1、菱形（基礎(chǔ)）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1 .理解菱形的概念.2 .掌握菱形的性質(zhì)定理及判定定理.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、菱形的定義有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形要點(diǎn)詮釋：菱形的定義的兩個(gè)要素：是平行四邊形.有一組鄰邊相等.即菱形是一個(gè)平行四邊形，然后增加一對(duì)鄰邊相等這個(gè)特殊條件要點(diǎn)二、菱形的性質(zhì)菱形除了具有平行四邊形的一切性質(zhì)外，還有一些特殊性質(zhì)：1 .菱形的四條邊都相等；2 .菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角3 .菱形也是軸對(duì)稱圖形，有兩條對(duì)稱軸（對(duì)角線所在的直線），對(duì)稱軸的交點(diǎn)就是對(duì)稱中心要點(diǎn)詮釋：（1）菱形是特殊的平行四邊形，是中心對(duì)稱圖形，過中心的任意直線可將菱形分成完全全等的

2、兩部分.（2）菱形的面積由兩種計(jì)算方法：一種是平行四邊形的面積公式：底X高；另一種 是兩條對(duì)角線乘積的一半（即四個(gè)小直角三角形面積之和）.實(shí)際上，任何一個(gè)對(duì)角線互相垂直的四邊形的面積都是兩條對(duì)角線乘積的一半（3）菱形可以用來證明線段相等，角相等，直線平行，垂直及有關(guān)計(jì)算問題要點(diǎn)三、菱形的判定菱形的判定方法有三種：1 .定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形2 .對(duì)角線互相垂直的平彳f四邊形是菱形.3 .四條邊相等的四邊形是菱形.后一種方法是在四要點(diǎn)詮釋：前兩種方法都是在平行四邊形的基礎(chǔ)上外加一個(gè)條件來判定菱形,邊形的基礎(chǔ)上加上四條邊相等【典型例題】類型一、菱形的性質(zhì)1、（2016?廣安）如圖，

3、四邊形 ABCD是菱形，CEXAB交AB的延長線于點(diǎn)E, CFXAD 交 AD的延長線于點(diǎn) F,求證：DF=BE .,再根據(jù)角平分線的 CD=BC , DAE平分/ AC ,根據(jù)菱形的性質(zhì)可得 AC連接【思路點(diǎn)撥】 性質(zhì)可得 CE=FC,然后利用 HL證明RtACDFRtACBE,即可得出 DF=BE .【答案與解析】證明：連接AC , 四邊形ABCD是菱形， AC 平分/ DAE , CD=BC , . CEXAB, CFXAD, .CE=FC , / CFD= / CEB=90 ° .rCD=CB在 RtACDF 與 RtACBE 中，CF二匚E.RtACDFRtACBE (HL

4、),.DF=BE . ARE【總結(jié)升華】此題考查了菱形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握菱形的兩條對(duì)角線互相垂直， 并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.同時(shí)考查了全等三角形的判定與性質(zhì).舉一反三：【變式1(2015?溫州模擬)如圖，在菱形 ABCD中，點(diǎn)E是AB上的一點(diǎn)，連接 DE交AC于點(diǎn) O,連接 BO,且/ AED=50 ° ,則/ CBO=度.【答案】50;解：在菱形 ABCD中，AB II CD, . / CDO= / AED=50 ° ,CD=CB , / BCO= / DCO ,rCD=CB* ZBC0=ZDC0

5、 在4 BCO 和 DCO 中，lCO=CO/.A BCO DCO (SAS), ./ CBO= / CDO=50 ° .【高清課堂特殊的平行四邊形(菱形) 例1】.(),則此菱形的高等于 8,若周長為5 ： 1 = B ： / A中，/ ABCD菱形2【變式1 A.B.4 C.1 D.22【答案】C；1X2 = 2,菱形的高等于1.提示：由題意，/A= 30。，邊長為2類型二、菱形的判定是，四邊形 DECFDF/BCCD2如圖所示，在 ABC中，是/ ACB的平分線，DE/ AC, ?試說明理由.菱形嗎【思路點(diǎn)撥】 由菱形的定義去判定圖形，由 DE/AC, DF / BC知四邊形D

