1、二項式定理,對于（a+b）n = 的展開式有哪些項,個,a+b)n = an+ an-1b+ an-2b2+ an-rbr+ bn,二項式定理,右邊的多項式叫做 (a+b)n 的二項展開式,它一共有 n+1 項,其中各項系數(shù) Cnr (r=0, 1, 2, , n)叫做二項式系數(shù),式中的項 Cnr an-rbr 叫做二項展開式的通項,是第r+1 項,記作 Tr+1,即 Tr+1= Cnr an-rbr (r=0, 1, 2, , n,稱為二項展開式的通項公式,1)展開式各項中a、 b的指數(shù)及各項系數(shù)的遞變規(guī)律.但指數(shù)和為n,2)通項公式中a、 b的指數(shù)及其系數(shù)和所在項數(shù)之間的關(guān)系,試一試：寫出

2、 (1+x)n 的展開式及其通項公式,總結(jié),1.二項式系數(shù)規(guī)律,2.指數(shù)規(guī)律,1）各項的次數(shù)均為n； （2）二項和的第一項a的次數(shù)由n降到0， 第二項b的次數(shù)由0升到n,3.項數(shù)規(guī)律,兩項和的n次冪的展開式共有n+1個項,定理特征,二項式定理,4.通項公式,Tr+1= Cnr an-rbr (r=0, 1, 2, , n,右邊的多項式叫做的 展開式,解,第三項的二項式系數(shù)為,第三項的系數(shù)為240,項的系數(shù)：該項所有常數(shù)因子的積,二項式系數(shù),例： 的展開式常數(shù)項,解,通項公式,Tr+1= Cnr an-rbr (r=0, 1, 2, , n,練習(xí),1、求 的展開式的中間兩項,解,展開式共有10項

3、,中間兩項是第5、6項,的展開式中，第項的二項式系數(shù)與第項的二項式系數(shù)之比是：，求展開式中的第項,因此，當(dāng)n為偶數(shù)時，中間一項的二項式系數(shù),取得最大值,當(dāng)n為奇數(shù)時，中間兩項的二項式系數(shù),相等，且同時取得最大值,二項式系數(shù)的性質(zhì),1）對稱性,與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等,2）增減性與最大值,二項式系數(shù)前半部分是逐漸增大的,由對稱性可知它的后半部分是逐漸減小的，且中間項取得最大值,3）各二項式系數(shù)的和,且奇數(shù)項的二項式系數(shù)和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)和2n-1,解,例：已知（x)n展開式中x2 的系數(shù)等于 x的系數(shù)的倍，求二項式系數(shù)最大的項,解,例2：已知（x)n展開式中二項式系數(shù)和 及

4、所有項的系數(shù)之和,變式：已知（2+x)6=a0+a1x+a2x2+a3x3a4x4+a5x5+a6x6， 求 ( 1 )奇次項的二項式系數(shù)之和 （2）a0+a1+a2+a3a4+a5a6的值 （3）a1+a2+a3a4+a5a6,因此，當(dāng)n為偶數(shù)時，中間一項的二項式系數(shù),取得最大值,當(dāng)n為奇數(shù)時，中間兩項的二項式系數(shù),相等，且同時取得最大值,二項式系數(shù)的性質(zhì),1）對稱性,與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等,2）增減性與最大值,二項式系數(shù)前半部分是逐漸增大的,由對稱性可知它的后半部分是逐漸減小的，且中間項取得最大值,3）各二項式系數(shù)的和,且奇數(shù)項的二項式系數(shù)和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)和2n-1,特值思想、不可忽視,二項式定理對任意的數(shù)a、b都成 立，當(dāng)然對特殊的a、b也成立,考察在 n=1, 2, 3, 4 時，(a+b) n 的展開式的系數(shù)規(guī)律. (a+b)1= , (a+b)2= , (a+b)3= , (a+b)4=,a+b,a2+2ab+b2,a3+3a2b+3ab2+b3,我國古代優(yōu)秀成果介紹,a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4,列出上述各展開式的系數(shù),1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1,規(guī)律: (1)表中每行兩端都是1,2)其它各數(shù)都是它肩上兩數(shù)的和,1 5 10 10 5 1,1 6 15 20 15 6 1,1,楊