1、華羅庚教授曾舉過一個(gè)例子：華羅庚教授曾舉過一個(gè)例子： 從一個(gè)袋子里摸出來一個(gè)紅玻璃球，第二個(gè)是紅玻璃球，甚至從一個(gè)袋子里摸出來一個(gè)紅玻璃球，第二個(gè)是紅玻璃球，甚至第三個(gè)、第四個(gè)、第五個(gè)都是紅玻璃球的時(shí)候，我們立刻會(huì)出現(xiàn)一第三個(gè)、第四個(gè)、第五個(gè)都是紅玻璃球的時(shí)候，我們立刻會(huì)出現(xiàn)一種猜想：種猜想：“是不是袋里的東西全部都是紅玻璃球？是不是袋里的東西全部都是紅玻璃球？”但是，當(dāng)我們但是，當(dāng)我們有一次摸出一個(gè)白玻璃球的時(shí)候，這個(gè)猜想失敗了；這時(shí)我們會(huì)出有一次摸出一個(gè)白玻璃球的時(shí)候，這個(gè)猜想失敗了；這時(shí)我們會(huì)出現(xiàn)另外一個(gè)猜想：現(xiàn)另外一個(gè)猜想：“是不是袋里的東西全部都是玻璃球？是不是袋里的東西全部都是玻璃

2、球？”但是，但是，當(dāng)我們有一次摸出一個(gè)木球的時(shí)候，這個(gè)猜想又失敗了；那時(shí)我們當(dāng)我們有一次摸出一個(gè)木球的時(shí)候，這個(gè)猜想又失敗了；那時(shí)我們又會(huì)出現(xiàn)第三個(gè)猜想：又會(huì)出現(xiàn)第三個(gè)猜想：“是不是袋里的東西全部都是球？是不是袋里的東西全部都是球？”這個(gè)猜這個(gè)猜想對(duì)不對(duì)，還必須加以檢驗(yàn)想對(duì)不對(duì)，還必須加以檢驗(yàn) 從上面的情境中，我們看到了探索活動(dòng)是一個(gè)不斷地從上面的情境中，我們看到了探索活動(dòng)是一個(gè)不斷地 提出提出猜想猜想驗(yàn)證猜想驗(yàn)證猜想再提出猜想再提出猜想再驗(yàn)證猜再驗(yàn)證猜想想的過程的過程引入引入 在生活和學(xué)習(xí)中，我們常常需要進(jìn)行推理在生活和學(xué)習(xí)中，我們常常需要進(jìn)行推理. .例如：例如： 1.1. 一個(gè)人看見一群

3、烏鴉都是黑的，于是斷言一個(gè)人看見一群烏鴉都是黑的，于是斷言“天下烏鴉都是天下烏鴉都是黑的黑的”.”. 2.“ 2.“每一個(gè)司機(jī)都應(yīng)該遵守交通規(guī)則，小李是司機(jī)，所以，每一個(gè)司機(jī)都應(yīng)該遵守交通規(guī)則，小李是司機(jī)，所以，小李應(yīng)該遵守交通規(guī)則小李應(yīng)該遵守交通規(guī)則”.”. 3. 3.銅、鐵、鋁、金、銀等金屬都能導(dǎo)電，猜想：一切金屬都銅、鐵、鋁、金、銀等金屬都能導(dǎo)電，猜想：一切金屬都能導(dǎo)電能導(dǎo)電 4.“ 4.“如果如果a,b,ca,b,c都是實(shí)數(shù)，且都是實(shí)數(shù)，且ab,bc,ab,bc,那么那么ac.”ac.” 這些都是推理這些都是推理. .推理一般包括推理一般包括合情推理合情推理和和演繹推理演繹推理，它們都

4、是，它們都是日常生活、學(xué)習(xí)、工作和科學(xué)研究中常見的思維過程日常生活、學(xué)習(xí)、工作和科學(xué)研究中常見的思維過程. . na1121314123naaaadaadaada問題問題1 在等差數(shù)列在等差數(shù)列 中，首項(xiàng)為中，首項(xiàng)為 ，公差為，公差為1ad1(1)and歸納猜想出歸納猜想出問題問題2 1=1 1+3=4 1+3+5=9 1+3+5+7=16 歸納猜想出歸納猜想出 1+3+5+7+(2n-1)= 2n7 問題問題3“是不是所有不小于是不是所有不小于6的偶數(shù)，都可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和呢？的偶數(shù)，都可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和呢？” 6 63 33 3 8 83 35 5 10 105 55 5 12 1

