1、相似矩陣的定義相似矩陣的定義(dngy)及性質(zhì)及性質(zhì)第一頁(yè)，共25頁(yè)。性質(zhì)性質(zhì)1:相似矩陣有相似矩陣有相同的特征多項(xiàng)式、相同特征值、相同的特征多項(xiàng)式、相同特征值、 相同的行列式、相同的跡、相同的秩相同的行列式、相同的跡、相同的秩推論：推論：若矩陣若矩陣 與對(duì)角陣與對(duì)角陣 相似，相似，n nA 12n 則則 是是 的的 個(gè)特征值。個(gè)特征值。12,n An第1頁(yè)/共25頁(yè)第二頁(yè)，共25頁(yè)。(1)相似矩陣或者都可逆，或者都不可逆。相似矩陣或者都可逆，或者都不可逆。當(dāng)它們可逆時(shí)，它們的逆矩陣也相似。當(dāng)它們可逆時(shí)，它們的逆矩陣也相似。其它的有關(guān)其它的有關(guān)(yugun)相似矩陣的性質(zhì)：相似矩陣的性質(zhì)：(3

2、)若若 與與 相似，則相似，則 與與 相似。（相似。（ 為正整數(shù)）為正整數(shù)）ABmAmBm 1111212.PA APPA PPA P (5) 11111221122Pk Ak APk PA Pk PA P(6)（ 為任意常數(shù)）為任意常數(shù)）12,k k(2)若若 與與 相似，則相似，則 與與 相似。（相似。（ 為正整數(shù)）為正整數(shù)）ABkkAkB(4)若若 與與 相似，而相似，而 是一個(gè)多項(xiàng)式，是一個(gè)多項(xiàng)式，AB( )f x則則 與與 相似。相似。( )f A( )f B第2頁(yè)/共25頁(yè)第三頁(yè)，共25頁(yè)。（2）有相同特征）有相同特征(tzhng)多項(xiàng)式的矩陣不一定相似。多項(xiàng)式的矩陣不一定相似。注

3、注： （1）與單位矩陣相似的與單位矩陣相似的n階矩陣只有單位陣階矩陣只有單位陣E本身，本身， 與數(shù)量矩陣與數(shù)量矩陣kE 相似的相似的n階方陣只有數(shù)量陣階方陣只有數(shù)量陣kE本身。本身。三三. 矩陣可對(duì)角化矩陣可對(duì)角化(jio hu)的條件（利用相似變換把方陣對(duì)角化的條件（利用相似變換把方陣對(duì)角化(jio hu)）nA對(duì)對(duì) 階方陣階方陣 ，如果可以找到可逆矩陣，如果可以找到可逆矩陣 ，P使得使得 為對(duì)角陣，就稱為為對(duì)角陣，就稱為把方陣把方陣 對(duì)角化。對(duì)角化。1PAP A第3頁(yè)/共25頁(yè)第四頁(yè)，共25頁(yè)。定理定理1： 階矩陣階矩陣 可對(duì)角化（與對(duì)角陣相似）可對(duì)角化（與對(duì)角陣相似）nA 有有 個(gè)線性無(wú)

4、關(guān)的特征向量。個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。An（2）可逆矩陣）可逆矩陣 由由 的的 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量 作列向量構(gòu)成。作列向量構(gòu)成。PAn(逆命題不成立逆命題不成立)推論：推論：若若 階方陣階方陣 有有 個(gè)互不相同的特征值個(gè)互不相同的特征值,nAn則則 可對(duì)角化。（與對(duì)角陣相似）可對(duì)角化。（與對(duì)角陣相似）A 注注：（1）若）若 則則 的主對(duì)角元素即為的主對(duì)角元素即為 的特征值，的特征值，,A AA矩陣矩陣 的的相似標(biāo)準(zhǔn)形。相似標(biāo)準(zhǔn)形。k 如果不計(jì)如果不計(jì) 的排列順序，則的排列順序，則 唯一，稱之為唯一，稱之為第4頁(yè)/共25頁(yè)第五頁(yè)，共25頁(yè)。例例1:1: 判斷下列實(shí)矩陣能否化為

