1、基于MATLAB的曲柄搖桿機(jī)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)1. 問題的提出根據(jù)機(jī)械的用途和性能要求的不同，對(duì)連桿機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)的要求是多種多樣的，但這些設(shè)計(jì)要求可歸納為以下三種問題：（1）滿足預(yù)定的運(yùn)動(dòng)規(guī)律要求；（2）滿足預(yù)定的連桿位置要求；（3）滿足預(yù)定的軌跡要求。設(shè)實(shí)際的函數(shù)為（稱為再現(xiàn)函數(shù)），而再現(xiàn)函數(shù)一般是與期望函數(shù)不一致的，因此在設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)使機(jī)構(gòu)再現(xiàn)函數(shù)盡可能逼近所要求的期望函數(shù)。2. 曲柄搖桿機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)在圖 1 所示的曲柄搖桿機(jī)構(gòu)中， 、 分別是曲柄AB、連桿BC、搖桿CD和機(jī)架AD的長度。這里規(guī)定為搖桿在右極限位置時(shí)的曲柄起始位置角，它們由 、和確定。圖1曲柄搖桿機(jī)構(gòu)簡圖設(shè)計(jì)時(shí)，可在給定最大和最小傳動(dòng)角的前

2、提下，當(dāng)曲柄從轉(zhuǎn)到時(shí)，要求搖桿的輸出角最優(yōu)地實(shí)現(xiàn)一個(gè)給定的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。這里假設(shè)要求： （1）對(duì)于這樣的設(shè)計(jì)問題，可以取機(jī)構(gòu)的期望輸出角和實(shí)際輸出角的平方誤差之和作為目標(biāo)函數(shù)，使得它的值達(dá)到最小。2.1 設(shè)計(jì)變量的確定決定機(jī)構(gòu)尺寸的各桿長度 、和，以及當(dāng)搖桿按已知運(yùn)動(dòng)規(guī)律開始運(yùn)行時(shí)，曲柄所處的位置角應(yīng)列為設(shè)計(jì)變量，即: (2)考慮到機(jī)構(gòu)的桿長按比例變化時(shí)，不會(huì)改變其運(yùn)動(dòng)規(guī)律，通常設(shè)定曲柄長度=1.0，在這里可給定=5.0，其他桿長則按比例取為的倍數(shù)。若取曲柄的初始位置角為極位角，則及相應(yīng)的搖桿位置角均為桿長的函數(shù)，其關(guān)系式為: （3） （4）因此，只有、為獨(dú)立變量，則設(shè)計(jì)變量為。2.2目標(biāo)函數(shù)的建

3、立目標(biāo)函數(shù)可根據(jù)已知的運(yùn)動(dòng)規(guī)律與機(jī)構(gòu)實(shí)際運(yùn)動(dòng)規(guī)律之間的偏差最小為指標(biāo)來建立，即： （5）式中，-期望輸出角；m-輸出角的等分?jǐn)?shù)；-實(shí)際輸出角，由圖可知： (6)式中， (7) (8) (9)2.3約束條件曲柄存在條件: 曲柄與機(jī)架共線位置時(shí)的傳動(dòng)角（連桿BC和搖桿CD之間的夾角）:最小傳動(dòng)角最大傳動(dòng)角由上面的分析可以算出： （10） （11）3.用MATLAB工具箱優(yōu)化計(jì)算結(jié)果通過上面的分析后，將輸入角分成 30 等分（m=30），經(jīng)過轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式得到曲柄搖桿機(jī)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)模型為: (12) 這個(gè)問題為非線性約束優(yōu)化問題，運(yùn)用 MATLAB 優(yōu)化工具箱的命令函數(shù) fmincon 來處理

4、有約束的非線性多元函數(shù)最小化優(yōu)化問題。3.1 編寫程序求解本問題屬于一般非線性規(guī)劃問題，其標(biāo)準(zhǔn)型為： （13）調(diào)用MATLAB軟件優(yōu)化工具箱中非線性規(guī)劃求解函數(shù)fmincon來求解。其命令的基本格式為：函數(shù) fmincon格式x = fmincon(fun,x0,A,b)x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq)x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub)x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,option