5、25 57 7 14 147 77 7 1 000 1 0002929971971 1 002 1 002139139863863 歸納歸納出：偶數(shù)（不小于出：偶數(shù)（不小于6 6）素?cái)?shù)素?cái)?shù)）素?cái)?shù)素?cái)?shù)想一想：上述想一想：上述3個(gè)問題的推理有什么共同特征？個(gè)問題的推理有什么共同特征？ 部分部分 整體整體 個(gè)別個(gè)別 一般一般【抽象概括】【抽象概括】 根據(jù)一類事物中的根據(jù)一類事物中的部分對(duì)象部分對(duì)象具有某種屬性，推斷該具有某種屬性，推斷該類事物中的類事物中的全部對(duì)象全部對(duì)象都具有這都具有這種屬性種屬性,或者由或者由個(gè)別事實(shí)個(gè)別事實(shí)概概括出括出一般結(jié)論一般結(jié)論的推理方式稱為的推理方式稱為歸納推理。歸納推

6、理。 實(shí)驗(yàn)、觀察實(shí)驗(yàn)、觀察概括、推廣概括、推廣猜測(cè)一般性結(jié)論猜測(cè)一般性結(jié)論 注注（1 1）歸納推理是由歸納推理是由部分到整體部分到整體, ,由由個(gè)別到一般個(gè)別到一般的推理。的推理。（2 2）猜想的思維過程為）猜想的思維過程為: : 歸納推理的模式歸納推理的模式: S1具有具有P S2具有具有P . Sn具有具有P 歸納歸納A類事物具有類事物具有P成語成語“一葉知秋一葉知秋”統(tǒng)計(jì)初步中的用樣本估計(jì)總體統(tǒng)計(jì)初步中的用樣本估計(jì)總體 通過從總體中抽取通過從總體中抽取部分對(duì)象部分對(duì)象進(jìn)行觀測(cè)或進(jìn)行觀測(cè)或試驗(yàn)，進(jìn)而對(duì)試驗(yàn)，進(jìn)而對(duì)整體整體做出推斷做出推斷.成語成語意思是從一片樹葉的凋落，知道秋意思是從一片樹

7、葉的凋落，知道秋天將要來到天將要來到.比喻由比喻由細(xì)微的跡象細(xì)微的跡象看出看出整體整體形勢(shì)形勢(shì)的變化，由的變化，由部分部分推知推知全體全體.【情景情景1 1】16401640年，著名數(shù)學(xué)家費(fèi)馬對(duì)形如年，著名數(shù)學(xué)家費(fèi)馬對(duì)形如 的數(shù)進(jìn)行的數(shù)進(jìn)行計(jì)算時(shí)，發(fā)現(xiàn)計(jì)算時(shí)，發(fā)現(xiàn) 是素?cái)?shù)，是素?cái)?shù)， 是素?cái)?shù)是素?cái)?shù). . 是素?cái)?shù)是素?cái)?shù). . 是素?cái)?shù)是素?cái)?shù). .于是，他歸納出一個(gè)猜想于是，他歸納出一個(gè)猜想: : “ “所有形如所有形如 的數(shù)都是素?cái)?shù)的數(shù)都是素?cái)?shù).”.” 對(duì)于大一點(diǎn)的對(duì)于大一點(diǎn)的n,n,驗(yàn)證這個(gè)猜想是很難的事情驗(yàn)證這個(gè)猜想是很難的事情. .直至近百年直至近百年后的后的17321732年，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉

8、發(fā)現(xiàn)年，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn) 不是素?cái)?shù)，從而否定了這個(gè)猜想不是素?cái)?shù)，從而否定了這個(gè)猜想. .12215 221n422165537 221(1,2,3,.)nn5221641 6700417 注：歸納推理的注：歸納推理的結(jié)論不一定正確。結(jié)論不一定正確。222117 3221257 【情景【情景2 2】永動(dòng)機(jī)】永動(dòng)機(jī) 歷史上，人們?cè)?jīng)有過制造永動(dòng)機(jī)的美好愿望，歷史上，人們?cè)?jīng)有過制造永動(dòng)機(jī)的美好愿望，希望制造出一種不消耗能量的機(jī)器，永無休止地希望制造出一種不消耗能量的機(jī)器，永無休止地為人類服務(wù)為人類服務(wù). .人們提出過人們提出過許多永動(dòng)機(jī)的設(shè)計(jì)方案許多永動(dòng)機(jī)的設(shè)計(jì)方案. .最早最早永動(dòng)機(jī)的設(shè)計(jì)方案

9、是永動(dòng)機(jī)的設(shè)計(jì)方案是1313世紀(jì)世紀(jì)的法國(guó)人亨內(nèi)考提出的，后的法國(guó)人亨內(nèi)考提出的，后來人們又提出了各種永動(dòng)機(jī)來人們又提出了各種永動(dòng)機(jī)的設(shè)計(jì)方案的設(shè)計(jì)方案. .滾珠永動(dòng)機(jī)滾珠永動(dòng)機(jī)軟臂永動(dòng)機(jī)軟臂永動(dòng)機(jī) 阿基米德螺旋永動(dòng)機(jī)阿基米德螺旋永動(dòng)機(jī)磁力型永動(dòng)機(jī)磁力型永動(dòng)機(jī) 從大量的失敗案例中，科學(xué)界歸納歸納出了一個(gè)結(jié)論:不可能制造出永動(dòng)機(jī).后來，著名科學(xué)家羅蒙諾索夫提出了能量守恒定律，從理論上說明了制造永動(dòng)機(jī)是不可能的.15 【情景【情景3 3】 哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想 哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想 ：這個(gè)問題是德國(guó)數(shù)學(xué)家哥德巴赫（這個(gè)問題是德國(guó)數(shù)學(xué)家哥德巴赫（1690-1764）于）于1742年年6月月7

10、日在給大數(shù)學(xué)家歐拉的信中提出的，所日在給大數(shù)學(xué)家歐拉的信中提出的，所以被稱作哥德巴赫猜想，同年以被稱作哥德巴赫猜想，同年6月月30日，歐拉在回信中認(rèn)為這日，歐拉在回信中認(rèn)為這個(gè)猜想可能是真的，但他無法證明。個(gè)猜想可能是真的，但他無法證明。 從此，這道數(shù)學(xué)難題引起了幾乎所有數(shù)學(xué)家的注意。哥從此，這道數(shù)學(xué)難題引起了幾乎所有數(shù)學(xué)家的注意。哥德巴赫猜想由此成為數(shù)學(xué)皇冠上一顆可望不可及的德巴赫猜想由此成為數(shù)學(xué)皇冠上一顆可望不可及的“明珠明珠”。用當(dāng)代語言來敘述，哥德巴赫猜想有兩個(gè)內(nèi)容，。用當(dāng)代語言來敘述，哥德巴赫猜想有兩個(gè)內(nèi)容， 第一部分叫做奇數(shù)的猜想，奇數(shù)的猜想指出，任何一個(gè)第一部分叫做奇數(shù)的猜想，奇

11、數(shù)的猜想指出，任何一個(gè)大于等于大于等于7的奇數(shù)都是三個(gè)素?cái)?shù)的和。的奇數(shù)都是三個(gè)素?cái)?shù)的和。 第二部分叫做偶數(shù)的猜想。第二部分叫做偶數(shù)的猜想。偶數(shù)的猜想是說不小于偶數(shù)的猜想是說不小于6的偶的偶數(shù)一定是兩個(gè)素?cái)?shù)的和。數(shù)一定是兩個(gè)素?cái)?shù)的和?！?1966年，中國(guó)的年，中國(guó)的陳景潤(rùn)陳景潤(rùn)證明了證明了 “1+2 ”用通俗的話說用通俗的話說，就是大偶數(shù)，就是大偶數(shù)=素?cái)?shù)素?cái)?shù)+素?cái)?shù)素?cái)?shù)*素?cái)?shù)素?cái)?shù) 或或 大偶數(shù)大偶數(shù)=素?cái)?shù)素?cái)?shù)+素?cái)?shù)素?cái)?shù) 由于陳景潤(rùn)的貢獻(xiàn)，人類距離哥德巴赫猜想的最后結(jié)由于陳景潤(rùn)的貢獻(xiàn)，人類距離哥德巴赫猜想的最后結(jié)果果“11”僅有一步之遙了。但為了實(shí)現(xiàn)這最后的一步，僅有一步之遙了。但為了實(shí)現(xiàn)這最后的