5、對(duì)角陣？判斷下列實(shí)矩陣能否化為對(duì)角陣？122(1) 224242A 212(2) 533102A 解解: : 722 0 122(1)224242AE 得得1232,7 第5頁(yè)/共25頁(yè)第六頁(yè)，共25頁(yè)。得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系12221 ,0 .01pp 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，齊次線性方程組為時(shí)，齊次線性方程組為122 20AE X 1222244244AE 122000000 12322xxx 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，齊次線性方程組為時(shí)，齊次線性方程組為 70AE X37 8227254245AE 1102011000 第6頁(yè)/共25頁(yè)第七頁(yè)，共25頁(yè)。得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系3122p 132312xxxx 221102

6、0012 123,ppp線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān)即即A有有3個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，所以個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，所以(suy)A可以對(duì)角化?？梢詫?duì)角化。第7頁(yè)/共25頁(yè)第八頁(yè)，共25頁(yè)。212(2)533102AE 310 212 533102A 得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系11 ,1 所以所以 不能化為對(duì)角矩陣不能化為對(duì)角矩陣.A1231. 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，齊次線性方程組為時(shí)，齊次線性方程組為 0AE X1231 312523101AE 101011000 第8頁(yè)/共25頁(yè)第九頁(yè)，共25頁(yè)。解：解：460350361AE 2120 例例2 2：設(shè)：設(shè)460350 .361A 若能對(duì)角化，求出可逆矩陣若能對(duì)角化，求出可

7、逆矩陣 使得使得 為對(duì)角陣。為對(duì)角陣。P1PAP 問(wèn)問(wèn) 能否對(duì)角化？能否對(duì)角化？A1231,2. 第9頁(yè)/共25頁(yè)第十頁(yè)，共25頁(yè)。得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系121 ,0p 200 .1p 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，齊次線性方程組為時(shí)，齊次線性方程組為121 0AE X 360360360AE 120000000 122xx 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，齊次線性方程組為時(shí)，齊次線性方程組為32 20AE X 6602330363AE 101011000 第10頁(yè)/共25頁(yè)第十一頁(yè)，共25頁(yè)。1323xxxx 得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系311.1p 2011010011 123,ppp線性無(wú)關(guān)，線性無(wú)關(guān)，A可以對(duì)角化?？梢詫?duì)角化。令令 12

8、3201,101011Pppp則有則有1100 010002PAP 第11頁(yè)/共25頁(yè)第十二頁(yè)，共25頁(yè)。注意：注意：若令若令 31211121001,0,Pppp 即矩陣即矩陣 的列向量和對(duì)角矩陣中特征值的的列向量和對(duì)角矩陣中特征值的位置要相互對(duì)應(yīng)位置要相互對(duì)應(yīng)P1121 .PAP 則有則有第12頁(yè)/共25頁(yè)第十三頁(yè)，共25頁(yè)。把一個(gè)矩陣化為對(duì)角把一個(gè)矩陣化為對(duì)角(du jio)陣，不僅可以使矩陣運(yùn)算簡(jiǎn)化，而且陣，不僅可以使矩陣運(yùn)算簡(jiǎn)化，而且在理論和應(yīng)用上都有意義。在理論和應(yīng)用上都有意義?？蓪?duì)角化的矩陣可對(duì)角化的矩陣(j zhn)主要有以下幾種應(yīng)用：主要有以下幾種應(yīng)用：1. 由特征值、特征向

9、量反求矩陣由特征值、特征向量反求矩陣(j zhn)例例3：已知方陣：已知方陣 的特征值是的特征值是A1230,1,3,相應(yīng)的特征向量是相應(yīng)的特征向量是1231111 ,0,2 ,111 求矩陣求矩陣.A第13頁(yè)/共25頁(yè)第十四頁(yè)，共25頁(yè)。解：因?yàn)樘卣飨蛄渴墙猓阂驗(yàn)樘卣飨蛄渴?維向量，所以矩陣維向量，所以矩陣 是是3 階方陣。階方陣。A因?yàn)橐驗(yàn)?有有 3 個(gè)不同的特征值，所以個(gè)不同的特征值，所以 可以對(duì)角化?？梢詫?duì)角化。AA即存在可逆矩陣即存在可逆矩陣 , 使得使得P1PAP 其中其中111102 ,111P 01,3 求得求得1111333110,22111636P 第14頁(yè)/共25頁(yè)第十五

