摘要 經(jīng)典的k a m 定理認(rèn)為在定的非共振和非退化條件下，可積哈密頓系統(tǒng)的不變環(huán) 面在小攝動下絕大多數(shù)可以保持下來，只不過稍微有些變形這些保持下來的不變環(huán)面 通常依賴于一族參數(shù)，這些參數(shù)定義在個康托爾集上例如。在k o l m o g o r o v 非退化條 件下，不變環(huán)面的頻率通常作為參數(shù)；而在r f i s s m a j m 非退化條件下，不變環(huán)面的頻率 不能作為獨(dú)立的參數(shù)，而是依賴于初始參數(shù)我們主要研究這些保持下來的不變環(huán)面對 這些參數(shù)的依賴關(guān)系，即k a m 環(huán)面關(guān)于參數(shù)的正則性 已有的結(jié)果都是在k o l m o g o r o v 非退化條件下得到的，那么在m 嘲咖非退化條件 下是否有同樣的結(jié)果? 本文主要研究對于解析哈密頓系統(tǒng)r i | 璐咖非退化條件下橢圓 低維不變環(huán)面的正則性，g e v r e y 光滑哈密頓系統(tǒng)r a m 咖非退化條件下不變環(huán)面( 最 大維和橢圓低維) 的保持性和正則性另外，我們將k a m 迭代的技巧應(yīng)用于擬周期的 可逆映射，來研究在有限可微情況下其不變曲線的存在性具體地，我們主要得到下面 的結(jié)果- 1 在解析情況下，考慮如下的哈密頓系統(tǒng) nm 日蚍( f ) 礬+ i 1 厶a 叭e 八2 + 諺) + p ( x ，璣媚f ) ， ( 1 ) i = l j = l 通過改進(jìn)的k a m 迭代，證明了r d 黯n - m n 非退化條件下近可積解析哈密頓系統(tǒng)的橢圓 低維不變環(huán)面關(guān)于參數(shù)在w h i t n e y 意義下是g e v r e y 光滑的。g e v r e y 指標(biāo)為1 = r + 2 + 元 這里j ( 0 ，1 ) ，r 是小分母條件中的指數(shù)證明的關(guān)鍵在于如何處理r f t s s m a n n 非退化條 件下小分母中的參數(shù) 2 ，在g e v r e y 光滑情況下，考慮哈密頓系統(tǒng) h ( x ，鐘= ( d + p ( i ，咖) ， 和哈密頓系統(tǒng)( 1 ) ，通過改進(jìn)的k a m 迭代，證明了r i i s s m a n n 非退化條件下解析可積哈 密頓系統(tǒng)在g e v r e y 光滑攝動下不變環(huán)面( 最大維和橢圓低維) 的保持往，以及保持下來 的不變環(huán)面( 最大維和橢圓低維) 關(guān)于參數(shù)在w h i t n e y 意義下是g e v r e y 光滑的。g e v r e y 指標(biāo)為p = 入p + 1 ) + 1 ，這里 表示哈密頓函數(shù)的g r e y 光滑類，r 是小分母條件中的 i 指數(shù)證明的關(guān)鍵在于如何處理每次函數(shù)逼近的誤差和每步攝動的關(guān)系，使得由逼近函 數(shù)帶來的誤差不會破壞k a m 迭代的快速收斂性 3 在有限可微情況下，考慮擬周期的可逆映射 i 君1 = z + ，+ v + ，扛，f ) ly t = l ，+ 9 ( ，v ) 其中，g 關(guān)于z 是擬周期的，頻率為p 1 ，加，u 是一個正常數(shù)利用磨光算子來補(bǔ)償 在解線性方程中函數(shù)光滑性損失的方法，證明了當(dāng)p l ，弘一1 霄非共振，且，g 充分小時(shí)，擬周期可逆映射的不變曲線的存在性，并且給出了f 同不變曲線的光滑性和 小分母條件中的指數(shù)的關(guān)系證明的關(guān)鍵在于由磨光算子帶來的誤差不會破壞迭代的快 速收斂性 本文的主要內(nèi)容安排如下第一章，我們給出啥密頓系統(tǒng)的一些基本概念和定理， 回憶了k a m 理論及其發(fā)展在第二，三四，五章。我們分別給出上面提到的三個主要 結(jié)果的詳細(xì)證明在附錄中。我們給出g e v r e y 光滑函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)和定理，以及用解析 函數(shù)逼近g e v r e y 光滑函數(shù)的一個逼近定理一些技術(shù)性的引理可以在相應(yīng)章節(jié)的附錄 中找到 關(guān)鍵詞：哈密頓系統(tǒng)，不變環(huán)面，r i i m a a a n 非退化條件o e v r e y 光滑。k a m 迭代， 可逆映射，不變曲線 a b s t r a c t t h ec e l e b r a t e dk a mt h e o r e ms a y st h a tu n d e rc e r t a i nl i o n - r e s o n a n c ea n dn o n - d e g e n e r a c y c o n d i t i o n ，m o s to fi n v a r i a n tt o r if o ri n t e g r a b l eh a m i l t o n i a ns y s t e m sp e r s i s tu n d e rs m a l lp e r - t t t r b a t i o n ，b e i n go n l ys l i g h t l yd e f o r