西南交通大學(xué)研究生碩士學(xué)位論文 摘要 不確定性推理是人工智能和專(zhuān)家系統(tǒng)研究的核心內(nèi)容之一，而非經(jīng)典邏輯 是不確定性推理的理論基礎(chǔ)，因此它的研究具有重要的理論意義和實(shí)用價(jià)值 本文討論真值城是由有限個(gè)有限鏈的乘積構(gòu)成的格蘊(yùn)涵代數(shù)的格值命題邏輯系 統(tǒng)l p ( x ) ，主要作了如下三個(gè)方面的工作： 1 關(guān)于格蘊(yùn)涵代數(shù)中蘊(yùn)涵運(yùn)算的研究 f 格蘊(yùn)涵代數(shù)是徐揚(yáng)為研究格值命題邏輯而提出的一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)本文重點(diǎn) 討論了格蘊(yùn)涵代數(shù)中蘊(yùn)涵運(yùn)算的一些基本j 眭質(zhì)，并在由有限個(gè)有限鏈的乘積構(gòu) 成的格蘊(yùn)涵代數(shù)中引入平移的概念，得到了一個(gè)蘊(yùn)涵平行規(guī)則音百 2 關(guān)于蘊(yùn)涵不等式的研究 7 f 本文以在智能控制申經(jīng)常采用的“廣義肯定式推理模型”和“廣義否定式 推理模型”為背景。提出一類(lèi)蘊(yùn)涵不等式的概念，并針對(duì)格蘊(yùn)涵代數(shù)中的蘊(yùn)涵 算子乖l u k a s i e w i c z 蘊(yùn)涵算子，詳細(xì)討論了此類(lèi)蘊(yùn)涵不等式的解的性質(zhì)，得到 了解隨參數(shù)的變化規(guī)律1 西 3 關(guān)于基于由有限個(gè)有限鏈構(gòu)成e j 荊t , 蘊(yùn)涵代數(shù)的格值命題邏輯系統(tǒng)l p ( x ) 的研究 i 本文在前人研究的基礎(chǔ)上，利用泛代數(shù)的概念和方法，借鑒p a v e l k a 的思 想，對(duì)基于由有限個(gè)有限鏈構(gòu)成的格蘊(yùn)涵代數(shù)的格值命題邏輯系統(tǒng)l p ( x 1 進(jìn) 行了較為系統(tǒng)的研究重點(diǎn)研究了在4 水平上的一些基本的性質(zhì)，得到了它的 可靠性定理、協(xié)調(diào)性定理、完備性定理和演繹定理。證明了系統(tǒng)“有效性”的 可判定性并給出了判定算法毒礦 關(guān)鍵詞格蘊(yùn)涵代數(shù)泛代數(shù)蘊(yùn)涵算子格值命題邏輯 西南交通大學(xué)研究生碩士學(xué)位論文 i i a b s t r a c t u n c e r t a i n t yr e a s o n i n g i so n eo ft h em o s t i m p o r t a n tp r o b l e m s i nt h e s t u d y f i e l d so fa r t i f i c i a li n t e l l i g e n c ea n d e x p e r ts y s t e m s w h e r e a sn o n - c l a s s i c a il o g i c i st h el h e o r e t i cb a s i so fu n c e r t a i n t yr e a s o n i n g t h es t u d yo fn o n c l a s s i c a l l o g i ci so fg r e a ts i g n i f i c a n c ei nt h e o r ya n da p p l i c a t i o n t h i sp a p e r d i s c u s s e s t h ej a t i i c e v a l u e d p r o p o s i t i o n a ll o g i cs y s t e m w h o s et r u t h v a l u e s i so na i a t t i c ei m p l i c a t i o na l g e b r ab a s e do nt h ep r o d u c to fs o m ef i n i t ec h a i n s t h e p a p e rm a i n l yc o n t a i n st h ef o l l o w i n gt h r e ep a r t s ： 1 t h e s t u d yo ft h ei m p l i c a t i v eo p e r a t i o ni nl a t t i c ei m p l i c a t i o na l g e b r a t h ec o n c e p to fl a t t i c e i m p l i c a t i o na l g e b r aw a sp r o p o s e db yp r o f x u y a n g f o rt h es t u d yo fl a t t i c e v a l u e dl o g i c i nt h i sp a p e r , s o m eb a s i c p r o p e r t i e s o ft h ei m p l i c a t i v eo p e r a t i o ni ni a t t i c ei m p l i c a t i o na l g e b r aa r ed i s c u s s e d t h e c o n c e p to fp a r a l l e l m o v e m e n ta n dt h ei a wo f p a r a l l e li m p l i c a t i o n o nt h e p r o d u c to fs o m ef i n i t ec h a i n sa r eg i v e n 2 t h e s t u d y o fi n e q u a l i t yw i t hi m p l i c a t i v eo p e r a t o r s i nt h i sp a p e r ak i n do fi n e q u a l 耐w i t hi m p l i c a t i v eo p e r a t o ri sg i v e nt h i s k i n do fi n e q u a l i t yc o m e sf r o mt w or e a s o n i n gm o d e l sw i d e l yu s e di na