l f t s 中的聚點、導(dǎo)集和導(dǎo)算子的研究 基礎(chǔ)數(shù)學專業(yè) 研究生黃勇指導(dǎo)教師羅懋康教授 由于具有層次結(jié)構(gòu)的l f u z z y 拓撲空間( 以下簡記為l f t s ) 要比一 般拓撲空間的結(jié)構(gòu)復(fù)雜得多，所以自從蒲保明和劉應(yīng)明于1 9 7 7 年在其有點式 f u z z y 拓撲學的開創(chuàng)性論文【4 】中首次提出f u z z y 集的聚點和導(dǎo)集這兩個基本 概念以來，關(guān)于l f t s 中l(wèi) f 集的聚點和導(dǎo)集這兩個基本概念的定義至今已 有了各種不同的版本( 見文獻 1 卜 1 1 】) 在本文第一章中先介紹了這幾類聚點 及其導(dǎo)集的定義，并對與之相關(guān)的一些基本結(jié)論作了一個簡單介紹 第二章系統(tǒng)地研究了l f t s 中各類聚點之間的關(guān)系，并討論了f 一聚點【1 】 的分類本章首先在2 a 中對由文【4 1 i l0 中提出的幾類聚點之間的關(guān)系進行了 研究，并得到了“這幾類聚點不僅都是w 一聚點【2 】的子類，而且還是f 一聚點的 子類”這一結(jié)論；在此結(jié)論基礎(chǔ)上，在2 2 中進一步地對f 一聚點和”聚點之 間的關(guān)系進行了深入的研究，并得到了使“z a c u ( a ) 辛茁 a c u ”) ”和 。o a c u ”( a ) 辛。 a c u t ( a ) ”這兩個關(guān)系式分別成立的幾個充分條件， 同時，還通過構(gòu)造幾個有趣的f 格來進一步地給出了使上述兩個關(guān)系式分別不 成立的反例在這一工作的基礎(chǔ)上。本章緊接著在2 3 中利用“w 一聚點分類定 理”給出了“f 一聚點分類定理” 第三章重點研究了l i t s 中任意l f 集的f 一導(dǎo)集和一導(dǎo)集的一些重要 性質(zhì)本章首先在3 1 中利用“f 一聚點分類定理”繼續(xù)給出了“f 一導(dǎo)集分解 定理”，作為這一定理的應(yīng)用，還重點給出了任意l f 點和l f 分子這兩種特殊 l f 集的f 一導(dǎo)集分解式然后，在3 2 中引進了l i t s 中的“局部有限集族的 導(dǎo)集保持性質(zhì)”這一概念，并接著討論了f 一導(dǎo)集【1 】和導(dǎo)集 9 1 所共同具有的 這條重要的性質(zhì)，得到了“局部有限集族是c 一導(dǎo)集保持的”這一結(jié)論，此事實 與一般拓撲學中分明集導(dǎo)集的相應(yīng)結(jié)論是一致的；同時，還證明了：對于導(dǎo) 集情形還有著比。局部有限集族是- 導(dǎo)集保持的”更為一般的結(jié)論緊接著， 在3 3 中繼續(xù)討論了兩種導(dǎo)集的另一種性質(zhì)：分子式楊忠道定理，并得到了使 i 一導(dǎo)集的分子式楊忠道定理成立的如下兩個有趣的充分條件：( i ) v x x ，。p 為閉集；( i i ) 1 m ( l ) 或1gm ( l ) 且c o m p ( 1 ) 為有限集最后，本節(jié)還以提 出問題的形式對“t 一導(dǎo)集的分子式楊忠道定理是否成立”這一公開問題給出了 一個新的研究思路，同時證明了：我們所提問題的正面解決將不僅正面回答上 述這一公開問題，而且也將同時正面回答“a l 導(dǎo)集的分子式楊忠道定理是否成 立”這一懸久而未解決的問題! 第四章重點研究了l i t s 中的f 一導(dǎo)算子和- 導(dǎo)算子的幾個相關(guān)問題本 章在4 1 中首先引進了在l x 上的c 一導(dǎo)算子的定義，并研究得到其與l f 拓撲 之間有著一一對應(yīng)的關(guān)系接著在4 2 中通過介紹由文 2 3 】得到的三上的v _ 導(dǎo)算子與l f 拓撲之間的關(guān)系后發(fā)現(xiàn)tl s t s 中任意l f 集的一導(dǎo)集和l x 上一導(dǎo)算子與一種被稱為“s l 性”的分離性之間有著非常緊密的聯(lián)系；從 而，本章在4 2 中就對這種分離性給予了詳細而深入的研究，并通過給出幾個 例子系統(tǒng)地討論了s 衛(wèi)1 性與“準蜀”、“次蜀”、“蜀”和“t t ”這四類弱 分離性之間的關(guān)系然后，本章通過在5 4 3 中先簡要地介紹了由文【2 4 】一 2 6 】得 到的關(guān)于誘導(dǎo)空間中的 l 導(dǎo)算子的幾個主要結(jié)果之后，緊接著在4 4 中對任 意l f 集的f 一導(dǎo)集和一導(dǎo)集各自性質(zhì)的優(yōu)劣作了一個詳細的比較性分析，并 指出tf - 導(dǎo)算子不能像小 導(dǎo)算子那樣成功地對誘導(dǎo)空間進行刻畫，且導(dǎo)致兩 者存在各自不足之處的原因是本質(zhì)的和不可避免的，而所得到的上述這一分析 性結(jié)論將自然地導(dǎo)致本文最后一個值得去繼續(xù)研究的問題的提出 關(guān)鍵詞：l f u z z y 拓撲空間，f 聚點，w 聚點，一聚點，f 一導(dǎo)集， w 一導(dǎo)集。