1、第三節(jié)二項式定理 總綱目錄 教材研讀 1.二項式定理 考點突破 2.二項式系數(shù)的性質(zhì) 考點二二項式系數(shù)的問題與各項系數(shù)和的問題考點二二項式系數(shù)的問題與各項系數(shù)和的問題 考點一二項展開式中的特定項和特定項的系數(shù) 考點三多項式的展開式中的特定項系數(shù)問題考點三多項式的展開式中的特定項系數(shù)問題 教材研讀教材研讀 1.二項式定理 二項式定理(a+b)n=an+an-1b1+an-rbr+bn(nN*) 二項式系數(shù)二項展開式中各項的二項式系數(shù):(r=0,1,n) 二項展開 式的通項 Tr+1=an-rbr,它表示第(r+1)項 0 Cn 1 CnCrnCn n r n C r n C 2.二項式系數(shù)的性質(zhì)

2、 1.已知的展開式的第4項等于5,則x等于( ) A.B.-C.7D.-7 1 7 1 7 B 7 1 x x 答案答案B由T4=x4=5得x=-,故選B. 3 7 C 3 1 x 1 7B 2.已知(2-x)10=a0+a1x+a2x2+a10 x10,則a8=() A.180B.-180C.45D.-45 A 答案答案A由題意得a8=22(-1)8=180,故選A. 8 10 C B D3.(2017北京海淀二模,2)的展開式的第二項是() A.6x4B.-6x4C.12x4D.-12x4 答案答案D展開式中的第二項為T2=x5=-12x4,故選D. 1 2 x 1 6 C B 6 2 x

3、 x 4.(2017北京石景山期末,9)在(x-3)7的展開式中,x5的系數(shù)是(結 果用數(shù)值表示). 答案答案189 189 解析解析因為(x-3)7的展開式的通項公式為Tr+1=x7-r(-3)r,當r=2時,T3=x5 (-3)2=189x5. 所以(x-3)7的展開式中,x5的系數(shù)為189. 7 Cr 2 7 C B 答案答案40 40 5.(2017北京東城一模,10)在的展開式中,常數(shù)項為.(用 數(shù)字作答) 5 2 3 2 x x 解析解析展開式的通項為Tr+1=(x2)5-r=2rx10-5r,令10-5r=0,則r=2,故 常數(shù)項為22=40. 5 Cr 3 2 r x 5 Cr

4、 2 5 C B 6.(2018北京海淀高三期末,12)已知(5x-1)n的展開式中,各項系數(shù)的和與 各項二項式系數(shù)的和之比為64 1,則n=. 答案答案6 6 解析解析由題意得=2n=64,所以n=6. 4 2 n n B 考點一二項展開式中的特定項和特定項的系數(shù) 考點突破考點突破 典例典例1(1)的展開式中,常數(shù)項的值是() A.240B.60C.192D.180 (2)在的展開式中,含x3的項的系數(shù)為.(用數(shù)字作答) 6 2 1 2x x 5 1 2 4 x x 答案答案(1)A(2)20 解析解析(1)Tr+1=(2x)6-r=26-rx6-3r,令6-3r=0,解得r=2,常數(shù)項的值

5、 是24=24=240. 6 Cr 2 1 r x 6 Cr 2 6 C 6 5 2 (2)Tr+1=(2x)5-r=25-3rx5-2r,令5-2r=3,則r=1,所以含x3的項的系數(shù)為 22=20. 5 Cr 1 4 r x 5 Cr 1 5 C 易錯警示易錯警示 應用通項公式要注意五點:(1)Tr+1=an-rbr表示二項展開式的任意項,只 要n與r確定,該項就隨之確定;(2)Tr+1是展開式中的第r+1項,而不是第r項; (3)公式中a,b的指數(shù)和為n;(4)要將通項中的系數(shù)和字母分離開,以便于 解決問題;(5)關于(a-b)n展開式的通項公式,要特別注意符號問題.Cr n 1-1的展

6、開式中含x4的項的系數(shù)是(用數(shù)字作答). 答案答案10 10 5 2 1 x x 解析解析的展開式的通項為Tr+1=(x2)5-r=x10-2rx-r=x10-3r,令 10-3r=4,得r=2,含x4的項的系數(shù)為=10. 5 2 1 x x 5 Cr 1 r x 5 Cr 5 Cr 2 5 C B 考點二二項式系數(shù)的問題與各項系數(shù)和的問題 典例典例2(1)設m為正整數(shù),(x+y)2m展開式的二項式系數(shù)的最大值為a,(x+y)2m+1 展開式的二項式系數(shù)的最大值為b.若13a=7b,則m=() A.5B.6C.7D.8 (2)已知(2x-1)6=a6x6+a5x5+a1x+a0,則a3=. 答

7、案答案(1)B(2)-160 解析解析(1)由題意得a=,b=,則13=7,= ,=13,解得m=6,經(jīng)檢驗m=6為原方程的解,故選B. (2)由題意得a3為(2x-1)6的展開式中含x3的項的系數(shù),展開式的通項為Tr+1 =(2x)6-r(-1)r=(-1)r26-rx6-r,令6-r=3,得r=3,所以a3=(-1)326-3=-160. 2 Cmm 21 Cmm 2 Cmm 21 Cmm 13 (2 )! ! m m m 7 (21)! ! (1)! m mm 7(21) 1 m m 6 Cr 6 Cr 3 6 C 規(guī)律總結規(guī)律總結 (1)對形如(ax+b)n(a,bR)的式子求其展開式