r t i f i c i a l i n t e l l i g e n c ea n di n t e l l i g e n tc o n t r o ls y s t e m s f o rt h ei m p l i c a t i v eo p e r a t o r si n l a t t i c ei m p l i c a t i o na l g e b r aa n dl u k a s i e w i c zi m p l i c a t i o na l g e b r a ，s o m eb a s i c p r c i p e r t i e so fi n e q u a l i t ya r ed i s c u s s e ds y s t e m a t i c a l l y m o r e o v e r , t h ev a r i a t i o n l a wo ft h es o l u t i o ni n f l u e n c e db yt h e p a r a m e t e r si sg i v e n 3 t h es t u d yo fl a t t i c e v a l u e dp r o p o s i t i o n a l l o g i cb a s e do nt h ep r o d u c to f s o m ef i n i t ec h a i n s o nt h eb a s e so fp r e v i o u sw o r k s b yu s i n gt h ec o n c e p t sa n dm e t h o d so f u n i v e r s a la l g e b r aa n dt a k i n gt h ej d e ao fp a v e l k a ，w ed i s c u s s e dt h el a t t i c e v a l u e dp r o p o s i t i o n a ll o g i cs y s t e m l p ( x ) ，w h o s et r u t h - v a l u e sd o m a i ni st h e p r o d u c to ft w of i n i t ec h a i n s ，s y s t e m a t i c a l l y 1 nt h i s p a p e r , w es t u d i e dt h e p r o p e r t i e s o nt h el o v e i , 4 1a n da t t a i n e dt h e c o n s i s t e n c yt h e o r e m t h e s o u n d n e s s t h e o r e m ，t h ed e d u c t i o nt h e o r e ma n dt h ea d e q u a c yt h e o r e m a i s o w ep r o v e dt h ed e c i d a b i l i t yo fv a l i d i t yo ft h es y s t e ma n d g a v et h em e t h o do f d e c i d i n g k e y w o r d s ：l a t t i c ei m p l i c a t i o na l g e b r a ，u n i v e r s a la l g e b r a ，i m p l i c a t i v eo p e r a t o r l a t t i c e v a l u e dp r o p o s i t i o n a ll o g i c 西南交通大學(xué)研究生碩士學(xué)位論文 l 第一章緒論 l 。l引言 一，形成本文的背景 在現(xiàn)實(shí)生活中，人類(lèi)的各種活動(dòng)都是受人腦支配的人腦從外部世界接受 信息，并對(duì)這些信息進(jìn)行推理、判斷和決策，然后通過(guò)神經(jīng)系統(tǒng)支配人的各項(xiàng) 活動(dòng)在客觀(guān)世界或外界事物向入腦反映的過(guò)程中。存在著大量的具有不精確 性，不完全性或不完全可靠性的信息不確定性信息因此，人腦所進(jìn)行的 推理、判斷和決策大量是基于不確定性信息的思維活動(dòng)，其中大多數(shù)是基于模 糊信息的思維活動(dòng) 模糊信息所具有的模糊性，是種與隨機(jī)性不同的不確定性模糊性是指 對(duì)概念的定義以及語(yǔ)言意義的理解上的不確定性，例如“老人”、“溫度高”、“數(shù) 量大”等所含的不確定性即為模糊挫，模糊性主要是人為的主觀(guān)理解上的不確 定性；而隨機(jī)性是反映客觀(guān)上的自然的不確定性，或者是事件發(fā)生的偶然性模 糊性這種不確定性使排中律破缺；麗隨機(jī)性這種不確定性使因果律破缺歷史 上對(duì)不確定性有很多研究，但是著重研究的是所謂隨機(jī)性的不確定性，產(chǎn)生并 發(fā)展了處理隨機(jī)性的數(shù)學(xué)工具概率論與統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)自從19 6 5 年美國(guó)加利 弗尼亞大學(xué)控制論專(zhuān)家l a z a d e h 教授首先提出模糊集合的概念以來(lái)，人們對(duì) 模糊性的研究空前活躍，對(duì)模糊性的應(yīng)用廣泛開(kāi)展并取得顯著成績(jī) 1 9 7 3 年，z a d e h 提出了“模糊邏輯控制器”的概念，為模糊控制奠定了基 礎(chǔ)1 9 7 4 年，英國(guó)e ，h m a m d a n i 首先利用模糊控制語(yǔ)句組成模糊控制囂，并 把它應(yīng)用于鍋爐和蒸汽機(jī)的控制，在實(shí)驗(yàn)室中獲得成功，這開(kāi)拓性的成果標(biāo) 志著模糊控制論的誕生隨后，模糊控制的應(yīng)用蓬勃開(kāi)展，較為典型的例子育； m s u g c n o 模擬小車(chē)的模糊控制；日本仙臺(tái)城市地鐵模糊控制系統(tǒng)；日本北九 州模糊自動(dòng)集裝箱操縱系統(tǒng)；a t & t 貝爾實(shí)驗(yàn)室設(shè)計(jì)的模糊邏輯芯片和模糊計(jì) 西南交通大學(xué)研究生碩士學(xué)位論文 2 一一一 算機(jī)等 雖然在應(yīng)用中人們通過(guò)選取合適的模糊控制規(guī)則和模糊推理方法可以取得 