- 導(dǎo)集，l - 導(dǎo)算子，- 導(dǎo)算子，f u z z y 格，成分，擬差，局部有 限集集族的導(dǎo)集保持性質(zhì)，分子式楊忠道定理，s 1 1 性，誘導(dǎo)空間 a s t u d y o ft h ea c c u m u l a t i o np o i n t ，d e r i v e ds e ta n d d e r i v e do p e r a t o ri nl - f u z z yt o p o l o g i c a ls p a c e s m a j o r ：p u r e m a t h e m a t i c s g r a d u a t es t u d e n t ：y o n gh u a n g s u p e r v i s o r ：p r o f m a o k a n gl u o t h e t o p o l o g i c a ls t r u c t u r eo ft h el - f u z z yt o p o l o g i c a ls p a c e ( l f t af o rs h o r t ) w h i c hh a v es t r a t i f i c a t i o n si sm o r e c o m p l i c a t e d t h a nt h a to ft h eg e n e r a lt o p o l o g i c a l s p a c e ，s ov a r i o u sa c c u m u l a t i o np o i n t sa n dd e r i v e ds e t so fal f s e ti nl f t s w e r ed e f i n e d ( s e e 1 j - h i ) s i n c et h et w ob a s i cc o n c e p t so fa c c u m u l a t i o np o i n ta n d d e r i v e ds e to faf - s e tw e r ei n t r o d u c e df o rt h ef i r s tt i m eb yb p ua n dy l i u i nt h e i ro r i g i n a lp a p e r 【4 】c o n c e r n i n g “p o i n t l i k e ”f u z z yt o p o l o g yi n1 9 7 7 i n t h i sd i s s e r t a t i o n ，a l lk i n d so fa c c u m u l a t i o np o i n t sa n dd e r i v e ds e t s ( d e f i n e di n 【1 | - i n ) t o g e t h e rw i t hs o m e b a s i cr e s u l t sa r ei n t r o d u c e di nc h a p t e r1 。 c h a p t e r2i sd e v o t e dt ot h ei n t r i n s i c r e l a t i o nb e t w e e nt h e2 - a c c u m u l a t i o n p o i n ta n da l lk i n d so fa c c u m u l a t i o np o i n t sd e f i n e di n 2 】a n d 【4 卜 i 1 1 i n 2 1 ， w ef i r s t l yi n v e s t i g a t et h e s ek i n d so fa c c u m u l a t i o np o i n t sd e f i n e di n 【4 【1 0 】，a n d r e a c hac o n c l u s i o nt h a tt h ea b o v ee a c ha c c u m u l a t i o np o i n ti sn o to n l yo n ek i n d o f 叫a c c u m u l a t i o np o i n tb u ta l s ot h a to f2 一a c c u m u l a t i o np o i n t t h e nw ef a r t h e r s t u d yt h ei n t r i n s i cr e l a t i o nb e t w e e n - a c c u m u l a t i o np o i n ta n dw - a c c u m u l a t i o n p o i n ti n 2 2 ，a n dr e s p e c t i v e l yp r o v i d es o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n su n d e rw h i c h t h ef o l l o w i n gt w of o r m u l a eo f “z a c u ( a ) = z a c u 曲( a ) ”a n d “茁 a c u ”( a ) = z a c u ( a ) ”w i l lh o l d f u r t h e r m o r e ，w ec o n s t r u c ts e v e r a lf u z z y l a t t i c e st og i v et h ec o u n t e r e x a m p l e st h a td i s s a t i s f ya b o v et w of o r m u l a e ，b a s e d o nt h i sw o r k ，i n 2 3w ep r o v et h e “c l a s s i f i c a t i o nt h e o r e mf o r - a c c u m u l a t i o n p o i n t ”u s i n gt h e “c l a s s i f i c a t i o nt h e o r e mf o rw a c c u m u l a t i o np o i n t ” c h a p t e r3i sm a i n l yd e v o t e dt os o m ei m p o r t a n tp r o p e r t i e so f - d e r i v e ds e t a n dn d e r i v e ds e t f i r s t l yt i l e 。