數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的數(shù)論問題第二部分 數(shù)論題的范例講解主要講幾個(gè)重要類型：奇數(shù)與偶數(shù)，約數(shù)與倍數(shù)（素?cái)?shù)與合數(shù)），平方數(shù)，整除，同余，不定方程，數(shù)論函數(shù)等重點(diǎn)是通過典型范例來分析解題思路、提煉解題方法和鞏固基本內(nèi)容一、奇數(shù)與偶數(shù)整數(shù)按照能否被2整除可以分為兩類，一類余數(shù)為0，稱為偶數(shù)，一類余數(shù)為1，稱為奇數(shù)偶數(shù)可以表示為，奇數(shù)可以表示為或一般地，整數(shù)被正整數(shù)去除，按照余數(shù)可以分為類，稱為模的剩余類，從每類中各取出一個(gè)元素，可得模的完全剩余系（剩余類派出的一個(gè)代表團(tuán)），稱為模的非負(fù)最小完全剩余系.通過數(shù)字奇偶性質(zhì)的分析而獲得解題重大進(jìn)展的技巧，常稱作奇偶分析，這種技巧與分類、染色、數(shù)字化都有聯(lián)系，在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中有廣泛的應(yīng)用 關(guān)于奇數(shù)和偶數(shù)，有下面的簡(jiǎn)單性質(zhì)： （1）奇數(shù)偶數(shù)（2）偶數(shù)的個(gè)位上是0、2、4、6、8；奇數(shù)的個(gè)位上是1、3、5、7、9（3）奇數(shù)與偶數(shù)是相間排列的；兩個(gè)連續(xù)整數(shù)中必是一個(gè)奇數(shù)一個(gè)偶數(shù)；（4）奇數(shù)個(gè)奇數(shù)的和是奇數(shù)；偶數(shù)個(gè)奇數(shù)的和是偶數(shù)；偶數(shù)跟奇數(shù)的和是奇數(shù)；任意多個(gè)偶數(shù)的和是偶數(shù) （5）除2外所有的正偶數(shù)均為合數(shù)；（6）相鄰偶數(shù)的最大公約數(shù)為2，最小公倍數(shù)為它們乘積的一半（7）偶數(shù)乘以任何整數(shù)的積為偶數(shù)（8）兩數(shù)和與兩數(shù)差有相同的奇偶性，（9）乘積為奇數(shù)的充分必要條件是各個(gè)因數(shù)為奇數(shù)（10）個(gè)偶數(shù)的積是的倍數(shù)（11）的充分必要條件是為偶數(shù)，的充分必要條件是為奇數(shù)（12）（13）任何整數(shù)都可以表示為例1 （1906，匈牙利）假設(shè)是的某種排列，證明：如果是奇數(shù)，則乘積 是偶數(shù)類似題： 例1-1（1986，英國(guó)）設(shè)是整數(shù)，是它們的一個(gè)排列，證明是偶數(shù)（中奇數(shù)與偶數(shù)個(gè)數(shù)不等） 例1-2 的前24位數(shù)字為，記為該24個(gè)數(shù)字的任一排列，求證必為偶數(shù)（暗藏中奇數(shù)與偶數(shù)個(gè)數(shù)不等）例2 能否從中選出個(gè)數(shù)填入圖的圓圈中，使得每?jī)蓚€(gè)有線相連的圈中的數(shù)相減（大數(shù)減小數(shù)），所得的14個(gè)差恰好為？例3 有一大筐蘋果和梨分成若干堆，如果你一定可以找到這樣的兩堆，其蘋果數(shù)之和與梨數(shù)之和都是偶數(shù)，問最少要把這些蘋果和梨分成幾堆？例4 有個(gè)數(shù)，它們中的每一個(gè)要么是，要么是若，求證例5 個(gè)整數(shù)，其積為，其和為0，試證例6 在數(shù)軸上給定兩點(diǎn)1和，在區(qū)間內(nèi)任取個(gè)點(diǎn)，在此個(gè)點(diǎn)中，每相鄰兩點(diǎn)連一線段，可得條互不重疊的線段，證明在此條線段中，以一個(gè)有理點(diǎn)和一個(gè)無理點(diǎn)為端點(diǎn)的線段恰有奇數(shù)條二、約數(shù)與倍數(shù)最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的求法（1）短除法（2）分解質(zhì)因數(shù)法設(shè)，記 ，則 ， （3）輾轉(zhuǎn)相除法 例7 （1）求，；（2），例8 正整數(shù)分別除以得到的余數(shù)依次為，則的最小值為 例9 有兩個(gè)容器，一個(gè)容量為27升，一個(gè)容量為15升，如何利用它們從一桶油中倒出6升油來？