較良好的控制效果，但是到目前為止，人們提出的各種方法其理論基礎(chǔ)還不夠 完善，適用面也較窄隨著模糊控制技術(shù)應(yīng)用的發(fā)展和走向成熟，人們迫切關(guān) 心其理論基礎(chǔ)問(wèn)題因此，作為模糊控制中不確定性推理的理論基礎(chǔ)，非經(jīng)典 邏輯的研究就顯示出重要的意義 本文正是在這樣的背景之下，試圖通過(guò)研究以格蘊(yùn)涵代數(shù)為真值域的格值 命題邏輯系統(tǒng)為不確定性推理、模糊控制的進(jìn)一步深入研究做一些準(zhǔn)備工作 二、國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀分析 “非標(biāo)準(zhǔn)邏輯”一詞是泛指不同于經(jīng)典命題演算和經(jīng)典謂詞演算的那些邏 輯的一般性術(shù)語(yǔ)，非標(biāo)準(zhǔn)邏輯大體上可以劃分為兩大類(lèi)：一類(lèi)是與經(jīng)典邏輯平 行的邏輯，一類(lèi)是對(duì)經(jīng)典邏輯做了擴(kuò)充的邏輯前者有多值邏輯、模糊邏輯和 直覺(jué)主義邏輯等，后者則包括模態(tài)邏輯和時(shí)態(tài)邏輯等與經(jīng)典邏輯平行的邏輯 系統(tǒng)使用的語(yǔ)言與經(jīng)典命題邏輯或經(jīng)典謂詞邏輯語(yǔ)言基本相同，區(qū)別在于經(jīng)典 邏輯中的一些定理在這類(lèi)非標(biāo)準(zhǔn)邏輯中未必成立最著名的例子就是排中律 排中律在直覺(jué)主義邏輯或標(biāo)準(zhǔn)3 - 值邏輯系統(tǒng)中都是不可征的對(duì)經(jīng)典邏輯進(jìn)行 擴(kuò)充的一類(lèi)非標(biāo)準(zhǔn)邏輯一般都承認(rèn)所有經(jīng)典邏輯的定理，但大都在兩個(gè)方面對(duì) 經(jīng)典邏輯做了補(bǔ)充一是擴(kuò)充了經(jīng)典邏輯的語(yǔ)言，二是補(bǔ)充了經(jīng)典邏輯的定理 這種擴(kuò)充主要是由于這類(lèi)非標(biāo)準(zhǔn)邏輯系統(tǒng)擴(kuò)大了經(jīng)典邏輯系統(tǒng)的詞匯表 作為一個(gè)邏輯系統(tǒng)，主要由三個(gè)組成部分組成，即語(yǔ)言、語(yǔ)義和語(yǔ)法非 經(jīng)典邏輯概莫能外在非經(jīng)典邏輯中，對(duì)語(yǔ)言有兩種處理方法，一是類(lèi)似r o s s e r 與t u r g u e t t e 那樣，引入新的命題連接詞，另一類(lèi)是像p a v e l k a 那樣，在語(yǔ)言中 引入命題常元對(duì)語(yǔ)義的處理則是突破經(jīng)典邏輯只有0 ，l 兩個(gè)命題真值的束 縛，真值域不再僅限于 o 1 ) ，而是可以取在個(gè)一般的偏序集或全序集上由 于真值域的擴(kuò)充，方便了描述模糊概念多數(shù)學(xué)者在研究過(guò)程中將【o ，1 作為 命題解釋的真值域，也有些學(xué)者將有限鏈， 0 ，l 】上的子區(qū)間構(gòu)成的集，【0 ，1 1 上所有模糊集構(gòu)成的集或者有特殊性質(zhì)的格作為真值域?qū)φZ(yǔ)法的處理，則是 引入新的推理規(guī)則( 不僅限于m p 規(guī)則) ，確定新的公理系統(tǒng)f 此時(shí)因?yàn)榻?jīng)典二 西南奎墮查蘭堡塞圭塑圭堂垡笙室 三一一 一一 值系統(tǒng)中公理系統(tǒng)一般不再成立) 非經(jīng)典邏輯的主要目的是在給出一個(gè)語(yǔ)義 系統(tǒng)后，如何尋找出一個(gè)既可靠又完備的語(yǔ)法系統(tǒng)，并且給出判定這一系統(tǒng)存 在與否的方法可靠性保證了所有邏輯推論都在本系統(tǒng)中是恒真的：完備性保 證了本系統(tǒng)的任一恒真式可從公理按照推理規(guī)則推出為此人們進(jìn)行了長(zhǎng)期的 努力，取得一些進(jìn)展 在非經(jīng)典邏輯中，較為重要的一種類(lèi)型是多值邏輯這不僅是由于其反映 了人們樸素齙觀(guān)念，也是由于人們對(duì)多值邏輯研究較為深入成果較多的緣故 多值邏輯的思想可以退瀕到吉希臘時(shí)代命題取真假兩個(gè)值是人們?nèi)菀捉邮?的，并且形成這樣的觀(guān)念，即命題只能取真假兩個(gè)值，這種觀(guān)念在整個(gè)邏輯發(fā) 展歷史中占據(jù)了主導(dǎo)地位，由此發(fā)展了經(jīng)典二值邏輯然而，人們?cè)谘芯空軐W(xué) 潤(rùn)題對(duì)，對(duì)這種雙念已經(jīng)提出異議，認(rèn)為命蘑除了真假以外，亦可能存在其它 邏輯值a r i s t o t l e 舉例說(shuō)“明天發(fā)生海戰(zhàn)”這一命題的真值在說(shuō)話(huà)當(dāng)時(shí)就是不 可決定的，因此在真與假中有一個(gè)中介值對(duì)邏輯命題鵲真假性提出質(zhì)疑這一 問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是“是否承認(rèn)邏輯中的排中律”( 邏輯上的排中律認(rèn)為，任何命 題p ，在原則上不是對(duì)便是錯(cuò)，即，v p 總是真的擺孛律是數(shù)學(xué)證明中歸 繆法證明的邏輯依據(jù)經(jīng)典二值邏輯中，排中律是成立的) 對(duì)排中律的承認(rèn) 與否在邏輯上會(huì)產(chǎn)生很大的差異。會(huì)得到許多不周的邏輯系統(tǒng)a r i s t o t l e 是對(duì) 排中律提出懷疑最早的人之一。但是他的思想在其后兩千年中沒(méi)有得到充分的 發(fā)展直到本世紀(jì)2 0 年代波蘭數(shù)學(xué)家p 1l u k a s i e w i c z 及美國(guó)數(shù)學(xué)家昱l 默 各自發(fā)展了- 套多值邏輯系統(tǒng)之后，多值邏輯的研究才蓬勃開(kāi)展 跗l u k a s i e w i e z 與e lp o s t 的研究工作極大地推動(dòng)了多值邏輯的發(fā)展。 