d e c o m p o s i t i o nt h e o r e mf o r - d e r i v e ds e t ” i sp r o v e di n 3 1 a si t sa p p l i c a t i o n t h ed e c o m p o s i t i o nf o r m u l ao fal f - s e to r m o l e c u l ei sg i v e n i n 3 2 ，t h ec o n c e p to fd e r i v e ds e tp r e s e r v i n gi si n t r o d u c e d ， a n dw e p r o v e t h a te v e r y l o c a u y f i n i t ef a m i l yo fs u b s e t si s - d e r i v e ds e tp r e s e r v i n g ， m o r e o v e r rt h ec o n c l u s i o nt h a te v e r yl o c a l l yf i n i t ef a m i l yo fs u b s e t si s n - d e r i v e d s e tp r e s e r v i n gi sg e n e r a l i z e d i n 3 3 ，t h ec t y a n g st h e o r e mo ft h em o l e c u l a r f o r m ( “m o l e c u l a r f o r m f o rs h o r t ) c o n c e n f i n g - d e r i v e ds e ta n dn d e r i v e ds e ta r e d i s c u s s e d ，a n dw e o b t a i n e dt w os u f f i c i e n tc o n d i t i o n su n d e rw h i c ht h e “m o l e c u l a r f o r m c o n c e r n i n gn - d e r i v e ds e tw i l lh o l d ：( i ) v x x ，。! ”i sc l o s e d ；( i i ) l m ( l ) o r1 掣m ( l ) a n d c o m p ( 1 ) i sf i n i t e f u r t h e r m o r e ，w er a i s ean e wq u e s t i o nf o r f u r t h e rs t u d yo ft h eo p e nq u e s t i o n 1 1w h e t h e rt h e “m o l e c u l a r f o r m c q n c e r n i n g f d e r i v e ds e tw i l ih o l d b e s i d e s w ep r o v et h a tt h ep o s i t i v es o l u t i o nt ot h en e w q u e s t i o nw i l l a n s w e rn o to n l yt h eo p e nq u e s t i o nb u ta l s ot h el o n g - s t a n d i n g q u e s t i o nw h e t h e r t h e “m o l e c u l a rf o r m ”c o n c e r n i n gn - d e r i v e ds e th o l d ! t h em a i na i mo fc h a p t e r4i st os t u d yt h e - d e r i v e do p e r a t o ra n dn d e r i v e d o p e r a t o ro nl 5 i n 4 1 ，t h ec o n c e p to f - d e r i v e do p e r a t o ri si n t r o d u c e d ，a n d w ep r o v e dt h eo n et oo n ec o r r e s p o n d e n c eb e t w e e nt h ef a m i l yo fa l lt h el - d e r i v e d o p e r a t o ra n dt h a to fa l lt h el - f u z z yt o p o l o g y i n 4 2 ，t h er e l a t i o n sb e t w e e n s 2 - 1s e p a r a t i o na n do t h e rf o u rs e p a r a t i o n sa r es y s t e m a t i c a l l yr e s e a r c h e d ，a n d s e v e r a le x a m p l e sa r eg i v e n s u b s e q u e n t l y , t h ec h a r a c t e r i z a t i o nt h e o r e mf o ri n 。 