1、1用傅里葉變換解偏微分方程一、傅里葉變換二、偏微分方程三、方程的求解2一、傅里葉變換 1.傅里葉級(jí)數(shù) 2.積分變換 3.傅里葉變換 4.離散傅里葉變換 5.快速傅里葉變換（FFT）3傅里葉級(jí)數(shù)01( )cos()sin()kkkf xaakxbkx01( )2af x dx1( )cos()naf xnx dx1( )sin()nbf xnx dx傅里葉級(jí)數(shù)形式an和bn稱為f(x)的傅里葉系數(shù)4傅里葉級(jí)數(shù)一般意義下： 假設(shè) f (x) 是定義在 (-,+) 內(nèi)的實(shí)函數(shù)，它在任一有限區(qū)間l,+l內(nèi)是分段光滑的 ,則 f (x) 可以展開為傅里葉級(jí)數(shù)：01( )cos()sin()2nnnan

2、xn xf xabll1( )cos()lnln xaf xdxll1( )sin()lnln xbf xdxll01( )cos()sin()2nnnan xn xf xabll1( )cos()lnln xaf xdxll1( )sin()lnln xbf xdxll01( )cos()sin()2nnnan xn xf xabll1( )cos()lnln xaf xdxll5積分變換 對(duì)于一般的積分變換，我們有如下定義：令 I 為一實(shí)數(shù)集，K(s,w)是定義在 I a,b上的函數(shù)，如果函數(shù) f (w) 滿足：(1)在a,b上有定義； (2)對(duì)每個(gè)sI, K(s,w)f(w)作為wa,b

3、的函數(shù)是可積的。 則帶有參變量的積分 就定義了一個(gè)“從 f (w) 到 F(s) ”的變換。這種通過積分運(yùn)算把一個(gè)函數(shù)變?yōu)榱硪粋€(gè)函數(shù)的方法稱為積分變換。( )( ,) ( )abF sK s w f w dw6積分變換 每給定一個(gè)函數(shù) K(s, w) 就確定了一個(gè)積分變換，因此積分變換是由函數(shù) K(s, w) 生成的。通常稱 K(s, w) 為（積分變換的）核函數(shù)，稱參與變換的 f (w) 為初始函數(shù)或者原象函數(shù)，把變換成的 F(s) 稱為變換函數(shù)或者象函數(shù)。積分變換是作用是把初始函數(shù)變成另一類比較容易求解的象函數(shù)，因此用積分變換求解偏微分方程的方法與我們采用對(duì)數(shù)來(lái)計(jì)算數(shù)的乘、除、乘方和開方的

4、技巧是完全類似的。7傅里葉變換 ( )( )( )iwxF f xF wf x edx11 ( )( )( )2iwxFF wf xF w edx傅里葉變換傅里葉逆變換由傅里葉級(jí)數(shù)推導(dǎo)出傅里葉積分，再推導(dǎo)出傅里葉變換，過程如下8傅里葉變換cos()cos cossinsinababab1( )sin()lnln xbf xdxll01( )cos()sin()2nnnan xn xf xabll1( )cos()lnln xaf xdxll將上兩式代入前式，并利用三角恒等式：可以得到111()( )( )( )cos2llllnnxwf xf w dwf wdwlll9傅里葉變換11()( )

5、lim( )coslllnn x wf xf wdwll 12/ ,2/ ,.,/ ,nllnl1/nnl現(xiàn)在假定 f (x) 在 (,+) 內(nèi)絕對(duì)可積，那么當(dāng) l + 時(shí)，就有：l 011( )lim( )cos()nlnnlnf xf wxw dw01( )cos ()df wxw dw上述積分的極限為：令以及當(dāng) 時(shí)，011( )lim( )cos()nlnnlnf xf wxw dw01( )cos ()df wxw dw我們把上述積分表達(dá)式稱之為傅里葉積分。 10傅里葉變換 傅里葉積分的兩種形式： 一種是 另一種是0( ) ( )cos( )sinf xAxBx d1( )( )cos

6、Af wwdw1( )( )sinBf wwdw1( )( )cos ()sin ()2f xdf wxwixw dw()1( )2ix wdf w edw11傅里葉變換( )( )i wFf w edw引進(jìn)新函數(shù)：1( )( )2i xf xFed便可以得出：12傅里葉變換1212()()()F afbfaF fbF f1212( )( )()( )f xfxf xt f t dt1212(*)() ()F ffF f F f(1)線性性質(zhì)。假定 a 、b為任意兩個(gè)實(shí)數(shù),函數(shù) f1(x) 、f 2 (x) 滿足傅里葉變換條件，則有：(2)卷積性質(zhì)。假定函數(shù) f1(x) 、f 2 (x) 滿足