12、一步，也許還要?dú)v經(jīng)一個(gè)漫長(zhǎng)的探索過程。有許多數(shù)學(xué)家認(rèn)為，也許還要?dú)v經(jīng)一個(gè)漫長(zhǎng)的探索過程。有許多數(shù)學(xué)家認(rèn)為，要想證明要想證明“11”，必須通過創(chuàng)造新的數(shù)學(xué)方法，以往的，必須通過創(chuàng)造新的數(shù)學(xué)方法，以往的路很可能都是走不通的。路很可能都是走不通的。 姓名：陳景潤(rùn)姓名：陳景潤(rùn) （19331996）國(guó)家或地區(qū)：國(guó)家或地區(qū)：中國(guó)中國(guó) 身份：身份：數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)家家17 “是不是所有不小于是不是所有不小于6的偶數(shù)，都可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和呢？的偶數(shù)，都可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和呢？” 6 63 33 3 8 83 35 5 10 105 55 5 12 125 57 7 14 147 77 7 1 000 1 000

13、2929971971 1 002 1 002139139863863 歸納歸納出：偶數(shù)（不小于出：偶數(shù)（不小于6 6）素?cái)?shù)素?cái)?shù)）素?cái)?shù)素?cái)?shù)【情景【情景4 4】 歐拉公式歐拉公式 凸多面體凸多面體面數(shù)（面數(shù)（F F）頂點(diǎn)數(shù)（頂點(diǎn)數(shù)（V V）棱數(shù)（棱數(shù)（E E）四棱柱四棱柱三棱錐三棱錐八面體八面體三棱柱三棱柱四棱錐四棱錐尖頂塔尖頂塔四棱柱6812644三棱錐1286八面體695三棱柱558四棱錐9169尖頂塔思考:可以可以歸納歸納出出 F FV VE E2 2這就是著名的這就是著名的歐拉公式歐拉公式. . 以上推理以上推理都是歸納推理，雖然歸納推理的結(jié)論都是歸納推理，雖然歸納推理的結(jié)論不一定正確，但

14、是，在數(shù)學(xué)，科學(xué)，經(jīng)濟(jì)和社會(huì)的歷不一定正確，但是，在數(shù)學(xué)，科學(xué)，經(jīng)濟(jì)和社會(huì)的歷史發(fā)展中，史發(fā)展中，歸納推理有非常重要的價(jià)值，它是科學(xué)發(fā)歸納推理有非常重要的價(jià)值，它是科學(xué)發(fā)展和創(chuàng)造的基礎(chǔ)！展和創(chuàng)造的基礎(chǔ)！Hu ai min (E-mail:)例1 .由下面的等式 37 X 3=111 37 X 6=222 37 X 9=333 你能猜想 37 X12= 37 X 歸納得出 37 X 3n=111n （n=1,2,3.9） 例題解析例題解析：44415=555例2.已知數(shù)列an中，a1=1，且 an+1= (n=1,2,)nna1a(1)計(jì)算a1,a2,a3,a4;(2)猜想an=？歸納歸納推理推理例題解析：例題解析： 在平面內(nèi)觀察：在平面內(nèi)觀察： 三邊形內(nèi)角和為：三邊形內(nèi)角和為：180180。 四邊形四邊形內(nèi)角和為：內(nèi)角和為：360360。 五邊形五邊形內(nèi)角和為：內(nèi)角和為：540540。 由此猜想由此猜想n n邊形邊形內(nèi)角和為內(nèi)角和為