1、第九章 梁的強度和剛度計算,梁橫截面上的正應力 梁橫截面上的剪應力 梁的強度計算 彎曲中心的概念 梁的變形和剛度計算 應力狀態(tài)和強度理論 小結,第一節(jié),第二節(jié),第三節(jié),第四節(jié),第五節(jié),返回,第六節(jié),第七章 梁的強度和剛度計算,本章研究梁的應力和變形計算，解決梁的強度和剛度計算問題,梁的一般情況是橫截面上同時存在剪力和彎矩兩種內力，稱作剪力（橫力）彎曲。與此相應的截面上任一點處有剪應力和正應力。且剪應力只與剪力Q有關，正應力只與彎矩M有關,橫截面上只有彎矩而沒有剪力的彎曲稱作純彎曲,如圖簡支梁，AC、DB段為橫力彎曲；CD段為純彎曲,返回,下一張,上一張,小結,第一節(jié) 梁橫截面上的正應力,一、實

2、驗觀察與分析,為推導梁橫截面上的正應力，考慮純彎曲情況,用三關系法：實驗觀察平面假設,幾何關系變形規(guī)律，物理關系應力規(guī)律，靜力學關系應力公式,橫線仍為直線,但傾斜角度d； 縱線由直變彎,仍與橫線正交, 凸邊伸長, 凹邊縮短； 橫截面相對于縱向伸長區(qū)域縮 短，縱向縮短區(qū)域伸長,假設:平面假設變形前 后橫 截面保持平面不變,中性層長度不變的纖維層； 中性軸中性層與橫截面的交線,單向受力假設縱向纖維之間互不擠壓僅伸長或縮短,返回,下一張,上一張,小結,二、正應力公式的推導,一）變形幾何關系,取梁微段dx考慮變形幾何關系，得應變規(guī)律,當M0時：y0,0，為受拉區(qū)；y0,0,為受壓區(qū),二）物理關系,由假

3、設2及虎克定律，梁橫截面上的正應力變化規(guī)律為,此式表明：梁橫截面上任一點的正應力，與該點距中性軸（z軸）的距離y成正比，而與該點距y軸的距離z無關。正應力沿截面高度呈直線規(guī)律分布。中性層處y=0,0；上下邊緣處有ymax，故有max,返回,下一張,上一張,小結,三）靜力學關系,中性軸Z必通過形心,中性軸是截面的形心主軸,純彎曲梁上各點只有正應力，微面積dA上法向合力dN=dA。截面上各微內力形成沿X軸的空間平行力系?？珊喕扇齻€內力分量：Nx、My、Mz,式中: Iz截面對其中性軸的慣性矩； M截面上的彎矩； y所求正應力點到中性軸的距離,純彎曲梁橫截面上任一點正應力計算公式,為避免符號錯誤，

4、計算中各量以絕對值代入，符號依點所處區(qū)域直接判斷。（根據(jù)彎矩方向，中性軸將截面分為受拉區(qū)和受壓區(qū)；M0,上壓下拉；M0，上拉下壓。,純彎曲梁的變形計算公式,返回,下一張,上一張,小結,正應力公式的使用范圍：純彎曲梁；彈性范圍（p）；平面彎曲（截面有對稱軸，形狀不限）；細長梁的橫力彎曲。（一般l/h5為細長梁，其計算誤差滿足工程精度要求5。,例7-1 圖示懸臂梁。試求C截面上a、b兩點的正應力和該截面最大拉、壓應力,解：（1）計算C截面的彎矩M,2）確定中性軸位置，并計算慣性矩,3）求a、b兩點的正應力,4)求C截面最大拉應力+max和最大壓應力 -max,在截面上下邊緣。,返回,下一張,上一張

5、,小結,例7-2 18號工字鋼制成的簡支梁如圖所示。試求D截面上a、b兩點處的正應力,解：(1)求D截面的彎矩： MD=30kN.m,3)求D截面a、b兩點的正應力,2)確定中性軸位置 和截面慣性矩： 查型鋼表 IZ=1660cm4,返回,下一張,上一張,小結,第二節(jié) 梁橫截面上的剪應力,一、矩形截面梁,矩形截面梁任意截面上剪力Q都與對稱軸重合。對狹長橫截面上剪應力的分布規(guī)律可作兩個假設,1)橫截面上各點均與該面上Q同向且平行； (2)剪應力沿截面寬度均勻分布,從梁微段中取窄條cdmn分析,返回,下一張,上一張,小結,矩形截面剪應力計算公式,式中:Q橫截面上的剪力； Iz橫截面對其中性軸的慣性