d u c e d s p a c e sb yn - d e r i v e do p e r a t o ra n d s o m eo t h e rr e s u l t s i n 【2 4 一1 2 5 】a r eb r i e f l y i n t r o d u c e di n 4 3 u s i n gt h e s er e s u l t s ，w ed r a wa c o m p a r i s o no ft h ep r o p e r t i e s b e t w e e n - d e r i v e ds e ta n dn - d e r i v e ds e t ，a n dd e t a i l e d l ya n a l y z et h ea d v a n t a g e a n dd r a w b a c ko fr e s p e c t i v ep r o p e r t i e so ft w od e r i v e ds e t si n 4 4 o u ra n a l y s i s s h o w st h a t - d e r i v e do p e r a t o rc a n tc h a r a c t e r i z ei n d u c e ds p a c e s ，a n dt h a tt h e r e a s o nt h a tc a u s et h ea b o v ed r a w b a c ki se s s e n t i a la n di n e v i t a b l y f u r t h e r m o r e ， a n i n t e r e s t i n gq u e s t i o ni sn a t u r a l l yr a i s e da c c o r d i n gt ot h ea b o v ea n a l y s i s k e y w o r d s ：l - f u z z yt o p o l o g i c a ls p a c e ，a c c u m u l a t i o np o i n t ，d e r i v e ds e t ，d e - r i v e do p e r a t o r ，f u z z yl a t t i c e ，c o m p o n e n t ，q u a s i - d i f f e r e n c e ，d e r i v e ds e tp r e s e r v - i n g ，l o c a l l yf i n i t ef a m i l yo fs u b s e t s ，c t y a n g st h e o r e m ，s 衛(wèi)1 ，i n d u c e ds p a c e 致謝 6 5 4 4 4 重 本文是在導(dǎo)師羅懋康教授的悉心指導(dǎo)下完成的。羅懋康 教授嚴謹?shù)闹螌W態(tài)度和對數(shù)學研究的精辟見解，以及他高尚 的師德和淵博的學識，使我不僅對從事數(shù)學理論的研究工作 有了更深刻的認識，而且在為人處世等方面也深受啟迪。這 一切都將對我今后的學習、生活、科研和教學工作產(chǎn)生深遠 的影響。羅懋康教授自2 0 0 1 年以來，在生活、學習和研究各 方面都給予我極大的關(guān)心、照顧和幫助，并對本文的寫作提 供了大量寶貴的修改意見，使論文增色不少。另外，在三年的 讀書期間，羅懋康教授為我提供了三次外出學習和交流的機 會( 尤其是參加i c m 2 0 0 2 和i s d t 2 0 0 4 ) ，讓我大開眼界并獲 益匪淺。在此，作者向?qū)煴硎旧钌畹木匆夂椭孕牡母兄x! 此外，作者還要向我的拓撲學方面的啟蒙老師一一梁基 華教授致以由衷的謝意，感謝她這幾年來一直對我的關(guān)懷、 鼓勵、教誨和幫助。同時，作者也向這幾年來授過我課程的嚴 叢荃教授、張德學教授以及其它各位老師表示衷心的感謝。 作者衷心感謝奚小勇博士和楊金波博士，他們兩位由始 至終對本文的進展給予了較大的關(guān)注，并在本文的整個完成 過程中盡其所能，熱情幫助。另外，作者還要衷心感謝青島海 洋大學的方進明教授，他為本文的寫作提供了寶貴的資料。 最后，作者還要特別感謝我的摯友一一盛鋼這幾年來一 直對本人的關(guān)心和支持；并且衷心感謝余春蘭女士和梁云等 眾好友在本文的輸入和排版過程中給予的幫助。 