9 2 0 年l u k a s i e w i c z t l 專(zhuān)睦出了一個(gè)三值邏輯系統(tǒng)，他沿襲a r i s t o t l e 的觀(guān)點(diǎn)，將第三個(gè) 真值解釋為“未決定的”或“可能的”，表示來(lái)來(lái)可能發(fā)生的狀態(tài)這是多值 邏輯的第一個(gè)形式系統(tǒng)，它的思想和方法后來(lái)被廣泛應(yīng)用于有限邏輯的研究中 后來(lái)l u k a i i e w i c z 將他的三值邏輯系統(tǒng)推廣到n 值及無(wú)窮值l u k a s i e w i e z 邏輯 系統(tǒng)是協(xié)調(diào)的、完備的，但不是函數(shù)完備的p o s t t m 于1 9 2 1 年獨(dú)立地發(fā)展了他 的有窮多值邏輯系統(tǒng)，與l u k a s i e w i c z 三值邏輯系統(tǒng)不同的是，它不再關(guān)注邏 輯中的哲學(xué)問(wèn)題，擺脫了哲學(xué)觀(guān)念的影響，是一個(gè)以二值邏輯作為特例的純形 式的邏輯系統(tǒng)該系統(tǒng)是完備的、協(xié)調(diào)的 西南交通大學(xué)研究生碩士學(xué)位論文 4 一一 繼l u k a s i e w i c z 與p o s t 之后，大量反映不同哲學(xué)背景、具有不同應(yīng)用領(lǐng)域 的多值邏輯系統(tǒng)相繼問(wèn)世較有代表性的如：k l e e n e 、b o c h v a r 、f i n n 、h a l l d e n 、 s e g e r b e r g 、h e y t i n g 、s h p e c k i 、r e i c h e n b a c h 2 0 1 等的三值邏輯系統(tǒng)，g o d e l 、 s o b o c i n s k i 、s l u p e c k i 2 0 1 等的n 值邏輯系統(tǒng)其中b o c h v a r l 4 1 在1 9 3 9 年給出的三 值邏輯系統(tǒng)與語(yǔ)義悖論有關(guān)，他的三值邏輯系統(tǒng)中。有命題( s t a t e m e n t ) 與句 子( s e n t e n g e ) 之分，句子要么真、要么假，二者必居且僅居其一，而命題可 真、可假，也可阻無(wú)意義可以證明，b o c h v a r 的三值邏輯系統(tǒng)具有合理的計(jì) 算解釋f i n n l 2 q 的思想直接來(lái)源于b o c h v a r ，他建立的邏輯系統(tǒng)與b o c h v a r 的系 統(tǒng)的主要差別在于對(duì)變量的解釋他考慮兩種變量：命題變量和句子變量，命 題變量可以取真、假、無(wú)意義三個(gè)邏輯值，而句子變量只能取真、假兩個(gè)邏輯 值可以證明b o c h v a r 和f i n n 的系統(tǒng)都是協(xié)調(diào)的、完備的 s ck l e e n e t s l 于1 9 5 2 年給出了強(qiáng)三值邏輯系統(tǒng)和弱三值邏輯系統(tǒng)兩個(gè)三值 邏輯系統(tǒng)。在強(qiáng)三值邏輯系統(tǒng)中取，v ， ，j ，仁作為聯(lián)系詞，在弱三值邏 輯系統(tǒng)中取，v ， ，等，仁，s 做為聯(lián)接詞k l e e n e 的邏輯最初是想要適應(yīng)未 確定的數(shù)學(xué)命題，第三個(gè)真值直觀(guān)上表示“未定義0 ) ”，因而把它賦值到一個(gè) 合式公式時(shí)并不是想說(shuō)明該公式既不真也不假，而是要表示一種部分未知的狀 態(tài)在強(qiáng)連接詞的意義下。k l e e n e 邏輯遵循的原則是：當(dāng)復(fù)合公式的真值( 真 或假) 可以由其分量確定時(shí)，應(yīng)該給復(fù)合公式賦予所應(yīng)確定的值而不必管是否 有一些分量是不確定的，例如，如果a 和b 均賦值為真，則a b 賦值真，而 如果a 和b 中有一個(gè)賦值為假，則a & b 賦值假( 即使另一個(gè)分量賦值為“也 是如此) 在弱連接詞的意義下，一個(gè)合式公式只要有一個(gè)不確定分量，它就 被賦值為“，弱解釋實(shí)際上對(duì)應(yīng)b o c h v a r 的解釋k l e e n e 的弱三值系統(tǒng)是在 l u k a s i e w i c z 系統(tǒng)中加入新的連接詞得到的 在對(duì)不確定性信息處理方法進(jìn)行研究中，人們?cè)絹?lái)越感到經(jīng)典集合論的局 限性1 9 6 5 年美國(guó)加利弗尼亞大學(xué)控制論專(zhuān)家l a z a d e h 舊創(chuàng)造性地提出了。t 模 糊集合( f u z z ys e t ) ”的概念，模糊數(shù)學(xué)這新的數(shù)學(xué)分支由此誕生z a d e h 的 模糊集合論的思想、方法為非經(jīng)典邏輯的研究提供了新的方法非經(jīng)典邏輯的 研究也隨之飛速發(fā)展 1 9 6 9 年，g o g u e n l 7 1 提出了模糊邏輯的第一個(gè)形式系統(tǒng)，其中的真值域可 西南交通大學(xué)研究生碩士學(xué)位論文 5 以不是 o ，1 】，而是一個(gè)賦予了附加運(yùn)算“+ ”的格，以使相應(yīng)的語(yǔ)義系統(tǒng)的 表達(dá)能力得到加強(qiáng)g o g u e n 曾建議真值域l 應(yīng)為一個(gè)完備的格序半群，即 但 v ) 是一完備格，( l + ) 是一半群且“”對(duì)于“v ”是完全分配的在上中 運(yùn)算滿(mǎn)足a b 6 ，因而可用“”刻劃比“ ”更強(qiáng)的“且” 一般 說(shuō)來(lái)，取“”為上上的一個(gè)三一，模是合適的g o g u e n 系統(tǒng)中指定，為指派真 值，即在所有解釋下為，的公式才是重言式 根據(jù)g o g u e n 的思想，g o t l w a l d l 8 1 于1 9 8 0 年在g o g u e n 系統(tǒng)中令l = 0 , 1 】或 為有限鏈，給出了一些重言式，研究了系統(tǒng)的緊致性吳望名i 也曾給出了一 個(gè)基于一模的模糊邏輯系統(tǒng)并討論了它的語(yǔ)義、語(yǔ)法性質(zhì) 從語(yǔ)法的角度來(lái)看，g o g u e n 邏輯系統(tǒng)的語(yǔ)言與經(jīng)典邏輯的語(yǔ)言是等價(jià)的， 系統(tǒng)中的有效性和重言式等概念也部是非模糊概念，因而不足以描述模糊信息 g o g u e n 