7、傅里葉變換條件，則稱函數(shù)稱為 f1(x) 和 f 2 (x) 卷積如果 f1(x) 、f 2 (x) 和 f1 * f 2 均滿足傅里葉變換條件，那么就有：11212* ()()ffFF f Ff f12121()()*()2F f fF fF f13傅里葉變換 (3)微商性質(zhì)。如果 和 均滿足傅里葉變換條件，而且當(dāng)|x|+時(shí)f(x)0，那么： 進(jìn)一步，如果 滿足傅里葉變換條件，就有：( ) ( )F fxiwF f x ()( )() ( )mmF fxiwF f x ( )fx( )f x()( ),( ),.,( )mfxfxfx14二、偏微分方程 1.什么是偏微分方程 2.定解條件與定

8、解問題 3.二階線性偏微分15偏微分方程的概念 偏微分方程是指含有未知函數(shù)以及未知函數(shù)的某些偏導(dǎo)數(shù)的等式。 偏微分方程的一般形式：16偏微分方程的分類 如果一個(gè)偏微分方程對(duì)未知函數(shù)及它的所有偏導(dǎo)數(shù)都是線性的，且它們的系數(shù)都是僅依賴于自變量的已知函數(shù)，則這樣的偏微分方程稱為線性偏微分方程。 對(duì)于一個(gè)非線性偏微分方程，如果它關(guān)于未知函數(shù)的最高階偏導(dǎo)數(shù)是線性的，則稱它是擬線性偏微分方程。17偏微分方程的例子18定解條件 常見的定解條件，可分為初始條件與邊界條件。19定解條件20定解條件21定解條件22定解問題 一個(gè)偏微分方程與定解條件一起構(gòu)成對(duì)于具體問題的完整描述，稱為定解問題。23二階線性偏微分

9、表達(dá)式為： 其中A,B,C為參數(shù)并且取決于x,y。如果在xy平面上有 ，該偏微分方程在該平面上為二階偏微分方程?？勺冃螢椋?該二階偏微分方程可分類為：拋物線方程，雙曲線方程和橢圓方程，起分類方式為： :橢圓方程； :拋物線方程； :雙曲線方程。2.0 xxxyyyAuBuCu222.0AxBxyCy20BAC20BAC20BAC2220ABC24三、傅里葉變換解偏微分 1.熱傳導(dǎo)問題 2.波動(dòng)問題 3.基本步驟25熱傳導(dǎo)問題 一維的齊次熱傳導(dǎo)方程柯西問題222,0.(1)( ,0)( ),.(2)uuaxttxu xxx 26熱傳導(dǎo)問題 （一）將t視為參數(shù)，對(duì)（1）（2）兩式兩端進(jìn)行對(duì)于x的傅

10、里葉變換： 記 ,則有 22( , )( , )0.(3)( ,0)( ).(4)du w ta w u w tdtu ww ( , )( , ), ( )( )F u x tu w tFxw 27熱傳導(dǎo)問題2222( , )() ( , )( , )d u x tFiwF u x tw u w tdx ( , ) ( , )( , )du x tdF u x tdu w tduFdtdtdtdt ( ,0)( ,0)F u xu w ( )( )Fxw （微分性質(zhì)）28熱傳導(dǎo)問題（二）解（3）（4）式合并后帶有參數(shù)w的的常微 分方程的初值問題，得22( , )( ).(5)w a tu w

11、tw e 29熱傳導(dǎo)問題（三）利用對(duì)w的傅里葉逆變換，來(lái)求原函數(shù) （5）式的左端： 右端：1 ( , )( , )Fu w tu w t221( )a w tFew30熱傳導(dǎo)問題考慮（5）的右端： 由于 故只考慮 ，而 1 ( )( )Fwx221a w tFe222222222214121(cossin)21cos212aw taw tiw xaw taw txa tFeeedwew xiw x dwew xdweat31熱傳導(dǎo)問題2222141( )( )2xa w ta tFewexat22()41( , )( )2x wa tu x tew dwat卷積性質(zhì)所以解為32波動(dòng)問題 由于時(shí)間問題，此問題是從網(wǎng)上照抄下來(lái)的，沒有自己打。333435363738基本