m e d t h e s ep e r s i s t i n gi n v a r i a n tt o r iu s u a l l yf o r map a r a m - e t e r i z e df a m i l yw i t ha o m ep a r a m e t e r s 鄴i n go nac a n t o rs e t f o re x a m p l e ，i nt h ec a s eo f k o l m o g o r o v bn o n - d e g e n e r a c yc o n d i t i o n , t h ef r e q u e n c i e so fi n v a r i a n tt o r ia r ec h o s e na sp a r a l n - e t e r s ；b u tu n d e rr i i s s m a n n sn o u - d e g e n e r a c yc o n d i t i o n t h ef r e q u e n c i e sc a nn o tb er e g a r d e d 蠲 i n d e p e n d e n tp a r a m e t e r sa n dt h ep e r s i s t i n gi n v a r i a n tt o i ld e p e n do i lt h eo r 刪p a r a m e t e r s w ew a n tt ok n o wi nw h a tw a yt h ek a m - t o r id e p e n do np a r a m e t e r so rh o wt h ek a m - t o r i 礬c o n n e c t e dt o g e t h e rw i t hp a r a m e t e r s ，i e ，t h ea _ o - u l a r i t yo fk a m t o r iw i t hr e s p e c tt ot h e s e p a r a m e t e r s a l lt h ek n o w nr e s u l t sa r eo b t a i n e du n d e rk o l m o g o r o v sn o n - d e g e n e r a c yc o n d i t i o n ，w e w a n tt ok n o ww h e t h e rt h e r ei st h es a j i l er e s u l t su n d e rr f i s s m a n n sn o n - d e g e n e r a c yc o n d i t i o n i nm yt h e s i s ，w em a i n l ys t u d yt h er 鋁_ i l l 缸i t yo fe l l i p t i cl o w e rd i m e n s i o n a li n v a f i n n tt o r if o r a n a l y t i ch a m i l t o n i a ns y s t e m su n d e rr f i s s m a n n 8n o n - d e g e n e r a c yc o n d i t i o n ，t h ep e r s i s t e n c ea n d t h er e g u l a r i t yo fi n v a r i a n tt o r i ( m a 對m & ld i m e n s i o na n de l l i p t i cl o w e rd i m e n s i o n ) f o rg e v r e y s m o o t hh a m i l t o n i a ns y s t e m su n d e rr i i s e m a n n bn o n - d e g e n e r a c yc o n d i t i o n m o r e o v e r w ea p p l y t h et e c h n i q u eo fk a mi t e r a t i o nt oq u a s i - p e r i o d i cr e v e r s i b l em a p p i n g s ，a n ds t u d yt h ee x i s t e n c e o fi n v a r i a n tc u i r v e si nt h ec a s eo ff i n i t ed i f f e r e n t i a t i o n m o r es p e c i f i c a l l y , w eh a v em a i n l y o b t a i n e dt h ef o l l o w i n gr e s u l t s ： 1 f o ra n a l y t i cc 螄w ec o n s i d e rt h ef o l l o w i n gh a m i l t o n i a ns y s t e m s h = 她( ) 訛+ 下i 厶a 叭e 八2 + 哼) + p 扛，璣，嵋f ) ( 1 ) l = i j = 1 b ya ni m p r o v e dk a mi t e r a t i o n w ep r o v et h a tt h ee l l i p t i cl o w e rd i m e n s i o n