1、正弦定理和余弦定理習題及答案正弦定理和余弦定理測試題一、選擇題：1.在ABB, a=15, b=10, A= 60 ,則 cosB=()A.乎B呼C . T333D"2. 在 ABC中，內角A, B, C的對邊分別是a, b, c.若a2b2=3bc, sin C= 2 3sin B,則 A=()A. 30B. 60 C . 120D. 1503. E, F是等腰直角AABCM邊AB上的三等分點，則tan / ECF=()A.1627C.一33D.44. ABC中，若 lgalg c = lgsin B= 一 lg 啦且 B6 0, y ,則4ABC勺形犬是()A.等邊三角形 B .

2、直角三角形 C .等腰三角形 D .等腰直 角三角形5. AABC, a、b、c 分別為/A、/R /C 的對邊，如果 a、b、c 成等差數列，/ B= 30° , /人88勺面積為0.5,那么b為()A. 1+ 小 B . 3 + /3C.T3D. 2 + V336.已知銳角A是AABC的一個內角，a、b、c是三角形中各內角的對應邊，若sin 2A cos2A= 1,則()A. b+c = 2a B . b+c<2aC . b+cw2a D . b+ cn 2a7、若 ABC的內角A滿足sin 2A -,則sin A cosAA.-15B338、如果ABiG的三個內角的余弦值

3、分別等于A2B2c2的三個內角的正弦值，則A.ABiG和A2B2c2都是銳角三角形B . AiBiCi和A2B2c2都是鈍角三角形C. AB1G是鈍角三角形，A2B2c2是銳角三角形D. ABiCi是銳角三角形，A2B2c2是鈍角三角形9、VABC的三內角A,B,C所對邊的長分別為a,b,c設向量irrur rp (a c,b), q (b a,c a),右 p/q,則角 C 的大小為(A) (B)-(C)-(D) 氣 i0、已知等腰 ABC的腰為底的2倍，則頂角A的正切值是(11、ABC的內角A、B、C的對邊分別為a、158b、c,若a、b、c成等比數列，且c 2a,則cosBA. -412

4、、在ABCK角A、B、C的對邊分別為a、b、c, A=-，a= 3 , b=1,則 c=(A)1(B) 2(C) <3 1(D) ,3二、填空題：13、在 ABC 中，若 sin A:sin B:sin C 5:7:8 ,貝U B 的大小是3、. 3-14、在 ABC中，已知 a x，b=4, A= 30 ,則sinB15、在ABC,已知 BG= 12, A= 60 ,B= 45 ,貝叭C=16、已知 ABC勺三個內角 A B、C成等差數列，且 AB= 1, BC=4,則邊BC上的中線AD的長為.三、解答題：17。、已知 ABC的內角 A B及其對邊a, b滿足a+b= a-+tan A

5、bjg,求內角Ctan B18、在AABC中，a, b, c分別為內角 A B, C的對邊，且2asin A = (2b+c)sin B+ (2c+b)sin C.(1)求 A 的大?。?若 sin B+ sin C =1,試判斷ABC勺形狀.19、如圖，在 ABC中，已知 B= 45° , D是BC邊上的一點，AD=10, AO 14, DO6,求 AB的長.20、已知AABC的周長為 1,且sin A sin B ”sinC. (I)求邊AB的長；(II )若ABC的面積為-sinC ,求角C的度數.621、ABCK 內角A, B, C的對邊分別為a, b, c,已知a, b,

6、c 成等比數列，cosB -.4(I)求 cot A+cotC 的值；(H )設 BA BCr。，求 a + c 的值. 222、某海輪以30海里/小時的速度航行，在 A點測得海面上油井P 在南偏東60 ,向北航行40分鐘后到達B點，測得油井P在南偏東30 ,海輪改為北偏東60的航向再行駛80分鐘到達C點，求P、C 間的距離.答案a b1 .解析：依題意得0心6。，由正弦定理得 m而得sinBbsin A=cosB=寸1 sin 2B=選 D.a 332 .解析：由sin C= 2q3sin B可得c=2y/3b,由余弦定理得 cosA=b2+c2a2 - V3bc+ c22bc2bc31三，

7、于是A= 30 ,故選A.123 .解析：設AC= 1,則AE= EF= FB= -AB=Ab,由余弦定理得 CE=33CF=，AE + AC 2AC AECos45153 ，cos / ECF =cE+ cF- eF 42CE- CF =5?sin / ECF所以 tan Z ECF= cOsTiCF451-123 =4.答案:4.解析：lg a lg c= lgsin B= 一 lg <2a.lgc2=lgsin B= lg -./曰 c a2 + c2b2得 cosB=-=2aca= sin B=率. c2_ 兀_ 兀 rr, b 6 0, 2，b= -4,由 c=q2a, 3a2

8、b2 _2?J2ar= 2./. a2=b2, /. a=b.答案：D5.解析:12b=a+ c, 2ac1 12 = 2? ac= 2,a2+c2 = 4b24, b2=a2+c2-2ac-坐 b2=4? b=乎.答案：C6.解析:以 A= 60B+C= 120所以b+ c sin B+ sin C2a2sin AB+ C 2sin -2cosB- C237.解:由 sin2AB- C,= cos-2-< 1, b+cw2a.=2sinAcosA 0 ,可知答案:這銳角,所以 sinA +oo 1 一1sin A cos A=,彳導 cos2A=,又 A 是銳角，所cosA 0,又(s

