1、的關(guān)系構(gòu)造方程時(shí)，未知數(shù)要換成異于X、y的字母，如z初高中數(shù)學(xué)銜接課程第五講方程與不等式5.1二元二次方程組解法方程X2 2xy y2 x y 60是一個(gè)含有兩個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是2的整式方程,這樣的方程叫做二元二次方程。其中x2, 2xy , y2 叫做這個(gè)方程的 二次項(xiàng)，x, y叫做一次項(xiàng),6叫做常數(shù)項(xiàng)。我們看下面的兩個(gè)方程組：2.2cc22“x4y x 3y10, xy 20,2xy10;x5xy 6y0.第一個(gè)方程組是由一個(gè)二元二次方程和一個(gè)二元一次方程組成的，第二個(gè)方程組是由兩個(gè)二元二次方程組成的，像這樣的方程組叫做二元二次方程組。F面我們主要來(lái)研究由一個(gè)二元二次

2、方程和一個(gè)二元一次方程組成的方程組的解法一個(gè)二元二次方程和一個(gè)二元一次方程組成的方程組一般可以用代入消元 法來(lái)解。解方程組x2 4y2 4 0, x 2y 20.例2解方程組xy7,xy12.解：由，得x 7y.把代入，整理，得2y7y 120解這個(gè)方程，得y13,y24。把Y13代入，得%4 ；把y 4代入,所以原方程的解是x4,.x2 3,y13,y24.x1 3】解方程組y11(1)xy28(2)O得 x23。解：由，得x= 2y + 2,把代入,整理,得8y2+ 8y = 0,即y(y+ 1) = 0。解得y 0, y?二一1 把y 0代入，得X1 = 2；把y2= 1代入，得X2=

3、0。所以原方程組的解是為 2, ；X2 0,y1 0,y21.說(shuō)明：在解類似于本例的二元二次方程組時(shí)，通常采用本例所介紹的代入消 元法來(lái)求解分析：本題可以用代入消元法解方程組，但注意到方程組的特點(diǎn)，可以把x、 y看成是方程z211z 280的兩根，則更容易求解。說(shuō)明：(1)對(duì)于這種對(duì)稱性的方程組 x y a，利用一元二次方程的根與系數(shù)xy b(2)對(duì)稱形方程組的解也應(yīng)是對(duì)稱的，即有解x 4X 4，則必有解y 7【例4】解方程組2 X2 Xy25(x y)xy y243(1)分析：注意到方程x2 y25(x y)，可分解成(x y)(x y 5)0，即得x y 0或x y 50，則可得到兩個(gè)二元

4、二次方程組，且每個(gè)方程組中均有一個(gè)方程為二元一次方程。【例5】解方程組2x xy2xy y124(1)分析：本題的特點(diǎn)是方程組中的兩個(gè)方程均缺一次項(xiàng)，我們可以消去常數(shù) 項(xiàng)，可得到一個(gè)二次三項(xiàng)式的方程.例 6】解方程組xy X 33xy y 8(1)分析：注意到兩個(gè)方程都有xy項(xiàng)，所以可用加減法消之，得到一個(gè)二元次方程，即轉(zhuǎn)化為由一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組成的方程組.例7 .解下列方程組：(1)y x 5,X2 y2625;(2)x y 3, xy 10;(2)( 3)2 2L仏154y X 3;(4)y22x,x2 y2 8.5.2、一元二次不等式及其解法初中階段已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元一次不

5、等式和一元一次不等式組的解法。高中階 段將進(jìn)一步學(xué)習(xí)一元二次不等式和分式不等式等知識(shí)。本講先介紹一些高中新 課標(biāo)中關(guān)于不等式的必備知識(shí)。1 .形如ax2 bx c 0(或 0)(其中a 0)的不等式稱為關(guān)于x的一元二次 不等式。2 . 一元二次不等式ax2 bx c ax2 bx c (a 0)及一元二次方程 ax2 bx c以二次函數(shù)y x2 x 6為例：(1) 作出圖象；(2) 根據(jù)圖象容易看到，圖象與 x軸的交點(diǎn)是( 3或2時(shí)，y 0。就是說(shuō)對(duì)應(yīng)的一元二次方程 x2根是x0(或 0)與二次函數(shù)0的關(guān)系(簡(jiǎn)稱：說(shuō)X2x當(dāng)解是3當(dāng)x 3或 x 2時(shí)，y 0，對(duì)應(yīng)圖像位于0的解是x 3或x 2

6、。x 2時(shí)，y 0，對(duì)應(yīng)圖像位于x軸的下方。就是說(shuō)x2 x2。一元二次不等式可以結(jié)合相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程求解,X一般地，步驟如下：(1) 將二次項(xiàng)系數(shù)先化為正數(shù)；(2) 觀測(cè)相應(yīng)的二次函數(shù)圖象。如果圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)(x1,0),( x2,0)，此時(shí)對(duì)應(yīng)的一元二次方程有兩不相等的實(shí)數(shù)根x,X2(也可由根的判別式0來(lái)判斷)。那么(圖 1) :; ax2 bx c 0 (a 0) x 為或x x22i ax bx c 0 (a 0)Xi x X2 如果圖象與X軸只有一個(gè)交點(diǎn)(,0)，此時(shí)對(duì)應(yīng)的一元二次方程有兩個(gè)2a相的實(shí)數(shù)根xx x2(也可由根的判別式0來(lái)判斷)。2a那么(圖 2) :