a li n v a r i a n tt o r io f n e a r l yi n t e g r a b l ea n a l y t i ch a m i l t o n i a ns y s t e m sa r eg e v r e ys m o o t hw i t hr e s p e c tt op a r a m e t e r s i nt h es e n s eo fw h i t n e yu n d e rr i i s s m a n n 8n o n - d e g e n e r a c yc o n d i t i o n ，t h eg e v r e yi n d e xi s p = r + 2 + w h e r e6 ( 0 ，1 ) ，下i st h ee x p o n e n ti nt h es m a l ld i v i s o rc o n d i t i o n s t h ek e yi nt h e p r o o fi sh o wt od e a lw i t ht h ep a r a m e t e r si ns l n a l ld i v i s o r su n d e rr f m m a n u 8n o n - d e g e n e r a c y c o n d i t i o n i i i 2 f o rg e v r e ys m o o t hc a s e ，w ec o n s i d e rt h ef o l l o 耐n gh a m i l t o u l a us y s t e m s h ( j ，糾= ( j ) + p ( j ，) ， a n dh a m i l t o n i a us y s t e m s ( 1 ) b ya l li m p r o v e dk a mi t e r a t i o n ，珊o b t a i nt h ep e r s i s t e n c eo f i n v a r i a n tt o r i ( m a x i m a ld i m e n s i o na n de l l i p t i cl o w e rd i m e n s i o n ) f o ro e v r e ys m o o t hp e r t t t r - b a t i o n so fa n a l y t i ci n t e g r a b | eh a m f l t o n i a ns y s t e m su n d e rr f s m a n n sn o n - d e g e n e r a c yc o n d i t i o n ，a n dt h ep e r s i s t i n gi n v a r i a n tt o r i ( m a x i m a ld i m e n s i o na n de l l i p t i cl o w e rd i m e n s i o n ) a t e g e v r e ys m o o t hw i t hr e s p e c tt op a r a m e t e r si nt h e8 e i 璩eo fw h i t n e y t h eg e 、嗍ri n d e xi s p = 一+ 1 ) + 1 ，w h e r e d e n o t e st h eg e v r e ye i s s 8o fh s m i l t e u l a nf l m c t i o n s ，ri st h ee x p o n e n t i nt h es m a l ld i v i s o rc o n d i t i o n s t h ek e yi nt h ep r o o fi sh o wt od e a lw i t ht h er e l a t i o nb e t w e e n t h ee r r o ri n t r o d u c e db yt h ea p p r o x i m a t i n gf u n c t i o n sa to n et i m ea n ds m a l lp e r t u r b a t i o na t o l l es t e p8 0t h a tt h ee r r o ri n t r o d u c e db yt h ea p p r o x i m a t i n gf u n c t i o n sw o u l dn o td e s t r o yt h e r a p i dc o n v e r g e n c eo fk a m i t e r a t i o n 3 i nt h ec a s eo ff i n i t ed i f f e r e n t i a t i o n , w ec o n s i d e rt h eq u a s i - p e r i o d i cr e v e r s i b l em a p p i n g s ： ，z。l；=，z+，w。