不是整數(shù)，特殊情況下也可能是整數(shù)。描述分形幾何的其他參數(shù)還

17、有拓?fù)渚S數(shù)、分岔度、連接性和不均勻性。首先對(duì)拍好的照片進(jìn)行處理，處理后的圖片如下圖所示。 圖3.1 圖3.2 圖3.3測(cè)得三張圖的分形系數(shù)分別為1.25063567436019、1.25063567436019、0.82301102859635對(duì)應(yīng)的相關(guān)系數(shù)為r=0.94977、r=0.95436、r=0.96594圖3.4相關(guān)系數(shù)圖3.5相關(guān)系數(shù)圖3.6相關(guān)系數(shù) 由圖計(jì)算的分形維數(shù)在玻璃片的不同區(qū)域上的大小不同，自下而上呈遞減趨勢(shì)。4.結(jié)論通過(guò)對(duì)氧化鋅粉體聚集后的SEM照片觀察，得出以下結(jié)論：1、氧化鋅粉體在玻璃片上的聚集可劃分為三個(gè)區(qū)域，中區(qū)域部分可以形成較致密的薄膜；2、頂區(qū)域，氧化鋅粉

18、體在酒精中的聚集形態(tài)受擴(kuò)散和粉體微粒無(wú)規(guī)則運(yùn)動(dòng)的影響，形成具有縱向梯度延伸，橫向無(wú)規(guī)則延伸的條紋；3、頂區(qū)域的分形維數(shù)隨粉體遷移數(shù)量的減少呈現(xiàn)減小趨勢(shì)。參考文獻(xiàn)：1 周勝.淺談分形D.哈爾濱師范大學(xué)：2 陳力，邵瑞.分形理論及其在物理學(xué)中的運(yùn)用J.皖西學(xué)院學(xué)報(bào)，2006年4月，第22卷第2期：3楊波，羅孟波，陶向明等人.沉積在硅油表面上的Ag原子分形凝聚體J.物理學(xué)報(bào)，1999年8月，第48卷第8期：4劉陽(yáng)橋，高濂，郭景坤.PBTCA穩(wěn)定Al2O3懸浮液及沉積物分形特性的研究J.無(wú)機(jī)材料學(xué)報(bào)，2000年10月，第15卷第5期：855-8575 Gangepain and C. Roques-Carmes, “Fractal approach to two dimensional and three dimensional surface roughness,” Wear, 1986,vol. 109, pp.119-1266 B. B. Mandelbrot, The Fractal Geometry ofNature, San Francisco, CA:Freeman, 19827 Alex P. Pentland. Fractal-Based Description of Natural Scenes