7、:ax2 bx c 0 (a 0) x !I2a ,ii| ax2 bx c 0 (a 0) 無(wú)解； 如果圖象與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，此時(shí)對(duì)應(yīng)的一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根 (也可由根的判別式0來(lái)判斷)。那么(圖3) :;ax2bx c0 (a0)x取一切實(shí)數(shù)：|IIi；ax2bx c0 (a0)無(wú)解；如果單純的解一個(gè)一元二次不等式的話，可以按照一下步驟處理：(1) 化二次項(xiàng)系數(shù)為正；(2) 若二次三項(xiàng)式能分解成兩個(gè)一次因式的積， 則求出兩根x,x2 那么0 型的解為x x,或x X2(俗稱兩根之外)；“ 0”型的解為X! x X2(俗稱兩根 之間)；【例1】解不等式x2 x 60?！纠?】解下列不等式：(

8、1) (x 2)(x 3)6(2)(x-1)(x+2)(x-2)(2x+1)分析：要先將不等式化為 ax2 bx c 0(或0)的形式，通常使二次項(xiàng)系 數(shù)為正數(shù)?！纠?】解下列不等式：(2) x2 4x 40(3) x2 x 20(1) x2 2x 80【例4】已知對(duì)于任意實(shí)數(shù)x , kx2 2x k恒為正數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍例5、函數(shù)y = x2 2ax+ 1(a為常數(shù))在一2 x1上的最小值為n,試將n用a 表示出來(lái)。分析：由該函數(shù)的圖象可知，該函數(shù)的最小值與拋物線的對(duì)稱軸的位置有關(guān)， 于是需要對(duì)對(duì)稱軸的位置進(jìn)行分類討論。解：T y= (x a)2+ 1 a2, 拋物線y = x2 2a

9、x + 1的對(duì)稱軸方程是x = a。 若一2 a 1時(shí)，由圖2.3-3可知,當(dāng)x = 1時(shí)，該函數(shù)取最小值n= -2a+2。4a 5, a 2,綜上，函數(shù)的最小值為n 1 a2, 2 a 1,2a 2, a 1.圖 2.3 3yi.x丄a/2 O廠(1)5.3分式不等式的解法1,簡(jiǎn)單分式不等式【例1】解下列不等式:x 22x 3說(shuō)明:轉(zhuǎn)化為整式不等式時(shí)，一定要先將右端變?yōu)?0。 本例也可以直接去分母，但應(yīng)注意討論分母的符號(hào):x3(x 2) 12 0x20或3(x 2) 1 x2、可化為1 .去分母化分式方程為一元14x【例2】解方程害x 2 x24分析：去分母，轉(zhuǎn)化為整式方程 說(shuō)明：(1)去分

10、母解分式方程的步驟： 把各分式的分母因式分解； 去括號(hào)，元二次方程的分式方程一次方程2x 2在方程兩邊同乘以各分式的最簡(jiǎn)公分母； 把所有項(xiàng)都移到左邊，合并同類項(xiàng)；解一元二次方程；驗(yàn)根。2 用換元法化分式方程為一元二次方程2【例3】解方程說(shuō)2分析：本題若直接去分母,會(huì)得到一個(gè)四次方程，解方程很困難。但注意2到方程的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，設(shè)x 1y，即得到一個(gè)關(guān)于y的一元二次方程。最后在已知y的值的情況下，用去分母的方法解方程xy的值，而沒(méi)有求到原方程的解,說(shuō)明：用換元法解分式方程常見的錯(cuò)誤是只求出 即x的值。2 2【例4】解方程8(x2 2x)1)11 .x 1 x 2x分析：注意觀察方程特點(diǎn)，可以看到分式

11、2 2=與七互為倒數(shù)。因此,說(shuō)明：解決分式方程的方法就是采取去分母、換元等法，將分式方程轉(zhuǎn)化為整 式方程，體現(xiàn)了化歸思想.3、可化為一元二次方程的無(wú)理方程根號(hào)下含有未知數(shù)的方程，叫做無(wú)理方程.1 平方法解無(wú)理方程【例1】解方程.x 7 x 1分析：移項(xiàng)、平方，轉(zhuǎn)化為有理方程求解.說(shuō)明：含未知數(shù)的二次根式恰有一個(gè)的無(wú)理方程的一般步驟：移項(xiàng)，使方程的左邊只保留含未知數(shù)的二次根式，其余各項(xiàng)均移到方程的右邊；兩邊同時(shí)平方，得到一個(gè)整式方程；解整式方程；驗(yàn)根.【例2】解方程 3x 23分析：直接平方將很困難.可以把一個(gè)根式移右邊再平方，這樣就可以轉(zhuǎn) 化為上例的模式，再用例4的方法解方程.2.換元法解無(wú)理

12、方程【例3】解方程3x2 15x 2 x2 5x 12分析：本題若直接平方，會(huì)得到一個(gè)一元四次方程，難度較大.注意觀察方程中含未知數(shù)的二次根式與其余有理式的關(guān)系，可以發(fā)現(xiàn)： 3x2 15x 3 3(x2 5x 1).因此，可以設(shè)、x2 5x 1 y，這樣就可將原方程 先轉(zhuǎn)化為關(guān)于y的一元二次方程處理.說(shuō)明：解決根式方程的方法就是采取平方、換元等法，將根式方程轉(zhuǎn)化為有理 方程，體現(xiàn)了化歸思想.4、含有字母系數(shù)的一元二次不等式【例1】求關(guān)于x的不等式m2x 2 2mx m的解。【例2】已知關(guān)于x的不等式k2 kx x 2的解為x 1，求實(shí)數(shù)k的值。2分析：將不等式整理成ax b的形式，可以考慮只有當(dāng)a 0時(shí)，才有形如 x b的解，從而令-1 。aa 2課堂小練(2) x x2+ 6V 0;2(4) x 6x+ 9+ 2在OWxW2上的最大值k。+ 2x 30；2(5