+，y，+，z w h e r e ，a n dga x eq u a s i - p e r i o d i ci n 茁w i t hf z e q u e n c i e sp 1 ，一，腳，ui sap o s i t i v ec o n s t a n t u s i n gt h es m o o t h i n go p e r a t o rt oc o m p e n s a t ef o rt h el o s so fs m o o t h n e s st h a t8 x i s e si ns o l v i n g t h el i n e a r i z e de q u a t i o n ，w ep r o v et h ee x i s t e n c eo fi n v a r i a n tc u l w e so fq u a s i - p e r i o d i cr e v e r s i b l e m a p p i n g s a n dg i v et h er e l a t i o nb e t w e e nf 姐dt h es m o o t h n e s so fi n v a r i a n tc u r v e sa n dt h e e x p o n e n ti nt h es m a l ld i v i s o rc o n d i t i o n s ，w h e np t ，h ，2 w 一1 ，ra r en o n - r e s o n a n ta n d ，g a r es u 伍c i e n t l y8 1 x a a l l t h ek e yi nt h ep r o o fj st h a tt h ee r r o ri n t r o d u c e db yt h es m o o t h i n g o p e r a t o rw o u l dn o td e s t r o yt h er a p i dc o n v e r g e n c eo ft h ei t e r a t i o n t h er e s to fm yt h e s i si so r g a n i z e da sf o l l o w s i nc h a p t e r1 ，w ei n t r o d u c es o m ep r e l i m i n a r y c o n c e p t sa n dt h e o r e m so fh a m i l t o n i a ns y s t e m s a n dr e c a l l m ed e v e l o p m e n ta b o u tk a m t h e o r y i nc h a p t e r2 - 5 ，w eg i v ead e t a i l e dp r o o f o fo u rt h r e em a i nr e s u l t sm e n t i o n e da sa b o v e i nt h ea p p e n d i x ，w ei n t r o d u c es o m ep r o p e r t i e sa n dt h e o r e m so fg e v t e ys m o o t hf u n c t i o n s ，a n d g i v ea na p p r o x i m a t i o nt h e o r e mo nu b m g as e q u e n c eo fr e a l - a n a l y t i cf u n c t i o n st oa p p r o x i m a t e g e v r e ys m o o t ho n e s o m et e d m i c a ll e m m n sc a nb ef o u n di nt h ea p p e n d i xo ft h ec o r r e s p o n d i n g c h a p t e r k e yw o r d s ：h a m i l t o n i a us y s t e m s ，i n v a r i a n tt o r i ，k 灑m a n n 8n o n - d e g e n e r a c yc o n d - t i o n ，g e v r e ys m o o t h ，k a mi t e r a t i o n ，r e v e r s i b l em a p p i n g s ，i n v a r i a tc | t l r y e s v 東南大學(xué)學(xué)位論文獨(dú)創(chuàng)性聲明 本人聲明所呈交的學(xué)位論文是我個人在導(dǎo)師指導(dǎo)下進(jìn)行的研究工作及取得的研究 成果盡我所知。除了文中特別加以標(biāo)注和致謝的地方外，論文中不包含其他人已經(jīng)發(fā) 表或撰寫過的研究成果，也不包含為獲得東南大學(xué)或其它教育機(jī)構(gòu)的學(xué)位或證書而使用 過的材料與我一同工作的同志對本研究所做的任何貢獻(xiàn)均已在論文中作了明確的說明 并表示了謝意 研究生簽名 日期 東南大學(xué)學(xué)位論文使用授權(quán)聲明 東南大學(xué)、中國科學(xué)技術(shù)信息研究所、國家圖書館有權(quán)保留本人所送交學(xué)位論文的 復(fù)印件和電子文檔?？梢圆捎糜坝　⒖s印或其他復(fù)制手段保存論文本人電子文檔的內(nèi) 容和紙質(zhì)論文的內(nèi)容相一致除在保密期內(nèi)的保密論文外。