6、ECF是平行四邊形, 再由/ 1 = /2= / 3得到鄰邊相等即可.【答案與解析】解：四邊形 DECF是菱形，理由如下：DE II AC, DF/ BC四邊形DECF是平行四邊形.CD 平分/ ACB,/ 1 = / 2DF II BC,/ 2= / 3, / 1 = / 3.CF =DF,四邊形DECF是菱形.首先判定這個(gè)四邊形是平行四邊形，再【總結(jié)升華】在用菱形的定義判定一個(gè)四邊形是菱形時(shí), 由一對(duì)鄰邊相等來判定它是菱形.舉一反三：【變式】如圖所示， AD是 ABC的角平分線，EF垂直平分AD,分別交AB于E,交AC于F,則四 邊形AEDF是菱形嗎？請(qǐng)說明理由.【答案】解：四邊形 AED

7、F是菱形，理由如下：EF垂直平分AD, AAOF與ADOF關(guān)于直線 EF成軸對(duì)稱./ODa / OAE,OAE= / OAF 即 / BAC平分/ AD 又 / ODa / OAEAE II DF,同理可得：DE/ AF.四邊形AEDF是平行四邊形，EO =OF L又AEDF的對(duì)角線 ADEF 互相垂直平分. .AEDF 是菱形.3、如圖所示，在 ABC中，/ BAC= 90° , AD± BC于點(diǎn)D, CE平分/ ACD交AD于點(diǎn)G,交AB 于點(diǎn)E, EF± BC于點(diǎn)F. 求證：四邊形 AEFG是菱A形.【思路點(diǎn)撥】 由角平分線性質(zhì)易知 AE = EF,欲證四邊

8、形 AEFG是菱形，只要再證四邊形 AEFG 是平行四邊形或 AG =GF = AE即可.【答案與解析】證明：方法一：二 CE 平分/ ACR / BAG= 90° , EF± BC,AE=EF, /1 + /3=90° , / 4+/ 2=90° ./ 1 = / 2, /3=/4.EF ± BC, AD± BC,EF II AD.IJ J I/ /4=/5./3=/5.EFAG . AGAE =四邊形AEFG是平行四邊形.又 AE =AG四邊形AEFG是菱形.方法二：二 CE 平分/ ACB / BAC= 90° , E

9、F± BC, AE = EF, /1 + /3=90° , / 4+/ 2=90° ./3=/4.EF ± BC, AD± BC,EF II AD.Z4=Z 5./ 3=/ 5.AE =AG在AAEGAFEG中，AE= EF, /3 = /4, EG= EG, AAE(G FEG.1. AG = FG.AE = EF= FG= AG四邊形AEFG是菱形.【總結(jié)升華】判定一個(gè)四邊形是菱形，關(guān)鍵是把已知條件轉(zhuǎn)化成判定方法所需要的條件.舉一反三：【變式】如圖所示，在 ABCD中，E、F分別為邊 AR CD的中點(diǎn)，BD是對(duì)角線，過 A點(diǎn)作AG/ DB

10、交CB的延長線于點(diǎn) G.(1) 求證：DE/ BF;是菱形.DEBF ,求證四邊形 90=G若/【答案】(1)ABCD 中，AB/ CQ 證明：AB= CDE、F分別為AB CD的中點(diǎn)11DG BE= ABDF =_ _ 22 DF II BE. DF= BE四邊形DEBF為平行四邊形 DE II BF(2)證明：: AG II BD /G= / DBC= 90° ADBC為直角三角形又 F為邊CD的中點(diǎn).1DC= = DFBF 2 又二 四邊形DEBF為平行四邊形四邊形DEBF是菱形類型三、菱形的應(yīng)用mm的矩形瓷磚，E、F、G、如圖所示，是一種長 0.3、，寬0.2H分別為矩形四邊

11、 4m, 4.2的中 點(diǎn)，陰影部分為淡黃色花紋，中間部分為白色，現(xiàn)有一面長DA ABBC CD m的墻壁準(zhǔn)備貼如圖所示規(guī)格的瓷磚.試問：寬2.8 (1)這面墻最少要貼這種瓷磚多少塊？(2)全部貼滿后，這面墻壁會(huì)出現(xiàn)多少個(gè)面積相同的菱形？【答案與解析】mmmm, 4.2 +0.3 =14,寬 2.8 ,矩形瓷磚長 0.32.8 ,寬 0.2 +4.2 解：墻壁長 0.2 =14,則 可知矩形瓷磚橫排 14塊，豎排14塊可毫無空隙地貼滿墻面.(1)則至少需要這種瓷磚 14X14=196(塊).(2)每塊瓷磚中間有一個(gè)白色菱形， 則共有196個(gè)白色的菱形，它的面積等于瓷磚面積的一半. 另 外在同一個(gè)頂點(diǎn)處的瓷磚能夠拼成一個(gè)淡黃色花紋的菱形，它的面積也等于瓷磚