1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載勾股定理中數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用一. 勾股定理中方程思想的運(yùn)用方程思想 是指：在含有直角三角形的圖形中，求線段的長往往要使用勾股定理，如果無法直接用勾股定理來計(jì)算，則需要列方程解決。例題 1如左圖所示，有一張直角三角形紙片，兩直角邊AC=5cm，BC=10cm，將 ABC折疊，使點(diǎn)B 與點(diǎn) A重合，折痕為DE，則 CD的長為（）分析：折疊問題是近幾年來中考中的常見題型，解折疊問題關(guān)鍵抓住對稱性，圖中CD在t ACD 中，由于 AC 已知，要求 CD，只需求 AD，由折疊的對稱性，得AD=BD，注意到 CD+BD=BC，利用勾股定理即可解之。解：如右圖所示，要使A， B 兩點(diǎn)重合，則折痕

2、DE必為 AB的垂直平分線。連結(jié)AD，則 ADBD。設(shè) CDx，則 AD=BD=10x 在 RtACD 中，由勾股定理，得故選 D。點(diǎn)撥：勾股定理的數(shù)學(xué)表達(dá)式是一個含有平方關(guān)系的等式，求線段的長時，可由此列出方程，運(yùn)用方程思想分析問題和解決問題，以便簡化求解。二. 勾股定理中分類討論思想的運(yùn)用學(xué)習(xí)必備歡迎下載分類討論思想 是指：在解題過程中，當(dāng)條件或結(jié)論不確定或不惟一時，往往會產(chǎn)生幾種可能的情況，這就需要依據(jù)一定的標(biāo)準(zhǔn)對問題進(jìn)行分類，再針對各種不同的情況分別予以解決。最后綜合各類結(jié)果得到整個問題的結(jié)論。分類討論實(shí)質(zhì)上是一種“化整為零，各個擊破，再積零為整”的數(shù)學(xué)方法。例題 2已知 ABC 中，

3、 AB=20， AC=15，BC邊上的高為12，求 ABC的面積。分析：應(yīng)分 ABC是銳角三角形或鈍角三角形兩種情況分別求之。解： AD是ABC的高，由勾股定理，得2222 122= 256,BD = 16BD= ABAD =202222- 122=81, CD=9CD= ACAD =15（ 1）若C 為銳角，如圖（ 1）所示，則BC=BD+CD=16+9=25（2）若C 為鈍角，如圖（2）所示，則BC=BD CD=169=7學(xué)習(xí)必備歡迎下載即ABC的面積為150 或 42點(diǎn)撥：在一些求值計(jì)算題中，有些題目沒有給出圖形，當(dāng)畫出符合題意的圖形不惟一時，要注意分情況進(jìn)行討論，避免漏解。三. 勾股定

4、理中類比思想的運(yùn)用類比思想 是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要發(fā)現(xiàn)式思維，它是一種學(xué)習(xí)方法，同時也是一種非常重要的創(chuàng)造性思維。它通過兩個已知事物在某些方面所具有的共同屬性，去推測這兩個事物在其他方面也有相同或類似的屬性。從而大膽猜想得到結(jié)論 ( 必要時要加以證明 ) 。例題 3如圖，分別以直角三角形難證明 S1 =S2+S3ABC三邊為直徑向外作三個半圓，其面積分別用S1、S2、S3 表示，則不（1）如圖，分別以直角三角形ABC三邊為邊向外作三個正方形，其面積分別用S2 、S3 之間有什么關(guān)系？( 不必證明 )S1、S2 、S3 表示，那么S1、（2）如圖，分別以直角三角形ABC三邊為邊向外作三個等邊三角形，其

5、面積分別用你確定 S1 、S2、 S3 之間的關(guān)系并加以證明S1 、S2、 S3 表示，請分析：從同學(xué)們熟悉的勾股定理入手，容易得證，中要求出等邊三角形的面積。解：設(shè)直角三角形ABC的三邊 BC、 CA、 AB 的長分別為、b、 c，則 c2 = 2 + b 2（ 1）S1=S 2+S 3（ 2）S1 = S 2 + S 3證明如下：顯然，點(diǎn)撥：本題從特殊到一般，從已知到未知，類比勾股定理的探究過程，其關(guān)鍵就在于理解勾股定理當(dāng)然，學(xué)習(xí)了相似三角形的知識后，還可以繼續(xù)探究：分別以直角三角形 ABC三邊為邊向外作三個一般三角形，上述結(jié)論是否還成立呢？學(xué)習(xí)必備歡迎下載四. 勾股定理中整體思想的運(yùn)用整

6、體思想 是指：對于某些數(shù)學(xué)問題，如果拘泥常規(guī)，從局部著手，則難以求解；如果把問題的某個部分或幾個部分看成一個整體進(jìn)行思考，就能開闊思路，較快解答題目。例題 4在直線 l 上依次擺放著七個正方形（如圖）已知斜放置的三個正方形的面積分別是1、2、3，正放置的四個正方形的面積依次是S1、 S2 、S3 、S4，則 S1 S2 S3 S4 =_分析：本題不可能求出S1、S2、 S3 、S4，但我們可以利用三角形全等和勾股定理分別求出S1 S2 、 S2 S3、 S3 S4解：易證 RtABC Rt CDE AB = CD又CD2+DE2=CE2,而 AB2=S 3,CE2=3,DE 2=S 4S3S4

7、=3 ，同理S1S2=1，S2S3=2S1S2S 2S 3S 3S 4= 1 23 = 6，即S1 S 2S 3S 44點(diǎn)撥：化零為整，化分散為集中的整體策略是數(shù)學(xué)解題的重要方法，利用整體思想，不僅會使問題化繁為簡，化難為易，而且有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力。五. 勾股定理中數(shù)型結(jié)合思想的運(yùn)用所謂數(shù)形結(jié)合思想 ，就是抓住數(shù)與形之間本質(zhì)上的聯(lián)系，將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來，通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”，使復(fù)雜問題簡單化、抽象問題具體化，從而達(dá)到迅速解題的目的。例題 5在一棵樹的 10m高處有兩只猴子，其中一只爬下樹直奔離樹撲池塘，如果兩只猴子經(jīng)過的距離相等，問這棵樹有多高？20m的池塘，而另一只爬到樹頂后直分析：根據(jù)題意畫出圖形，再在直角三角形中運(yùn)用勾股定理構(gòu)建方程求解。學(xué)習(xí)必備歡迎下載解：如右圖所示，D 為樹頂， AB = 10m，C 為池塘， AC = 20m設(shè) BD 的長是 xm，則樹高（ x + 10 ）mAC + AB = BD + DC，DC = 20 + 10x在 ACD中A = 90 °， AC 2 + AD 2 = DC 220 2+ （x + 10）2 =（30x）2 ，解得x = 5x + 10 = 15，即樹高15 米點(diǎn)撥：勾股定理本身就是數(shù)形結(jié)合的一個典范，它把直角三角形有一個直角的“形”