6、矩； b所求剪應力作用點處的截面寬度； Sz 所求剪應力作用點處的橫線以下(或以上）的截面積A*對中性軸的面積矩,矩形截面,沿截面高度按拋物線規(guī)律變化,由剪切虎克定律G，知剪應變沿截面高度也按拋物線規(guī)律變化，引起截面翹曲。但變形很小，可忽略不計,返回,下一張,上一張,小結,二、其它形狀截面的剪應力,1. 工字形截面梁,工字形截面是由上、下翼緣及中間腹板組成的,1)腹板上的剪應力：腹板為狹長矩形,承擔截面絕大部分剪應力,式中:Q橫截面上的剪力； h1腹板高度； Iz 截面對z軸慣性矩； d腹板厚度； Szmax中性軸一側面積對中性軸的慣性矩； （對于型鋼，Szmax：Iz 的值可查型鋼表確定,故

7、中性軸處有最大剪應力,2)翼緣上的剪應力：翼緣上的剪應力情況較復雜。豎向分量很小且分布復雜，一般不考慮；水平分量認為沿翼緣厚度均勻分布，計算公式與矩形截面的相同,其方向與豎向剪應力方向之間存在“剪應力流”的規(guī)律,Sz欲求應力點到翼緣邊緣間的面積對中性軸慣性矩；o翼緣厚度,返回,下一張,上一張,小結,2. T字型截面,T字型截面與工字型截面相似，最大剪應力仍發(fā)生在截面中性軸上。其腹板上應力為,3. 圓形及環(huán)形截面,圓形與薄壁環(huán)形截面其最大豎向剪應力也都發(fā)生在中性軸上，并沿中性 軸均勻分布，其值為： 圓形截面,薄壁環(huán)形截面,式中：Q截面上的剪力 A1、A2圓形、薄壁環(huán)形截面的面積,所有開口薄壁截面

8、的剪應力均符合“剪應力流”規(guī)律,返回,下一張,上一張,小結,例7-3：矩形截面簡支梁如圖,已知:l=2m,h=15cm,b=10cm,h1=3cm,q=3kN/m.試求A支座截面上K點的剪應力及該截面的最大剪應力,解：1、求剪力：QA=3kN,2、求K點剪應力,3、求最大剪應力,返回,下一張,上一張,小結,例7-4 倒T形截面外伸梁如圖, 已知： l=600mm,b=30mm,P1=24kN, P2=9kN, y1=72mm, Iz=573cm4, 試求 梁橫截面上的最大剪應力,解：1. 求最大剪力： Qmax15kN, 在CB梁段,2. 求最大剪應力,在中性軸上,返回,下一張,上一張,小結,

9、第三節(jié) 梁的強度計算,一、梁的正應力強度條件,為了保證梁在外力作用下能安全正常工作，必須限制梁內的最大應力不超過材料的許用應力。由此建立梁的強度條件并進行梁的強度計算,危險截面最大應力點所在截面;(等直梁為最大內力截面,危險點危險截面上的最大應力作用點,等直梁的危險截面危險點為最大彎矩截面上下邊緣處各點,返回,下一張,上一張,小結,1)強度校核: (2)選擇截面: (3)確定梁的 許可荷載,二、剪應力強度條件,三、梁的強度計算,一般情況下，細長梁多為橫力彎曲，橫截面上同時存在彎矩和剪力，應同時滿足正應力和剪應力強度條件。由此可進行三方面的強度計算,返回,下一張,上一張,小結,例7-5 圖示為T

10、形截面的鑄鐵梁。已知： y1=5.2cm,y2=8.8cm,P1=10.8kN,P2=4.8kN, a=1m,鑄鐵許用拉應力+=30MPa,許用壓 應力-=60MPa,試校核梁的正應力強度。 解：(1)作出梁的彎矩圖,可知: MC=3.0KN.m; MD=-4.8KN.m (2)梁的兩個抗彎截面模量為,3)C截面的正應力強度校核: (4)D截面的正應力強度校核: (5)最大拉應力發(fā)生在C截面的下邊緣處,最大壓應力發(fā)生在D截面的下邊緣處,其值分別為,返回,下一張,上一張,小結,例7-6：試為圖示的施工用鋼軌枕木選擇矩形截面。已知矩形截面尺寸的比例為b:h=3:4,枕木的彎曲許用正應力=15.6M