邏輯系統(tǒng)沒(méi)有一個(gè)與給定的語(yǔ)義系統(tǒng)相適應(yīng)的完善的語(yǔ)法系統(tǒng)，這是 它的最大缺陷因此人們意識(shí)到需要把語(yǔ)法系統(tǒng)和語(yǔ)義系統(tǒng)結(jié)合起來(lái)處理文 獻(xiàn)中出現(xiàn)兩種處理辦法：一是象r o s s e r 與t u r g u e t t e ；9 哪樣，在多值邏輯系統(tǒng)中 引入一目聯(lián)接詞厶，厶滿(mǎn)足：對(duì)于任一解釋r m ( 糾= 倦h 妒鬣 這樣，公式厶( 伊) 意t ( 9 ) = 口；另一是象p a v e l k a 那樣，將真值加入語(yǔ)言中 去：對(duì)于三中的每元素口，語(yǔ)言中有一個(gè)特殊公式昂，使對(duì)于任解釋7 ， r ( 昂) = 口于是p s 舀，表示p 具有真值a ，p _ 葒恒真表示p 的真值小于或 等于口，p a v e l k a t 塒于1 9 7 9 年以豐富剩余格為真值域，建立了一個(gè)模糊邏輯系 統(tǒng)，給出了該系統(tǒng)語(yǔ)義及語(yǔ)法的基本定義，證明了關(guān)于系統(tǒng)公理化的若干結(jié)果， 其中主要包括： 1 ) 基于 o ，l 】和一個(gè)連續(xù)剩余運(yùn)算的任何命題邏輯都可公理化 2 ) 基于有限鏈的任何命題邏輯都可公理化 3 ) 若是一完備格，其中有一無(wú)窮降鏈且沒(méi)有無(wú)窮升鏈則基于l 的任 一命題邏輯都不能公理化 p a v e l k a 的工作雖然只涉及命題邏輯，但是它的思想與方法被廣泛應(yīng)用于 模糊邏輯的研究 西南交通大學(xué)研究生碩士學(xué)位論文 6 一 一 d e g i a s 】、p a c h o l c z y k 及a k d 耐”1 曾分別討論了以有限鏈為真值域，以 l u c k a s i e w i c e 蘊(yùn)涵為蘊(yùn)涵算子的多值命題邏輯系統(tǒng)，d e g l a s 證明了系統(tǒng)的完 備性d iz e n z o 2 2 1 于1 9 8 6 年提出了一個(gè)n 值邏輯系統(tǒng)e p ( n ) ，它有n 個(gè)真值， 語(yǔ)言聯(lián)接詞含非、循環(huán)算子、n 個(gè)并算子，n 個(gè)交算子、i 1 個(gè)蘊(yùn)涵算予、n 個(gè)全 稱(chēng)量詞及n 令存在量詞e p ( ，1 ) 系統(tǒng)是p o s t 多值邏輯系統(tǒng)的擴(kuò)充b u s c h d o u g l a s r m l 給出了一個(gè)帶有兩種類(lèi)型否定的三值邏輯系統(tǒng)，該系統(tǒng)與 l u k a s i e w i c z 三值邏輯及n e l s o n 邏輯有直接的關(guān)系b u s c h 對(duì)該系統(tǒng)進(jìn)行了公理 化，這個(gè)公理化可看成王浩對(duì)k l e e n e 強(qiáng)三值邏輯系統(tǒng)進(jìn)彳亍公理化研究的推廣 w s t e v a 、f r a n c e s c 等”1 對(duì)豐富剩余格的閉區(qū)間集合i n t ( l ) 構(gòu)成的雙格( b i l a t t i c e ) 進(jìn)行了研究，并把部分多值邏輯定義為真值取于n t ) 的邏輯，給出了系統(tǒng)的 模型、賦值等概念f o n tj o s e pm 和m o u s s a v im a s s o u d t ”給出了一個(gè)六值邏輯 系統(tǒng)，并證明了此系統(tǒng)可以公理化在這個(gè)系統(tǒng)當(dāng)中，系統(tǒng)的聯(lián)接詞是k l e e n e 強(qiáng)三值邏輯聯(lián)接詞的推廣p o l y m e r i sa n d r e a s i ”1 考察了三值命題邏輯中的公式 的合取范式和有關(guān)性質(zhì)d a nb u t n a r i u l l l 等人討論了基于三角模的模糊邏輯， c a s t r o t ts l 通過(guò)推理算子把值邏輯看成是一簇二值邏輯，通過(guò)二值邏輯研究三 值邏輯 我國(guó)的模糊數(shù)學(xué)起步較晚，但發(fā)展很快，尤其是近年來(lái)在模糊邏輯研究上 取得一系列引人矚目的成果劉敘華和肖紅【“1 提出了算子模糊邏輯的概念，在 這種系統(tǒng)中，用算子表示模糊命題的真假程度；朱梧梗、肖奚安口，i 提出了中介 邏輯的概念；應(yīng)明生 2 5 1 1 2 6 1 在p a v e l k a 一階邏輯系統(tǒng)中引入了一般量詞，證明了 該系統(tǒng)的超積基本定理，并討論了系統(tǒng)的緊斂性和l o w e r d a i e m s k o l e m 性；吳 望名口4 1 給出了一個(gè)真值域?yàn)椤緊 ，l 】，命題聯(lián)接詞由t 一模引出的模糊邏輯系統(tǒng)， 討論了它的語(yǔ)義、語(yǔ)法性質(zhì)；王國(guó)俊f 6 l m 將命題真值取于 o ，1 ，引入一種模 糊公式代數(shù)，在這種代數(shù)上建立了一個(gè)準(zhǔn)形式演繹系統(tǒng)，證明了相應(yīng)的可靠性 定理與相容性定理，提出了程度化的m o d u s p o n e n s 規(guī)則、h y p o t h e t i c a ls y l l o g i s m 規(guī)則和積分語(yǔ)義學(xué)等理論 綜上所述，在模糊邏輯的研究過(guò)程中，雖然已經(jīng)有人提出了格值邏輯的概 念但大多數(shù)萊于格值邏輯的重要結(jié)論卻遺憾的是以有限鏈和 o ，1 】為前提的， 這雖然在實(shí)際應(yīng)用上產(chǎn)生了較好的效果，但是卻對(duì)刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界也還具有一定 謠南交通大學(xué)研究生碩士學(xué)位論文 7 的局限性，因?yàn)楝F(xiàn)實(shí)世界存在許多復(fù)雜的情形或不可比較的因素，這些結(jié)論是 無(wú)法作出較為合適的反映 三、本文的研究工作 本文的主要工作包括：關(guān)于格蘊(yùn)涵代數(shù)的研究和真值域?yàn)橛邢迋€(gè)有限鏈的 乘積的格值邏輯系統(tǒng)的研究 1 9 9 0 年，我的導(dǎo)師徐揚(yáng)教授在其主持的國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目“抽象模 