引言 由于中國學者的努力，點式處理與層次構(gòu)造的方法已成為f u z z y 拓撲學研 究的重要特征，有力地推動了f u z z y 拓撲學的發(fā)展劉應(yīng)明和羅懋康于1 9 9 7 年 由世界科學( w o r l ds c i e n t i f i c ) 出版社出版的專著【1 】，可以認為是對有點化工 作進行了一個階段性的總結(jié)從另外一個角度來說，專著【1 】的出版，也標志著 l f u z z y 拓撲空間性質(zhì)的研究已基本形成體系 然而，由于具有層次結(jié)構(gòu)的f u z z y 拓撲空間和l f u z z y 拓撲空間( 以 下分別將其簡稱為f 拓撲空間和l f 拓撲空間) 要比一般拓撲空間的結(jié)構(gòu)復(fù)雜 得多，所以自從蒲保明和劉應(yīng)明于1 9 7 7 年在其有點式f h z z y 拓撲學的開創(chuàng)性 論文【4 】中首次提出f u z z y 集的聚點和導(dǎo)集這兩個基本概念以來，關(guān)于f 拓撲 空間和工f 拓撲空間中的聚點和導(dǎo)集的研究至今已有2 0 多年的歷史( 見文獻 1 卜 1 5 1 ) ，并且關(guān)于f u z z y 集和l f u z z y 集( 以下分別將其簡稱為f 集和 三f 集) 的聚點和導(dǎo)集這兩個基本概念的定義至今也已有了各種不同的版本( 見 文【1 】- i i 或本文第一章) 而從這些各類不同的聚點及其導(dǎo)集的研究文獻中， 我們可以發(fā)現(xiàn)：如果對文 1 】- i i 】中提出的各類聚點及其導(dǎo)集按其定義的思想和 使用的研究工具來進行分類的話，我們實際上可將其大致分為以下兩大類： 第一大類是用蒲、劉在文f 4 】中首次提出的“重域”做研究工具、以文 4 】中 定義的f 集的聚點和導(dǎo)集為初始的研究對象，并對此類聚點及其導(dǎo)集進行推廣 ( 如文f 5 】) ，分類( 如文f 6 h 8 ) 或修改( 如專著i l 】或文【3 】) 等工作后而引入 的各類聚點及其導(dǎo)集此大類具有代表性的早期研究工作可見于文【4 】- 【8 】中； 而近期的一項比較漂亮的工作是由專著【l 】( 或文 3 ) 中提出的一種新的l f 集 的聚點和導(dǎo)集( 本文中將分別稱其為“f 一聚點”和“f 一導(dǎo)集”) 第二大類是用王國俊于1 9 7 9 年在文 1 6 中提出的“遠域”做研究工具、以 其專著【2 】中定義的l f 集的聚點和導(dǎo)集( 本文中將分別稱其為“w 一聚點”和 “w 一導(dǎo)集”) 為初始的研究對象，并對“叫一聚點”進行具體而細致的分類后而 引入的各類聚點及其導(dǎo)集換言之，這些文中引入的各類聚點實際上都是w 一聚 點的某一特殊子類關(guān)于這一方面具有代表性的研究，可見于文【9 一【1 1 】中 至此，在對由文【1 】一 i i l 中提出的各類f 集和l f 集的聚點及其導(dǎo)集進行 第i i 頁引言 了上述這樣一個大致的分類后，我們自然地會提出下列問題： 問題( 一) 由文【i l 一 i i 】中提出的各類聚點及其導(dǎo)集之間的更進一步的關(guān)系 如何? 眾所周知，l f 拓撲學以一般拓撲學為特款從而，在將一般拓撲學中分明 集的聚點和導(dǎo)集這兩個重要的基本概念推廣到l f 拓撲空間中相應(yīng)的概念時， 我們在l f 拓撲學中引入的聚點和導(dǎo)集這兩個概念除了要以一般拓撲學中分明 集的相應(yīng)概念為特款外，還應(yīng)使這種l f 集導(dǎo)集盡可能多地保持相應(yīng)分明集導(dǎo) 集所具有的性質(zhì)即，應(yīng)使這種推廣成為l o w e n 意義下的“良好推廣”m 而我們知道，在專著【2 】2 和文1 4 卜 i i 中提出的f 集和l f 集的各類導(dǎo)集都 存在著一個非常明顯的缺陷一一它們均不能保持一般拓撲學中分明集的導(dǎo)集所 應(yīng)該同時滿足的以下兩條基本性質(zhì)【1 8 l ：( i ) a 一= a u a 8 ；( i i ) ( a u _ 日) 8 = a 8 u b 8 正是為了克服這一缺陷，劉應(yīng)明和羅懋康在其專著 1 】中提出了f 一聚點和 f 導(dǎo)集這一類新的聚點和導(dǎo)集，并且在【1 中他們還證明了f 一導(dǎo)集除了能夠同 時滿足以上兩條性質(zhì)( 見本文定理1 1 1 8 ) 外，而且也能夠保持分明集的導(dǎo)集 所應(yīng)具有的一些其它的基本性質(zhì)由此可見：從這一方面來說，f 一導(dǎo)集要明顯 地優(yōu)于專著【2 】中提出的w 導(dǎo)集1 2 l 和文【4 卜 ii 】中提出的其它各類導(dǎo)集 然而，由于2 一聚點的定義在形式上要復(fù)雜得多( 見本文定義1 1 1 5 ) ，所以 自從這類聚點及其導(dǎo)集提出以來。至今未見進一步研究從而，我們對這類聚點 及其導(dǎo)集的性質(zhì)還不能有更進一步的了解換言之，我們對f 聚點和f 導(dǎo)集所 具有的性質(zhì)的優(yōu)劣也就不能有一個更全面和更深入的客觀認識 正是基于這點想法，針對于上述問題( 一) ，我們還可以進一步地提出如下 一個更為具體的問題t 問題( 二) f _ 聚點及其導(dǎo)集和w 一聚點及其導(dǎo)集以及文 4 _ 1 1 】中提出的其 他各類聚點及其導(dǎo)集之間的關(guān)系如何? 