11、Pa,許用剪應力=1.7MPa,鋼軌傳給枕木的壓力P=49KN,解:(1)由正應力強度條件設計截面尺寸,2)校核剪應力強度 (3)按剪應力強度條件重新設計截面,返回,下一張,上一張,小結,例7-7 一外伸梁 如圖所示,梁上受集中力P的作用.已知a=25cm,l=100cm,梁由 2.6號工字鋼制成,材料的彎曲許用正應力=170MPa,許用剪應力=100MPa, 試求此梁的許可荷載P,解: 查表得: (1)按正應力強度條件確定P (2)校核剪應力強度 此梁的許可荷載P=52.7kN,返回,下一張,上一張,小結,A相同時，截面 高度盡量大,四、梁的合理截面,梁的設計應達到即安全又經(jīng)濟的要求。即要保

12、證梁具有足夠的強度，安全工作；又要充分發(fā)揮材料的作用，節(jié)省材料,由此可知：與強度有關的材料性質應盡量大；荷載及結構確定的Mmax應盡量?。欢岣吡旱膹澢鷱姸龋饕獜奶岣遅z著手，即選擇合理截面形式，使Wz/A的值盡量大,把大部分面積布置在距中性軸 較遠的截面邊緣，提高Wz/A的值； Wz/A=(0.27-0.31)h0.167h0.125h; (工字形矩形圓形,使截面兩邊 同時達到許 用應力,綜合考慮梁的有關剛度、穩(wěn)定、使用要求及制造工藝等因素。 如：過分強調加大h值，可能使截面?zhèn)认蚴Х€(wěn)；木梁不用工、 環(huán)形截面，以避免增加加工費等,返回,下一張,上一張,小結,第四節(jié) 彎曲中心的概念,當外力作用

13、在梁的縱向對稱平面內時，梁產(chǎn)生平面彎曲。但截面沒有縱向對稱軸時，沿形心主軸作用的荷載不產(chǎn)生平面彎曲,如圖槽形截面，P力使梁彎曲；截面上的剪應力流形成扭矩(腹板上的剪力Q和翼緣上的T可求其作用在A點的合力Q，Q與P形成扭矩)使梁扭轉；梁產(chǎn)生彎扭組合變形,若使梁僅產(chǎn)生平面彎曲，P必須作用在過彎曲中心的縱向平面內,任何形狀的截面都存在彎曲中心。彎曲中心的位置與梁所受的荷載無關，只取決于截面的幾何形狀,可以證明，彎曲中心位于截面的對稱軸上；中線交點；與形心重合。型鋼截面的彎曲中心可查有關圖表,彎曲中心梁僅產(chǎn)生平面彎曲時，外力在截面上的作用位置,返回,下一張,上一張,小結,第五節(jié) 梁的變形和剛度計算,一

14、、撓度和轉角,1、梁的撓曲線(彈性曲線)梁彎曲后的軸線，為一條光滑的平面曲線,2、撓度y梁橫截面形心垂直桿軸方向的線位移,稱為該截面的撓度，用y表示，向下為正。(水平方向線位移略去不計,3、轉角梁橫截面繞中性軸轉過的角度,稱為該截面的轉角，用表示，順時針為正。 單位：弧度,梁的撓度方程（撓曲線方程）： y=f（x,梁的轉角方程,只要確定了梁的撓曲線方程，則任何橫截面的撓度和轉角都可由此求出。所以，求梁變形的關鍵是求出其撓曲線方程,單位：mm,返回,下一張,上一張,小結,二、梁的撓曲線的近似微分方程式,忽略剪力對梁變形的影響，則工程中常用的細長梁的變形,由所選坐標系和M的符號規(guī)定，取式中的負號。