糊邏輯的研究”中把格與蘊(yùn)涵代數(shù)相結(jié)合提出了格蘊(yùn)涵代數(shù)的概念并以此作為 格值邏輯系統(tǒng)的真值域，他還對(duì)格蘊(yùn)涵代數(shù)的格論性質(zhì)和同態(tài)映射等性質(zhì)進(jìn)行 了較詳細(xì)的研究，為進(jìn)一步研究格值邏輯系統(tǒng)創(chuàng)造了條件，在這之后，徐揚(yáng)、 秦克云、宋振明、劉軍等對(duì)基于格蘊(yùn)涵代數(shù)的格值命題邏輯進(jìn)行了深入的研究， 建立了基于格蘊(yùn)涵代數(shù)的格值命題邏輯系統(tǒng)( x ) 和一階格值邏輯系統(tǒng)同彳， 討論了它們的基本性質(zhì)，得到了該系統(tǒng)的可靠性定理、演繹定理和協(xié)調(diào)性定理 本文是在上述研究成果的基礎(chǔ)上，著重討論真值域是由有限鏈的乘積構(gòu)成的格 蘊(yùn)涵代數(shù)的格值命題邏輯系統(tǒng)，從兩為人工智能的研究，特剮是為用計(jì)算機(jī)實(shí) 現(xiàn)基于不確定性推理的信息處理以及智能控制和專(zhuān)家系統(tǒng)的研究提供有力的理 論支持在論文的第二章重點(diǎn)討論格蘊(yùn)涵代數(shù)中的蘊(yùn)涵算子的性質(zhì)和一類(lèi)蘊(yùn)涵 不等式的解的性質(zhì)通過(guò)對(duì)蘊(yùn)涵算子性質(zhì)的探討，為用計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)格蘊(yùn)涵代數(shù) 的表達(dá)、計(jì)算、構(gòu)造、判斷提供了衲思路，為迸一步用計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)不確定性 推理提供了一個(gè)可靠的理論基礎(chǔ)通過(guò)對(duì)蘊(yùn)涵不等式的解的性質(zhì)的探討，為基 于不確定性推理的智能控制的進(jìn)一步研究提供了一些判定條件，在論文的第三 章，系統(tǒng)地討論了基于有限鏈的乘積構(gòu)成的格蘊(yùn)涵代數(shù)的格值命題邏輯系統(tǒng)在 4 水平下的一些基本的性質(zhì)，得到了a 水平下的可靠性定理、協(xié)調(diào)性定理、完 備性定理和演繹定理，目的是為進(jìn)行基于不確定性推理的智能控制的研究提供 一個(gè)堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ) 1 2 預(yù)備知識(shí) 本節(jié)介紹泛代數(shù)和格論中的一些概念及相關(guān)知識(shí)，作為本文討論的準(zhǔn)備 定義1 2 1 設(shè)，是一個(gè)集合，n 是非負(fù)整數(shù)的集合，胛：t 斗是一個(gè) 西南交通大學(xué)研究生碩士學(xué)位論文8 映射，稱(chēng)r = ( t ，甜) 為一型簡(jiǎn)記為t 以下記l = o 7 1 ；吖( f ) = h 定義1 2 2 設(shè)t 是一型，a 是一非空集合，p = f 。；f r ) ，其中對(duì)于任 意f t ，t 是4 上的一個(gè)盯( ，) 元運(yùn)算，稱(chēng)a = ( ，尸) 為一個(gè)t 一代數(shù)，簡(jiǎn)記為 a 注：在此定義中，若口r ( f ) = 0 ，則表示彳中的一個(gè)指定元素，即a 上的 一個(gè)零元運(yùn)算表示a 中的一個(gè)指定元 定義1 2 3 設(shè)r 是一型，a ，b 是兩個(gè)r 一代數(shù)，稱(chēng)映射妒：a 寸b 為一個(gè) 同態(tài)，如果對(duì)予任意打n ，任意t l ，任意口l ，口2 ，口。a ，有： 妒( f ( 口t ，a 2 ，口。) ) ：t b ( 妒( d i ) ，p ( 口2 ) ，p ( ( h ) ) 定義1 2 4 設(shè)r 是一型，x 是個(gè)集合，f 是一個(gè)r 代數(shù)，仃x f 是 一個(gè)映射，稱(chēng)( f ，盯) 是x 上的自由r 一代數(shù)，如果對(duì)于任意的r 一代數(shù)a ，任 意的映射f ：x _ a ，存在唯一的同態(tài)妒：f 寸a ，使得r = 伊。盯 對(duì)任一集合x(chóng) ，任一型了，x 上的自由r 一代數(shù)可如下構(gòu)造： 設(shè)z n t = 0 1 ) f o = x u ，斛1 = ( f ，a l ，- 一，a k ) ；f 瓦，a ，e ，n = 玎) i = l 令f = u e ： 2 ) 對(duì)于任意k n ，任意t 7 ；，在f 上定義k 元運(yùn)算f 如下： 對(duì)于任意口l ，a k f ，f ( 口1 ，a t ) = ( f ，a i ，a k ) ： 3 ) 又令盯：x 卜，滿(mǎn)足：對(duì)于任意的x 肖，仃“) = x 則( f ，仃) 是z 上的自由r 一代數(shù) 上的自由r 一代數(shù)的全體在同構(gòu)的意義下是唯一的 定義1 2 5 設(shè)p 是一個(gè)集合，p 上的二元關(guān)系叫做一個(gè)偏序關(guān)系( 或半 序關(guān)系) ，如果滿(mǎn)足：對(duì)于任意的a , b ，c p 1 )自反性：a d ； 2 ) 反對(duì)稱(chēng)性：如果a b , b 口，則口= b ； 西南交通大學(xué)研究生碩士學(xué)位論文 9 3 1傳遞性：如果口b ，b c ，則口c 這時(shí)稱(chēng)( p ，) ( 或簡(jiǎn)稱(chēng)尸) 為一個(gè)偏序集( 或半序集) 定義1 , 2 6 在個(gè)偏序集( 厶s ) 中，如果任意兩個(gè)元x , y 都有上確界x v y 和下確界z y ，則稱(chēng)偏序集( 厶) ( 或簡(jiǎn)稱(chēng)l ) 為一個(gè)格 如果格滿(mǎn)足： 1 )x ( y vz ) = ( x j ，) v ( x a z ) 2 )x v ( y a z ) = ( x vj ，) ( x v ：) 則稱(chēng)格為分配格 如果格上存在一個(gè)擬序?qū)嫌成洌簂 呻使得：對(duì)于任意的x ，y 1 ) 如果x a j ，= x ，則x 7 a y = y ； 2 )( x ) = r 