1、第十章 動(dòng)能定理,第一節(jié) 力的功 第二節(jié) 質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理 第三節(jié) 質(zhì)點(diǎn)系和剛體的動(dòng)能 第四節(jié) 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理 第五節(jié) 功率 功率方程 第六節(jié) 勢(shì)力場(chǎng) 勢(shì)能 機(jī)械能守恒定律,功的一般表達(dá)式,幾種常見力的功,第一節(jié) 力的功,質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)力的功,約束力的功,力的元功:在一無(wú)限小位移中力所做的功稱為元功,功的一般表達(dá)式,或?qū)懗芍苯亲鴺?biāo)形式,在一般情況下，上式右邊不表示某個(gè)坐標(biāo)函數(shù)的全微分，所以元功用符號(hào) 而不用 。,力在有限路程上的功為力在此路程上元功的定積分。即,重力的功,重力的功僅與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)開始和終了位置的高度差有關(guān)，而與運(yùn)動(dòng)軌跡無(wú)關(guān),幾種常見力的功,彈性力的功,彈性力可表示為,彈性力在有限路程上的

2、功只決定于彈簧在起始及終了位置的變形量，而與質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑無(wú)關(guān)。,定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上作用力的功,作用于定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上的力的元功為,如圖所示，剛體上任意一點(diǎn)的無(wú)限小位移可寫為,作用于點(diǎn)Mi上的力的元功為,作用于剛體上的全部力的元功為,平面運(yùn)動(dòng)剛體上力系的功,其中FR為力系的主矢量， Mc為力系對(duì)質(zhì)心的主矩。,如圖所示，兩質(zhì)點(diǎn)間有相互作用的內(nèi)力,當(dāng)質(zhì)系內(nèi)質(zhì)點(diǎn)間的距離可變化時(shí)，內(nèi)力的元功之和不為零。,因此剛體內(nèi)力的功之和恒等于零。,質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)力的功,光滑鉸鏈或固定鉸支鏈約束，由于約束力的方向恒與位移的方向垂直，所以約束力的功為零。,約束力的功,理想約束：約束力的元功的和等于零的約束稱為理想約束。,常見的理

3、想約束有：,光滑固定面和可動(dòng)鉸支鏈約束，其約束力垂直于作用點(diǎn)的位移，約束力不做功。,固定端約束 這種約束和剛體的內(nèi)力一樣，其元功之和恒等于零。,柔性而不可伸長(zhǎng)的繩索約束 繩索兩端的約束力,大小相等，即，由于繩索不可伸長(zhǎng)，所以兩點(diǎn)的微小位移和在繩索中心線上的投影必相等，因此不可伸長(zhǎng)的繩索的約束力元功之和等于零,質(zhì)系內(nèi)所有質(zhì)點(diǎn)在某瞬時(shí)動(dòng)能的算術(shù)和為該瞬時(shí)質(zhì)系的動(dòng)能,動(dòng)能是描述質(zhì)系運(yùn)動(dòng)強(qiáng)度的一個(gè)物理量,第二節(jié) 質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理,牛頓第二定律,即作用于質(zhì)點(diǎn)上力的元功等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的微分。,上式兩邊點(diǎn)乘dr，,將上式積分，得,為作用于質(zhì)點(diǎn)上的力在有限路程上的功。,質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能,平面運(yùn)動(dòng)剛體的動(dòng)能,第三節(jié) 質(zhì)

4、點(diǎn)系 和剛體的動(dòng)能,平移剛體的動(dòng)能,定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能,當(dāng)剛體平動(dòng)時(shí)，剛體上各點(diǎn)速度相同，于是平動(dòng)剛體的動(dòng)能為,質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能,平移剛體的動(dòng)能,定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能,當(dāng)剛體繞固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，其上任一點(diǎn)的速度為,于是繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能為,剛體作平面運(yùn)動(dòng)時(shí)，可視為繞通過(guò)速度瞬心并與運(yùn)動(dòng)平面垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng),平面運(yùn)動(dòng)剛體的動(dòng)能等于跟隨質(zhì)心平動(dòng)的動(dòng)能與繞通過(guò)質(zhì)心的轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能之和。,平面運(yùn)動(dòng)剛體的動(dòng)能,設(shè)質(zhì)系由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，其中任意一質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)量為mi，速度為vi，作用于該質(zhì)點(diǎn)上的力為Fi 根據(jù)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理的微分形式有,n個(gè)方程相加，得,第四節(jié) 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理,質(zhì)系動(dòng)能定理的微分形式：在質(zhì)系無(wú)限小的位移中