15、則得梁的撓曲線近似微分方程,返回,下一張,上一張,小結,三、積分法計算梁的位移,懸臂梁,在計算梁的位移時，對撓曲線近似微分方程 積分一次得轉角方程，積分兩次得撓度方程，此法稱為積分法,對均質材料等截面直梁，EIz為常量。則由,積分一次得轉角方程,積分兩次得撓度方程,式中積分常數(shù)C、D由邊界條件(梁中已知的截面位移)確定,簡支梁,彎矩方程分段時的積分常數(shù)由連續(xù)條件(梁中已知的位移關系)確定,積分常數(shù)確定后，即可由轉角方程和撓度方程求梁任一截面的轉角和撓度,返回,下一張,上一張,小結,例7-8 : 求圖示懸臂梁自由端的轉角和撓度，梁的EI為常數(shù),解：（1）建彎矩方程，列撓曲線微分方程,2）將微分方

16、程積分得,3）當x=0時，A0, 得C=0； 當x=0時， yA=0, 得D=0; 所以轉角方程為： 撓度方程為,4）求轉角 撓度 得,返回,下一張,上一張,小結,四、疊加法計算梁的位移,1、疊加原理：在彈性小變形范圍內所求物理量（反力、內力、 變形等）均與梁上荷載成線性關系，在這種情況下，幾項荷載同 時作用產(chǎn)生的效應與每一項荷載單獨作用效應的代數(shù)和相等,2、疊加法計算步驟：分解荷載(為每一荷載單獨作用情況)； 分別計算各荷載單獨作用時梁的變形(對應截面的撓度和轉角可分別查梁的變形表確定，教材表8-1)； 疊加得最后結果(同一平面內荷載產(chǎn)生的變形代數(shù)相加，否則應該幾何相加,例7-9 求圖示簡支

17、梁的最大撓度和轉角。梁的EI=常數(shù),ab。 解,返回,下一張,上一張,小結,例7-10 等截面外伸梁如圖，試求C截面的撓度，梁的EI為常數(shù)。 解：分解梁為AB、BC兩段,例7-11 等截面懸臂梁如圖，試求C截面的撓度，梁的EI為常數(shù),解：分解荷載為1、2兩種情況,返回,下一張,上一張,小結,五、梁的剛度校核,梁的剛度校核的目的是檢查梁在荷載作用下產(chǎn)生的位移是否超過設計規(guī)定的容許值。機械工程中，一般對撓度和轉角都進行校核；土建工程中，大多只校核撓度,校核撓度時，通常是以撓度的容許值與跨度的比值 作為校核的標準。 由此建立梁的剛度條件,強度條件和剛度條件都是梁必須滿足的。土建工程中，一般情況下梁的

18、強度條件起控制作用。設計梁時，一般由強度條件選擇梁的截面，再校核剛度條件，不滿足時再設法減少梁的變形,提高梁的抗彎剛度的措施：由 提高Wz/A的值；（與強度問題不同，局部增加慣性矩對梁整體變形的影響較小，應考慮加筋而不是加厚截面）減少梁跨度l或在跨中增加支座；增加材料的彈性模量E；但作用不大。因為高強度鋼材的E值與普通鋼材相近,返回,下一張,上一張,小結,例7-12 如圖，平面鋼閘門最底下一根主梁的計算簡圖，梁上作用有水壓力，其集度q=29.6kN/m，已選擇此梁為25b工字鋼， 試校核此梁的剛度。 解：梁的許用撓度為,不滿足剛度條件，應重新設計。選擇28b工字鋼，查表得：Iz=7480cm2

19、,所以應選28b工字鋼,返回,下一張,上一張,小結,7-13 矩形截面懸臂梁如圖,已知: , 單位跨度內的許用 撓度 .試校核該梁的強剛度,解:1.強度校核,2.剛度校核,結論: 該梁滿足強剛度要求,返回,下一張,上一張,小結,第六節(jié) 應力狀態(tài)和強度理論,一、應力狀態(tài)的概念,過受力構件內一點所有截面上的應力情況總和，稱為該點的應力狀態(tài),如拉壓桿斜截面應力,研究方法：取單元體,主平面剪應力為零的面,主應力主平面上的正應力,主單元體三主平面組成的單元體； 三個主應力按代數(shù)值排列為：123,應力狀態(tài)的分類,三向（空間）應力狀態(tài)三個主應力都不為零,雙向（平面）應力狀態(tài)兩個主應力不為零；(為本節(jié)研究重點

