直線的傾斜角與斜率、直線的方程知識點1直線的傾斜角與斜率1直線的傾斜角(1)定義當直線l與x軸相交時，取x軸作為基準，x軸正向與直線l向上方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角.特別地，當直線l與x軸平行或重合時，規(guī)定α=0(2)范圍α∈[0°,180°).2直線的斜率(1)定義直線的斜率就是直線傾斜角的正切值，記作k=tanα(α≠90當直線l與x軸平行或重合時，α=0°當直線l與x軸垂直時，α=90°(2)傾斜角α與斜率k之間的關系k=tanα，α∈[0如左圖，當α∈[0°,右圖中斜率為k1,k2的直線對應的傾斜角為α1如左圖，當α∈(90°,右圖中斜率為k3,k其中π2<α(簡而言之，斜率大小看傾斜角，直線越陡斜率絕對值|k|越大)(3)斜率公式經(jīng)過兩點P1(使用斜率公式的時候要注意x1≠(4)求斜率的方法(1)已知直線上兩點，根據(jù)斜率公式k==y(2)已知直線的傾斜角α或α的某種三角函數(shù)根據(jù)k=tanα(α≠90°(5)利用斜率證明三點共線的方法已知A(x若x1=x2=x3知識點2直線的方程1直線方程的幾種形式名稱方程的形式已知條件局限性點斜式y(tǒng)-(x1k為斜率不包括垂直于x軸的直線斜截式y(tǒng)=kx+bk為斜率b是直線在y軸上的截距不包括垂直于x軸的直線兩點式y(tǒng)-經(jīng)過兩點(x且(不包括垂直于x軸和y軸的直線截距式xa是直線在x軸上的非零截距b是直線在y軸上的非零截距不包括垂直于x軸和y軸或原點的直線一般式Ax+By+C=0(A,B,C為系數(shù)無限制，可表示任何位置的直線2易錯點(1)利用點斜式求直線方程時，需要先判斷斜率存在與否.(2)截距與距離的區(qū)別：截距的值有正、負、零.距離的值是非負數(shù).(3)用截距式方程表示直線時，要注意方程的條件限制為兩個截距均不能為零.【題型一】直線的傾斜角與斜率的關系【典題1】已知直線過A(3,m+1),B(4,2m+1)兩點且傾斜角為56π，則m的值為.【解析】因直線AB的傾斜角為56π，則其斜率k=tan5又由A(3,m+1)，B(4,2m+1)，則AB的斜率k=(2m+1)-(m+1)則有m=-3【點撥】求斜率有兩種方法:k=tanα與斜率公式k=y【典題2】直線x+ycosθ-5=0的傾斜角α的取值范圍是.【解析】(直線一般式ax+by+c=0(b≠0)化為斜截式可知斜率k=-ab若cosθ=0，則直線方程為x=5，即傾斜角α=π若cosθ≠0，則直線方程為y=-1cosθx+∵cosθ∈-1,0∪0,1，∴-即tanα≤-1或tanα≥1，解得α∈[π4,π2)∪(綜上可得α∈[π【典題3】設點A(2,-3)，B(-3,-2)，直線l過點P(1,1)且與線段AB相交，則l的斜率k的取值范圍為.【解析】如圖所示，設直線l與線段AB交于點C，當PC⊥x軸時直線l與線段AB交于點D，當點C在BD上運動時，斜率k滿足k≥k當點C在DA上運動時，k≤k即k≥1+21+3=34或k≤即直線的斜率的取值范圍是[3【點撥】①注意理解直線斜率與傾斜角之間的關系與斜率大小的比較方法，結(jié)合圖象思考；②注意到直線l與x軸垂直的臨界處.鞏固練習1(★)下列敘述正確的是()A．平面直角坐標系內(nèi)的任意一條直線都存在傾斜角和斜率 B．直線傾斜角α的取值范圍是0°C．若一條直線的傾斜角為α(α≠90°)D．與坐標軸垂直的直線的傾斜角是0°或【答案】BCD【解析】平面直角坐標系內(nèi)的任意一條直線都存在傾斜角，但不一定有斜率，故A錯誤．