三余弦定理與三正弦定理_第1頁(yè)
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1、1.設(shè) a 為面上一點(diǎn)，過(guò)a 的直線 ao 在面上的射影為ab，ac 為面上的一條直線，那么 oac,bac, oab 三角的余弦關(guān)系為：cosoac=cos bac cosoab (cos bac 和 cosoab 只能是銳角）通俗點(diǎn)說(shuō)就是，斜線與平面內(nèi)一條直線夾角的余弦值 =斜線與平面所成角1的余弦值射影與平面內(nèi)直線夾角的余弦值三余弦定理（又叫最小角定理或爪子定理）定理證明：如上圖，自點(diǎn) o 作 obab 于點(diǎn) b， 過(guò) b 作 bcac于 c，連 oc，則易知 abc 、aoc、 abo 均為直角三角形oaacabacoaabcos,cos,cos2121coscoscos輔助記憶：這三

2、個(gè)角中，角是最大的，其余弦值最小，等于另外兩個(gè)角的余弦值之積。斜線與平面所成角1是斜線與平面內(nèi)所有直線所成的角中最小的角。2.設(shè)二面角 m abn 的度數(shù)為，在平面m 上有一條射線ac，它和棱ab 所成角為， 和平面 n 所成的角為， 則 sin=sin sin（如圖）三正弦定理定理證明：如上圖，過(guò)c 作 co平面 n 于點(diǎn) o，過(guò) o 作直線 ob二面角的棱于點(diǎn)b，連 oa ，cb，則易知 cao，cbo ，abc 均為直角三角形于是， sin=acco，sin=bcco，sin=acbcsin=sin sin如果將三余弦定理和三正弦定理聯(lián)合起來(lái)使用，用于解答立體幾何綜合題，你會(huì)發(fā)現(xiàn)出乎意料地簡(jiǎn)單，甚至不必作任何輔助線！例1 如圖，已知a1b1c1 abc 是正三棱柱，d 是 ac 中點(diǎn)，若ab1bc1，求以 bc1 為棱， dbc1 與 cbc1 為面的二面角的度數(shù) .(1994 年全國(guó)高考理科數(shù)學(xué)23 題) 例 2已知 rtabc 的兩直角邊ac=2 ，bc=3 p為斜邊 ab 上一點(diǎn)，現(xiàn)沿cp 將此直角三角形折成直二面角acpb（如下圖），當(dāng) ab= 7 時(shí)，求二面角pacb 大小 (上海市 1986 年高考試題，難度系數(shù)0.28) 例 3已知菱形abcd 的邊長(zhǎng)為1， bad=60 ，現(xiàn)沿對(duì)角線bd 將此菱形折成直二面角a-bd-c( 如

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