9、in A8.解：o5cosA) 1 sin 2A -，故選 A3A1BQ1的三個內角的余弦值均大于0,則ABC1是銳角三角形，若sin AcosA1sin(A1)A2B2c2是銳角三角形，由sinB2cosB1sin(-B1),得sinC2cosC1sin(- C1)A2 A12B2 Bi ,那么，A2 B2 c2 ,所以A2B2C2是鈍角三角形。故 22C2 Ci2 選d9.【解析】p/q (a c)(c a) b(b a) b2 a2 c2 ab ,利用余弦定 理可得2cosc 1 ,即cosC 1 C 一，故選擇答案B。23【點評】本題考查了兩向量平行的坐標形式的重要條件及余弦定理和三角

10、函數，同時著重考查了同學們的運算能力。10.解：依題意，結合圖形可得tan|嚕，故2tanA 25tanA -1勺，選D,2 A：15 27tan4 1 （）221511 .解：abc中，a、b、c成等比數列，且c 2a ,貝U b=V2a,cosB33,選 B.4a2 c2 b2 _ a2 4a2 2a2 2ac - 4a212.解:由正弦定理得sinB=2,又a b,所以AB,故B= 30 ,所以O90 ,故c=2,選B 二、填空13 .解：sinA:sin B:sin C 5:7:8 a b c = 5 7 8 設 a= 5k, b = 7k, c =8k由余弦定理可解得 b的大小為-.

11、14 .解：由正弦定理易得結論sinB =百。15 .【正確解答】由正弦定理得，-AC解得AC 4娓sin45 sin60【解后反思】解三角形：已知兩角及任一邊運用正弦定理，已知兩邊及其夾角運用余弦定理16 .解析：由ABC的三個內角A、R C成等差數列可得A+C=2印！A+B+C=可得 B 3AD為邊BC上的中線可知BD=2,由余弦定理定理可得AD R本題主要考察等差中項和余弦定理，涉及三角形的內角和定理，難度中等。三、解答題：（17-21題12分，22題14分，寫出證明過程或推演步驟.）117。、已知 ABC勺內角A, B及其對邊a, b滿足a+ b=可水+ b/£,求內角C.t

12、an B解：由 a+b=a1L+b1二M正弦定理得 sin A+ sin B= cosA tan A tan B+ cosB,即 sin A cosA= cosB sin B, 從而 sin Acos cosAsin -4 =-.兀 .- 兀cosBsin 4 sin Bcosj,即 sin A = sin B.又 0<A+ 氏兀，故 A"4 ="4兀一一.兀B, A+ B=5,所以 C=-2-.18、在 ABC中，a, b, c分別為內角 A, B, C的對邊，且2asinA= (2b + c)sin B+ (2c + b)sin C(1)求 A 的大??；(2)若

13、sin B + sin C= 1,試判斷 ABC勺形狀.解：(1)由已知，根據正弦定理得2a2 = (2b+c)b+ (2c+b)c,即 a2= b2+ c2 + bc.由余弦定理得 a2= b2 + c22bccosA,故 cosA= 2,又 AS (0 ,兀)，故 A= 120 .(2)由(1)得 sin 2A= sin 2B+ sin 2C+ sin Bsin C 又 sin B+ sin C，一八1=1,得 sin B= sin C= 2.因為0° <B<90° , 0 <C<90 ,故B= C.所以 ABC是等腰的 鈍角三角形.19、如圖，

14、在 ABC中，已知B= 45° , D是BC邊上的一點， AD= 10, AO 14, DC= 6,求 AB的長.解：在AADW, AD= 10, AC= 14, DC= 6,定/ A M AD+ DC AC 100 + 36196 1 10(cos 2AD. DC = 2X10X6 =-2，/ADG 120 , / ADB= 60 .在 ABD中，AD= 10, B=45 , /ADB= 60 ,十 一 AB ADAD sin /ADB由正弦xe里行$汨/adB= sinB，一 AB=sin吊=310X 丁10sin602sin45=2- = W6.220、已知 ABC 的周長為

15、72 1,且 sin A sin B V2sinC. (I)求邊AB的長；(II )若ABC的面積為1sinC ,求角C的度數.6解：(I)由題意及正弦定理，得AB BC AC & 1,BC AC 近AB ,兩式相減，得AB 1 .111(II )由 4ABC 的面積-BCgACgsinC sinC ,得 BCgAC -,由余弦263，定理，得_2 2_222cose AC BC AB (AC BC) 2ACgBC AB 2ACgBC2ACgBCC 60°.c,已知 a, b, c21、ABCK內角A, B, C的對邊分別為a, b,成等比數列，cosB -. 4(I)求 c

16、ot A+cotC 的值；(H )設 BA BC ：,求 a + c 的值.分析：本題是正、余弦定理與向量、等比數列等知識的交匯， 關鍵是用好正弦定理、余弦定理等.解：(I)由cosB 士得sinB ；1 (-)2 金，由b2=ac及正弦定4144理得 sin 2 B sin Asin C.11 cos A cosC sinC cosA cosCsin A sin(A C)cot A cotC -tan A tanC sin A sin Csin AsinCsin B邛，47sin B sin B 7/、tuuuumr33,3(H )由babc-，得ca?cosB= -，由"5B=-，可得ac=2242,即 b2 = 2.由余弦定理 b2=a2+c2 2ac+cosB,彳導 a2+c2=b2+2ac cosB=5./、222(a c) a c 2ac 5 4 9, a c 322、某海輪以30海里/小時的速度航行，在 A點測得海面上油井P 在南偏東60 ,向北航行40分鐘后到達B點，測得油井P在南偏東30 ,海輪改為北偏東60的航向再行駛80分鐘到達C點，求P、C 間的距離.解：