允許論文被查閱和借閱，可 以公布( 包括刊登) 論文的全部或部分內(nèi)容論文的公布( 包括刊登) 授權(quán)東南大學(xué)研 究生院辦理 研究生簽名 導(dǎo)師簽名日期 第一章引論 1 1哈密頓系統(tǒng)的基本概念和定理 本章我們將首先簡要介紹哈密頓系統(tǒng)的基本概念和有關(guān)結(jié)果我們首先給出哈密頓 向量場的定義設(shè)( m 知，妒) 是一個閉的孫維辛流形，p 是一個閉的非退化的各形式， 稱之為辛結(jié)構(gòu)日：m 知- 4 r 是個光滑函數(shù)，由等式 礦( x h ，) d h ( ) ( 1 1 1 ) 確定的向量場婦：m 2 n - - 4t m 伽稱為哈密頓向量場它誘導(dǎo)的單參數(shù)微分同胚群 贍d ，( m 鉚) 滿足 丟曲= 婦。墻，曲= 以 ( 1 1 2 ) 稱為由日決定的哈密頓相流 定理1 1 1 ( d a r b o u x ) 設(shè)m 加是2 n 維流形，2 是m 饑上的非退化2 一形式則 d u , 2 = 0 當(dāng)且僅當(dāng)在每一點(diǎn)p m 抽，存在坐標(biāo)似妒) ，使得妒：( 1 ，$ 。，譏，如) - + q u c m 滿足妒( 0 ) = p ，且有 礦u 2 = 瑤= 妞 咖 i = l 即a f 加上考搴任意一個辛結(jié)構(gòu)艫都局鄙地同構(gòu)于蛋p 上的標(biāo)準(zhǔn)辛結(jié)構(gòu)磕 該定理的證明參見 2 9 1 定理1 1 2 ( l i o u v i l l e ) 哈密頓相流保持辛結(jié)構(gòu)不變，即 ( 靠) 。護(hù)= 驢， 因此是辛映射從而哈密頓相流是保體積的，即對任意區(qū)域d 我們有 仇e 刪( 曲( d ) ) = m e a s ( d ) ， 這里m e 表示勒貝格測度 定義1 1 1 辛流形( m 2 n ，2 ) 上的函數(shù)日和f 的p o i s s o 括號 f ，日 定義為函數(shù) f 沿著哈密頓相流蝗的方向?qū)?shù) 只日) of f i 丟i 酬f 。贍o ) 1 2東南大學(xué)博士學(xué)位論文 引理1 1 1 ( f 日) = d f ( x b ) = ，( x 日，x f ) 易見 f 日) 是m 2 上的光滑實(shí)函數(shù)，且 ，) 是反對稱。雙線性的且滿足j a c o b i 恒 等式 e g ，日) ) + g ，f 日，f ) + 皿 f g ) ) = 0 定義1 1 2 兩個光滑函敷只i i ：m 缸- + r 稱為對合的，如果它們的p o i s o n 括號為 零。即 f 日 = 0 定義1 1 3 函數(shù)f ：m 鋤+ r 稱為向量場x x 的首次積分。如果它沿著該向量場的 方向?qū)?shù)為零，即d f ( x h ) = 0 關(guān)于哈密頓向量場的首次積分，我們有 定理1 1 3 設(shè)f ，g ，日為流形m 2 - 上的光滑函數(shù)。則有 1 f 是向量場x h 的首次積分當(dāng)且僅當(dāng) f ，日) = 0 ； 2 日是向量場x h 的一個首次積分； 只如果只g 都是婦的首次積分，則f e 研也是砌的首次積分 哈密頓向量場x 日至少具有一個首次積分e 這是與一般向量場的不同之處另外， 為了求解由2 n 個常微分方程組成的方程組，一般需要2 n 個首次積分，但對于具有n 個 自由度的哈密頓系統(tǒng)，l i o u v i i l e 證明了若巳知n 個獨(dú)立且互為對合的首次積分，則它可 用求積法積出 定理1 1 4 ( l i o u v i h e 可積性定理) 設(shè)在2 n 維的辛流形m 2 - 上有n 個互相對合 的函數(shù) 毋，晶，僻，f j ) e0 ，t j = l ，2 ，n 考慮這些函數(shù)的一個等值集 坼= 忙i 毋( z ) = ，扣1 ，n ， 假設(shè)這n 個函數(shù)日在嘶上獨(dú)立，即n 個j 一形式d b 在岣上的各點(diǎn)處線性無關(guān)則 岣是一個n 維光滑流形且在哈密頓函數(shù)為日= f 1 的相流下不變； 第一章引論 3 最若流形m t 是緊致且連通的。則它徽分同胚于n 維環(huán)面 鏟= ( 廬l ，“) m o d 2 霄) ； 衛(wèi)以h 為哈密頓函數(shù)的相流在m i 上決定了一個擬周期運(yùn)動，即在角坐標(biāo)妒= ( l ，如) 下有 譬：嶼w ：w ( ，) 言2 u ，2 w 【，j ； 1 以日為哈密頓函數(shù)的哈密頓方程組可以用求積法積出 該定理的證明參見【2 】 定義1 1 4 若2 n 維辛流形( m 加，2 ) 上的一個哈密頓系統(tǒng)具有竹個獨(dú)立且互為對 舍的首次積分則稱該系統(tǒng)為完全可積系統(tǒng) 根據(jù)l i o u v i l l e 可積性定理，對于完全可積的哈密頓系統(tǒng)。存在局部坐標(biāo)( 毋，j ) ，毋 p ，f = f ( ，) ，使得在此局部坐標(biāo)下系統(tǒng)具有簡單的形式 乒= ( ，) ，j = 0 習(xí)慣上我們稱j 和幣為作用變量和角變量此時(shí)哈密頓函數(shù)日只依賴于作用變量 f 而與角變量妒無關(guān)th = h i ( d 這時(shí)2 n 維相空間分層為一族n 維不變環(huán)面，在每個環(huán) 面上的運(yùn)動是擬周期的。頻率為u ( n 從數(shù)學(xué)角度來看對一些結(jié)構(gòu)簡單的哈密頓系統(tǒng)，例如個自由度其對應(yīng)于兩體問 題的情形，由于首次積分的存在性，人們總能通過簡單的積分運(yùn)算求出它的每個軌道 的顯式解，因而系統(tǒng)是完全可積的另外，剛體轉(zhuǎn)動中的e u l e r 頂，k o w o l e v s k y 頂?shù)榷?