5、，質(zhì)系動(dòng)能的微分等于作用于質(zhì)系全部力所做的元功之和。即,質(zhì)系動(dòng)能定理的積分形式：質(zhì)系在任意有限路程的運(yùn)動(dòng)中，起點(diǎn)和終點(diǎn)動(dòng)能的改變量，等于作用于質(zhì)系的全部力在這段路程中所做功的和。,解：分為兩個(gè)階段 1重物由位置落到板上。在這一過(guò)程中，只有重力做功，應(yīng)用動(dòng)能定理，有,由于彈簧的變形量是正值，因此取正號(hào)，即,例10-2 提升機(jī)構(gòu)如圖所示，設(shè)啟動(dòng)時(shí)電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)矩M視為常量，大齒輪及卷筒對(duì)于軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J2，小齒輪、聯(lián)軸節(jié)及電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子對(duì)于軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J1，被提升的重物重為P，卷筒、大齒輪及小齒輪的半徑 分別為R,r2及r1。略去摩擦及鋼絲繩質(zhì)量，求重物從靜止開始上升距離s時(shí)的速度及加速度。,解：1、

6、以整個(gè)系統(tǒng)（包括電機(jī)）為研究對(duì)象； 2、計(jì)算主動(dòng)力的功：系統(tǒng)所受的約束為理想約束，只有電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)矩和重力做功，則,3、計(jì)算系統(tǒng)始末位置的動(dòng)能：,4. 應(yīng)用動(dòng)能定理,并求解重物的速度：,運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系為：,解：1、以鼓輪和圓柱體組成的整個(gè)系統(tǒng)作為分析對(duì)象； 2、分析系統(tǒng)的受力并計(jì)算力的功：,3、分析系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)并計(jì)算動(dòng)能：,主動(dòng)力的功為,速度有如下關(guān)系,4、應(yīng)用質(zhì)系動(dòng)能定理并求解：質(zhì)系動(dòng)能定理,1具有理想約束的一個(gè)自由度系統(tǒng)，應(yīng)用動(dòng)能定理可直接建立系統(tǒng)的速度量與位移量之間的關(guān)系；進(jìn)一步對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù)，可求出系統(tǒng)的加速度量。所以，在這種情形下應(yīng)用動(dòng)能定理求解已知力求運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題是很方便的。,小 結(jié),2應(yīng)用動(dòng)

7、能定理解題的步驟： （1）明確分析對(duì)象，一般以整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象； （2）分析系統(tǒng)的受力，區(qū)分主動(dòng)力與約束力，在理想約束的情況下約束力不做功；,（4）應(yīng)用動(dòng)能定理建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程，而后求解； （5）對(duì)問(wèn)題的進(jìn)一步分析與討論。,（3）分析系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)，計(jì)算系統(tǒng)在任意位置的動(dòng)能或在起始和終了位置的動(dòng)能；,第五節(jié) 功率 功率方程,功 率,力在單位時(shí)間內(nèi)所作的功，稱為功率。 它是用來(lái)衡量機(jī)器性能的一項(xiàng)重要指標(biāo)，用N表示功率，則,力偶或轉(zhuǎn)矩M的功率,功率方程,由動(dòng)能定理,等號(hào)兩邊除以dt，即,它表明機(jī)器的輸入、消耗的功率與動(dòng)能變化率之間的關(guān)系。,如質(zhì)點(diǎn)在某空間內(nèi)任一位置都受有一個(gè)大小和方向完全由所在位