5、s)x,fval = fmincon()x,fval,exitflag = fmincon()x,fval,exitflag,output = fmincon()x,fval,exitflag,output,lambda = fmincon()x,fval,exitflag,output,lambda,grad = fmincon()x,fval,exitflag,output,lambda,grad,hessian = fmincon()說明fun 是目標(biāo)函數(shù)options 設(shè)置優(yōu)化選項(xiàng)參數(shù)fval 返回目標(biāo)函數(shù)在最優(yōu)解x點(diǎn)的函數(shù)值exitflag 返回算法的終止標(biāo)志output 返回優(yōu)化算

6、法信息的一個(gè)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)grad 返回目標(biāo)函數(shù)在最優(yōu)解x點(diǎn)的梯度hessian 返回目標(biāo)函數(shù)在最游解x點(diǎn)Hessian矩陣值 （1）.首先編寫目標(biāo)函數(shù) M 文件fun1.mfunction f=fun1(x)s=30;L1=1;L4=5;Ex=0;%誤差初值為0fai0=acos(L1+x(1)2-x(2)2+L42)/(2*(L1+x(1)*L4);%曲柄初始角Fai0=acos(L1+x(1)2-x(2)2-L42)/(2*x(2)*L4);%搖桿初始角for i=1:s fai=fai0+(pi*i)/(2*s); Fai(i)=Fai0+(2*(fai-fai0)2)/(3*pi);%輸出

7、角理論值 ri=sqrt(L12+L42-2*L1*L4*cos(fai); alfi=acos(ri2+x(2)2)-x(1)2)/(2*ri*x(2); bati=acos(ri2+L42-L12)/(2*ri*L4); if fai0 & faipi & fai=2*pi psi(i)=pi-alfi+bati; % 輸出角實(shí)際值 endEx=Ex+(Fai(i)-psi(i)2;% %輸出角理論值和實(shí)際值之間的累計(jì)誤差 endf=Ex;%將誤差函數(shù)賦值為函數(shù)f.i=1:1:30;plot(i,Fai(i),i,psi(i),-); %做出輸出角的理論值和實(shí)際值曲線legend(期望曲線

8、,實(shí)際曲線); %標(biāo)注曲線圖對(duì)應(yīng)名稱（2）.編寫非線性約束函數(shù) M 文件 confun.mfunction c,ceq=confun(x)L1=1;L4=5;m=45*pi/180;n=135*pi/180;c(1)=x(1)2+x(2)2-2*x(1)*x(2)*cos(m)-(L4-L1)2; %重合時(shí)最小傳動(dòng)角的非線性約束條件c(2)=-x(1)2-x(2)2+2*x(1)*x(2)*cos(n)+(L4+L1)2;%共線時(shí)最小傳動(dòng)角的非線性約束條件ceq=;（3）.在 MATLAB 命令窗口調(diào)用優(yōu)化程序x0=6;6;lb=1;1;ub=;A=-1 0;0 -1;-1 -1;1 -1;

9、-1 1;b=-1;-1;-6;4;4;options=optimset(LargeScale,off,display,iter);x,fval,exitflag=fmincon(fun1,x0,A,b,lb,ub,confun,options);xfval3.2運(yùn)行結(jié)果x =4.1285 2.3226fval = 0.0076圖3 輸出角期望曲線與在MATLAB結(jié)果下的實(shí)際曲線對(duì)比圖圖4 傳動(dòng)角與曲柄輸入角變化關(guān)系圖5.結(jié) 論結(jié)果分析通過Matlab工具箱的優(yōu)化求解，我們得到了最終的曲柄搖桿機(jī)構(gòu)的最優(yōu)桿長條件，即L2=4.1285，L3=2.3226。從運(yùn)行結(jié)果上面來看，得到的數(shù)據(jù)還是比較理想的，在輸出角期望曲線與在MATLAB結(jié)果下的實(shí)際曲線對(duì)比圖（圖3）中，我們可以清楚地看到，期望曲線與實(shí)際曲線的擬合程度比較好。MATLAB優(yōu)化工具箱具有強(qiáng)大的優(yōu)化工具，應(yīng)用它求解優(yōu)化問題時(shí)工作量小，操作簡單，計(jì)算結(jié)果精確，大大地提高了設(shè)計(jì)的時(shí)效性和準(zhǔn)確性。利用 MATLAB 優(yōu)化工具箱對(duì)曲柄搖桿機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)，達(dá)到了設(shè)計(jì)的預(yù)期目的。參考文獻(xiàn)1 孫桓，陳作模，葛文杰.機(jī)械原理M.北京:高等教育出版社，2006（5