是可積的因而在p o i n c a r 6 之前，許多科學(xué)家都致力于尋找哈密頓系統(tǒng)的首次積分。期 望利用l i o u v i u e 可積性定理將系統(tǒng)完全積出在過去的幾十年對哈密頓系統(tǒng)的研究中， 最引人矚目的就是一些新的可積哈密頓系統(tǒng)的發(fā)現(xiàn)，如t o d a 格，k o r t e u y - d ev r i e s 方程 和其它一些具有無窮自由度的哈密頓系統(tǒng)1 4 9 但后來人們發(fā)現(xiàn)絕大多數(shù)的哈密頓系統(tǒng)，即便是比較簡單的限制性的三體問題都是 不可積的由于直接研究不可積系統(tǒng)是十分困難的，人們轉(zhuǎn)而研究一類相對簡單而又十 分重要的系統(tǒng)一近可積系統(tǒng)許多哈密頓系統(tǒng)，例如太陽系的多體動力系統(tǒng)，能夠近似 地看成兩體問題的。耦合”由于太陽的質(zhì)量很大，耦合作用在一定的數(shù)量級上相對較 弱，因而人們能夠近似地把這個系統(tǒng)看成是近可積的系統(tǒng) 4 東南大學(xué)博士學(xué)位論文 定義1 1 5 近可積系統(tǒng)指的是一個可積系統(tǒng)加上一個小的攝動，即有如下形式的系 統(tǒng)l r ( z ，幣) = h o ( j ) + e l l l ( j ，e ) ， 其中j dcr n ，d 是開集，咖p = 眇2 7 r 礦，e 是一個小參敷r o ( o 是可積部 分。皿( f ，也e ) 是攝動部分我們假定這些函數(shù)是實(shí)解析的 當(dāng)e = 0 時(shí)，未攝動系統(tǒng)為 k 警一- k 警叫j ) 與此對應(yīng)的相流為 im ) = 而 l 廬( t ) = 如+ ，( 而) 我們把這樣的相流稱為不變環(huán)面這樣未攝動系統(tǒng)具有一族n 維不變環(huán)面，在每個環(huán)面 上是頻率為o ( i o ) 的擬周期運(yùn)動，因而是永恒穩(wěn)定的然而對近可積系統(tǒng)，永恒穩(wěn)定是 不可能的，我們的問題在于多少可積系統(tǒng)的不變環(huán)面在攝動下不被完全破壞，而是作 為攝動系統(tǒng)的不變環(huán)面保存下來? 換言之，就是當(dāng)攝動充分小時(shí)，攝動系統(tǒng)仍有多少擬 周期軌道? 對于上面的問題，產(chǎn)生于2 0 世紀(jì)5 0 ，6 0 年代的k a m 理論給出了正確的回答。我們 將在下節(jié)給出詳細(xì)介紹k a m 理論是哈密頓系統(tǒng)理論發(fā)展的里程碑。是2 0 世紀(jì)的重大 科學(xué)成就之一，具有劃時(shí)代意義它使太陽系的穩(wěn)定性得到合理解釋。并使人們能夠重 新以一種新的方法來研究哈密頓系繞 1 2經(jīng)典k a m 定理及其發(fā)展 考慮近可積的哈密頓系統(tǒng) h ( r ，咖) = n ( o + p ( 1 ，糾， 其中( f ，妒) d t l c r “r n 2 7 r z n ，d 是有界閉區(qū)域 假設(shè)( j ) 滿足k o l m o g o r o v 非退化條件- 對于，d a e t ( 挈) 舢 ( 1 2 1 ) 第一章引論 5 在k o l m o g o r o v 非退化條件下，頻率映射 u ：j + c ，( j ) ；1 0 r 廠( o 在d 上是一個局部微分同胚 定義1 2 1 ( d i o p h a n t i n e 條件) 如果存在n 0 和f n 一1 ，使得 1 2 i 三乜噸| 壽 對任意非零向量女= ( l ，k ) 驢成立，其中= i 女l i + + i k i ，則稱頻率 ，= ( u l ，l ，i ) 滿足d i o p h a n t i n e 條件 注1 2 1 在t i 維e u c l i d 空間r n 中，對充分1 、的a 0 ，幾乎所有的向量都滿足 d i o p h a n t i n e 條件證明參見 5 8 1 在上世紀(jì)五十年代，通常的想法認(rèn)為任意的攝動都會使可積系統(tǒng)變得混亂。在每個 能量面上都是遍歷的而在1 9 5 4 年，k o l m o g o r o v 最先給出了不變環(huán)面保持性的結(jié)論，在 一定的條件下，未攝動系統(tǒng)的不變環(huán)面經(jīng)過小的攝動并不是完全被破壞，與之相反。大 多數(shù)不變環(huán)面會保持下來，而且相對于未攝動系統(tǒng)的不變環(huán)面只有微小的形變，且這些 環(huán)面上的哈密頓相流是擬周期的，頻率滿足d i o p h a n t i n e 條件這個結(jié)果首先由a r n o l d 在1 9 6 3 年給出了證明，現(xiàn)在人們稱為k o l m o g o r o v - a r a o l d 定理定理的內(nèi)容敘述如下一 定理1 2 1 ( 經(jīng)典的k a m 定理) 假設(shè)哈密頓函數(shù)( 1 2 1 ) 滿足如下條件- n ( x ，妒) 在 復(fù)鄰域1 1 ：i 卻l p ，i u c c n 上解析，其中u 是實(shí)閉區(qū)域d c r n 的復(fù)鄰城；( d 滿足k o l m o g o r o v 非退化條件則對任意的e 0 ，存在常數(shù)o = c o 【p ，阢p ，) ，使得如 果在i i 內(nèi)，i p i n 一1 是常數(shù)，= i h i - 4 - + i k l 而且d 與d 的測度相差很小 m e ( d d ) o：dr 。 