至此，為了回答上述兩個問題，我們在本文第二章中系統(tǒng)地研究了l f 拓 撲空間中的l f 集的各類聚點之間的關(guān)系t 在本章中，我們首先在2 1 中對由文【4 】一 1 0 中提出的幾類聚點( 見本文定 義1 2 1 中的四類聚點) 之間的關(guān)系進行了研究，并得到了“這幾類聚點不僅都 第i i i 頁 是叫聚點的子類，而且還是2 一聚點的子類”這一結(jié)論；在此結(jié)論的基礎(chǔ)上，我們 在2 2 中進一步地對j 一聚點和叫一聚點之間的關(guān)系進行了深人的研究，并得到 了使“霉 a c u o ( a ) = z a c u 仙( a ) ”和“z a c u 叫( a ) = z a c u ( a ) ” 這兩個關(guān)系式分別成立的幾個充分條件，同時，我們還通過構(gòu)造了幾個有趣的 f 格( 值得注意”來進一步地給出了使上述兩個關(guān)系式分別不成立的反例在 這一工作的基礎(chǔ)上，我們緊接著在2 3 中利用“w 一聚點分類定理”給出了漂 亮的“2 一聚點分類定理” 有了這兩個分類定理，我們不僅完全地回答了上面提出的兩個問題，而且 還對l f 拓撲空間中任意l f 集的z 聚點分布情況有了一個非常清晰的認識 緊接著，在本文第三章3 1 中，我們將利用2 3 中的“w 一聚點分類定 理”和“ 一聚點分類定理”來繼續(xù)給出“廿導(dǎo)集分解定理”和“2 一導(dǎo)集分解 定理”在有了這兩個分解定理之后，我們現(xiàn)在對l f 拓撲空間中任意l f 集的 叫導(dǎo)集和f 導(dǎo)集的層次結(jié)構(gòu)就有了一個較為清晰的認識另外，作為這兩個分 解定理的一個應(yīng)用，我們還重點給出了任意l f 點和l f 分子這兩種特殊l f 集的廿導(dǎo)集和z 一導(dǎo)集分解式 正如我們前面所述t 在將一般拓撲學中分明集的聚點和導(dǎo)集這兩個重要的 基本概念推廣到l f 拓撲空間中相應(yīng)的概念時，我們應(yīng)使這種推廣成為l o w e n 意義下的“良好推廣” 而從前面所述中，我們已見tf - 導(dǎo)集很好地保持了一般拓撲學中分明集的 導(dǎo)集所應(yīng)同時滿足的前面兩條基本而重要的性質(zhì)( i ) 和( 托) 所以，在這一方面， f 一導(dǎo)集確實要明顯地優(yōu)于專著【2 】中提出的w 一導(dǎo)集剛”l 和文【4 卜 1 1 】中提出的 其它各類導(dǎo)集 然而，我們通過對f 一導(dǎo)集的性質(zhì)進行更進一步的研究后發(fā)現(xiàn)：f 一導(dǎo)集卻 不再保持分明集的導(dǎo)集本應(yīng)所具有的另外兩條同樣基本的性質(zhì)( 我們將在本文 4 4 中做詳細敘述) 但是，由文【9 l 中提出的、，_ 導(dǎo)集( 見本文定義1 2 1 ( 3 ) ) 卻能夠很好地保持這兩條性質(zhì) 由此可見：我們在對l 一導(dǎo)集的性質(zhì)進行更為深人的研究的同時，有必要 對一導(dǎo)集的性質(zhì)進行相應(yīng)的研究 正因如此，從第三章的3 2 開始，我們來同時研究f 一導(dǎo)集和一導(dǎo)集這 第i v 頁引言 兩者所具有的其他幾個重要的性質(zhì)： 在3 2 中，我們首先引進了l f t s 中的“局部有限集族的導(dǎo)集保持性 質(zhì)”這一概念，并接著我們就討論了兩種導(dǎo)集所共同具有的這條重要的性質(zhì)，且 證明了“局部有限集族是z - 導(dǎo)集保持的”這一結(jié)論，而此事實與一般拓撲學中 分明集導(dǎo)集的相應(yīng)結(jié)論是一致的；同時，我們還證明了：對于一導(dǎo)集情形有著 比“局部有限集族是導(dǎo)集保持的”更為一般的結(jié)論 眾所周知。在一般拓撲學中。關(guān)于分明集的導(dǎo)集有一條“楊忠道定理”然 而，一方面由于l f t s 中關(guān)于l f 集的導(dǎo)集的定義有各種不同的版本，從而， 我們在將這條定理推廣到l f 拓撲學中時，對于不同的導(dǎo)集概念，就會有不同 的推廣形式另一方面，對于同一種l f 集的導(dǎo)集而言，這種推廣形式又可以 有“分子式楊忠道定理”和“點式楊忠道定理”( 以下分別簡稱為“分子式”和 “點式”) 這兩種形式，它們可分別敘述為：“任意l f 集的導(dǎo)集為閉集甘任 意l f 分子的導(dǎo)集為閉集”和“任意l f 集的導(dǎo)集為閉集甘任意l f 點的導(dǎo)集 為閉集”易見，若“分子式”成立，則“點式”必成立，而反之卻不然另外， 在三f 拓撲空間中，分子比l f 點有著更為基本的作用，且分子集有更好的性 質(zhì)( 如t 任意l f 集均可由分子集生成) 由此可見，“分子式”要明顯地優(yōu)于 “點式”從而，我們將一般拓撲學中的楊忠道定理推廣到l f 拓撲學中時， 對于同一種l f 集的導(dǎo)集概念而言，其更一般的推廣形式應(yīng)該是“分子式” 另外，吉智方等人在文【1 3 l 中已證明了 一導(dǎo)集的“分子式”成立，并在文 【1 4 】、【1 5 】中構(gòu)造出反例說明了由文 1 0 中提出的“強導(dǎo)集”和由文 1 1 中提 出的“第二類導(dǎo)集”和“第三類導(dǎo)集”的“分子式”均不成立而至于f 一導(dǎo)集的 “分子式”是否成立，專著【1 】中已證明了如下部份結(jié)論t 定理設(shè)己為f 格。如果l 滿足： y a 三及姒m ( io ) ，只為有限集( ) 則f 一導(dǎo)集的“分子式”成立 而對于“當不滿足上述( ) 條件時，f 一導(dǎo)集的分子式是否還成立” 這一問題，專著 1 】中將其作為一個公開問題提出t 公開問題【1 j 設(shè)l 為f 格，若l 不滿足上述( ) 條件，則f 一導(dǎo)集的“分子 式”是否還成立? 第v 頁 然而，至于一導(dǎo)集的“分子式”是否成立，這也是一個懸久而未被解決 的問題t 問題( 三) 在l f 拓撲空間中，一導(dǎo)集的“分子式”是否成立? 