20、,單向(簡單)應力狀態(tài)兩個主應力為零。此外為復雜應力狀態(tài),純剪切狀態(tài)各面只有剪應力而無正應力,返回,下一張,上一張,小結,如簡支梁,二、平面應力狀態(tài)分析解析法,1、平面應力狀態(tài)任意截面應力計算公式,符號規(guī)定：拉為正；順時針為正；逆時針為正,返回,下一張,上一張,小結,用與橫截面夾角為 的斜截面(面積為dA)截取楔形體，由,利用三角公式化簡整理可得,同理，由Fy=0 可得,2、主應力、主平面、主剪應力,由(a)、(b)式可確定應力的極值及其作用面方位,返回,下一張,上一張,小結,三、平面應力狀態(tài)分析圖解法,整理(a)、(b)式得應力圓方程,2. 對應關系： 單元體面上應力值應力圓上點的坐標； 單

21、元體上角應力圓上同轉向2 角； 單元體起算面x面應力圓起算點C點,1. 應力圓的畫法：取坐標系o,返回,下一張,上一張,小結,作圓：以D為圓心，DC(DC)為半徑作圓,定圓心D：連C,C交軸于D點,定特征點C,C：按比例量取x,y,x,y,3. 用應力圓求解斜截面上的應力,4. 用應力圓求主應力和主平面： 從應力圓上按比例量取B1,B2 點的坐標即主應力1,2；量取 圓心角21即可確定主平面（或 用作圖法定,返回,下一張,上一張,小結,從C點按角轉向量出2圓心角定E點，按比例量E點坐標（OE,EE)即為,返回,下一張,上一張,小結,5. 用應力圓求主剪應力,從應力圓上按比例量取G1、G2點的縱

22、坐標即max、min。且 由圖上幾 何關系知,由圖還知：主剪應力平面上的正應 力值不為零。G1、G2點的橫坐標與圓心相同，等于,應力圓上任一點都代表相應的應力情況。利用同弧圓周角是圓心角的一半的幾何關系，任意斜截面的方位、主平面、主剪應力作用平面的方位等，均可由主點K與相應點E、B1、B2、G1、G2等的連線方向直觀表示,返回,下一張,上一張,小結,四、 三向應力圓,最大剪應力作用面與3主平面垂直,且與1和2 主平面成450 角,由空間應力狀態(tài)的主單元體，分別作三個主方向的平面應力圓，可得三向應力圓,三向應力圓中的最大剪應力對應B點的縱坐標,三向應力狀態(tài)中的最大正應力是1,最小正應力是3,其中

23、的等號為三向應力圓退化為平面應力圓或點圓,返回,下一張,上一張,小結,五、 雙向和三向應力狀態(tài)的虎克定律,彈性范圍內，材料處于單向應力狀態(tài)時的虎克定律:,雙向應力狀態(tài)的虎克定律,主應變-單元體在三個主應力作用下,沿著三個主 應力方向產(chǎn)生的正應變,用1 ,2, 3表示。主應變也存在關系,一般平面應力情況,三向應力狀態(tài)的虎克定律：（各向同性材料的廣義虎克定律,返回,下一張,上一張,小結,六、復雜應力狀態(tài)下的應變能,應變能由于彈性變形而積蓄的變形能，稱為“彈性應變能”；簡稱應變能,比能單位體積的應變能，也稱為能密度。以u表示,比能可分解為兩部分：體積比能相應于體積改變而形狀不變的部分，以uv表示；形

24、狀改變比能（歪形能密度）相應于形狀改變而體積不變的部分，以uf表示,返回,下一張,上一張,小結,七、主應力跡線的概念,梁內任一點都有兩個主應力,一為拉應力,二為壓應力, 兩者的方向是互相垂直的,1. 梁的主應力,小結,返回,下一張,上一張,2. 梁的主應力跡線,曲線上各點切線方向既為該點主應力方向的曲線。(各點主應力方向的軌跡線,在鋼筋混凝土梁中，受拉鋼筋的布置大致與主拉應力跡線一致,小結,返回,下一張,上一張,八、強度理論,1. 單向拉（壓）強度條件,o極限應力;可由試驗確定,塑性材料：os,脆性材料:ob,復雜應力狀態(tài)下的材料實驗不易做,3. 強度理論關于材料破壞的主要因素的假說,四種常見的強度理論,1）最大拉應力理論（第一強度理論）： 破壞因素：最大拉應力 破壞條件： 強度條件： 適用范圍：脆性材料,2）最大拉應變理論（第二強度理論）：