由于直線傾斜角α的取值范圍是0°≤α<180若一條直線的傾斜角為α(α≠90°)，則此直線的斜率為tanα與x軸垂直的直線的傾斜角是90°，與y軸垂直的直線的傾斜角是0°，故故選：BCD．2(★)若直線經(jīng)過兩點A(m,2)，B(-m,2m-1)且傾斜角為45°，則m的值為.【答案】34 【解析】經(jīng)過兩點A(m,2)，B(－m,2m－1)的直線的斜率為又直線的傾斜角為45°，∴2m-1-2-m-m=tan45°=1，即m=3(★★)已知在直角坐標系中，等邊△ABC中A與原點重合，若AB的斜率為32，則BC的斜率可能為【答案】-3【解析】設AB的傾斜角α，BC的傾斜角β，則β=α+π3或β=2π當β=α+π3時，當β=2π3+α4(★★)已知θ∈R，則直線xsinθ-3y+1=0的傾斜角的取值范圍是【答案】[0,π【解析】如圖所示，由A(3,2)，可得斜率kPA=1-2因為直線l與線段AB相交，所以直線l的傾斜角的取值范圍是[0,π65(★★)直線l經(jīng)過點A(2,1),B(3,t2)，(-2≤t≤【答案】[0,【解析】∵直線l經(jīng)過點A(2，∴k∵-2≤t≤則t2設直線l的傾斜角為θ(0≤θ<π)，則tanθ∈[－得θ∈[0，6(★★★)已知兩點A(-3,4)，B(3,2)，過點P(1,0)的直線l與線段AB有公共點，則直線l的斜率k的取值范圍是.【答案】[－【解析】∵點A(－3,4),B(3,2)，過點P(1,0)的直線L與線段∴直線l的斜率k≥kPB或∵PA的斜率為4-0-3-1=－1，∴直線l的斜率k≥1或k≤－故選：D7(★★★)P(x,y)在線段AB上運動，已知A(2,4),B(5,-2)，則y+1x+1的取值范圍是【答案】[-16，【解析】如圖：y+1x+1表示線段上的點與C(－1,－1)則y+1x+1的取值范圍是[-16，53【題型二】求直線方程【典題1】根據(jù)所給條件求直線方程(1)直線過點A(1,2)，傾斜角α的正弦值為35(2)直線過點A(1,3)，且在兩坐標軸上的截距之和為8；(3)直線過點A(2,4)，B(-2,8).【解析】(1)∵sinα=35，則直線方程為y-2=±34x-1，即3x-4y+5=0或3x+4y-11=0.(2)(x、y依題意得，直線的橫截距、縱截距均不為0，可設直線方程為xm代入點A(1,3)，可得1m+38-m=1所以所求直線方程為x2+y即所求直線方程為3x+y-6=0或(3)(已知直線過兩點，可先求出斜率再用點斜式)直線斜率k=4-8則所求直線方程為y-4=-(x-2)，整理得x+y-6=0【點撥】①求直線方程的時，要注意各種形式的限制條件；②往往可以多種方法求解，注意最優(yōu)解.【典題2】如圖所示，在平面直角坐標系xOy中，已知點A(0,2)，B(-2,0)，C(1,0)，分別以AB，AC為邊向外作正方形ABEF與ACGH，則點H的坐標為，直線FH的一般式方程為．【解析】(求點H坐標相當求點H到x、再求出點H便可求直線FH方程)分別過H、F作y軸的垂線，垂足分別為M∵四邊形ACGH為正方形，∴Rt△AHM≌Rt△CAO，可得AM=OC，MH=OA，∵A(0,2)，C(1,0)，∴MH=OA=2，AM=OC=1，可得OM=OA+AM=3，由此可得H坐標為(2,3)，同理得到F(-2,4)，∴直線FH的斜率為k=4-3可得直線FH的方程為y-3=-14(x-2)【點撥】根據(jù)題意，可知點F、H是確定的，求出兩點坐標再求直線FH方程就不難了.本題利用平幾知識點求出點F鞏固練習1(★)【多選題】下列說法中，正確的有()A．過點P(1,2)且在x、yB．