并且，對于上述問題( 三) 的研究，我們至今還未見有任何部分的結(jié)論出現(xiàn) 而又正如我們在前面所指出：對- 導(dǎo)集性質(zhì)的進一步研究是必要的從而，我 們在研究上述公開問題的同時，有必要對上述問題( 三) 進行相應(yīng)的研究 從而。為了研究了上述公開問題和問題( 三) ，我們在3 3 中緊接著就討 論了f 一導(dǎo)集和一導(dǎo)集的分子式楊忠道定理t 首先。我們研究了- 導(dǎo)集的“分子式”，并得到了使 一導(dǎo)集的“分子 式”成立的如下兩個有趣的充分條件t( 1 ) v z x ，z p 為閉集；( 2 ) 1 m ( l ) 或1gm ( l ) 且c o m p ( t ) 為有限集易見：條件( 2 ) 要比上述( ) 條件更弱 最后，在本節(jié)中我們還以提出問題的形式對上述公開問題給出了一個新的 研究思路，同時我們還證明了我們所提問題的正面解決將不僅正面回答上述這 一公開問題，而且也將同時正面回答上述問題( 三) 這一懸久而未被解決的問題! 我們知道，閉包和內(nèi)部這兩個基本概念在拓撲學中有著重要的地位，并且 在l f 拓撲學中，l x 上的閉包算子和內(nèi)部算子也有著重要的應(yīng)用并已得到了 深入的研究然而，在拓撲學中，與閉包和內(nèi)部有著同樣重要性的導(dǎo)集這一基本 概念，在將其推廣到l f 拓撲學中時與其相對應(yīng)的導(dǎo)算子在l f 拓撲空間中卻 未能夠受到像閉包算子和內(nèi)部算子那樣的高度重視以及得到足夠深入的研究 而直到由宣立新在文 6 中首次介紹了f 拓撲空間中的“明導(dǎo)算子”和由史福 貴在文 2 2 】中首次引進了“由分明集的導(dǎo)算子誘導(dǎo)出的f 導(dǎo)算子”這兩個概念 之后，再隨著近幾年由史福貴在文【2 3 】和方進明在文f 2 4 】- 【2 6 中所做的工作， 這一現(xiàn)象才逐步地得到了改觀，并且我們對l f 拓撲空間中的導(dǎo)算子也有了更 進一步的研究( 詳見文【2 3 - 【2 6 】) 正因如此，在本文第四章中，我們就重點地研究了l f 拓撲學中的導(dǎo)算子 的幾個相關(guān)問題 我們從專著【1 】中可以知道t 在l f 拓撲學中，l 爿上的閉包算子和內(nèi)部 算子均與l f 拓撲之間有著一一對應(yīng)的和諧關(guān)系( 見 1 中定理2 2 2 4 和定理 2 2 2 5 ) 從而，一個很自然的問題就是。 第v i 頁引畝 問題( 四) l x 上的導(dǎo)算于與l f 拓撲之間之間的關(guān)系如何? 兩者之間是 否也有著上述這樣和諧的一一對應(yīng)關(guān)系呢? 為了回答這一問題，我們在4 1 中首先引進了三x 上f 一導(dǎo)算子的定義， 并且研究了其與l f 拓撲之間的關(guān)系，證明了由我們引進的這種l x 上f 一導(dǎo)算 子與l f 拓撲之間也同樣有著一一對應(yīng)的關(guān)系 緊接著，我們在4 2 中將同樣地來討論上的一導(dǎo)算子與l f 拓撲之 間的關(guān)系但關(guān)于這一問題，由于史福貴早已在文 2 3 】中對其給予了充分的研 究，而本文為了進一步研究的需要，我們在本節(jié)中先來對文 2 3 】中的工作做一 個關(guān)于其主要結(jié)論的簡單介紹；而事實上，正是在通過對文【2 3 】中關(guān)于上 - 導(dǎo)算子已取得的這些結(jié)論的介紹之后，我們發(fā)現(xiàn)：l f 拓撲空間中的任意 五f 集的一導(dǎo)集和l x 上n 一導(dǎo)算芋與一種被稱為“s 衛(wèi)l 性”的分離性之間有 著非常緊密的聯(lián)系，并且在一個具有這種s 衛(wèi)l 性的l f 拓撲空間中，任意l f 集的一導(dǎo)集能夠同時具有前面提到的( 。) 、( 越) 這兩條基本性質(zhì) 另外， 我們還迸步地發(fā)現(xiàn)；每個滿層空間都是s 衛(wèi)1 空間，從而每個誘 導(dǎo)空間也都是9 殳1 空間 由此可見t在每個s 衛(wèi)l 空間( 或誘導(dǎo)空間) 中，任意l f 集的一導(dǎo)集 由于可以避免自己的缺陷且又能夠保持分明集的導(dǎo)集本應(yīng)所具有的另外兩條同 樣基本的性質(zhì)( 詳見本文4 4 內(nèi)容) 而具有了比l 一導(dǎo)集更好的性質(zhì)。 至此可見z 我們對這種“s t _ 1 性”的分離性的進一步的研究是必要的；特 別地，我們有必要弄清它與三一i t s 中的“準為”、“次”、“”和“衛(wèi)，” 這四類弱分離性之間的關(guān)系換言之，我們有必要來回答下面這個問題： 問題( 五) s 幾1 性與準蜀、次、和衛(wèi)l 這四類弱分離性之間的關(guān) 系如何? 對于這一問題，我們在4 2 中對其給予了詳細而深人的研究，并通過給 出幾個例子來系統(tǒng)地討論了s t _ 1 性與準而、次而、乃和衛(wèi)1 這四類弱分離 性之間的關(guān)系 我們知道：誘導(dǎo)空間作為在一般拓撲空間與l f 拓撲空間之間建立了一種 深刻聯(lián)系的一類特殊的l s i s ，它在l f 拓撲學中有著極其重要的地位和有著 第v i i 頁 很強的性質(zhì)，并且誘導(dǎo)空間、弱誘導(dǎo)空間和滿層空間這三者之間也有著一種頗 為和諧的關(guān)系( 見【1 】中定理4 3 8 和定理4 3 1 0 ) ；而且，利用l f t s 中( 或 工x 上) 的內(nèi)部算子和閉包算子，我們還可以分別對這種關(guān)系做出更進一步的刻 畫( 見【1 】中定理4 3 2 2 