則稱(chēng)格為有余格 定義1 2 7 當(dāng)偏序集( 只) 有泛界0 或，時(shí)，則稱(chēng)0 的上鄰( 若存在時(shí)) 為j d 的原子( 或點(diǎn)) ，稱(chēng)，的下鄰( 若存在時(shí)) 為p 的對(duì)偶原子( 或?qū)ε键c(diǎn)) 定義1 2 8 設(shè)口是格的一個(gè)元素，若對(duì)于任意6 ，c l ，由口：b v c 可推 出口= b 或口= c ，則稱(chēng)口是v 一既約元格的非零v 一既約元亦稱(chēng)為分子 西南交通大學(xué)研究生碩士學(xué)位論文 1 0 第二章格蘊(yùn)涵代數(shù)和蘊(yùn)涵不等式 格蘊(yùn)涵代數(shù)是徐揚(yáng)在研究格值邏輯時(shí)提出的一種代數(shù)結(jié)構(gòu)，它是一類(lèi)范圍 較廣的代數(shù)結(jié)構(gòu)，包含了布爾代數(shù)l u k a s i e w i c z 代數(shù)等代數(shù)結(jié)構(gòu)，具有良好 的性質(zhì)本章進(jìn)一步討論了格蘊(yùn)涵代數(shù)的一些性質(zhì)并討論了一類(lèi)蘊(yùn)涵不等式 的解的性質(zhì) 2 1 格蘊(yùn)涵代數(shù) 本節(jié)簡(jiǎn)要介紹下徐揚(yáng)關(guān)于格蘊(yùn)涵代數(shù)的一些研究成果，它是本文工作的 基礎(chǔ)在這里證明過(guò)程從略，這些證明可在【4 1 】 4 2 】f 4 3 】等參考文獻(xiàn)中查閱 定義2 1 1 設(shè)( ，八，v ，) 是一個(gè)有泛界i ，0 的有余格若映射 _ x 三- - 9 , 滿(mǎn)足：對(duì)任意x , y , z l ( 1 1 ) 衛(wèi)一o ，呻z ) = j ，啼似- 9 , o ) ； ( 1 2 ) r - 4 , 工= i ； ( 1 3 ) x y = ，寸一： ( 1 4 ) 若x 寸y = y j 芏= 則工= ，； ( i s ) - - - 力哼y = o 斗x ) 哼x ； 則稱(chēng)化，v ，_ ) 是一個(gè)擬格蘊(yùn)涵代數(shù)若它還滿(mǎn)足： ( 1 1 ) o vj ，) - 9 , = = 葉= ) a ( 少辛：) ； ( b ) x 力專(zhuān)：= 扛哼布v 一：) ： 則稱(chēng)( 上，八，v ，- 十) 是一個(gè)格蘊(yùn)涵代數(shù)若它還滿(mǎn)足： 苫v ，、，( ( x ，) 力= 7 則稱(chēng)( 三，八，v ，寸) 是一個(gè)格h 蘊(yùn)涵代數(shù) 注：在上述定義中芏一y 一( t 力 例2 1 1 設(shè)l = o ，1 ) ，運(yùn)算八，v ，7 ，哼分別定義如下： 西南交通大學(xué)研究生碩士學(xué)位論文l i 器豳圈圈 則旺，八tv ，寸) 是個(gè)格蘊(yùn)涵代數(shù) 例2 1 2 設(shè)l = 【o ，l 】- 運(yùn)算八，v ，哼分別定義如下：對(duì)于任意 羔y l x a y = r a i n tj ，) ； 工v y = m a x l x , y ； x = 1 一x ： 芏 y = 1 ( 1 一+ y ) ， 則( ，八，v ，寸) 是個(gè)格蘊(yùn)涵代數(shù) 倒2 l 3 殳丹n ，n 是不包含o 的自然數(shù)集，l = 0 1 i ，2 ，療一i ，定 義中的偏序關(guān)系“”為整數(shù)的大小關(guān)系，三上的余運(yùn)算“，定義為：對(duì) 于任意善l x = r t l r 上土的二元運(yùn)算“a ，v ，_ ”分別定義為：對(duì)于任意tp x a y = m i n x ，j ，) ， z v y = m a x x ，j ， ； x 寸y ： ”1 “j ，? 。 【, 一l x + yx p 則( ，八，v ，_ ) 構(gòu)成一個(gè)n 元的格蘊(yùn)涵代數(shù) 例2 1 4 i l x 是一個(gè)非空集合，在其冪集p ( 鼻) 上定義二元運(yùn)算斗如下： 對(duì)于任意a ，b p ( x l a 斗b = 一c u b 其中“c ”為集合的補(bǔ)運(yùn)算1 r j ( p ( x ) ，u ，n ，c 呻) 構(gòu)成個(gè)格h 蘊(yùn)涵代數(shù) 西南交通大學(xué)研究生碩士學(xué)位論文 1 2 例2 l 5 設(shè)l = 0 ，a ，b ，c ，d ，) 是一個(gè)格，三上的偏序關(guān)系如圖2 1 所示， 上的運(yùn)算，一分別定義為： 【x ， dl dc bd c口 db ，0 手0 口bcd， 0，i， 口cj6cb， 扣d口lb口， c口口 ll口l db，b， ，0 bcdi ( ) 圖2 i 則( ，八，v ，斗) 是一個(gè)格蘊(yùn)涵代數(shù) 從上述例子中，我們可以看出格蘊(yùn)涵代數(shù)是b o o l e 代數(shù)，l u k a s i e w i c z 代 數(shù)的推廣，并且全體格蘊(yùn)涵代數(shù)構(gòu)成一個(gè)真類(lèi) 定理2 ，1 1 設(shè)( ，八，v ，_ ) 是一個(gè)格蘊(yùn)涵代數(shù)對(duì)于任意的 x , y ，z l ，有： ( 1 ) x 寸0 = z ，i 手上= z ； ( 2 ) x y 當(dāng)且僅當(dāng)x 葉y = - ； ( 3 ) x - ( y v 2 ) = _ y ) v ( x o ：) ； ( 4 ) z 寸o ：) = 斗y ) o 斗：) ： ( 5 ) 若工y ，則z 斗：y 一五= 哼x ：_ y ； ( 6 ) z 葉j ，r v y ； ( 7 ) x v y = ( 工呻y ) - - y ，x a y = ( ( x j ，) _ + x ，) 定理2 1 2 擬格蘊(yùn)涵代數(shù)( 厶 ，v ，_ ) 為格蘊(yùn)涵代數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)： 對(duì)于任意x , y ，z l ，有： ( 1 ) ( 工- 4 , ，) 斗，= x v y ； ( 2 ) x y 當(dāng)且僅當(dāng)x + y = ，： ( 3 ) 芏a ，j ，v 工j = ( x 人y ) v ( z 二) ； 定義2 1 2 設(shè)( 