直線y=3x-2在y軸上的截距為-2 C．直線x-3y+1=0的傾斜角為D．過點(5,4)并且傾斜角為90°的直線方程為【答案】BD【解析】∵過點P(1,2)且在x、y軸截距相等的直線方程為x+y－3=0，或者∵直線y=3x－2在y軸上的截距為－2由于直線x-3y+1=0的斜率為33，故它的傾斜角為30∵過點(5,4)并且傾斜角為90°的直線方程為x－5=0故選：BD．2(★)【多選題】下列有關直線l：x+my-1=0(m∈R)的說法中不正確的是(A．直線l的斜率為-m B．直線l的斜率為-1C．直線l過定點(0,1) D．直線l過定點(1,0)【答案】ABC【解析】當m≠0時，直線l的方程可變?yōu)閥=-1m(x－1)當m=0時，直線l的方程變?yōu)閤=1，其斜率不存在，過點(1,0)，故AB不正確，D正確，將點(0,1)代入直線方程得m－故只有當m=1時直線才會過點(0,1)，即C不正確，故選：ABC．3(★)已知直線mx+3y-12=0在兩個坐標軸上截距之和為7，則實數(shù)m的值為.【答案】4【解析】令x=0，可得y=4，令y=0，可得x=12∵直線mx+3y－12=0在兩個坐標軸上截距之和為∴4+12m=74(★★)若直線過點(1,1)且與兩坐標軸所圍成的三角形的面積為2，則這樣的直線有條.【答案】3【解析】設直線l的截距式為xa∵直線l經(jīng)過點(1,1)，且與兩坐標軸所圍成的三角形的面積為2，∴&1a+1b=1直線l的條數(shù)為3．5(★★)已知等邊△ABC的兩個頂點A(0,0),B(4,0)，且第三個頂點在第四象限，則BC邊所在的直線方程是.【答案】y=3【解析】如圖所示：xC=2，yC=-2tan60°=∴BC邊所在的直線方程是y=-23-0【題型三】直線方程的綜合運用【典題1】設直線l：3+2λx+4+λ(1)求證：直線l恒過定點M，并求出定點M坐標；(2)若直線l在兩坐標軸上的截距相等，求直線l的方程；(3)設直線l與x軸、y軸的正半軸交于點A,B，求當|MA||MB|(點M為(1)中的定點)取得最小值時直線l【解析】1由3x+4y-19=02x+y-6=0，解得x=1y=4，則定點M為(λ視為參數(shù)，過定點的意思是"不管λ取什么值，方程3x+4y-19+λ(2x+y-6)=0均成立"，故先把λ提取出來，滿足"0+λ?0=0"這一形式即可，故(2)(截距相等，有可能兩個截距均為0，故要分類討論)當直線過原點時，-19-6λ=0,則λ=-196,當直線不過原點時，則3+2λ=4+λ，解得λ=1，所求直線為x+y-5=0．綜上，直線方程為4x-y=0或x+y-5=0．(3)設A(a,0)，B(0,b)(a>0,b>0)，方法1則直線l的方程可設為xa又直線l過點M(1,4),則1aMAMB(利用數(shù)量積AM把“兩線段乘積“變成”向量坐標“處理簡單多了)=1-a,4=a+4b1a+4=4b當且僅當4ba=4ab且1此時直線方程為x+y-5=0．方法2設直線l的傾斜角為α，由已知可知α∈(π如圖，MB=4sin?(通過圖象觀察引入變量α表示MAMB則MAMB∵α∈(π2,π)顯然sin2α=-1，即α=3π4時，MAMB此時直線方程為x+y-5=0．【點撥】處理線段問題還可以用兩點距離公式，而本題中MAMB=1+【典題2】如圖，將一塊等腰直角三角板ABO置于平面直角坐標系中，已知AB=OB=1，AB⊥OB，點P(12,14)是三角板內(nèi)一點，現(xiàn)因三角板中部分(△POB內(nèi)部，不含邊界)(1)求直線MN的斜率的取值范圍；(2)若P點滿足MP=13PN，這樣的直線(3)如何確定直線MN的斜率，才能使鋸成的△AMN的面積取得最大值和最小值？