8、各項系數(shù)之和,常用賦值法, 只需令x=1即可. (2)對形如(ax+by)n(a,bR)的式子求其展開式各項系數(shù)之和,只需令x=y =1即可. (3)一般地,對于多項式(a+bx)n=a0+a1x+a2x2+anxn,令g(x)=(a+bx)n,則 (a+bx)n的展開式中各項的系數(shù)的和為g(1), (a+bx)n的展開式中奇數(shù)項的系數(shù)和為g(1)+g(-1), (a+bx)n的展開式中偶數(shù)項的系數(shù)和為g(1)-g(-1). 1 2 1 2 2-1(2016北京,10,5分)在(1-2x)6的展開式中,x2的系數(shù)為.(用 數(shù)字作答) 答案答案60 60 解析解析Tr+1=16-r(-2x)r=

9、(-2)rxr,令r=2, 得T3=(-2)2x2=60 x2.故x2的系數(shù)為60. 6 Cr 6 Cr 2 6 C B 2-2已知的展開式中各項二項式系數(shù)的和是16,則n=, 展開式中的常數(shù)項是. 答案答案4;24 4 24 2 n x x 解析解析由題意得2n=16,n=4,則展開式的通項為Tr+1=2rx4-2r,令4-2r=0, 得r=2,展開式中的常數(shù)項為22=24. 4 Cr 2 4 C B 考點三多項式的展開式中的特定項系數(shù)問題 命題方向一幾個二項式和的展開式中的特定項系數(shù)問題命題方向一幾個二項式和的展開式中的特定項系數(shù)問題 典例典例3+的展開式中的常數(shù)項為() A.32B.34

10、 C.36D.38 D 4 3 2 x x 8 1 x x 答案答案D 解析解析的展開式的通項為Tk+1=(x3)4-k=(-2)kx12-4k,令12- 4k=0,解得k=3. 的展開式的通項為Tr+1=x8-r=x8-2r,令8-2r=0,得r=4. 所以所求展開式中的常數(shù)項為(-2)3+=38. 4 3 2 x x 4 Ck 2 k x 4 Ck 8 1 x x 8 Cr 1 r x 8 Cr 3 4 C 4 8 C 命題方向二幾個二項式積的展開式中的特定項系數(shù)問題命題方向二幾個二項式積的展開式中的特定項系數(shù)問題 典例典例4(1)(1+x)6的展開式中x2的系數(shù)為() A.15B.20

11、C.30D.35 (2)(a+x)(1+x)4的展開式中x的奇數(shù)次冪項的系數(shù)之和為32,則a=. 2 1 1 x 答案答案(1)C(2)3 解析解析(1)對于(1+x)6,若要得到x2項,可以在中選取1,此時 (1+x)6中要選取含x2的項,則系數(shù)為;當在中選取時,(1+x)6中 要選取含x4的項,即系數(shù)為,所以,展開式中x2項的系數(shù)為+=30,故 選C. (2)設f(x)=(a+x)(1+x)4,則其展開式中所有項的系數(shù)和為f(1)=(a+1)(1+1)4 =(a+1)16,奇數(shù)次冪項的系數(shù)和為f(1)-f(-1),又f(-1)=0,(a+1) 16=32,a=3. 2 1 1 x 2 1

12、1 x 2 6 C 2 1 1 x 2 1 x 4 6 C 2 6 C 4 6 C 1 2 1 2 命題方向三三項展開式中特定項系數(shù)問題命題方向三三項展開式中特定項系數(shù)問題 典例典例5(1)(x2+x+y)5的展開式中,x5y2的系數(shù)為() A.10B.20C.30D.60 (2)(1-x-5y)5的展開式中不含x的項的系數(shù)和為(結果化成最簡形 式). 答案答案(1)C(2)-1024 解析解析(1)(x2+x+y)5=(x2+x)+y5的展開式中只有(x2+x)3y2中含x5y2,易知x 5y2的系數(shù)為=30,故選C. 2 5 C 2 5 C 1 3 C (2)(1-x-5y)5的展開式中不含x的項的系數(shù)和等于(1-5y)5的展開式的各項 系數(shù)和,在(1-5y)5中,令y=1,得其展開式的各項系數(shù)和為(-4)5=-1024,所以 (1-x-5y)5的展開式中不含x的項的系數(shù)和為-1024. 規(guī)律總結規(guī)律總結 (1)對于幾個二項式和的展開式中的特定項系數(shù)問題,只需依據(jù)二項展 開式的通項,從相應各項中分別得到所含的特定項的系數(shù),再求和即可. (2)對于幾個二項式積的展開式中的特定項系數(shù)問題,一般可以根據(jù)因 式連乘的規(guī)律,結合組合思想求解,但要注意適當?shù)剡\用分類方法,以免 重復或遺漏. (3)對于三項