上，八，v ，_ ) 是一個(gè)格蘊(yùn)涵代數(shù)，如果s l ，且 滿(mǎn)足： 西南交通大學(xué)研究生碩士學(xué)位論文 1 3 _ - _ _ 一一 n ( s ，八，v ，) 是( 三， ，v ，) 的有余、有泛界o 和，的子格； 2 1 對(duì)任意x ，y s ，有x _ y s 則稱(chēng)( 量 ，v ，_ ) 是( ，八，v ，_ ) 的一個(gè)格蘊(yùn)涵子代數(shù) 定義2 1 3 設(shè)( 厶，八，v ，一) ，( 厶，八，v ，斗) 都是格蘊(yùn)涵 代數(shù)，若映射f ：厶斗三2 滿(mǎn)足：對(duì)于任意x ，y l ， f ( x 斗y ) = ，( 的- ) 貝i j 稱(chēng)，是一個(gè)蘊(yùn)涵同態(tài)若還滿(mǎn)足： y ( x v y ) = ，( x ) v ，( y ) 廠(chǎng)( r j ，) ：f ( x ) ，( j ，) ，( x ，) = ( 廠(chǎng)( x ) ) 則稱(chēng)是一個(gè)格蘊(yùn)涵同態(tài)一對(duì)一的格蘊(yùn)涵同態(tài)稱(chēng)為格蘊(yùn)涵同構(gòu) 定理2 1 3 設(shè)厶，l 。是格蘊(yùn)涵代數(shù)，l 一厶是蘊(yùn)涵同態(tài)，則： i ) f 是并同態(tài)，即對(duì)于任意r ，y l 。f ( x v y ) = “) v ，( y ) ： 2 ) 如果廠(chǎng)( d ) = 0 ，則是格蘊(yùn)涵同態(tài) 定義2 1 4 i f t l 是一個(gè)格蘊(yùn)涵代數(shù)，f l 。稱(chēng)f 是的一個(gè)蘊(yùn)涵濾子， 如果對(duì)于任意x , y l ， i ) ，f ； 2 ) 如果x f ，x y e f ，貝抄f 稱(chēng)f 是三的一個(gè)關(guān)聯(lián)蘊(yùn)涵濾子，如果對(duì)于任意x ，y ，2 ， 3 ) i f ； 4 ) 如果r - - 1 , y e f ，x ( y 2 ) f ，則x - - - = f 格蘊(yùn)涵代數(shù)的全體蘊(yùn)涵濾子在集合的包含序“”之下構(gòu)成一個(gè)完備的分 配格 定理2 1 4 格蘊(yùn)涵代數(shù)中的蘊(yùn)涵濾子為格對(duì)偶理想；關(guān)聯(lián)蘊(yùn)涵濾子為蘊(yùn) 涵濾子 定理2 1 5 設(shè)工。，三：是格蘊(yùn)涵代數(shù)，：斗：是蘊(yùn)涵同態(tài)，若 d - k e r ( ，) o ，則d k e r ( f ) ；是l 的一個(gè)蘊(yùn)涵濾子其中 d - k e r ( f ) = x ；x 厶，且，( x ) = ，) 西南交通大學(xué)研究生碩士學(xué)位論文 1 4 定理2 1 6 設(shè)l ，l ：是格蘊(yùn)涵代數(shù)，廠(chǎng)：l ，_ 上：是蘊(yùn)涵同態(tài)，則： 1 ) 若s 是厶的格蘊(yùn)涵子代數(shù)，則，( s ) 是上：的格蘊(yùn)涵子代數(shù)； 2 ) 若f 是如的蘊(yùn)涵濾子，則。( f ) 是厶的蘊(yùn)涵濾子 定理2 1 7 設(shè)是一個(gè)格蘊(yùn)涵代數(shù)，f 是工的一個(gè)蘊(yùn)涵濾子。在上上定 義二元關(guān)系“”為：對(duì)于任意y ，y l y y 當(dāng)且僅當(dāng)x 哼y f ，y 甘x f 則： 1 ) “一”是上上的一個(gè)同余關(guān)系； 2 ) 對(duì)于任意y l ，令 【x 】= y ；y 且y r ) 在上定義運(yùn)算天，可，、j 為：對(duì)于任意的 司，l y 】 【明天【y 】= p ，、月 x v l y 】_ 瞳。y 】 胡1 = f x 】 【x 】等沙】= h _ y 】 則( ，瓦可，、j ) 是一個(gè)格蘊(yùn)涵代數(shù)，稱(chēng)為的由f 決定的裔代數(shù) 3 ) 令，：寸，滿(mǎn)足：對(duì)于任意x ，( x ) = 【x 】 則，是一格蘊(yùn)涵滿(mǎn)同態(tài)， 定理2 1 8 設(shè)上1 ，l ：是格蘊(yùn)涵代數(shù)，：厶_ 厶是格蘊(yùn)涵滿(mǎn)同態(tài)，則： 鄉(xiāng)乞一k 盯) 蘭厶 2 2 格蘊(yùn)涵代數(shù)中的蘊(yùn)涵運(yùn)算 格蘊(yùn)涵代數(shù)是內(nèi)容豐富的代數(shù)結(jié)構(gòu)，本節(jié)在上節(jié)的基礎(chǔ)上，進(jìn)步研究關(guān) 于格蘊(yùn)涵代數(shù)蘊(yùn)涵運(yùn)算的一些性質(zhì) 定理2 2 1 設(shè)l 是一個(gè)格蘊(yùn)涵代數(shù)，a , b ，c ，d ，且滿(mǎn)足口：6 v c 西南交通大學(xué)研究生碩士學(xué)位論文 1 5 d = 6 c ，則 1 ) b 葉c = 日寸c ，c 一6 = a 6 ； 2 ) 6 - - 9 d = 口c ，c _ d = d o b 證明根據(jù)格蘊(yùn)涵代數(shù)的性質(zhì)，有： 1 ) a 斗c = ( 6 v c ) 寸c = ( 6 一c ) 0 - - - - c ) = ( 6 寸c ) i = 6 專(zhuān)c 同理：c 寸6 = 口一b 口 圖22 f 2 ) 6 寸d = b 寸( 6 c ) = ( 6 一6 ) ( b 呻c ) = i ( 6 一c ) = 6 - - - c 根據(jù)( 1 ) 的結(jié)論：6 - c = 口寸c ，故6 - d ：口哼c 同理可證：c 哼d = 口j 6 推論2 2 1 設(shè)是一個(gè)格蘊(yùn)涵代數(shù)，a , b ，c 工，若滿(mǎn)足口v 6 ：， 盤(pán)k 6 = c ，貝u ： 1 ) a 葉6 = b , b _ a = 口； 2 ) d - + o = 6 ，6 c = 口 推論2 , 2 2 設(shè)是一個(gè)格蘊(yùn)涵代數(shù)，一是三的所有原子的集合，則對(duì)于 任意x , y a ，成立： 1 ) x _ y = x 斗0 = x ； 2 ) 若上v j ，= c ，則q ，甘x = y ，c 。哼y = 一 定理2 2 2 設(shè)是一個(gè)格蘊(yùn)涵代數(shù)，口，6 ，c ，以