10、頁(yè)，共25頁(yè)。1AP P 11133311101110210221113111636 110121011 第15頁(yè)/共25頁(yè)第十六頁(yè)，共25頁(yè)。2. 求方陣求方陣(fn zhn)的冪的冪例例4：設(shè)：設(shè) 求求45,23A 100.A解：解：4523AE (2)(1)0121,2. A可以對(duì)角化?？梢詫?duì)角化。齊次線性方程組為齊次線性方程組為當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，11 0AE x1100 5522AE 系數(shù)矩陣系數(shù)矩陣12xx 令令 得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系:21x 111p 第16頁(yè)/共25頁(yè)第十七頁(yè)，共25頁(yè)。齊次線性方程組為齊次線性方程組為當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，22 20AE x2500 25225AE 系數(shù)矩陣

11、系數(shù)矩陣1252xx 令令 得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系:21x 252p 令令12(,)Ppp 1512 求得求得1251311P 即存在可逆矩陣即存在可逆矩陣 , 使得使得P112PAP 第17頁(yè)/共25頁(yè)第十八頁(yè)，共25頁(yè)。1AP P 1001001APP 10015102513120211 1001001525( 1)013121102 100100101101252552132252 第18頁(yè)/共25頁(yè)第十九頁(yè)，共25頁(yè)。3. 求行列式求行列式例例5：設(shè)：設(shè) 是是 階方陣，階方陣， 是是 的的 個(gè)特征值，個(gè)特征值，An2,4,2nAn計(jì)算計(jì)算3.AE 解解：方法方法1 求求 的全部特征值，的

12、全部特征值， 再求乘積即為行列式的值。再求乘積即為行列式的值。3AE ( )3f xx設(shè)設(shè)A的特征值是的特征值是2,4,2n即即2 ,ii 3AE的特征值是的特征值是()23ifi 1323( 1) 1 3(23)niAEin 第19頁(yè)/共25頁(yè)第二十頁(yè)，共25頁(yè)。方法方法2：已知已知 有有 個(gè)不同的特征值，所以個(gè)不同的特征值，所以 可以對(duì)角化，可以對(duì)角化，AnA即存在可逆矩陣即存在可逆矩陣 , 使得使得P1242PAPn 1AP P 1133AEP PPEP1(3)PE P 13PE P 3E 234323n ( 1) 1 3(23)n 第20頁(yè)/共25頁(yè)第二十一頁(yè)，共25頁(yè)。4. 判斷判斷

13、(pndun)矩陣是否相似矩陣是否相似解：解：方法方法13( )3,Bf AAAEB的特征值為的特征值為(1)1(2)3(3)19fff 令令3( )31f xxx3階矩陣階矩陣 有有3個(gè)不同的特征值，所以個(gè)不同的特征值，所以 可以對(duì)角化?？梢詫?duì)角化。BB例例6：已知：已知3階矩陣階矩陣 的特征值為的特征值為1，2，3，A23,BAAE設(shè)設(shè)問(wèn)矩陣問(wèn)矩陣 能否與對(duì)角陣相似？能否與對(duì)角陣相似？A第21頁(yè)/共25頁(yè)第二十二頁(yè)，共25頁(yè)。即存在可逆矩陣即存在可逆矩陣 , 使得使得P1123PAP 113(3)P BPPAAE P1311(3 )PA PPA PP EP1111()()()3PAPPAPPAPPAPE31112321331 1319 方法方法2：因?yàn)榫仃囈驗(yàn)榫仃?有有3個(gè)不同的特征值，所以可以對(duì)角化，個(gè)不同的特征值，所以可以對(duì)角化，A所以矩陣所以矩陣 能與對(duì)角陣相似。能與對(duì)角陣相似。B第22頁(yè)/共25頁(yè)第二十三頁(yè)，共25頁(yè)。例例7：設(shè)：設(shè) 階方陣階方陣 有有 個(gè)互異的特征值，個(gè)互異的特征值，nAn 階方陣階方陣 與與 有相同的特征值。有相同的特征值。nBA證明：證明：BA與與 相似。相似。證：設(shè)證：設(shè) 的的n個(gè)互異個(gè)互異(h y)的特征值為的特征值為A12,n 則存在則存在(cnzi)可逆矩陣可逆矩