幺，= 口( r o ) ，r o ( o ，b ) 滿足d i o p h a n t i n e 條件z 卜警i ”+ 3 ，2 ，v m ，n z n o 這里，y 0 ，口 4 為常數(shù) 則當(dāng)l f i + 圳充分，1 、時(shí)，映射( 1 2 2 ) 至少有一條閉的不變曲線 仨：黧 m z 渤 其中五i 關(guān)于礦為2 1 r 周期的：映射( 1 2 2 ) 在不變曲線( 1 2 3 ) 的限制為 西= 礦+ a ( r 0 ) ， 即不變曲線( 1 2 3 ) 的旋轉(zhuǎn)敷為a ( r 0 ) 映射( 1 2 2 ) 相當(dāng)于兩個自由度的哈密頓系統(tǒng)在等能量面上作p o i n c a r d 截面后得到 的p o i n c a 矩映射當(dāng)，= g = 0 ，映射( 1 2 2 ) 是可積的，每個r 【o ，6 】對應(yīng)一條不變曲線 s x r = c 當(dāng)，g 充分小時(shí)，映射( 1 2 2 ) 相當(dāng)于兩個自由度的近可積哈密頓系統(tǒng)根據(jù) 第一章引論 7 m o s e r 扭轉(zhuǎn)定理，此時(shí)( 1 2 2 ) 仍有大量的不變曲線( 一維不變環(huán)面) 保存下來，這些不 變曲線的旋轉(zhuǎn)數(shù)( 頻率) 滿足d i o p h a u t i n e 條件這說明m o s e r 扭轉(zhuǎn)定理和k o l m o g o r o v - a r n o l d 定理是一致的，人們將這兩個定理統(tǒng)一稱為k o i m o g o r o v - a m o l d - m o g e r 定理。簡 稱k a m 定理 k a m 定理是2 0 世紀(jì)的重大科學(xué)成就之一，具有重大而深遠(yuǎn)的意義僅對動力學(xué)穩(wěn) 定性而言，它斷定任意有限自由度的哈密頓系統(tǒng)在測度意義下是穩(wěn)定的，即相空問大部 分運(yùn)動是穩(wěn)定的k a m 定理也對太陽系的穩(wěn)定性作出了合理的解釋另外，k a m 理論 徹底解決了二維保面積映射橢圓不動點(diǎn)的l y a p u n o v 穩(wěn)定性 隨著研究的不斷深入，k a m 定理已經(jīng)發(fā)展成為一套比較完整的理論，它的主要 內(nèi)容是研究具有辛結(jié)構(gòu)的哈密頓動力系統(tǒng)的不變環(huán)面的存在性及其線性穩(wěn)定性經(jīng)典 k a m 理論的思想方法已在天體力學(xué)【鯽】，微分方程定性理論【2 1 ，2 7 ，粥，8 3 ，9 0 0 ，辛算法 【2 3 ，2 4 ，7 7 ，7 8 ，7 9 1 ，理論物理 2 5 ，3 4 ，7 6 】，哈密頓系統(tǒng)的有效穩(wěn)定性 4 4 ，5 3 ，5 4 3 等學(xué)科和 分支中得到了成功的應(yīng)用 經(jīng)過若干年的努力。定理的條件不斷地被放寬首先對哈密頓函數(shù)解析性的要求降 低了對于n 自由度的哈密頓系統(tǒng)僅要求哈密頓函數(shù)具有2 n + 3 的可微性【6 8 】對于 保面積扭轉(zhuǎn)映射，當(dāng)日( i 3 ) 時(shí)不變曲線可微；而當(dāng)l 3 時(shí)不變曲線破裂【2 8 ，3 2 1 關(guān)于非解析情況下的k a m 定理，參見【1 5 ，9 8 ，9 9 】 其次k o l m o g o r o v 非退化條件也可減弱b r u n o 9 j 首先在較弱的非退化條件t 礎(chǔ)( 嶼籌) = q 證明了不變環(huán)面的存在性隨后程崇慶，孫義燧 1 6 】在下面的非退化條件下證明了同樣 的結(jié)果： ( 1 ) m k ( 釓= r ，w d ， ( 2 ) 在d 的任何鄰域存在一條扭轉(zhuǎn)曲線，這里扭轉(zhuǎn)曲線意味著它的每一個曲率 分量不為零。 1 9 9 0 年。r i i s s m a n n 【6 4 】給出了下面的結(jié)論一系統(tǒng)( 1 2 1 ) 有許多不變環(huán)面，如果頻率 “不落在任何過原點(diǎn)的超平面上，即 d 1 u l + 口2 眈+ + 口，l 0( 1 2 4 ) 對任意的( a l ，口2 ，) 礎(chǔ)( 0 1 成立 8東南大學(xué)博士學(xué)位論文 該結(jié)論后來由s 唧l l 【7 3 1 ，徐君祥、尤建功和仇慶久【8 7 1 分別給出證明非退化條 件( 1 2 4 ) 稱為r f t s s m a n n 非退化條件，它是最弱的非退化條件在r i i s s m a n n 非退化條 件下頻率映射c ，：d - 4 眇的像集叫( d ) 可以是黔中任意維。( 1 。n ) 的光滑子流 形具體的例子參見【5 ，7 2 ，7 4 1 k o l m o g o r o v 非退化條件和上述非退化條件的區(qū)別在于在k o l m o g o r o v 非退化條件 下，頻率映射c t ，：，d _ + u ( ，) = ! 鏟在d 上是一個局部的微分同胚，因而可以把c - ， 作為獨(dú)立的參數(shù)來處理。