8、置確定的力作用，具有這種特性的空間就稱為力場(chǎng)，例如地球表面的空間為重力場(chǎng)。如質(zhì)點(diǎn)在某一力場(chǎng)內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，力場(chǎng)力對(duì)于質(zhì)點(diǎn)所做的功僅與質(zhì)點(diǎn)起點(diǎn)與終點(diǎn)位置有關(guān)，而與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑無(wú)關(guān)，則這種力場(chǎng)稱為勢(shì)力場(chǎng)或保守力場(chǎng)。質(zhì)點(diǎn)在勢(shì)力場(chǎng)內(nèi)所受的力稱為勢(shì)力或保守力。如重力、彈性力及萬(wàn)有引力都是勢(shì)力。,第六節(jié) 勢(shì)力場(chǎng) 勢(shì)能 機(jī)械能守恒定律,勢(shì)力場(chǎng),重力場(chǎng)中的勢(shì)能：如圖所示重力的勢(shì)能為,為了計(jì)算方便，取基點(diǎn)的位置,勢(shì) 能,勢(shì)能：在勢(shì)力場(chǎng)中質(zhì)點(diǎn)從某一位置移至選定的基點(diǎn)的過(guò)程中勢(shì)力所做的功。以V表示，即,對(duì)于質(zhì)點(diǎn)系或剛體,彈性力場(chǎng)中的勢(shì)能： 在彈性力場(chǎng)中,如取彈簧的自然位置為基點(diǎn),保守系統(tǒng)：具有理想約束，且所受的主動(dòng)力皆

9、為勢(shì)力的質(zhì)系稱為保守系統(tǒng)。對(duì)于保守系統(tǒng)，動(dòng)能定理,勢(shì)力的功與路徑無(wú)關(guān)，可通過(guò)勢(shì)能計(jì)算 。,如以0點(diǎn)為零勢(shì)點(diǎn)，則,機(jī)械能守恒定律,機(jī)械能守恒定律，即保守系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，其機(jī)械能保持不變?；蛸|(zhì)系的動(dòng)能和勢(shì)能可以互相轉(zhuǎn)化，但總的機(jī)械能保持不變。,機(jī)械能：質(zhì)系在某瞬時(shí)的動(dòng)能與勢(shì)能的代數(shù)和。,因?yàn)閯?shì)力場(chǎng)具有機(jī)械能守恒的特性，因此勢(shì)力場(chǎng)又稱為保守力場(chǎng)，而勢(shì)力又稱為保守力。質(zhì)系在非保守力作用下運(yùn)動(dòng)時(shí)，則機(jī)械能不守恒。例如摩擦力做功時(shí)總是使機(jī)械能減少，但是減少的能量并未消失，而是轉(zhuǎn)化為另一形式的能量.,有勢(shì)力與勢(shì)能的關(guān)系,勢(shì)能的大小因其在勢(shì)力場(chǎng)中的位置不同而異，可寫作坐標(biāo)的單值連續(xù)函數(shù) ，稱為勢(shì)能函數(shù)。,注意到勢(shì)力的功與路徑無(wú)關(guān)，其元功必是函數(shù)V的全微分，即,由高等數(shù)學(xué)知，V的全微分,得到,即作用在質(zhì)點(diǎn)系上各有勢(shì)力在坐標(biāo)軸上的投影，等于勢(shì)能函數(shù)對(duì)相應(yīng)坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)冠以負(fù)號(hào)。,設(shè)初始條件為：,在有限路程中主動(dòng)力的功為：,例10-4無(wú)重量不可伸長(zhǎng)的細(xì)繩繞過(guò)質(zhì)量為m、半徑為R的均質(zhì)圓盤。彈簧剛度為k，與細(xì)繩相連，如圖所示，列寫該系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。,解：系統(tǒng)具有一個(gè)自由度，建立坐標(biāo)x，x取任意值時(shí)，系統(tǒng)的動(dòng)能為,由動(dòng)能定理的積分形式,T0為初始位置系統(tǒng)的動(dòng)能。,兩邊對(duì)t時(shí)