并求出最值．【解析】(1)(根據(jù)觀察圖象易得kPA≤kMN≤kPB?-12依題意，得MN的方程為y-14=k(x-因為AB⊥OB，|AB|=|OB|=1，所以直線OA的方程為y=x，直線AB的方程為x=1，聯(lián)立y-14=k(x-聯(lián)立y-14=k(x-所以0≤2k-14(k-1)≤1所以k的取值范圍為[-1(得到M、N(2)若MP=13PN，可得所以直線MN的方程為y-1整理得x+2y-1=0．(3)在△AMN中，由(1)知，S△AMN設t=1-k∈[1則f(t)=4t+1因為f(t)在[12，32]是單調(diào)遞增，(所以當t=32時，即當1－k=32，即當t=12時，即當1-k=12，即k=1所以k=-12時S△max=13【點撥】①本題完成第一、二問，有更簡便的方法，但若考慮到第三問，采取了求點M、N②當然本題第三問也有可能還有其他的解法，比如幾何法，如圖，設過點P的直線CD與線段AB、OA、y軸分別交于由于點xP=12=12所以?DPF??EPC，故S?DPF>S?GPH，即當直線CD越靠近故k=-12時S△max=13③處理最值問題常見的是幾何法(通過觀察圖象利用幾何特點與性質(zhì)求解)、代數(shù)法(引入變量，把所求量的最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題).鞏固練習1(★★)已知直線l的方程為：(2+m)x+(1-2m)y+(4-3m)=0．(1)求證：不論m為何值，直線必過定點M；(2)過點M引直線l1，使它與兩坐標軸的負半軸所圍成的三角形面積最小，求l【答案】(1)M(-1,-2)(2)2x+y+4=0【解析】(1)證明：原方程整理得：(x－由x-2y-3=02x+y+4=0，可得x=-1∴不論m為何值，直線必過定點M(－1(2)解：設直線l1的方程為y=k(x+1)令y=0,x=k-2∴S當且僅當-k=4-k則l1的方程為2x+y+4=0．2(★★★)已知直線l經(jīng)過點P(3,2)．(1)若直線l在x軸、y軸上的截距互為相反數(shù)，求直線l的方程；(2)若直線l與x軸、y軸的正半軸分別交于A,B兩點．當PA2+PB【答案】(1)x-y-1=0或2x-3y=0(2)2【解析】(1)∵直線l經(jīng)過點P(3,2)，直線l在x軸、y軸上的截距互為相反數(shù)，若截距不為0，設l的方程為xa-ya=1，把點P代入可得l的方程為x－若截距為0，則l的斜率為2-03-0=23，直線l的方程為綜上，直線l的方程為x－y－1=0或(2)由題意可得，直線的斜率k存在，且k＜0，設直線l的方程為則A(3-2PA2當且僅當k=-23時，等號成立，即此時，直線l的方程為y－2=-233(★★★)如圖，射線OA,OB與x軸正半軸的夾角分別為45°和30°，過點P(1,0)的直線l分別交OA，OB于點(1)當線段AB的中點為P時，求l的方程；(2)當線段AB的中點在直線y=x2上時，求【答案】(1)y=-(【解析】(1)由于射線OA,OB與x軸正半軸的夾角分別為45°和30∴射線OA：y=x(x≥0)．OB：y=-設A(x1,x1由中點坐標公式求得x1=3A點坐標(3-1,3-1)，∴l(xiāng)：y=-(2)∵AB的中點(x1+∴x-33∵k∴l(xiāng)：y=14(★★★)已知直線l：kx－(1)證明：直線l過定點；(2)若直線不經(jīng)過第四象限，求k的取值范圍；(3)若直線l交x軸負半軸于A，交y軸正半軸于B，△AOB的面積為S，求S的最小值并求此時直線l的方程．【答案】