和定理4 3 2 3 ) 另外，由 1 】中給出的定理4 3 2 2 ( i v ) 和定理4 3 2 3 ( i v ) 的結(jié)論中，我們還 知道t 由于l f 集自身具有很好的代數(shù)性質(zhì)， 1 中得到的這兩個結(jié)果給出了利 用誘導(dǎo)空問的底空間上的開集來具體構(gòu)造這個誘導(dǎo)空間中的l f 集的內(nèi)部和閉 包的一種非常有用的方法另外，由于誘導(dǎo)空間自身具有很好的性質(zhì)，上述這兩 個結(jié)果也同時顯示了我們可以利用底空問的層化中的內(nèi)部和閉包來刻畫l f t s 中的內(nèi)部算子和閉包算子從而，對于如何來構(gòu)造l f t s 中的內(nèi)部和閉包的問 題也就可以平行但又要更簡單地轉(zhuǎn)化為一般拓撲空間中的相應(yīng)問題， 至此。一個自然的問題就是： 問題( 六) l f t s 中( 或三x 上) 的導(dǎo)算于是否也能取得與上述內(nèi)部算 子和閉包算子所取得的一致結(jié)果? 亦即，我們是否也能利用l f t s 中( 或l x 上) 的導(dǎo)算子來對誘導(dǎo)空間作出相應(yīng)的刻畫? 事實上，正如前面所述，由于每個誘導(dǎo)空間都是s 衛(wèi)1 空間從而，在每個 誘導(dǎo)空間中，任意l f 集的a l 導(dǎo)集可以避免自己的缺陷且又能夠保持分明集的 導(dǎo)集本應(yīng)所具有的另外兩條同樣基本的性質(zhì)正是由于l f t s 中( 或l x 上) 的- 導(dǎo)集( 或- - 導(dǎo)算子) 具有這一優(yōu)勢，方進明在最近的文f 2 4 】- f 2 6 j 中利用 l f t s 中( 或l x 上) 的一導(dǎo)算子成功地對誘導(dǎo)空間和上( 下) 半連續(xù)函數(shù) 進行了刻畫，并取得了幾個漂亮的結(jié)果( 詳見文1 2 4 】_ f 2 6 】) ；從而，方進明利用 利用一導(dǎo)算子對于上述問題( 六) 給予了部分回答 而本文為了下面進行進一步分析和研究的需要，我們首先在4 3 中簡要 地介紹了方進明在文【2 4 - 2 6 中的工作，即上述提到的關(guān)于l f t s 中( 或l x 上) 的- 導(dǎo)算子與誘導(dǎo)空間之間的關(guān)系的幾個漂亮結(jié)果 然而，耍完全地回答上述問題( 六) ，我們自然地又會進一步提出如下問題： 問題( 七) l f t s 中( 或l x 上) 的f 一導(dǎo)算子是否也能夠像一導(dǎo)算子那 樣成功地對誘導(dǎo)空間和上( 下) 半連續(xù)函數(shù)進行刻畫? 一方面，為了回答上述這一問題；另一方面，也算是作為對兩種導(dǎo)集( 或?qū)?第v i i i 頁引言 算子) 性質(zhì)研究的一個總結(jié)，我們在5 4 4 中對l f t s 中的任意l f 集的f 一 導(dǎo)集和n - 導(dǎo)集( 或l x 上的f 一導(dǎo)算子和n - 導(dǎo)算子) 各自性質(zhì)的優(yōu)劣做了一個 詳細的比較性分析我們指出一上述問題( 七) 的回答是否定的，并且導(dǎo)致兩者 存在上文提到的各自不足之處的原因是本質(zhì)的和不可避免的而同時，我們所 得到的這一分析性結(jié)論也將自然地導(dǎo)致本節(jié)中最后一個值得我們?nèi)ダ^續(xù)研究的 問題的提出( 詳見本文4 4 ) 第一章基礎(chǔ)知識準備 1 1預(yù)備知識和基本結(jié)論 本文中，若未加說明，( l ，) 總表示一個f u z z y 格( 或簡稱為f 格) 且 通常簡記為l ，即l 是個以“”為序關(guān)系且具有逆序?qū)蠈?yīng)“， 的完全 分配格，且將其最大和最小元分別記為1 和0 ，而記x 是個非空分明集，l x 是x 上所有l(wèi) f 集全體我們用f t ( l x ) 表示l x 中全體l f 點之集，分別用 m ( l ) 和m ( l x ) 表示l 和工x 中全體分子之集另外，若無特殊說明，我們常 用a 、a 和e 分別表示l x 、l 和m ( l ) 中的任意元，而用m ( j 4 ) ( 或m ( 1o ) ) 表示l x ( 或l ) 中含于a ( 或a ) 中的全體分子之集；且v a m ( 1n ) ，我們引 進一個記號j 奴，其中k x = m ( t , k ola ) 表示a 中包含a 的全體分子之集最 后，我們還用p ( o ) 表示a 的最大極小集，而記礦( ) = ( a ) nm ( 三) 由【1 1 1 2 1 易知tm ( l x ) = 茁 p t ( l x ) ：a m ( l ) ，a = v m ( 1a ) ，a = v m ( io ) ，a v 盧( 口) = v z 。( 8 ) 下面給出幾個基本概念和一些簡單結(jié)論，而文中其它未加定義和說明的概 念和術(shù)語均源于 1 i 、【2 j 由于本文涉及到“遠域法”，用閉集來討論為方便，所以我們采用如下一 f u z z y 拓撲空間的定義； 定義1 1 1 1 1 】設(shè)x 是個非空分明集，l 是個f 格，叩cl x ，如果滿足 ( l f t l 7 ) q ，1 叩； ( l f t 2 ) v a c7 7 ， 4 r l ； ( l f t 3 t ) v f , q 叼，p v q 叼 則稱叩為x 上的l - f u z z y 余拓撲，且稱( l x ，叩) 為l f u z z y 拓撲空間或 l f 拓撲空