例10 對(duì)每一個(gè)，求證存在個(gè)互不相同的正整數(shù)，使，對(duì)任意的成立 例11 證明對(duì)任意正整數(shù)，分?jǐn)?shù)不可約例12 不存在這樣的多項(xiàng)式 ，使得對(duì)任意的正整數(shù)，都是素?cái)?shù)三、平方數(shù)若是整數(shù)，則就叫做的完全平方數(shù)，簡(jiǎn)稱平方數(shù)1平方數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)（1）平方數(shù)的個(gè)位數(shù)只有6個(gè)：（2）平方數(shù)的末兩位數(shù)只有22個(gè)：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，16，36，56，76，96，09，29，49，69，89 （3）（）（6）凡是不能被3整除的數(shù)，平方后被3除余1（7）在兩個(gè)相鄰整數(shù)的平方數(shù)之間，不能再有平方數(shù)（8）非零平方數(shù)的約數(shù)有奇數(shù)個(gè)（9）直角三角形的三邊均為整數(shù)時(shí)，我們把滿足的整數(shù)叫做勾股數(shù)勾股數(shù)的公式為 其中為正整數(shù)，且一奇一偶這個(gè)公式可給出全部素勾股數(shù)2平方數(shù)的證明方法（1）反證法（2）恒等變形法（3）分解法設(shè)為平方數(shù)，且，則均為平方數(shù)（4）約數(shù)法證明該數(shù)有奇數(shù)個(gè)約數(shù)3非平方數(shù)的判別方法（1）若，則不是平方數(shù)（2）約數(shù)有偶數(shù)個(gè)的數(shù)不是平方數(shù)（3）個(gè)位數(shù)為2，3，7，8的數(shù)不是平方數(shù)（4）同余法：滿足下式的數(shù)都不是平方數(shù)， ， ， ，（5）末兩位數(shù)不是：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，16，36，56，76，96，09，29，49，69，89如個(gè)位數(shù)與十位數(shù)都是都是奇數(shù)的數(shù)，個(gè)位數(shù)是6、而十位數(shù)是偶數(shù)的數(shù)例13 有100盞電燈，排成一橫行，從左到右，我們給電燈編上號(hào)碼1，2，99，100每盞燈由一個(gè)拉線開關(guān)控制著最初，電燈全是關(guān)著的另外有100個(gè)學(xué)生，第一個(gè)學(xué)生走過來，把凡是號(hào)碼為1的倍數(shù)的電燈的開關(guān)拉了一下；接著第2個(gè)學(xué)生走過來，把凡是號(hào)碼為2的倍數(shù)的電燈的開關(guān)拉了一下；第3個(gè)學(xué)生走過來，把凡是號(hào)碼為3的倍數(shù)的電燈的開關(guān)拉了一下，如此等等，最后那個(gè)學(xué)生走過來，把編號(hào)能被100整除的電燈的開關(guān)拉了一下，這樣過去之后，問哪些燈是亮的？例14 已知直角三角形的兩條直角邊分別為正整數(shù)，斜邊為正整數(shù)，若為素?cái)?shù)，求證為平方數(shù)例15 求證，任意3個(gè)連續(xù)正整數(shù)的積不是平方數(shù)例16 設(shè)是異于2，5，13的任一整數(shù)求證在集合中可以找到兩個(gè)不同元素，使得不是完全平方數(shù)例17 ()設(shè)為正整數(shù)，整除證明是完全平方數(shù)四整除整除的判別方法主要有7大類1定義法證，有三種方式（1）假設(shè)，然后證明（定理4）（2）具體找出，滿足（3）論證的存在例18 任意一個(gè)正整數(shù)與它的十進(jìn)制表示中的所有數(shù)碼之差能被9整除 2數(shù)的整除判別法（1）任何整數(shù)都能被1整除（2）如果一個(gè)整數(shù)的末位能被2或整除，那么這個(gè)數(shù)就能被2或整除 （3）如果一個(gè)整數(shù)的末兩位能被或25整除，那么這個(gè)數(shù)就能被4或25整除 （4）如果一個(gè)整數(shù)的末三位能被8或125整除，那么這個(gè)數(shù)就能被8或125整除 （5）如果一個(gè)整數(shù)各數(shù)位上的數(shù)字之和能被3或9整除，那么這個(gè)數(shù)就能被3或9整除證明 由，有， （6）如果一個(gè)整數(shù)的末三位數(shù)與末三位數(shù)以前的數(shù)字所組成的數(shù)的差能被7或11或13整除，那么這個(gè)數(shù)就能被7或11或13整除 證明 由 ，知 ， 又由，而均為素?cái)?shù)知，能被7或11或13整除（7）如果一個(gè)整數(shù)的奇位數(shù)字之和與偶位數(shù)字之和的差能被11整除，則這個(gè)數(shù)能被11整除證明 由，有3分解法主要用乘法公式如例19 試證例20 設(shè)與為正整數(shù)，滿足 ，求證可被1979整除（1979）例20-1 2009年9月9日的年、月、日組成“長(zhǎng)長(zhǎng)久久、永不分離”的吉祥數(shù)字20090909，而它也恰好是一個(gè)不能再分解的素?cái)?shù)若規(guī)定含素因子的數(shù)為吉祥數(shù)，請(qǐng)證明最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)的分子是吉祥數(shù) 4 余數(shù)分類法例21 試證例22 個(gè)連續(xù)整數(shù)中必有一個(gè)能被整除例23 個(gè)連續(xù)整數(shù)之積必能被整除例24 有男孩、女孩共個(gè)圍坐在一個(gè)圓周上（），若順序相鄰的3人中恰有一個(gè)男孩的有組，順序相鄰的3人中恰有一個(gè)女孩的有組，求證例25 （1956，中國(guó)北京）證明對(duì)任何正整數(shù)都是整數(shù)，并且用3除時(shí)余2五、同余根據(jù)定義，同余問題可以轉(zhuǎn)化為整除問題來解決；同時(shí)，同余本身有很多性質(zhì)，可以直接用來解題例26 正方體的頂點(diǎn)標(biāo)上或，面上標(biāo)上一個(gè)數(shù)，它等于這個(gè)面四個(gè)頂點(diǎn)處的數(shù)的乘積，求證，這樣得出的14個(gè)數(shù)之和不能為0例27 設(shè)多項(xiàng)式的系數(shù)都是整數(shù)，并且有一個(gè)奇數(shù)及一個(gè)偶數(shù)使得及都是奇數(shù)，求證方程沒有整數(shù)根 六、不定方程未知數(shù)的個(gè)數(shù)多于方程個(gè)數(shù)的整系數(shù)代數(shù)方程，稱為不定方程求不定方程的整數(shù)解，叫做解不定方程 解不定方程通常要解決3個(gè)問題，方程是否有解？有解時(shí)，有幾個(gè)解，解數(shù)是有限還是無窮？求出全部解例28 解方程例29 求方程的整數(shù)解例30 甲乙兩隊(duì)各出7名隊(duì)員按事先排好的順序出場(chǎng)參加圍棋擂臺(tái)賽，雙方先由1號(hào)隊(duì)員比賽，負(fù)者被淘汰，勝者再與負(fù)方2號(hào)隊(duì)員比賽，直到有一方隊(duì)員全被淘汰為止，另一方獲得勝利，形成一種比賽過程，那么所有可能出現(xiàn)的比賽過程的種數(shù)為 （1988，高中聯(lián)賽）例31（1989，高中）如果從數(shù)1，2，14中按由小到大的順序取出，使同時(shí)滿足 ，那么，所有符合上述要求的不同取法有多少種？ 七數(shù)論函數(shù)主要是高斯函數(shù)，歐拉函數(shù)例32 某學(xué)校要召開學(xué)生代表大會(huì)，規(guī)定各班每10人推選一名代表，當(dāng)各班人數(shù)除以10的余數(shù)大于6時(shí)再增選一名代表那么，各班可推選代表人數(shù)與該班人數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系用取整函數(shù)（表示不大于的最大整數(shù)）可以表示為 (A) (B) (C) (D)（2010年全國(guó)高考數(shù)學(xué)陜西卷理科第10題） 例33 用表示不大于的最大整數(shù)，求 例34 的標(biāo)準(zhǔn)分解式中2的指數(shù)八、綜合練習(xí)例35 整數(shù)勾股形中，證明（1）必有一條直角邊長(zhǎng)是3的倍數(shù)；（2）必有一條直角邊長(zhǎng)是4的倍數(shù)；