這給討論問題帶來極大的方便當(dāng)k o l m o g o r o v 非退化條件不 滿足時(shí)，不能作為獨(dú)立的參數(shù)在此情況下要通過改進(jìn)的k a m 迭代來處理小分母中 的參數(shù)f 9 7 】 在解析情況下。r i i s s m a n n 非退化條件和下面徐君祥、尤建功和仇慶久【8 7 】提出的 分析條件( 1 2 5 ) 是等價(jià)的 定理1 2 3 假設(shè)h = h o ( i ) + e h i ( o ，d 在t r , x 西上實(shí)解析飯?jiān)O(shè)對某點(diǎn)j 西，有 m n i ) ，霧l 卵緝，l 糾 n - 1 ) 弘 ( 1 刪 這里u ( j ) = 魯，韶= c “- f 爭，鉻，骼) 則對于充分小的正數(shù)，存在e 0 = 0 ( ) 使得當(dāng) 6 0 時(shí)，存在一個非空的康托集d ecd 使得原系統(tǒng)存在一族不變環(huán)面并 且其頻率o j ( 1 ) 滿足i ，( ，) 一，( 馴sc e i 其測度滿足m e o u ( d d f ) = o ( ) ，當(dāng)趨干零 時(shí)，o ( a ) 可以充分小 前面討論的k a m 定理中，系統(tǒng)具有竹個自由度，不變環(huán)面的維數(shù)也是n ，這稱為 最高維數(shù)的不變環(huán)面現(xiàn)在我們考慮低維不變環(huán)面在小攝動下的保持性，即不變環(huán)面的 維數(shù)低于哈密頓系統(tǒng)的自由度 1 9 6 7 年，m e l n i k o v 【5 0 】提出了一個橢圓低維不變環(huán)面的保持性問題，他指出，在一 定的非共振條件( 第一和第二m e l n i k o v 條件) 下，未攝動系統(tǒng)的大多數(shù)橢圓低維不變環(huán) 面在小的攝動下可以保持下來他的完整證明直到1 5 年后才由e l i a s s o n 【2 2 1 ，k u k s i n 【3 6 】， p 6 s c h e l 5 7 】分別獨(dú)立給出下面我們采用p s s c h e l 【5 7 】的敘述 考慮哈密頓函數(shù) nm = e + 吣璣+ ；碼) ( 鶯+ 諺) ， ( 1 2 6 ) i = l j = l 其中( z ， ) , r n r ”r , nx r ”( 1 s n ，1 m so o ) ，t n = r 2 _ r z “表示n 維環(huán) 第一幸引論 9 面u o ，口是艫中的具有正測度的閉子集相應(yīng)的辛形式為t nt n 出l 啾+ 岫a d , _ ，j i f = l j = l 系統(tǒng)( 1 2 6 ) 是可積的，相應(yīng)的運(yùn)動方程為 因此它有低維不變環(huán)面 毛= 啦，瓠= 0 ，l s n ， 嗎= 碼q ，如= 一奶吩， l j m 而= r o x o o ) 環(huán)面上有擬周期流。= “+ 知，c ，稱為切向頻率法向空間由q 坐標(biāo)來刻劃，原點(diǎn)是 橢圓不動點(diǎn)，0 稱為法向頻率 我們的目的在于研究這些橢圓低維不變環(huán)面在小的攝動下會發(fā)生怎樣的變化? 首先 引進(jìn)復(fù)共軛變量z = 似- i - 婦) 以，j = 扣一”) - 相應(yīng)的辛形式為 此時(shí)，系統(tǒng)( 1 2 6 ) 變?yōu)椋?n仇 出i 諏+ i 吻a 嗎 i = 1 j = 1 = e + ( ，v ) + ( 0 ( c ，) z ，三) 定義不變環(huán)面兀的復(fù)鄰域 曰o ：j i m z l o o r m l s 2 ，l z l 2 ，吲2 s 和參數(shù)域o c 艫的復(fù)鄰域 其中 2 表示e u c h d e a n 范數(shù) ：i 一0 i 。 h ， = 然= - = i ( 1 2 7 ) 1 7壅壹盔堂蔓圭堂篁鯊塞 定理1 2 4 飯?jiān)O(shè)由( 1 2 7 ) 定義是一個正規(guī)形式，它的法向頻率n 在0 的復(fù)鄰 域m 上實(shí)解析。并且滿足 嘲。m 飯?jiān)O(shè)日是的小攝動，在x 饑上實(shí)解析，且對0 p r 2 ， 扣叫即 s 南南去， 其中b 是一個給定的正數(shù)，憶。，j i 是適當(dāng)?shù)姆稊?shù) 則存在一個康托爾桌o 。co 和定義在其上的正規(guī)形式j(luò) 扎，使得 i ( 七，i ) + ( f ，q ( ，) ) i a 6 k 2 ，v 一p 。，2 ，i 七i + l l l 0 ， 以及一個關(guān)于u 實(shí)解析。且w h i t n e y 光滑的辛變換 ，：2 ) r 一2 p ，1 2 a - + 織- lx ， ， 使得 一 h 0 蘆= + 且， 其中見滿足 磚鱷醒風(fēng)= 0 ，2 1 ：i + | p + 口1 2 這樣。訖，e k 攝動系統(tǒng)有一個橢圓不變環(huán)面，具有非共振的頻率u 和q 。白) 在上面定理的證明過程中，p 6 s c h e l 【5 7 】給出的證明必須要求切向頻率u 和法向頻 率n 滿足m e l n i k o v 條件t 忙，) 0 ，v 0 女z “， ( k ，u ) + 0 ，v k 礦， ( ，c i ) + m + 0 ，訛z ”， 忙，u ) + 哦一n j 0 ，v k 妒，l k i + l 一引0 ， ( 1 2 8 ) ( 1 2 9 ) ( 1 2 1 0 ) ( 1 2 1 1 ) v o d